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17.1 第1课时 平行四边形的判定定理1、2
1.掌握平行四边形的判定定理1、2，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样确保它们平行的呢？
只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了
探究一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
猜想：将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗
已知：在 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
能根据平行四边形的定义证明吗？
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明: 连接AC,
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(S.S.S.)
∴ ∠1=∠4 , ∠2=∠3，
∴AB∥CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
1
4
2
3
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理1
∵AB=CD，
AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
B
D
C
A
1.如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD, 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∵AC=CA,AB=CD,
∴Rt△ABC ≌ Rt△CDA(H.L.),
∴BC=AD.
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形．
在判定平行四边形时，牢记三角形的全等实现边（或角）的转化.
探究二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
问题：我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形.
等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.
猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.
梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.
活动:如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段DC，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？
四边形ABCD是平行四边形
猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
B
A
D
C
A
B
C
D
作对角线构造全等三角形
一组对应边相等
两组对边分别相等
四边形ABCD是平行四边形
证一证：如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明思路
A
B
C
D
2
1
证明：连接AC.
∵AB∥CD， ∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD，
AC=CA，
∠1=∠2，
∴△ABC≌△CDA(S.A.S.)，
∴BC=DA .
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=CD,
证一证：如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理2
如图，∵AB CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
几何语言：
符号 “ ” 表示平行且相等,
读作“平行且等于”.
B
D
C
A
已知：如图，在平行四边形ABCD中，E， F分别为AD和CB的中点.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB(平行四边形的对边相等),
AD∥CB(平行四边形的定义）.
∵E，F分别是AD和CB的中点，
∴ED＝FB，ED∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形.
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
ED、FB具有怎样的关系？
（位置、大小）
2.已知AD//BC ，要使这个四边形ABCD为平行四边形，需要增加
条件 .
AD=BC或AB//CD
平行四边形的判定
判定定理1
判定定理2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（　　）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
C
一组对边平行并且相等
两组对边平行（定义法）
两组对边分别相等
2. 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°. 求证：
四边形PONM是平行四边形．
证明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
3.如图，已知E，F，G，H分别是 ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，
∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，
∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（S.A.S.），
∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（S.A.S.），
∴GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．

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