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7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
课后训练巩固提升
A组
1.已知随机变量X服从二项分布B6,,则P(X=2)= (　　)
A. B. C. D.
解析:P(X=2)=.
答案:D
2.某学生通过某英语听力测试的概率为,他连续测试3次,每次测试的结果相互独立,则其中恰有1次通过的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析:设“通过测试”为事件A,则P(A)=.用X表示通过测试的次数,则X~B.恰有1次通过的概率是P(X=1)=.
答案:A
3.有5粒种子,每粒种子发芽的概率均为98%,在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是(　　)
A.(0.98)4×0.02
B.0.98×(0.2)4
C.×(0.98)4×0.02
D.×0.98×(0.02)4
解析:由于5粒种子,其发芽是相互独立的,故这是一个5重伯努利试验,则所求概率为P=×(0.98)4×0.02.
答案:C
4.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次,如果出现k次正面朝上的概率等于出现k+1次正面朝上的概率,那么k的值等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:事件“正面朝上”发生的次数ξ~B.由题意知,则k+1=5-k,解得k=2.
答案:C
5. 一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取1个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析:因为X=12表示前11次中取到9次红球,第12次取到红球,所以P(X=12)=.故选B.
答案:B
6.(多选题)从装有质地、大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球个数为X,已知E(X)=3,则下列结论正确的是(　　)
A.D(X)= B.D(X)=
C.m=2 D.m=4
解析:由题意,每次摸球,摸得白球的概率为p=,因此X~B,又E(X)==3,∴m=2,则X~B,故D(X)=5×,故选BC.
答案:BC
7.(多选题)一射击爱好者对同一目标独立地射击4次,已知至少命中1次的概率为,则下列结论中正确的是(　　)
A.设此射击爱好者射击4次命中次数为X,每次命中的概率为p,则X~B(4,p)
B.设此射击爱好者射击4次命中次数为X,则P(X≥1)=
C.设每次命中的概率为p,则p=或p=
D.设每次命中的概率为p,则p=
解析:设此射击爱好者射击4次命中次数为X,每次命中的概率为p,则X~B(4,p).
依题意可知P(X≥1)=,
所以1-P(X=0)=1-×(1-p)4=,
即(1-p)4=,
解得p=或p=(舍去).故选ABD.
答案:ABD
8.将一枚质地均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为　　　　　.
解析:用X表示正面出现的次数,则X~B.正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,故所求概率P=.
答案:
9.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前10项中随机取数,每次取出一个数后放回,连续取3次,且每次取数互不影响,那么在这3次取数中,取出的数恰好为两个非负数和一个负数的概率为　　　　　.
解析:由已知可得,等差数列的通项公式为an=10-2n(n=1,2,3,…),其中a1,a2,a3,a4为正数,a5=0,a6,a7,a8,a9,a10为负数,所以从中取一个数为非负数的概率为,取一个数为负数的概率为.3次取数相当于一个3重伯努利试验.
故取出的数恰为两个非负数和一个负数的概率为.
答案:
10.抛掷一枚质地均匀的骰子,用X表示掷出偶数点的次数.
(1)若抛掷1次,求E(X)和D(X);
(2)若抛掷10次,求E(X)和D(X).
解:(1)随机变量X服从两点分布,因为X的分布列为
X 0 1
P
所以E(X)=,
D(X)=.
(2)由题意知,X~B.
所以E(X)=10×=5,
D(X)=10×.
11.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中仅有一个选项正确.每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个,分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2,则X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25),所以E(X1)=20×0.9=18,E(X2)=20×0.25=5.
由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这项测验中的成绩分别是5X1和5X2.这样,他们在这次测验中的成绩的均值分别是E(5X1)=5E(X1)=5×18=90,E(5X2)=5E(X2)=5×5=25.
12.某学生在上学路上要经过4个有红绿灯的路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯而停留的总时间X(单位:min)的分布列.
解:(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A,因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为
P(A)=.
(2)由题意可得X的可能取值为0,2,4,6,8,X=2k表示该学生在路上遇到k次红灯,k=0,1,2,3,4.
所以P(X=2k)=,k=0,1,2,3,4.
所以X的分布列是
X 0 2 4 6 8
P
B组
1.某班有的学生数学成绩优秀,如果从该班中随机抽出5名同学,设其中数学成绩优秀的学生数为X,那么E(2X+1)等于(　　)
A. B. C.3 D.
解析:由题意知X服从二项分布B,
则E(X)=,从而E(2X+1)=2E(X)+1=2×+1=.
答案:D
2.某工厂生产的某零件正品率为,次品率为,现对该批零件进行测试,设第Y次首次测到正品,则P(Y=3)的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析:Y=3表示前2次测出的都是次品,第3次为正品,则P(Y=3)=.
答案:C
3.若X~B,则使P(X=k)最大的k的值是(　　)
A.2 B.3 C.2或3 D.4
解析:依题意P(X=k)=,从而当k=3时,P(X=k)取得最大值,故选B.
答案:B
4.(多选题)在“石头、剪刀、布”游戏中,规定:“石头赢剪刀”“剪刀赢布”“布赢石头”.现在小明、小泽两名同学玩这个游戏,共玩n局,每一局每人等可能地独立选择一种手势.设小明赢小泽的局数为X,且D(X)=,则(　　)
A.随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,5
B.X~B
C.n=4
D.E(X)=4×
解析:对于选项A和选项C,由D(X)=,知D(X)=n×,解得n=5,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,5,故A对,C错;对于选项B,每一局小明赢小泽的概率为,由题意知,这是一个n重伯努利试验,故X~B,故B对;对于选项D,E(X)=5×,故D错.故选AB.
答案:AB
5.假设每一架飞机的发动机在飞行中出现故障的概率为1-p,且各发动机是否出现故障是独立的.已知4台发动机飞机中至少有3台发动机正常运行,飞机才可成功飞行;2台发动机飞机要2台发动机全部正常运行,飞机才可成功飞行.要使4台发动机飞机比2台发动机飞机更安全,则p的取值范围是　　　　　.
解析:4台发动机飞机成功飞行的概率为p3(1-p)+p4,2台发动机飞机成功飞行的概率为p2.由p3(1-p)+p4>p2,得答案:
6.随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥2)的值为　　　　　.
解析:由已知得P(X=0)=1-P(X≥1)=p0(1-p)2,解得p=.
因此,P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-p0(1-p)4-p(1-p)3=1-.
答案:
7.在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:掷出1点,甲盒中放一球,掷出2点或3点,乙盒中放一球,掷出4点、5点或6点,丙盒中放一球,共掷6次,用X1,X2,X3分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数.令X=X1+X2,则E(X)=.
解析:将每一次掷骰子看作一次实验,实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种,且丙盒中投入球(成功)的概率为,X3表示6次实验中成功的次数,则X3~B,∴E(X3)=3.
∵X1+X2+X3=6,
∴X=X1+X2=6-X3,
∴E(X)=E(6-X3)=6-E(X3)=6-3=3.
答案:3
8.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7,0.6,0.8,乙、丙两台机床加工的零件数相等,甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的2倍.
(1)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各抽取1件检验,求至少有1件是一等品的概率;
(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起,从中任意地抽取1件检验,求它是一等品的概率;
(3)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起,从中任意地抽取4件检验,其中一等品的个数记为X,求X的分布列.
解:(1)设事件A,B,C分别表示从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取1件是一等品,则P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(C)=0.8.所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各抽取1件检验,至少有1件是一等品的概率为P1=1-P()P()P()=1-0.3×0.4×0.2=0.976.
(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起,从中任意地抽取1件检验,它是一等品的概率为P2==0.7.
(3)依题意知,X~B(4,0.7).抽取的4件样品中一等品的个数X的可能取值为0,1,2,3,4,且
P(X=4)=×0.74=0.240 1,
P(X=3)=×0.73×0.3=0.411 6,
P(X=2)=×0.72×0.32=0.264 6,
P(X=1)=×0.7×0.33=0.075 6,
P(X=0)=×0.34=0.008 1.
所以X的分布列为
X 4 3 2 1 0
P 0.240 1 0.411 6 0.264 6 0.075 6 0.008 1
9.一家面包店根据以往某种面包的销售记录, 绘制了日销售量的频率分布直方图如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个,且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值E(X)及方差D(X).
解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量不低于100个,且另1天的日销售量低于50个”.
因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,
P(A2)=0.003×50=0.15,
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)由题意知X~B(3,0.6).X的可能取值为0,1,2,3,相应的概率为
P(X=0)=×(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=×0.6×(1-0.6)2=0.288,
P(X=2)=×0.62×(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=×0.63=0.216.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
均值E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.
9

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