资源简介

北师大版数学七年级下册第四单元三角形单元检测培优卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2025九上·南宁月考）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·义乌月考）把一条长250cm的铁丝截成a(a≥3)小段，每段长度不小于20cm，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025八上·通渭期中）《周礼考工记》中记载有“……半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是“……直角的一半叫做宣，一宣半的角叫做欘……”.即1宣矩，1欘宣，其中一矩=90°，图(1)为古代一种强弩，图(2)为这种强弩的部分组件示意图，若∠A=1矩，∠B=1橛，则∠C的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
4．（2025八上·绍兴期中）如图，AB与CD相交于点P，AF平分∠CAB，DF平分∠CDB，且∠B：∠C：∠F＝4：6：a则a值是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．10
5．（2025八上·永年期末）为测量池塘两端的距离，数学小组的三位同学分别设计出如下三种方案：
小明：如图1．选定点，连接．并分别延长到点，使，．连接．则量出的长即为的距离．
小红：如图2，先过点作的垂线，在上取两点，使．再过点作的垂线．交的延长线于点．则量出的长即为的距离．
小丽：如图3，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．则量出的长即为的距离．
以上三位同学设计的方案中可行的是（　　）
A．小明和小红 B．小明和小丽
C．小红和小丽 D．三个人的方案都可以
6． 如图①，△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E在线段BC上，且BE=CD，则图中共有“伪全等三角形” (　　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．（2025八上·长沙期末）如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”（点与点不重合），使得以点为顶点的三角形与全等，则这样的“好点”的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025八上·临澧期末）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2025八上·安州期末）和，已知，则增加条件　 　后，．（填写一个即可）
10．（2025八上·长沙期中）如图，为中边上的一点，，是边上的一点，，若的面积为，则的面积为　 　．
11．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　.
12．（2025七下·成都月考）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为　 　．
13．（2025八上·娄星期末）放学回家后，小颖和哥哥姐姐在小区里荡秋千．如图，小颖坐在秋千的初始位置处，此时与地面垂直并交于点，两脚用力蹬地后，姐姐在处接住她后用力一推，哥哥在距离地面米的处接住她．如果姐姐与哥哥到的水平距离，分别为米和米，若，则秋千顶部距离地面的高度为　 　米．
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2025八上·大兴月考）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1）
（2）是格点三角形．
①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形．
15．（2026八上·临海期末）我们知道几何命题的证明一般需要经历以下步骤：
①按题意画出图形并标记；
②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
③分析并证明，写出推理过程.
请同学们尝试证明命题：“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等.”
已知： 如图， 在△ABC和△A'B'C'中， AB=A'B'， BC=B'C'， ▲ .
求证： ▲ .
证明：
16．（2025八上·广西期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目：
填空：
如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______．
将不等式左边、右边分别相加，得______，即______．
（1）补全上面步骤；
【类比猜想】
（2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由．
17．（2026八上·祁东期末）已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC.
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为　 　，BD，CE与DE的数量关系为　 　.
（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）.是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由.
18．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，那么我们就称这两个角互为“友爱角”，这个三角形为“友爱三角形”.例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”.
①②
（1）如图①所示，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B)，∠ACB=90°.
①求∠A，∠B的度数.
②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD，△BCD都是“友爱三角形”吗 为什么
（2）如图②所示，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点(不与点A，B重合)，连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数.
19．如图所示，A，B两点分别位于一池塘两侧，池塘左边有一水房D，在DB中点C处有一棵百年古槐，小明从A点出发，沿AC一直向前走到点E(A，C，E三点在同一条直线上)，并使CE=CA，然后他测量出点E到水房D的距离，则DE的长度就是A，B两点间的距离.
（1）如果小明恰好未带测量工具，但他知道水房D和古槐C到A点的距离分别是140 m和100 m，他能不能确定AB的长度范围 如果能，求出AB的长度范围；如果不能，请说明理由.
（2）在(1)的解题过程中，你找到“已知三角形一边和另一边上的中线，求第三边的长度范围”的方法了吗 如果找到了，请解决下面的问题：在△ABC中，AC=5，中线AD=7，画图并确定AB的长度范围.
20．（2025八上·鹤山期中）综合与实践
【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．
【相关素材】
在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：．在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
【解决问题】
（1）在图3中，若设，，，证明：．
（2）利用（1）中的结论，证明：．
（3）图4中，是的重心，点、在的边、上，与交于点，，，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在与，
∵，
∴，
∴与全等的依据是，
故答案为：．
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，再结合，利用“SAS”证出，从而得解.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：先假设截取的上都从短到长排列依次是
∵每一段不小于20cm，
不与前两段组成三角形的话， 即 不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即 即 不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即 即 此时剩下的 100，
实际上 那么前面四段中必有两段与 组成三角形.
∴a的最小值为6.
故选： D.
【分析】设其中最小的两段都是20cm根据三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，则若要至少拼成一个三角形的话，最小的两边的和要大于等于第三边长，从而确定a的取值范围，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=1矩，1矩=90°，
∴∠A=90°。
∵1 欘 =宣=宣，又1宣=矩，1矩=90°，
∴1宣=×90°=45°，
∴∠B=×45°=67.5°。
在△ABC中，
∠C=180°-∠A-∠B
=180°-90°-67.5°
=22.5°
故答案为：B
【分析】先依据题目所给的角度定义，分别算出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出∠C的度数。
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接AD，
设∠B=4x，∠C=6x，∠F=ax，
∵ AF平分∠CAB，DF平分∠CDB，
∴∠CAB=2∠FAB，∠CDB=2∠CDF，
∴∠APD=∠C+∠CAB=∠B+∠CDB，
∴6x+2∠FAB=4x+2∠CDF，
∴∠CDF-∠FAB=x，
∵∠FAD+∠ADF+∠F=∠APD+∠PAD+∠PDA=180°，
∴∠PAD+∠PDA=180°-∠APD=180-6x-2∠FAB，
ax=180°-∠FAD-∠FDA=180°-∠FAB-∠PAD-∠ADP-∠CDF=6x+∠FAB-∠CDF，
∴ax=6x-x=5x，
∴a=5.
故答案为：B.
【分析】连接AD，连接AD，设∠B=4x，∠C=6x，∠F=ax，由角平分线的定义可得∠CAB=2∠FAB，∠CDB=2∠CDF，所以∠CDF-∠FAB=x，最后根据三角形内角和即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，故小明的方案可行；
∵，，
∴，
∴，故小红的方案可行；
∵，，
∴，
∴，故小丽的方案可行；
故选：D．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质在实际测量中的应用，核心是通过证明三角形全等，得出对应边相等，从而间接求出AB的长度。小明的方案中，OA = OE，OB = OF，且（对顶角相等），根据“SAS”判定定理可证，因此EF = AB，方案可行；小红的方案中，，BC = CD，（对顶角相等），根据“ASA”判定定理可证，因此DE = AB，方案可行；小丽的方案中，，BD = BD，，根据“ASA”判定定理可证，因此BC = AB，方案可行，综上三个人的方案都可以。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD＝AE，
∵AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE，
∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”．
同理可得，
△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”．
△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”．
△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”．
所以图中的“伪全等三角形”共有4对．
故选：D．
【分析】理解“伪全等三角形“的定义，熟练运用三角形全等的判定与性质是解题的关键．
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
以直线BC为对称轴，画出△ABC经轴对称变换后的图形，根据轴对称图形的性质可得，
以线段BC的垂直平分线，画出△ABC、经轴对称变换后的图形、，根据轴对称图形的性质可得.
∴这样的“好点”的个数为，
故选∶．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和轴对称图形。可根据轴对称变化找到符合条件的点D：不仅要与全等，且点D要在格点上。
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①是的高，
，
，
平分，平分，
，，
，
，故①正确；
②是的高，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，故②正确；
③，，
，，
，故③正确；
④如图，延长交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，故④错误；
综上所述，正确的结论是①②③，
故答案为：B．
【分析】①根据三角形的高以及角平分线的定义求出，利用三角形内角和定理求出，判断①正确；②证明，得到，再证明，判断②正确；③由①②的全等三角形的性质可得，，结合，等量代换可得，判断③正确；④延长交于点，证明，得到，从而得到，再说明得出，判断④错误.
9．【答案】或
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意，可以增加条件，用判断全等；
若补充条件，则可用判定其全等．
故答案为：或．
【分析】要使，已知，具备了两组边对应相等，根据全等三角形的判定方法及图形进行选择即可求解．
10．【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：，的面积为，
，
，
，
.
故答案为：．
【分析】根据题意，，得到的面积等于面积的2倍，AE=3BE，得到的面积等于的面积的4倍，又由的面积等于面积+的面积之和，求出的面积.
11．【答案】9＜AB＜19
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
12．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等的判定；平行线的应用-求角度；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H是的中点，
∴，
∴点P与点H重合，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点B作，且，在上截取，连接，根据得到，即可得到再根据可得，即可得到，进而得到，可得点C，点E，点H三点共线时，有最小值，根据得到，即可得到解答即可．
13．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题可知：，，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵为米，
∴，
∵处到地面的距离米，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质的实际应用，解题关键是通过角度推导证明三角形全等，再利用全等三角形的对应边相等转化线段长度.
14．【答案】（1）6
（2）解：①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】（1）解：如图1中，，
故答案为：6．
【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；
（2）①利用全等三角形的判定及三角形的作图方法作出图形即可；
②利用旋转和全等三角形的判定以及三角形的作图方法作出图形即可.
（1）解：如图1中，，
故答案为：6．
（2）①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）．
15．【答案】解：点M， M'分别是BC， B'C'的中点， 且AM=A'M'.
(或中线AM与中线A'M'相等.)
求证： △ABC≌△A'B'C'
证明： ∵点 M， M'分别是 BC， B'C'的中点.
∴
∵BC=B'C'，
∴BM=B'M'.
∵在△ABM与△A'B'M'中
∴△ABM≌△A'B'M'(SSS)
∴∠B=∠B'
∵在△ABC与△A'B'C'中
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)
所以命题“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等.”成立.
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由中点知BM=B'M'，由此可证△ABM≌△A'B'M'，得B=B'，由此可证△ABC≌△A'B'C'，即说明命题成立.
16．【答案】（1），，，；
（2）如图，理由如下：
由三角形三边关系定理得到：，，，
，
．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得：，．
将不等式左边、右边分别相加，得，即，
故答案为：，，，；
【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）根据三角形三边关系即可求出答案.
17．【答案】（1）BD=AE；BD+CE=DE
（2）解：成立，BD+CE=DE，理由如下：
同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=AD，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE；
（3）解：存在，理由如下：
当△DAB≌△ECA时，AD=CE，BD=AE=7cm，
∵AD+AE=DE=10cm，
∴CE=AD=DE-AE=3cm，
∴t==，
∴x=3÷=2；
当△DAB≌△EAC时，
∴AD=AE=DE=5cm，DB=EC=7cm，
∴t==，x=7÷=，
综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t=，x=2或t=，x=．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(1)∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵∠BDA=∠AEC，AB=CA
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE，
故答案为：BD=AE，BD+CE=DE.
【分析】(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，即可解决问题；
(2)同(1)得△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，即可得出结论；
(3)分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出的值，即可解决问题.
18．【答案】（1）解：①因为△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B)，
所以∠A=2∠B.
因为∠ACB=90°，
所以∠A+∠B=180°-90°=90°，
即2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°，
所以∠A=60°.
②△ACD，△BCD都是“友爱三角形”.
理由：因为CD是△ABC中AB边上的高，
所以∠ADC=∠BDC=90°.
因为∠A=60°，∠B=30°，
所以∠ACD=30°，∠BCD=60°.
在△ACD中，∠A=60°，∠ACD=30°，
所以∠ACD=∠A，
所以△ACD为“友爱三角形”；
在△BCD中，∠BCD=60°，∠B=30°，
所以∠B=∠BCD，
所以△BCD为“友爱三角形”.
（2）解：∠ACD的度数为33°或38°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高
【解析】【解答】解：（2）∵在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=44°，
∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点(不与点A，B重合) ，
∴∠ACD=∠A或∠ACD=∠ADC，
当∠ACD=∠A时，∠ACD=×66°=33°；
当∠ACD=∠ADC时，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴66°+3∠ACD=180°，
∴∠ACD=38°，
综上∠ACD的度数为33°或38°.
【分析】（1）①△ABC中，由“友爱角”(∠A>∠B)定义可得∠A=2∠B①，由三角形内角和定义得∠A+∠B=90°②，将①代入②可求出∠B的度数，进而即可求出∠A的度数；
②由三角形高得定义得∠ADC=∠BDC=90°，由三角形内角和定理得出∠ACD=30°，∠BCD=60°，进而根据“友爱三角形”定义即可判断得出答案；
（2）首先由三角形的内角和定理求出∠B=44°，然后根据“友爱三角形”定义及三角形内角和定理得出∠ACD=∠A或∠ACD=∠ADC，进而代值计算可得答案.
19．【答案】（1）解：能，理由如下：
∵点C是BD的中点，
∴DC=BC，
在△ABC和△EDC中，
∵AC=EC，∠ACB=∠ECD，BC=DC，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴ED=AB；
在△ADE中，∵AE-AD又∵AD=140m，AE=2AC=200m，
∴60m∴AB的长度范围为60m（2）解：找到了；
如图所示，延长AD至点E，使DE=DA，连接CE.
在△ABD和△ECD中，
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC.
在△ACE中，AE=2AD=14，AC=5，
∴AE-AC即14-5∴9∴AB的长度范围为9【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由线段中点定义得DC=BC，从而利用“SAS”判断出△ABC≌△EDC，由全等三角形的对应边相等得ED=AB；在△ADE中，根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出DE的取值范围，即可得出结论；
（2）延长AD至点E，使DE=DA，连接CE，利用“SAS”判断出△ABD≌△ECD，由全等三角形的对应边相等得EC=AB；在△ACE中，根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出CE的取值范围，即可得出结论.
20．【答案】（1）解：由题意可知S△GCD=S△GBD=x，S△GBF=S△AGF=y，
S△GAE=S△GCE=z，
∵S△ABD=S△ACD，
∴2y+x=2z+x，
∴y=z，
∵S△ABE=S△CBE，
∴2x+z=2y+z，
∴x=y，
∴x=y=z；
（2）证明：由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，
∵G是△ABC的重心，
∴BG：GE=CG：GD=2：1；
（3）解：∵G是 的重心，
.
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】(1)根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；
(2)由(1)中的结论即可得出；
(3)运用以上两题的方法，根据三角形的面积 底×高，先求出 的面积进而解答即可.
1 / 1北师大版数学七年级下册第四单元三角形单元检测培优卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2025九上·南宁月考）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在与，
∵，
∴，
∴与全等的依据是，
故答案为：．
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，再结合，利用“SAS”证出，从而得解.
2．（2025八上·义乌月考）把一条长250cm的铁丝截成a(a≥3)小段，每段长度不小于20cm，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：先假设截取的上都从短到长排列依次是
∵每一段不小于20cm，
不与前两段组成三角形的话， 即 不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即 即 不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即 即 此时剩下的 100，
实际上 那么前面四段中必有两段与 组成三角形.
∴a的最小值为6.
故选： D.
【分析】设其中最小的两段都是20cm根据三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，则若要至少拼成一个三角形的话，最小的两边的和要大于等于第三边长，从而确定a的取值范围，即可求解.
3．（2025八上·通渭期中）《周礼考工记》中记载有“……半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是“……直角的一半叫做宣，一宣半的角叫做欘……”.即1宣矩，1欘宣，其中一矩=90°，图(1)为古代一种强弩，图(2)为这种强弩的部分组件示意图，若∠A=1矩，∠B=1橛，则∠C的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=1矩，1矩=90°，
∴∠A=90°。
∵1 欘 =宣=宣，又1宣=矩，1矩=90°，
∴1宣=×90°=45°，
∴∠B=×45°=67.5°。
在△ABC中，
∠C=180°-∠A-∠B
=180°-90°-67.5°
=22.5°
故答案为：B
【分析】先依据题目所给的角度定义，分别算出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出∠C的度数。
4．（2025八上·绍兴期中）如图，AB与CD相交于点P，AF平分∠CAB，DF平分∠CDB，且∠B：∠C：∠F＝4：6：a则a值是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接AD，
设∠B=4x，∠C=6x，∠F=ax，
∵ AF平分∠CAB，DF平分∠CDB，
∴∠CAB=2∠FAB，∠CDB=2∠CDF，
∴∠APD=∠C+∠CAB=∠B+∠CDB，
∴6x+2∠FAB=4x+2∠CDF，
∴∠CDF-∠FAB=x，
∵∠FAD+∠ADF+∠F=∠APD+∠PAD+∠PDA=180°，
∴∠PAD+∠PDA=180°-∠APD=180-6x-2∠FAB，
ax=180°-∠FAD-∠FDA=180°-∠FAB-∠PAD-∠ADP-∠CDF=6x+∠FAB-∠CDF，
∴ax=6x-x=5x，
∴a=5.
故答案为：B.
【分析】连接AD，连接AD，设∠B=4x，∠C=6x，∠F=ax，由角平分线的定义可得∠CAB=2∠FAB，∠CDB=2∠CDF，所以∠CDF-∠FAB=x，最后根据三角形内角和即可求出答案.
5．（2025八上·永年期末）为测量池塘两端的距离，数学小组的三位同学分别设计出如下三种方案：
小明：如图1．选定点，连接．并分别延长到点，使，．连接．则量出的长即为的距离．
小红：如图2，先过点作的垂线，在上取两点，使．再过点作的垂线．交的延长线于点．则量出的长即为的距离．
小丽：如图3，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．则量出的长即为的距离．
以上三位同学设计的方案中可行的是（　　）
A．小明和小红 B．小明和小丽
C．小红和小丽 D．三个人的方案都可以
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，故小明的方案可行；
∵，，
∴，
∴，故小红的方案可行；
∵，，
∴，
∴，故小丽的方案可行；
故选：D．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质在实际测量中的应用，核心是通过证明三角形全等，得出对应边相等，从而间接求出AB的长度。小明的方案中，OA = OE，OB = OF，且（对顶角相等），根据“SAS”判定定理可证，因此EF = AB，方案可行；小红的方案中，，BC = CD，（对顶角相等），根据“ASA”判定定理可证，因此DE = AB，方案可行；小丽的方案中，，BD = BD，，根据“ASA”判定定理可证，因此BC = AB，方案可行，综上三个人的方案都可以。
6． 如图①，△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E在线段BC上，且BE=CD，则图中共有“伪全等三角形” (　　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD＝AE，
∵AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE，
∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”．
同理可得，
△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”．
△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”．
△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”．
所以图中的“伪全等三角形”共有4对．
故选：D．
【分析】理解“伪全等三角形“的定义，熟练运用三角形全等的判定与性质是解题的关键．
7．（2025八上·长沙期末）如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”（点与点不重合），使得以点为顶点的三角形与全等，则这样的“好点”的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
以直线BC为对称轴，画出△ABC经轴对称变换后的图形，根据轴对称图形的性质可得，
以线段BC的垂直平分线，画出△ABC、经轴对称变换后的图形、，根据轴对称图形的性质可得.
∴这样的“好点”的个数为，
故选∶．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和轴对称图形。可根据轴对称变化找到符合条件的点D：不仅要与全等，且点D要在格点上。
8．（2025八上·临澧期末）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①是的高，
，
，
平分，平分，
，，
，
，故①正确；
②是的高，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，故②正确；
③，，
，，
，故③正确；
④如图，延长交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，故④错误；
综上所述，正确的结论是①②③，
故答案为：B．
【分析】①根据三角形的高以及角平分线的定义求出，利用三角形内角和定理求出，判断①正确；②证明，得到，再证明，判断②正确；③由①②的全等三角形的性质可得，，结合，等量代换可得，判断③正确；④延长交于点，证明，得到，从而得到，再说明得出，判断④错误.
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2025八上·安州期末）和，已知，则增加条件　 　后，．（填写一个即可）
【答案】或
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意，可以增加条件，用判断全等；
若补充条件，则可用判定其全等．
故答案为：或．
【分析】要使，已知，具备了两组边对应相等，根据全等三角形的判定方法及图形进行选择即可求解．
10．（2025八上·长沙期中）如图，为中边上的一点，，是边上的一点，，若的面积为，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：，的面积为，
，
，
，
.
故答案为：．
【分析】根据题意，，得到的面积等于面积的2倍，AE=3BE，得到的面积等于的面积的4倍，又由的面积等于面积+的面积之和，求出的面积.
11．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　.
【答案】9＜AB＜19
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
12．（2025七下·成都月考）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等的判定；平行线的应用-求角度；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H是的中点，
∴，
∴点P与点H重合，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点B作，且，在上截取，连接，根据得到，即可得到再根据可得，即可得到，进而得到，可得点C，点E，点H三点共线时，有最小值，根据得到，即可得到解答即可．
13．（2025八上·娄星期末）放学回家后，小颖和哥哥姐姐在小区里荡秋千．如图，小颖坐在秋千的初始位置处，此时与地面垂直并交于点，两脚用力蹬地后，姐姐在处接住她后用力一推，哥哥在距离地面米的处接住她．如果姐姐与哥哥到的水平距离，分别为米和米，若，则秋千顶部距离地面的高度为　 　米．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题可知：，，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵为米，
∴，
∵处到地面的距离米，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质的实际应用，解题关键是通过角度推导证明三角形全等，再利用全等三角形的对应边相等转化线段长度.
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2025八上·大兴月考）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1）
（2）是格点三角形．
①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形．
【答案】（1）6
（2）解：①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】（1）解：如图1中，，
故答案为：6．
【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；
（2）①利用全等三角形的判定及三角形的作图方法作出图形即可；
②利用旋转和全等三角形的判定以及三角形的作图方法作出图形即可.
（1）解：如图1中，，
故答案为：6．
（2）①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）．
15．（2026八上·临海期末）我们知道几何命题的证明一般需要经历以下步骤：
①按题意画出图形并标记；
②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
③分析并证明，写出推理过程.
请同学们尝试证明命题：“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等.”
已知： 如图， 在△ABC和△A'B'C'中， AB=A'B'， BC=B'C'， ▲ .
求证： ▲ .
证明：
【答案】解：点M， M'分别是BC， B'C'的中点， 且AM=A'M'.
(或中线AM与中线A'M'相等.)
求证： △ABC≌△A'B'C'
证明： ∵点 M， M'分别是 BC， B'C'的中点.
∴
∵BC=B'C'，
∴BM=B'M'.
∵在△ABM与△A'B'M'中
∴△ABM≌△A'B'M'(SSS)
∴∠B=∠B'
∵在△ABC与△A'B'C'中
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)
所以命题“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等.”成立.
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由中点知BM=B'M'，由此可证△ABM≌△A'B'M'，得B=B'，由此可证△ABC≌△A'B'C'，即说明命题成立.
16．（2025八上·广西期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目：
填空：
如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______．
将不等式左边、右边分别相加，得______，即______．
（1）补全上面步骤；
【类比猜想】
（2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），，，；
（2）如图，理由如下：
由三角形三边关系定理得到：，，，
，
．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得：，．
将不等式左边、右边分别相加，得，即，
故答案为：，，，；
【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）根据三角形三边关系即可求出答案.
17．（2026八上·祁东期末）已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC.
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为　 　，BD，CE与DE的数量关系为　 　.
（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）.是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）BD=AE；BD+CE=DE
（2）解：成立，BD+CE=DE，理由如下：
同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=AD，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE；
（3）解：存在，理由如下：
当△DAB≌△ECA时，AD=CE，BD=AE=7cm，
∵AD+AE=DE=10cm，
∴CE=AD=DE-AE=3cm，
∴t==，
∴x=3÷=2；
当△DAB≌△EAC时，
∴AD=AE=DE=5cm，DB=EC=7cm，
∴t==，x=7÷=，
综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t=，x=2或t=，x=．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(1)∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵∠BDA=∠AEC，AB=CA
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE，
故答案为：BD=AE，BD+CE=DE.
【分析】(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，即可解决问题；
(2)同(1)得△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，即可得出结论；
(3)分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出的值，即可解决问题.
18．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，那么我们就称这两个角互为“友爱角”，这个三角形为“友爱三角形”.例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”.
①②
（1）如图①所示，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B)，∠ACB=90°.
①求∠A，∠B的度数.
②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD，△BCD都是“友爱三角形”吗 为什么
（2）如图②所示，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点(不与点A，B重合)，连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数.
【答案】（1）解：①因为△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B)，
所以∠A=2∠B.
因为∠ACB=90°，
所以∠A+∠B=180°-90°=90°，
即2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°，
所以∠A=60°.
②△ACD，△BCD都是“友爱三角形”.
理由：因为CD是△ABC中AB边上的高，
所以∠ADC=∠BDC=90°.
因为∠A=60°，∠B=30°，
所以∠ACD=30°，∠BCD=60°.
在△ACD中，∠A=60°，∠ACD=30°，
所以∠ACD=∠A，
所以△ACD为“友爱三角形”；
在△BCD中，∠BCD=60°，∠B=30°，
所以∠B=∠BCD，
所以△BCD为“友爱三角形”.
（2）解：∠ACD的度数为33°或38°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高
【解析】【解答】解：（2）∵在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=44°，
∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点(不与点A，B重合) ，
∴∠ACD=∠A或∠ACD=∠ADC，
当∠ACD=∠A时，∠ACD=×66°=33°；
当∠ACD=∠ADC时，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴66°+3∠ACD=180°，
∴∠ACD=38°，
综上∠ACD的度数为33°或38°.
【分析】（1）①△ABC中，由“友爱角”(∠A>∠B)定义可得∠A=2∠B①，由三角形内角和定义得∠A+∠B=90°②，将①代入②可求出∠B的度数，进而即可求出∠A的度数；
②由三角形高得定义得∠ADC=∠BDC=90°，由三角形内角和定理得出∠ACD=30°，∠BCD=60°，进而根据“友爱三角形”定义即可判断得出答案；
（2）首先由三角形的内角和定理求出∠B=44°，然后根据“友爱三角形”定义及三角形内角和定理得出∠ACD=∠A或∠ACD=∠ADC，进而代值计算可得答案.
19．如图所示，A，B两点分别位于一池塘两侧，池塘左边有一水房D，在DB中点C处有一棵百年古槐，小明从A点出发，沿AC一直向前走到点E(A，C，E三点在同一条直线上)，并使CE=CA，然后他测量出点E到水房D的距离，则DE的长度就是A，B两点间的距离.
（1）如果小明恰好未带测量工具，但他知道水房D和古槐C到A点的距离分别是140 m和100 m，他能不能确定AB的长度范围 如果能，求出AB的长度范围；如果不能，请说明理由.
（2）在(1)的解题过程中，你找到“已知三角形一边和另一边上的中线，求第三边的长度范围”的方法了吗 如果找到了，请解决下面的问题：在△ABC中，AC=5，中线AD=7，画图并确定AB的长度范围.
【答案】（1）解：能，理由如下：
∵点C是BD的中点，
∴DC=BC，
在△ABC和△EDC中，
∵AC=EC，∠ACB=∠ECD，BC=DC，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴ED=AB；
在△ADE中，∵AE-AD又∵AD=140m，AE=2AC=200m，
∴60m∴AB的长度范围为60m（2）解：找到了；
如图所示，延长AD至点E，使DE=DA，连接CE.
在△ABD和△ECD中，
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC.
在△ACE中，AE=2AD=14，AC=5，
∴AE-AC即14-5∴9∴AB的长度范围为9【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由线段中点定义得DC=BC，从而利用“SAS”判断出△ABC≌△EDC，由全等三角形的对应边相等得ED=AB；在△ADE中，根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出DE的取值范围，即可得出结论；
（2）延长AD至点E，使DE=DA，连接CE，利用“SAS”判断出△ABD≌△ECD，由全等三角形的对应边相等得EC=AB；在△ACE中，根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出CE的取值范围，即可得出结论.
20．（2025八上·鹤山期中）综合与实践
【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．
【相关素材】
在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：．在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
【解决问题】
（1）在图3中，若设，，，证明：．
（2）利用（1）中的结论，证明：．
（3）图4中，是的重心，点、在的边、上，与交于点，，，，求的面积．
【答案】（1）解：由题意可知S△GCD=S△GBD=x，S△GBF=S△AGF=y，
S△GAE=S△GCE=z，
∵S△ABD=S△ACD，
∴2y+x=2z+x，
∴y=z，
∵S△ABE=S△CBE，
∴2x+z=2y+z，
∴x=y，
∴x=y=z；
（2）证明：由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，
∵G是△ABC的重心，
∴BG：GE=CG：GD=2：1；
（3）解：∵G是 的重心，
.
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】(1)根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；
(2)由(1)中的结论即可得出；
(3)运用以上两题的方法，根据三角形的面积 底×高，先求出 的面积进而解答即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑