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北师大版数学七年级下册第四单元三角形单元检测提升卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2026八上·汇川期末）如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026七上·游仙期末）如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地的方位角是北偏东43°，那么从C地测B地的方位角是（　　）
A．北偏西47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．南偏东47°
3．（2026八上·游仙期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.若△ABC的面积为30，BD=5，则△BDE中BD边上的高是（　　）
A．3 B．6 C．12 D．1.5
4．（2026八上·游仙期末）如图是5×4的正方形网格，△ABC的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个.
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2026八上·海珠期末） 如图， 在ABC中， AD 经过△ABC的重心G交BC于点D， 若△ABC的面积为 则 阴影部分的面积为（　　).
A． B． C． D．
6．（2026八上·越秀月考）如图，点G为△ABC的重心，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，则△BGC的面积为（　　）．
A．2 B．2.5 C．1.5 D．3
7．（2026·黔南期末）如图，在ΔABC和ΔDE中，已知CB=CE，还需添加两个条件才能使ΔABC ΔDEC，下列无法使得ΔABC ΔDEC的一组条件是 (　　)
A．AB=DE，∠B=∠E B．AB=DE，∠A=∠D
C．AB=DE，AC=DC D．∠A=∠D，∠B=∠E
8．（2024八上·十堰期末）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的个数为（　　）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2024八上·仙居月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为　 　．
10．（2026八上·门头沟期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是　 　．
11．（2026八上·广州期末）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD=30°， AC=AE，且满足∠CAE=∠ABD，若 则AB=　 　.
12．（2026八上·宁海期末）如图所示的正方形网格中，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2 的度数为　 　．
13．（2026八上·游仙期末）如图①，MN为平面镜，AO，OB分别为入射光线和反射光线，则∠AOM=∠BON，如图②，一束光沿CD的方向射入，经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AEF=30°，∠AOB=115°，则∠CDB的度数为　 　 .
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2026八上·南宁期末）如图， 点 B， F， E， C在同一直线上， 点 A， D在 BC的异侧， AB∥CD， AB=CD， ∠AEB=∠DFC.
（1） 求证： △ABE≌△DCF；
（2） 若 BC=5， EF=3， 求 CE的长度.
15．（2026八上·白马期末） 如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点．
小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则．
小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则
小瑞：小安，你的作法有问题．
小安：哦…我明白了!
（1）指出小安作法中存在的问题．
（2）证明：．
16．（2025八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上，AD=AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E.
（1）求BD的长；
（2）求BE的长.
17．（2026八上·遵义期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上，连接，，
（1）写出一组平行的边，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若的面积为10，，求的面积．
18．（2025八上·泊头期末）如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度．
（1）请你先补全方案，再说明这样设计的理由；
（2）若测得，，求的长度．
19．（2025八上·东阳月考）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=30°，∠C=70°.
（1）求∠DAE 的度数；
（2）如图2，若把“AE⊥BC“变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC“，∠B=α，∠C=β（a<β），请用a、β的代数式表示∠DFE.
20．（2025八上·广州期中）请阅读以下材料，并解决问题：
探索角平分仪
素材1 图1是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.
素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽.四根棒在O处相连并可绕O点转动，点A，B，C，D固定，点E，F可以在凹槽处滑动，且OA=OC，OB=OD，AE=CE，BF=DF. 图5中的“三等分角仪”满足OA=OC=OB=OD=AE=CE=BF=DF.
（1）如图2，已知AB=AD，BC=DC，求证：AE平分∠BAD；
（2）如图4，已知OA=OC，OB=OD，AE=CE，BF=DF.若∠AOD=120°，则∠DOC=　 　°；
（3）利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点E与点F之间的距离等于OA时，可求得∠AOD的度数.在图6中，已知OA=OC=OB=OD=AE=CE=BF=DF，且点E与点F之间的距离等于OA，请求出∠AOD的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A、是的高，即，所以，故A正确，不符合题意.
B、是的角平分线，即平分，所以，故B正确，不符合题意.
C、是的中线，即是中点，所以，故C正确，不符合题意.
D、无法由的高、角平分线、中线得出，故D错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据是的高得，是的角平分线得，是的中线，得，由的高、角平分线、中线得出不能得，即可得答案.
2．【答案】D
【知识点】方位角；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，，
∴，
∵，
∴，
即从C地测B地的方位角是南偏东；
故选：D.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到，再根据直角三角形的两个锐角互余解答即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：过点E作交于点F，如下图，
∵为的中线，为的中线，
∴，，
∴，
∵的面积为30，，
∴，
解得，
故中边上的高为3．
故选：A．
【分析】过点E作交于点F，利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，根据三角形面积公式求出EF长即可．
4．【答案】B
【知识点】全等三角形的概念
【解析】【解答】解：如图所示，均与全等且仅有一条公共边，
故选：B．
【分析】分为或为公共边作三角形解答即可．
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点G是 △ABC的重心 ，
∴S△ABD=S△ACD=，
∴S△GBD=，S△GAC=，
∴ 阴影部分的面积为 ：S△GBD+S△GAC= 83+163=8 （cm2）。
故答案为：A.
【分析】根据点G是 △ABC的重心 ，可得出S△ABD=S△ACD=，S△GBD=，S△GAC=，进而得出 阴影部分的面积为 ：S△GBD+S△GAC= 83+163=8 （cm2）。
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．
∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，
∴△ABC的面积＝×3×4＝6，
∵点G是△ABC的重心，
∴DB＝DC，AG＝2DG，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积，△BGD的面积＝△CGD的面积，
∴△BDG的面积＝△ABD的面积，△CGD的面积＝△ACD的面积，
∴△BCG的面积＝△BGD的面积＋△CGD的面积＝△ABC的面积＝2．
故答案为：A．
【分析】先证出△BCG的面积＝△BGD的面积＋△CGD的面积＝△ABC的面积，再求解即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、已知CB＝CE，再加上条件AB＝DE，∠B＝∠E，可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知CB＝CE，再加上条件AB＝DE，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
C、已知CB＝CE，再加上条件BC＝DE，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
D、已知CB＝CE，再加上条∠A＝∠D，∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】结合各选项，再利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：为中线，
，
，，
，
又，
，
，故①正确；，
又，
，
，
，
由于与不一定相等，故②不正确；
由全等三角形的性质可得：，，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，结论中正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【分析】根据三角形中线性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可判断②；根据全等三角形性质可得，，再根据三角形面积之间的关系可判断③；根据边之间的关系可得，再根据三角形面积可判断④.
9．【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12，
延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，（证明见备注）
△BEC的面积＝S＝6，
BP＝BE，
则△BPC的面积＝△BEC的面积＝4，
故答案为：4．
【分析】根据三角形面积可得△ABC的面积S＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，再根据三角形面积即可求出答案.
10．【答案】4
【知识点】平方差公式的几何背景；三角形的面积；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：如图：
∵大正方形与小正方形的面积之差是8，
∴AB2-BE2=8
S阴影=S ACE+S AED=
===
故答案为：4
【分析】先根据正方形的面积之差表示出AB2-BE2=8，再利用面积公式表示出阴影部分的面积，利用线段的和差和平方差公式计算即可解答.
11．【答案】10
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：过点A和点C分别作BD及AB的垂线，垂足分别为M和N，
∵∠AEM= ∠ABD+∠BAE，∠CAN=∠CAE+∠BAE，且∠CAE=∠ABD，
∴∠AEM=∠CAN.
在 △ AEM和 △ CAN中，∵∠AEM=∠CAN，AC=AE，∠AME=∠CNA
∴ △ AEM ≌ △ CAN(ASA).
∴AM=CN.
又∵ ∠ABD= 30°，
∴AM=AB，
∴CN=AB.
∵S△ ABC = 25，
∴AB·CN =25，
则AB2=100，
∴AB=10.
故答案为：10.
【分析】过点A和点C分别作BD及AB的垂线，垂足分别为M和N，根据ASA证明△ AEM ≌ △ CAN，得出AM=CN.再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出 AM=AB， 进而得出CN=AB.再根据S△ ABC = 25，可得出AB·CN =25，即可得出AB=10.
12．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
可知：
则
故答案为：
【分析】直接利用网格证明 ，得出对应角 ，进而得出答案.
13．【答案】35
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵一束光沿的方向射入，经过平面镜，反射后，沿方向射出，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平面镜反射的原理可得，，再利用三角形内角和定理得到的度数解答即可．
14．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE与△DCF中，
∴△ABE≌△DCF (AAS)
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，即CE=BF，
∴CE+BF=BC-EF=5-3=2，
∴2CE=2，
∴CE=1.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；利用等式的性质将等式变形
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠B=∠C，进而根据AAS即可得出△ABE≌△DCF；
（2）由（1）知：△ABE≌△DCF，可得出BE=CF，进而得出CE=BF，进一步根据线段的差即可得出2CE=2，即CE=1.
15．【答案】（1）解：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，
此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等．
（2）证明：如图2中，∵，
，
由作图可得，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据不能判定三角形全等可得结论；
（2）根据证明三角形全等即可．
16．【答案】（1）解：由勾股定理得AB=，
AD=AC=6，
BD=AB-AD=10-6=4
（2）解：如图，连接DE，
∵AC=AD，AF⊥CD
∴∠EAC=EAD
∴△EAC≌△EAD(SAS)
∴DE=CE，∠ADE=∠ACE=90°
设DE=x，则CE=x，BE=8-x，由勾股定理得，解得x=3，得BE=5
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由勾股定理得AB的长，由此可得BD的长；
(2)连接DE，由等腰三角形的性质知∠EAC=∠EAD，可证△EAC≌△EAD，设DE=x，则BE=8-x，由勾股定理得x的方程，求解方程可得x的值，即得BE的值.
17．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴；
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
，理由如下：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∵的面积为10，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质，结合直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，根据三角形面积之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴；
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
，理由如下：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∵的面积为10，，
∴，
∴．
18．【答案】（1），
（2）解：
，，
，
即
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】（1）解：，
理由：
在与中
故答案为：，
【分析】(1) 本题考察全等三角形的判定（AAS）与性质在实际测量中的应用，需补全方案并证明。补全方案：直到，测量的长度。理由：因为，所以，又因为直杆长度不变，即，结合，根据AAS判定定理，可证明；根据全等三角形的性质，对应边相等，因此，即的长度等于的高度。
(2) 本题考察全等三角形性质的应用，需利用全等三角形的对应边相等计算。由(1)中，可得，；观察图形可知，代入数值计算得。
（1）解：，
理由：
在与中
；
（2）解：
，，
，
即
19．【答案】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B-∠C =180°﹣30° ﹣70°=80°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°，
∵∠ADE 是△ABD 的外角，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°．
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，
∵∠AEB +∠ADE+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AEB -∠ADE＝180°﹣90°﹣70°＝20°
（2）解：∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=90°-（α+β）
∵∠ADE 是△ABD 的外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°-（α+β）＝90°-β+α
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∵∠DFE+∠ADE+∠FED＝180°，
∴∠DFE＝180°﹣∠ADE-∠FED=（β-α）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）结合已知，根据三角形内角和定理即可求出∠BAC=80°，利用角平分线的定义即可求出∠BAD=40°，利用三角形的外角定理可求出∠ADE=70°，在△ADE中利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形内角和定理表示出∠BAC，根据角平分线的定义表示出∠BAD，根据三角形的外角性质表示出∠ADE，进而利用三角形内角和定理即可解答．
20．【答案】（1）∵AC=AC，AB=AD，BC=DC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即AE平分∠BAD
（2）40
（3）解：如图，
由得，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
解得：，
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2），，，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形全等的判定SSS证明≌，进而得到∠DAC=∠BAC，再根据角平分线的定义即可求解；
（2）根据三角形全等的判定SSS证明≌，进而得到，再证明≌得到，进而进行角的运算即可求解；
（3）由（2）得，设，用x表示出、、，再根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可。
1 / 1北师大版数学七年级下册第四单元三角形单元检测提升卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2026八上·汇川期末）如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A、是的高，即，所以，故A正确，不符合题意.
B、是的角平分线，即平分，所以，故B正确，不符合题意.
C、是的中线，即是中点，所以，故C正确，不符合题意.
D、无法由的高、角平分线、中线得出，故D错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据是的高得，是的角平分线得，是的中线，得，由的高、角平分线、中线得出不能得，即可得答案.
2．（2026七上·游仙期末）如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地的方位角是北偏东43°，那么从C地测B地的方位角是（　　）
A．北偏西47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．南偏东47°
【答案】D
【知识点】方位角；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，，
∴，
∵，
∴，
即从C地测B地的方位角是南偏东；
故选：D.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到，再根据直角三角形的两个锐角互余解答即可.
3．（2026八上·游仙期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.若△ABC的面积为30，BD=5，则△BDE中BD边上的高是（　　）
A．3 B．6 C．12 D．1.5
【答案】A
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：过点E作交于点F，如下图，
∵为的中线，为的中线，
∴，，
∴，
∵的面积为30，，
∴，
解得，
故中边上的高为3．
故选：A．
【分析】过点E作交于点F，利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，根据三角形面积公式求出EF长即可．
4．（2026八上·游仙期末）如图是5×4的正方形网格，△ABC的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】全等三角形的概念
【解析】【解答】解：如图所示，均与全等且仅有一条公共边，
故选：B．
【分析】分为或为公共边作三角形解答即可．
5．（2026八上·海珠期末） 如图， 在ABC中， AD 经过△ABC的重心G交BC于点D， 若△ABC的面积为 则 阴影部分的面积为（　　).
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点G是 △ABC的重心 ，
∴S△ABD=S△ACD=，
∴S△GBD=，S△GAC=，
∴ 阴影部分的面积为 ：S△GBD+S△GAC= 83+163=8 （cm2）。
故答案为：A.
【分析】根据点G是 △ABC的重心 ，可得出S△ABD=S△ACD=，S△GBD=，S△GAC=，进而得出 阴影部分的面积为 ：S△GBD+S△GAC= 83+163=8 （cm2）。
6．（2026八上·越秀月考）如图，点G为△ABC的重心，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，则△BGC的面积为（　　）．
A．2 B．2.5 C．1.5 D．3
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．
∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，
∴△ABC的面积＝×3×4＝6，
∵点G是△ABC的重心，
∴DB＝DC，AG＝2DG，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积，△BGD的面积＝△CGD的面积，
∴△BDG的面积＝△ABD的面积，△CGD的面积＝△ACD的面积，
∴△BCG的面积＝△BGD的面积＋△CGD的面积＝△ABC的面积＝2．
故答案为：A．
【分析】先证出△BCG的面积＝△BGD的面积＋△CGD的面积＝△ABC的面积，再求解即可.
7．（2026·黔南期末）如图，在ΔABC和ΔDE中，已知CB=CE，还需添加两个条件才能使ΔABC ΔDEC，下列无法使得ΔABC ΔDEC的一组条件是 (　　)
A．AB=DE，∠B=∠E B．AB=DE，∠A=∠D
C．AB=DE，AC=DC D．∠A=∠D，∠B=∠E
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、已知CB＝CE，再加上条件AB＝DE，∠B＝∠E，可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知CB＝CE，再加上条件AB＝DE，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
C、已知CB＝CE，再加上条件BC＝DE，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
D、已知CB＝CE，再加上条∠A＝∠D，∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】结合各选项，再利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
8．（2024八上·十堰期末）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的个数为（　　）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：为中线，
，
，，
，
又，
，
，故①正确；，
又，
，
，
，
由于与不一定相等，故②不正确；
由全等三角形的性质可得：，，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，结论中正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【分析】根据三角形中线性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可判断②；根据全等三角形性质可得，，再根据三角形面积之间的关系可判断③；根据边之间的关系可得，再根据三角形面积可判断④.
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2024八上·仙居月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12，
延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，（证明见备注）
△BEC的面积＝S＝6，
BP＝BE，
则△BPC的面积＝△BEC的面积＝4，
故答案为：4．
【分析】根据三角形面积可得△ABC的面积S＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，再根据三角形面积即可求出答案.
10．（2026八上·门头沟期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是　 　．
【答案】4
【知识点】平方差公式的几何背景；三角形的面积；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：如图：
∵大正方形与小正方形的面积之差是8，
∴AB2-BE2=8
S阴影=S ACE+S AED=
===
故答案为：4
【分析】先根据正方形的面积之差表示出AB2-BE2=8，再利用面积公式表示出阴影部分的面积，利用线段的和差和平方差公式计算即可解答.
11．（2026八上·广州期末）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD=30°， AC=AE，且满足∠CAE=∠ABD，若 则AB=　 　.
【答案】10
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：过点A和点C分别作BD及AB的垂线，垂足分别为M和N，
∵∠AEM= ∠ABD+∠BAE，∠CAN=∠CAE+∠BAE，且∠CAE=∠ABD，
∴∠AEM=∠CAN.
在 △ AEM和 △ CAN中，∵∠AEM=∠CAN，AC=AE，∠AME=∠CNA
∴ △ AEM ≌ △ CAN(ASA).
∴AM=CN.
又∵ ∠ABD= 30°，
∴AM=AB，
∴CN=AB.
∵S△ ABC = 25，
∴AB·CN =25，
则AB2=100，
∴AB=10.
故答案为：10.
【分析】过点A和点C分别作BD及AB的垂线，垂足分别为M和N，根据ASA证明△ AEM ≌ △ CAN，得出AM=CN.再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出 AM=AB， 进而得出CN=AB.再根据S△ ABC = 25，可得出AB·CN =25，即可得出AB=10.
12．（2026八上·宁海期末）如图所示的正方形网格中，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2 的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
可知：
则
故答案为：
【分析】直接利用网格证明 ，得出对应角 ，进而得出答案.
13．（2026八上·游仙期末）如图①，MN为平面镜，AO，OB分别为入射光线和反射光线，则∠AOM=∠BON，如图②，一束光沿CD的方向射入，经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AEF=30°，∠AOB=115°，则∠CDB的度数为　 　 .
【答案】35
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵一束光沿的方向射入，经过平面镜，反射后，沿方向射出，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平面镜反射的原理可得，，再利用三角形内角和定理得到的度数解答即可．
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2026八上·南宁期末）如图， 点 B， F， E， C在同一直线上， 点 A， D在 BC的异侧， AB∥CD， AB=CD， ∠AEB=∠DFC.
（1） 求证： △ABE≌△DCF；
（2） 若 BC=5， EF=3， 求 CE的长度.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE与△DCF中，
∴△ABE≌△DCF (AAS)
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，即CE=BF，
∴CE+BF=BC-EF=5-3=2，
∴2CE=2，
∴CE=1.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；利用等式的性质将等式变形
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠B=∠C，进而根据AAS即可得出△ABE≌△DCF；
（2）由（1）知：△ABE≌△DCF，可得出BE=CF，进而得出CE=BF，进一步根据线段的差即可得出2CE=2，即CE=1.
15．（2026八上·白马期末） 如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点．
小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则．
小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则
小瑞：小安，你的作法有问题．
小安：哦…我明白了!
（1）指出小安作法中存在的问题．
（2）证明：．
【答案】（1）解：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，
此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等．
（2）证明：如图2中，∵，
，
由作图可得，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据不能判定三角形全等可得结论；
（2）根据证明三角形全等即可．
16．（2025八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上，AD=AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E.
（1）求BD的长；
（2）求BE的长.
【答案】（1）解：由勾股定理得AB=，
AD=AC=6，
BD=AB-AD=10-6=4
（2）解：如图，连接DE，
∵AC=AD，AF⊥CD
∴∠EAC=EAD
∴△EAC≌△EAD(SAS)
∴DE=CE，∠ADE=∠ACE=90°
设DE=x，则CE=x，BE=8-x，由勾股定理得，解得x=3，得BE=5
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由勾股定理得AB的长，由此可得BD的长；
(2)连接DE，由等腰三角形的性质知∠EAC=∠EAD，可证△EAC≌△EAD，设DE=x，则BE=8-x，由勾股定理得x的方程，求解方程可得x的值，即得BE的值.
17．（2026八上·遵义期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上，连接，，
（1）写出一组平行的边，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若的面积为10，，求的面积．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴；
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
，理由如下：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∵的面积为10，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质，结合直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，根据三角形面积之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴；
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
，理由如下：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∵的面积为10，，
∴，
∴．
18．（2025八上·泊头期末）如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度．
（1）请你先补全方案，再说明这样设计的理由；
（2）若测得，，求的长度．
【答案】（1），
（2）解：
，，
，
即
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】（1）解：，
理由：
在与中
故答案为：，
【分析】(1) 本题考察全等三角形的判定（AAS）与性质在实际测量中的应用，需补全方案并证明。补全方案：直到，测量的长度。理由：因为，所以，又因为直杆长度不变，即，结合，根据AAS判定定理，可证明；根据全等三角形的性质，对应边相等，因此，即的长度等于的高度。
(2) 本题考察全等三角形性质的应用，需利用全等三角形的对应边相等计算。由(1)中，可得，；观察图形可知，代入数值计算得。
（1）解：，
理由：
在与中
；
（2）解：
，，
，
即
19．（2025八上·东阳月考）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=30°，∠C=70°.
（1）求∠DAE 的度数；
（2）如图2，若把“AE⊥BC“变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC“，∠B=α，∠C=β（a<β），请用a、β的代数式表示∠DFE.
【答案】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B-∠C =180°﹣30° ﹣70°=80°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°，
∵∠ADE 是△ABD 的外角，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°．
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，
∵∠AEB +∠ADE+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AEB -∠ADE＝180°﹣90°﹣70°＝20°
（2）解：∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=90°-（α+β）
∵∠ADE 是△ABD 的外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°-（α+β）＝90°-β+α
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∵∠DFE+∠ADE+∠FED＝180°，
∴∠DFE＝180°﹣∠ADE-∠FED=（β-α）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）结合已知，根据三角形内角和定理即可求出∠BAC=80°，利用角平分线的定义即可求出∠BAD=40°，利用三角形的外角定理可求出∠ADE=70°，在△ADE中利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形内角和定理表示出∠BAC，根据角平分线的定义表示出∠BAD，根据三角形的外角性质表示出∠ADE，进而利用三角形内角和定理即可解答．
20．（2025八上·广州期中）请阅读以下材料，并解决问题：
探索角平分仪
素材1 图1是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.
素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽.四根棒在O处相连并可绕O点转动，点A，B，C，D固定，点E，F可以在凹槽处滑动，且OA=OC，OB=OD，AE=CE，BF=DF. 图5中的“三等分角仪”满足OA=OC=OB=OD=AE=CE=BF=DF.
（1）如图2，已知AB=AD，BC=DC，求证：AE平分∠BAD；
（2）如图4，已知OA=OC，OB=OD，AE=CE，BF=DF.若∠AOD=120°，则∠DOC=　 　°；
（3）利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点E与点F之间的距离等于OA时，可求得∠AOD的度数.在图6中，已知OA=OC=OB=OD=AE=CE=BF=DF，且点E与点F之间的距离等于OA，请求出∠AOD的度数.
【答案】（1）∵AC=AC，AB=AD，BC=DC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即AE平分∠BAD
（2）40
（3）解：如图，
由得，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
解得：，
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2），，，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形全等的判定SSS证明≌，进而得到∠DAC=∠BAC，再根据角平分线的定义即可求解；
（2）根据三角形全等的判定SSS证明≌，进而得到，再证明≌得到，进而进行角的运算即可求解；
（3）由（2）得，设，用x表示出、、，再根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可。
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