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(共20张PPT)
第一章 整式的乘除
第5课 整式的乘法(1)
单项式乘以单项式
填空：a2·a3＝ ；3a2＝3· ．
2a3b4c2·7a8b6＝(2·a3·b4·c2)·(7· ·b6)＝
(2× )·(a3· )·(b4· )·c2＝ ．
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分
别 ，其余字母连同它的指数 ，作为积的因式．
a5
a2
a8
7
a8
b6
14a11b10c2
相乘
不变
例1 计算：
(1)3a2·4a＝(3×4)·(a2a)＝ ；
(2)3a2·(－4a3)＝ ＝ ；
(3)(－5a2b3)·3ab2＝ ＝ ；
(4)(－5xy2)·(－8y3z)＝ ．
12a3
[3×(－4)]·(a2a3)
－12a5
[(－5)×3]·(a2a)·(b3b2)
－15a3b5
40xy5z
1. 计算：
(1)3x4·5x3＝ ；
(2)(－9xy)·2x3y2＝ ；
(3)7a2b·(－a4)＝ ；
(4)(－4x3)·(- xy)＝ ．
15x7
－18x4y3
－7a6b
2x4y
例2 计算：
(1)(－2a2b)2·(－3b2)3；
解：原式＝4a4b2·(－27b6)
＝[4×(－27)]a4·(b2·b6)
＝－108a4b8.
(2)(－m)·(－3m)2·(－2m)3；
解：原式＝(－m)·9m2·(－8m3)
＝[－1×9×(－8)](m·m2·m3)
＝72m6.
(3)2x·3y2＋8x· .
解：原式＝6xy2＋8x· y2
＝6xy2＋2xy2
＝8xy2.
2. 计算：
(1) ·(－4t)2；
解：原式＝ t6·16t2
＝(×16)(t6·t2)＝2t8.
(2)5a3b·(－a)4·(－b2)2；
解：原式＝5a3b·a4·b4
＝5·(a3a4)·(bb4)
＝5a7b5.
(3)(－2a2b3)3＋3a4b3·(－ab3)2.
解：原式＝－8a6b9＋3a4b3·a2b6
＝－8a6b9＋3·(a4a2)·(b3b6)
＝－8a6b9＋3a6b9
＝－5a6b9.
单项式乘以单项式的注意事项：(1)注意系数的符号；(2)若有
乘方、乘法、加减的混合运算，应按“先乘方，再乘法，最后加减”的顺
序进行运算．
单项式乘以单项式的实际应用
例3 如图是两个大小不同的长方形组成的图形，求它的面积．
解：依题意，得2.5y·2x＋0.5x·y＝5xy＋0.5xy＝5.5xy.
答：这个图形的面积为5.5xy.
3. 如图，计算变压器铁芯片(图中阴影部分)的面积．
解：S阴影部分＝(1.5a＋2.5a)(a＋2a＋2a＋2a＋a)－2a·2.5a－
2a·2.5a＝4a·8a－5a2－5a2＝32a2－10a2＝22a2(cm2)．
1． (2025·辽宁)下列计算正确的是(　D　)
A． m＋3m＝4m2 B． 2m·3m＝5m2
C． (mn)2＝mn2 D． (m2)3＝m6
D
2． 填空：
(1)4x2·3x3＝ ；
(2)(－9a2b3)·8ab2＝ ；
(3)(－0.5xy3)·(－8x5y2z3)＝ ．
12x5
－72a3b5
4x6y5z3
3． 计算：
(1)(3xy2)3·(- y)；
解：原式＝27x3y6·(- y)
＝·(x3x3)(y6y)
＝－9x6y7.
(2)(－2a2)3·(－5a3)2.
解：原式＝－8a6·25a6
＝[(－8)×25]·(a6a6)
＝－200a12.
4． 计算：(－a2b)3－3a2b·4a4b2.
解：原式＝－a6b3－3a2b·4a4b2
＝－a6b3－(3×4)·(a2a4)·(bb2)
＝－a6b3－12a6b3
＝－13a6b3.
5． 一个长方体的长、宽、高分别是5x，4x，3x，则它的体积是
(　D　)
A． 12x3 B． 24x3 C． 30x3 D． 60x3
6． 已知－2xmy2与4x2yn-1的积与－x4y3是同类项，则mn的值为
(　C　)
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
D
C
7． 整体思想已知a2m＝2，b3n＝3，求(b2n)3－a3m·b3n·a5m的值．
解：(b2n)3－a3m·b3n·a5m
＝(b3n)2－a8m·b3n
＝(b3n)2－(a2m)4·b3n.
因为a2m＝2，b3n＝3，
所以原式＝32－24×3＝9－16×3＝9－48＝－39.
8． 新定义“三角” 表示3xyz，“方框” 表示－4abdc.
求 × 的值．
解：由题意，得 × ＝(3×3mn)·(－4n2m5)
＝[3×3×(－4)]·(mm5)·(nn2)
＝－36m6n3.(共20张PPT)
第一章 整式的乘除
第12课 整式的乘除章末复习
am＋n
amn
anbn
am－n
1
0
a×10n
ma＋mb＋mc
ma＋mb＋na＋nb
a2－b2
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
一、选择题
1． 成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克．数据“0.000 004
6”用科学记数法表示为(　C　)
A． 46×10-7 B． 4.6×10-7
C． 4.6×10-6 D． 0.46×10-5
C
2． 下列计算正确的是(　D　)
A． a2＋a3＝a5 B． a8÷a4＝a2
C． a2·a3＝a6 D． (3a2)3＝27a6
D
3． 如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7，那么m和n的值分别是
(　C　)
A． 3，5 B． 2，1 C． 3，4 D． 4，5
C
4． 已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为(　A　)
A． 13 B． 5 C． 3 D． －3
A
5． 已知3a＝4，3b＝5，3c＝8则32a+3b－c的值为(　A　)
A． 250 B． 160 C． 150 D． 133
A
二、填空题
6． 计算： ＋(－2)2×160＝ ．
7． 长方形的面积为(4a2－6ab＋2a)，如果它的长为2a，则它的宽
为 ．
8． 若实数m满足(m－99)2＋(100－m)2＝101，则(m－99)(100－m)
＝ ．
0
2a－3b＋1
－50
三、解答题
9． 先化简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b，其中a
＝2，b＝－1.
解：原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b
＝(4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2)÷2b
＝(4ab＋2b2)÷2b
＝2a＋b.
当a＝2，b＝－1时，原式＝2×2－1＝3.
10. 在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：(2x＋
a)(3x＋b)，甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2
＋11x－10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2
－9x＋10.
(1)试求出式子中a，b的值；
解：(1)由题意，得(2x－a)(3x＋b)＝6x2＋(2b－3a)x－ab＝6x2
＋11x－10.
(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋(a＋2b)x＋ab＝2x2－9x＋10.
所以2b－3a＝11①，a＋2b＝－9②.
由②，得2b＝－9－a.
代入①，得－9－a－3a＝11.解得a＝－5.
所以2b＝－4.解得b＝－2.
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．
(2)当a＝－5，b＝－2时，
(2x＋a)(3x＋b)＝(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10.
11． 如图所示，是两个边长分别为a，b的正方形．
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S；
解：(1)由图可知阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，
即S＝(a2＋b2)－ a2－ b(a＋b)＝ (a2＋b2－ab)．
答：阴影部分的面积为 (a2＋b2－ab)．
(2)如果a＝4，b＝6，求阴影部分的面积．
(2)当a＝4，b＝6时，
S＝ ×(16＋36－24)＝14.
答：阴影部分的面积为14.
12． 项目式学习
【材料】我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0.学习了多项式
乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab＋b2＝(a±b)2来
求一些多项式的最小值．
例如，求x2＋6x＋3的最小值问题．
解：因为x2＋6x＋3＝x2＋6x＋9－6＝(x＋3)2－6，
又因为(x＋3)2≥0，
所以(x＋3)2－6≥－6.
所以x2＋6x＋3的最小值为－6.
请应用上述思想方法，解决下列问题：
【探究】
(1)x2－4x＋5＝(x )2＋ ；
(2)代数式－x2－2x有最 (填“大”或“小”)值为 ；
－2
1
大
1
提示：x2－4x＋5＝x2－4x＋4＋1＝(x－2)2＋1.
提示：因为－x2－2x＝－(x2＋2x)＝－(x2＋2x＋1－1)＝－(x＋1)2＋1，又因为(x＋1)2≥0，所以－(x＋1)2≤0.
所以－(x＋1)2＋1≤1.
所以－x2－2x的最大值为1.
【拓展】
(3)比较代数式：x2－1与2x－3的大小；
解：(3)x2－1－(2x－3)＝x2－1－2x＋3＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋
1，因为(x－1)2≥0，
所以(x－1)2＋1≥1＞0.
所以x2－1＞2x－3.
【应用】
(4)如图，长方形花圃一面靠墙(墙足够长)，另外三面所围成的栅栏
的总长是40 m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
(4)设长方形花圃的宽为x m，则长为(40－2x)m.
所以长方形的面积S＝(40－2x)x＝－2x2＋40x＝－2(x2－20x)＝
－2(x－10)2＋200.
因为(x－10)2≥0，所以－2(x－10)2≤0.
所以－2(x－10)2＋200≤200.
所以当x＝10时，S有最大值200，
此时，40－2×10＝20(m)．
所以当花圃的宽为10 m，长为20 m时花圃面积最大，最大面积为
200 m2.(共16张PPT)
第一章 整式的乘除
第3课 幂的乘除(3)——积的乘方
积的乘方
计算：(2×5)3＝(2×5)×(2×5)×(2×5)＝
(2×2×2)×(5×5×5)＝ × ．
(ab)n＝
＝ ．
积的乘方等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的
幂相乘，即(ab)n＝ (n为正整数)．
23
53
anbn
乘方
anbn
例1 计算：
(1)(3x)2＝( 　3　 )2·( 　x　 )2＝ ；
(2)(－x)7＝( 　－1　 )7·( 　x　 )7＝ ；
(3)(m3n2)4＝( 　m3　 )4·( 　n2　 )4＝ ；
(4)(－3xy3)2＝( 　－3　 )2·x2·( 　y3　 )2＝ .
3
x
9x2
－1
x
－x7
m3
n2
m12n8
－3
y3
9x2y6
1. 计算：
(1)(2x)3＝ ；
(2)(－x3)4＝ ；
(3)(－2×104)3＝ ；
(4) ＝ 　－ m9n12　 ．
8x3
x12
－8×1012
－ m9n12
积的乘方的综合运算
例2 计算：
(1)(2x2)3＋x4·x2；
解：原式＝23·(x2)3＋x6
＝8x6＋x6＝(8＋1)x6＝9x6.
(2)(x2y)4＋(x4y2)2.
解：原式＝(x2)4·y4＋(x4)2·(y2)2
＝x8y4＋x8y4＝(1＋1)x8y4＝2x8y4.
2. 计算：
(1)(－x3y)4＋2·(x6y2)2；
解：原式＝(－x3)4·y4＋2·(x6)2·(y2)2
＝x12y4＋2x12y4＝(1＋2)x12y4＝3x12y4.
(2)(－2x2)3＋(－3x3)2＋x2·x4.
解：原式＝(－2)3(x2)3＋(－3)2(x3)2＋x6
＝－8x6＋9x6＋x6＝(－8＋9＋1)x6＝2x6.
积的乘方的逆用anbn＝(ab)n(n为正整数)
例3 计算：0.1252 026×(－8)2 026.
解：原式＝[0.125×(－8)]2 026
＝(－1)2 026
＝1.
3. 计算： × .
解：原式＝ × ×(- )
×(- )
＝(－1)2 025×(- )
＝－1×(- )＝ .
1． (2025·吉林)计算(2a2)3的结果是(　D　)
A. 2a5 B． 2a6 C． 8a5 D． 8a6
D
2． 计算：
(1)(4x2)3＝ ；
(2)(－2x2y)3＝ ；
(3)(abc)m＝ ；
(4)(－2×102)4＝ ；
(5) ＝ 　 x2y4　 ．
64x6
－8x6y3
ambmcm
1.6×109
x2y4
3． 填空：( )3＝－27x6y9.
4． 已知xm＝2，ym＝3，则(x2y)m＝ ．
5． 若xy＝－2，则x3y3＝ ．
－3x2y3
12
－8
6． 【北师七下P6随堂练习T2改编】一个正方体的棱长为3×102
mm，则它的体积为(　C　)
A. 2.7×106 mm3 B． 9×105 mm3
C. 2.7×107 mm3 D． 9×106 mm3
C
7． 计算：
(1)(－3x3)2－x2·x4；
解：原式＝(－3)2(x3)2－x6
＝9x6－x6
＝(9－1)x6
＝8x6.
(2)4x6y3－(x2y)3＋(－x3)2y3.
解：原式＝4x6y3－x6y3＋x6y3
＝4x6y3.
8． 计算：(－1.5)2 026× .
解：原式＝(- )× ×
＝(- )×
＝－ ×(－1)
＝ .
9． 整体思想已知x2n＝2，求 -(3 n ) 的值．
解：因为x2n＝2，
所以(3x3n)2－3(x2)2n＝9x6n－3x4n
＝9(x2n)3－3(x2n)2
＝9×23－3×22
＝72－12
＝60.
10． 【拓展题】已知78＝a，87＝b，用含a，b的式子表示5656.
解：因为78＝a，87＝b，
所以5656＝(7×8)56
＝756×856
＝77×8×87×8
＝(78)7×(87)8
＝a7b8.(共20张PPT)
第一章 整式的乘除
第2课 幂的乘除(2)——幂的乘方
幂的乘方
计算：(1)(104)3＝104×104×104＝ ；(2)(a2)4＝
a2·a2·a2·a2＝ ；
(3)(an)4＝an·an·an·an＝ ．
．
幂的乘方，底数 ，指数 ，即(am)n
＝ (m，n都是正整数)．
1012
a8
a4n
amn
不变
相乘
amn
例1 计算：
(1)(103)2＝10( )＝ ；
(2)(x4)5＝x( )＝ ；
(3)(y3)a＝y( )＝ ；
(4)(8x)5＝8( )＝ ；
(5)－(b3)m＝ ．
3×2
106
4×5
x20
3·a
y3a
x·5
85x
－b3m
1. 计算：
(1)(a3)2＝ ；
(2)(t5)3＝ ；
(3)3(a3)3＝ ；
(4) - ＝ 　－ 　 ；
(5)[(－x)m]n＝ ．
a6
t15
3a9
－
(－x)mn
例2 计算：
(1)[(x2)3]5； (2)－(a2)3·a5；
(1)解：原式＝(x2×3)5＝x2×3×5＝x30.
(2)解：原式＝－a2×3·a5
＝－a6·a5＝－a6+5＝－a11.
(3)2(a3)4－2(a6)2; (4)(a3)2·(a2)2＋(a2)5.
(3)解：原式＝2a3×4－2a6×2＝2a12－2a12＝0.
(4)解：原式＝a3×2·a2×2＋a2×5
＝a6·a4＋a10＝a10＋a10＝2a10.
2. 计算：
(1)[(x＋y)3]2； (2)a·(a5)3；
(1)解：原式＝(x＋y)3×2＝(x＋y)6.
(2)解：原式＝a·a5×3＝a·a15
＝a1+15＝a16.
(3)x·x3＋(x2)2; (4)－(x3)4＋3(x2)4·x4.
(3)解：原式＝x4＋x2×2＝x4＋x4＝2x4.
(4)解：原式＝－x3×4＋3x2×4·x4
＝－x12＋3x8·x4＝(- +3 ) ＝2x12.
幂的乘方的逆用amn＝(am)n(m，n都是正整数)
例3 已知am＝2，an＝5.求：
(1)a2m； (2)a3m+2n.
(1)解：原式＝(am)2＝22＝4.
(2)解：原式＝a3m·a2n＝(am)3·(an)2
＝23×52＝200.
3. 若ca＝3，cb＝5，求：
(1)c3a； (2)c2a+3b.
(1)解：原式＝(ca)3＝33＝27.
(2)解：原式＝c2a·c3b＝(ca)2·(cb)3
＝32×53＝1 125.
1． 下列各式中，计算正确的是(　D　)
A. a3＋a2＝a5 B． a3－a2＝a
C. (a2)3＝a5 D． a2·a3＝a5
2． 计算：
(1)(x2)3＝ ； (2)(b4)4＝ ；
(3)(6b)2＝ ； (4)5(m3)n＝ ．
D
x6
b16
62b
5m3n
3． x18不能写成(　A　)
A. (x2)16 B． (x2)9 C． (x3)6 D． x9·x9
4． 若一个正方体的棱长为102 cm，则它的体积为(　A　)
A. 106 cm3 B． 107 cm3
C. 108 cm3 D． 109 cm3
A
A
5． (1)若a2n＝4，则a6n的值为 ；
(2)若(x2)n·x5＝x15，则n的值为 ．
64
5
6． 【北师七下P5随堂练习T1改编】计算：
(1)(33)4×35；
(1)解：原式＝33×4×35
＝312+5
＝317.
(2)－(a2)4·(a2)3.
(2)解：原式＝－a2×4·a2×3
＝－a8·a6
＝－a14.
7． 计算：
(1)(x2)3·(x3)2＋2(x6)2＋x5·x7；
解：原式＝x6·x6＋2x12＋x12
＝x12＋2x12＋x12
＝4x12.
(2)[(x＋y)3]6＋[(x＋y)9]2.
解：原式＝(x＋y)3×6＋(x＋y)9×2
＝(x＋y)18＋(x＋y)18
＝2(x＋y)18.
8． 已知32×9m×27m＝312，求m的值．
解：因为32×9m×27m＝32×(32)m×(33)m＝
32×32m×33m＝35m+2＝312.
所以5m＋2＝12.解得m＝2.
9． 已知x3＝m，x5＝n，用含m，n的代数式表示x14，正确的是
(　C　)
A. mn3 B． m2n3 C． m3n D． m3n2
C
10． 新定义 定义： ＝ab·ac， ＝z·(xm·yn)．若 ＝
4，则 的值为 ．
11． 阅读理解材料一：比较322和411的大小．
解：因为411＝(22)11＝222，且3＞2，
所以322＞222，即322＞411.
小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个
幂的大小．
32
材料二：比较28和82的大小．
解：因为82＝(23)2＝26，且8＞6，
所以28＞26，即28＞82.
小结：在底数相同的情况下，可通过比较指数的大小，来确定两个
幂的大小．
(1)比较344，433，522的大小；
解：(1)因为344＝(34)11＝8111，433＝(43)11＝6411，522＝(52)11＝2511，
且81＞64＞25，所以8111＞6411＞2511，即344＞433＞522.
(2)比较8131，2741，961的大小．
(2)因为8131＝(34)31＝3124，2741＝(33)41＝3123，961＝(32)61＝3122，且
124＞123＞122，所以3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961.(共19张PPT)
第一章 整式的乘除
第4课 幂的乘除(4)——同底数幂的除法
同底数幂的除法
计算：(1)105÷103＝ ；(2)a5÷a3＝
＝ (a≠0)．
am÷an＝ ＝ (a≠0，m，n都是正整
数，且m＞n)．
同底数幂相除，底数 ，指数 ，即am÷an
＝ (a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．
102
a2
am－n
不变
相减
am－n
例1 计算：
(1)26÷23＝2( )＝ ；
(2)a8÷a2＝a( )＝ ；
(3)(－x)3÷(－x)＝(－x)( )＝ ；
(4)(ab)5÷(ab)＝(ab)( )＝ ．
6-3
8
8-2
a6
3-1
x2
5-1
a4b4
1. 计算：
(1)54÷52＝ ；
(2)a4÷a3＝ ；
(3)(－y)5÷(－y)2＝ ；
(4)x2m+2÷x2＝ ．
25
a
－y3
x2m
零指数幂和负整数指数幂
(1)23÷23＝8÷8＝ ，23÷25＝8÷32＝ ；
(2)a3÷a3＝ ＝ ，a3÷a5＝ ＝ 　 　 ．(a≠0)
a0＝ (a≠0)；a－p＝ (a≠0，p是正整数)．
有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质
中的m，n就从正整数扩大到全体整数了，即am·an＝ ，
am÷an＝ (a≠0，m，n都是整数)．
1
1
1
am＋n
am－n
例2 用小数或分数表示下列各数．
(1)10-2＝ ＝ ；
(2) ＝ 　 　 ＝ 　 　 ．
0.01
2. 用小数或分数表示下列各数．
(1) ＝ ；
(2)2.3×10-3＝ ；
(3)80×7-2＝ 　1× 　 ＝ 　 　 ．
－5
0.002 3
1×
例3 计算：
(1)7-3÷7-5； (2)3-1÷34.
(1)解：原式＝ ÷ ＝ ×75＝72＝49.
(2)解：原式＝3-1-4＝3-5＝ ＝ .
3. 计算：
(1) ÷ ； (2)m-2÷m7.
(1)解：原式＝ ＝ ＝27＝128.
(2)解：原式＝ ÷m7＝ · ＝ ＝ .
用科学记数法表示绝对值小于1的数
4. 一般地，一个小于1的正数可以表示为 的形式，其中
1≤a<10，n是 ．
a×10n
负整数
例4 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 01＝ ；
(2)－0.000 72＝ ；
(3)0.000 001 08＝ ；
(4)－0.000 000 802＝ ．
1×10-5
－7.2×10-4
1.08×10-6
－8.02×10-7
5. 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 001＝ ；
(2)0.000 000 030 5＝ ；
(3)－0.000 052 6＝ ；
(4)－0.001 24＝ ．
1×10-6
3.05×10-8
－5.26×10-5
－1.24×10-3
1． (2025·无锡)下列运算正确的是(　B　)
A. a2＋a4＝a6 B． a2·a4＝a6
C. (a2)4＝a6 D． a4÷a＝a4
B
2． 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.000 001 56米，
数字0.000 001 56用科学记数法表示为(　C　)
A. 1.56×10-3 B． 0.156×10-3
C. 1.56×10-6 D． 15.6×10-7
C
3． 计算：|-2|＋30＝ ．
4． 计算：(1)108÷105＝ ；
(2)(－x)8÷(－x)3＝ ；
(3)(－a)6÷a3＝ ；
(4)3-3＝ ．
3
1 000
－x5
a3
5． 若(x－2 026)0有意义，则x的取值范围是 .
6． 【北师七下P8随堂练习T1改编】计算：
(1)5-4÷5-3；
(1)解：原式＝5-4-(-3)＝5-1＝ .
(2)(－a)0÷(－a)-3.
(2)解：原式＝(－a)0-(-3)
＝(－a)3
＝－a3.
x≠2 026
7． 若2x＝20，2y＝5，则x－y＝ ．
8． 已知2n+4＝1，则n＝ ．
9． 下列是用科学记数法表示的数，写出其原数：
(1)1×10-4＝ ；
(2)1.3×10-4＝ ；
(3)－2.04×10-7＝ ．
2
－4
0.000 1
0.000 13
－0.000 000 204
10． 计算：(－1)499＋(7－π)0＋ .
解：原式＝－1＋1－2
＝－2.
11． 运算能力已知an＝2，am＝3，ak＝4，试求a2n＋m-2k的值．
解：因为an＝2，am＝3，ak＝4，
所以a2n＋m-2k＝a2n·am÷a2k
＝(an)2·am÷(ak)2
＝4×3÷16
＝ .(共18张PPT)
第一章 整式的乘除
第7课 乘法公式(1)——平方差公式的认识
平方差公式
计算：(x＋4)(x－4)＝ ＝ ．(把计算过程写出来)
(a＋b)(a－b)＝ ＝ ．(把计
算过程写出来)
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ ，即两数和与这
两数差的积，等于它们的 ．
x2－4x＋4x－42
x2－16
a2－ab＋ab－b2
a2－b2
a2－b2
平方差
例1 计算：
(1)(x＋1)(x－1)＝ ；
(2)(5＋2x)(5－2x)＝ ；
(3)(x＋y)(－x＋y)＝ ；
(4)(y－x)(x＋y)＝ ．
x2－1
25－4x2
y2－x2
y2－x2
1. 计算：
(1)(x＋3)(3－x)＝ ；
(2)(－x－y)(－x＋y)＝ ；
(3)(x－y)(－x－y)＝ ；
(4)(－y＋x)(－x－y)＝ ．
9－x2
x2－y2
y2－x2
y2－x2
例2 计算：
(1)(3x＋5y)(5y－3x)；
解：原式＝(5y＋3x)(5y－3x)
＝(5y)2－(3x)2
＝25y2－9x2.
(2)(－ab＋7)(－7－ab)；
解：原式＝(－ab＋7)(－ab－7)
＝(－ab)2－72
＝a2b2－49.
(3)(－2x2－y)(－2x2＋y)．
解：原式＝(－2x2)2－y2
＝4x4－y2.
2. 计算：
(1)(－3a＋4b)(－3a－4b)；
解：原式＝(－3a)2－(4b)2
＝9a2－16b2.
(2)( x-y)(- x-y)；
解：原式＝(-y+ x)(-y- x)
＝(－y)2－
＝y2－ x2.
(3)(－3x2－5y)(3x2－5y)．
解：原式＝(－5y－3x2)(－5y＋3x2)
＝(－5y)2－(3x2)2
＝25y2－9x4.
平方差公式的特征
(1)等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，
另一项互为相反数．
(2)等号右边是乘式中两项的平方差，即“相同项”的平方减去“相反
项”的平方．
(3)平方差公式中的a，b既可代表一个单项式，也可代表一个多
项式．
1． (2025·龙东地区)下列运算正确的是(　C　)
A. a4·a3＝a6
B. 2a＋3b＝6ab
C. (－2a2b3)3＝－8a6b9
D. (－a＋b)(a＋b)＝a2－b2
C
2． 若(m＋2)(m－2)＝5，则m2＝ ．
3． 当x＝－3，y＝2 026时，式子(x＋y)(x－y)＋y2的值
是 ．
4． 计算：
(1)(x＋8)(x－8)＝ ；
(2)(2＋x)(x－2)＝ ；
(3)(mx－6)(mx＋6)＝ ．
9
9
x2－64
x2－4
m2x2－36
5． 【北师七下P19随堂练习T1改编】计算：
(1)(m＋2n)(m－2n)；
解：原式＝m2－(2n)2
＝m2－4n2.
(2)(b＋3a)(3a－b)；
解：原式＝(3a＋b)(3a－b)
＝(3a)2－b2
＝9a2－b2.
(3)(－2x－5y)(－2x＋5y)；
解：原式＝(－2x)2－(5y)2
＝4x2－25y2.
(4)(am＋1)(－am＋1)．
解：原式＝(1＋am)(1－am)
＝12－(am)2
＝1－a2m.
6． 若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(　B　)
A. m＝2，n＝3 B． m＝－2，n＝－3
C. m＝2，n＝－3 D． m＝－2，n＝3
B
7． 若用平方差公式计算(x+2y-1)(x－2y＋1)，则可将原式变形为
(　B　)
A. [x－(2y+1)]2
B. [x＋(2y-1)][x－(2y-1)]
C. [x＋(2y+1)]2
D. [(x-2y)＋1][(x-2y)－1]
B
8． 如图，求该长方体的体积．
解：该长方体的体积为(a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4
－b4.
9． 运算能力计算：1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.
解：原式＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(4＋3)×(4－3)＋(2＋1)×(2－1)
＝100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1
＝
＝5 050.(共19张PPT)
第一章 整式的乘除
第6课 整式的乘法(2)
单项式乘以多项式
根据分配律填空：2×(3＋4)＝2× ＋2× ；m(a－
b)＝ ．
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式
的 ，再把所得的积相加．例： ＝ (m，a，b，c都是单项式)．
3
4
ma－mb
每一项
ma＋mb＋mc
例1 计算：
(1)6xy(x＋3y)；
解：原式＝6xy·x＋6xy·3y
＝6x2y＋18xy2.
(2)( -5m-3)·(－2m)2.
解：原式＝( -5m-3)·4m2
＝ m2·4m2＋(－5m)·4m2＋(－3)·4m2
＝m4－20m3－12m2.
1. 计算：
(1)－3a2( ab+ )；
解：原式＝－3a2· ab＋(－3a2)·b3
＝－a3b－3a2b3.
(2)2(3 y-x - )·(x3y2)．
解：原式＝(6x2y－2xy2－1)·(x3y2)
＝6x2y·x3y2－2xy2·x3y2－x3y2
＝6x5y3－2x4y4－x3y2.
多项式乘以多项式
2. 【思考】计算(m＋n)(a＋b)．(尝试先把m＋n看作一个整体，解
决下面的探究问题)
【探究】令c＝m＋n，则(m＋n)(a＋b)＝c(a＋b)＝ca＋cb＝(m＋
n)a＋(m＋n)b＝ ．
【归纳】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另
一个多项式的 ，再把所得的积相加．例：(m＋n)(a＋b)
＝ ．
ma＋na＋mb＋nb
每一项
每一项
ma＋mb＋na＋nb
例2 计算：
(1)(x＋5)(x＋1)；
解：原式＝x·x＋x·1＋5·x＋5×1
＝x2＋x＋5x＋5
＝x2＋6x＋5.
(2)(3x＋y)(x－3y)．
解：原式＝3x·x－3x·3y＋y·x－y·3y
＝3x2－9xy＋xy－3y2
＝3x2－8xy－3y2.
3. 计算：
(1)(a－5)(a－7)；
解：原式＝a·a－a·7－5·a＋5×7
＝a2－7a－5a＋35
＝a2－12a＋35.
(2)(2a－3b)(2a＋b)．
解：原式＝2a·2a＋2a·b－3b·2a－3b·b
＝4a2＋2ab－6ab－3b2
＝4a2－4ab－3b2.
整式的乘法的实际应用
例3 如图，在高2.5a米，宽b米的长方形墙面上有一块长方形装饰
板(图中阴影部分)，装饰板的上面和左右两边都留有宽度为a米的空
白墙面．
(1)用含有a，b的代数式表示长方形装饰板(阴影部分)的面积；
解：(1)S＝(b－2a)·(2.5a－a)＝(b－2a)·1.5a＝1.5ab－3a2.
(2)当a＝2，b＝8时，求长方形装饰板的面积．
(2)当a＝2，b＝8时，
原式＝1.5×2×8－3×22＝12.
答：长方形装饰板的面积为12米2.
4. 【北师七下P31复习题T10改编】如图，某市有一块长为(3a＋b)
米、宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿
化，则需要绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝6，b＝4时的绿化
面积．
解：由题意，得需要绿化的面积是(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)(a＋b)
＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－(a2＋ab＋ab＋b2)＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab
－b2＝(5a2＋3ab)平方米．
当a＝6，b＝4时，绿化的面积为5×62＋3×6×4＝180＋72＝252(平
方米)．
1． 填空：
(1)2x2( xy+ )＝ ；
(2)(3ab2－5ab3)(－2a2)＝ ；
(3)2a(a2－3a＋2)＝ ．
x3y＋2x2y2
－6a3b2＋10a3b3
2a3－6a2＋4a
2． 计算：2a(a－1)－2a2＝(　D　)
A. a B． －a C． 2a D． －2a
D
3． 【北师七下P16习题T4改编】如图，长方形ABCD的宽为m＋
n，长为 ，面积为 .另外，长方形ABCD可
分为4个面积分别为ma，mb， ， 的小长方形，由此可
得(m＋n)(a＋b)＝ ．这就是多项式乘以多项式
的几何解释．
a＋b
(m＋n)(a＋b)
na
nb
ma＋mb＋na＋nb
4． 计算：(a＋9)(a－8)－a(a－1)．
解：原式＝a·a－a×8＋9×a－9×8－a·a＋a×1
＝a2－8a＋9a－72－a2＋a
＝2a－72.
5． 先化简，再求值：(3x＋y－5)·(－2x)2，其中x＝－1，y＝2.
解：原式＝(3x＋y－5)·4x2
＝3x·4x2＋y·4x2－5·4x2
＝12x3＋4x2y－20x2.
当x＝－1，y＝2时，原式＝－12＋8－20＝－24.
6． 若(x＋3)(x－n)＝x2＋mx－6，则m＝ ，n＝ ．
1
2
7． 整体思想若x＋y＝3，xy＝2，则(x＋1)(y＋1)＝ ．
8． 【拓展题】若(x－2)(x2＋ax＋b)的积中不含x的二次项和一次
项，则a，b的值分别是多少？
解：(x－2)(x2＋ax＋b)
＝x3＋ax2＋bx－2x2－2ax－2b
＝x3＋(a－2)x2＋(b－2a)x－2b.
因为(x－2)(x2＋ax＋b)的积中不含x的二次项和一次项，
所以a－2＝0，b－2a＝0.解得a＝2，b＝4.
6(共16张PPT)
第一章 整式的乘除
第10课 乘法公式(4)——完全平方公式的应用
运用完全平方公式进行简便计算
例1 运用完全平方公式计算：982.
解：982＝(100－2)2
＝1002－2×100×2＋22
＝10 000－400＋4
＝9 604.
1. 运用完全平方公式计算：1 0012.
解：1 0012＝(1 000＋1)2
＝1 0002＋2×1 000×1＋12
＝1 000 000＋2 000＋1
＝1 002 001.
例2 计算：
(1)(x2＋4)2－16x2；
解：原式＝x4＋8x2＋16－16x2
＝x4－8x2＋16.
(2)(x－2)2－(x＋1)(x－3)．
解：原式＝x2－4x＋4－(x2－3x＋x－3)
＝x2－4x＋4－x2＋3x－x＋3
＝－2x＋7.
2. 计算：
(1)(x＋y)2－(x－y)2；
解：原式＝x2＋2xy＋y2－(x2－2xy＋y2)
＝x2＋2xy＋y2－x2＋2xy－y2
＝4xy.
(2)(a－b＋c)(a－b－c)．
解：原式＝[(a－b)＋c][(a－b)－c]
＝(a－b)2－c2
＝a2－2ab＋b2－c2.
完全平方公式的整体思想
对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添
括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平方差公式展开再
利用完全平方公式展开，最后合并可得结果．
与完全平方公式有关的综合应用
3. 【探究】(a＋b)2，(a－b)2，a2＋b2，ab之间的关系：
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－ ＝(a－b)2＋ ；
(2)(a＋b)2－(a－b)2＝ ；(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝ ．
2ab
2ab
4ab
2(a2＋b2)
例3 已知a－b＝10，ab＝20，求下列代数式的值：
(1)a2＋b2；
解：(1)因为a－b＝10，ab＝20，
所以a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝102＋2×20＝140.
(2)(a＋b)2.
(2)由(1)，得a2＋b2＝140.
因为ab＝20，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝140＋2×20＝180.
4. 已知(a＋b)2＝19，ab＝2，求下列代数式的值：
(1)a2＋b2；
解：(1)因为(a＋b)2＝19，ab＝2，
所以a2＋b2＋2ab＝19.
所以a2＋b2＝19－2ab＝19－2×2＝15.
(2)(a－b)2.
(2)由(1)，得a2＋b2＝15.
因为ab＝2，
所以(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝15－2×2＝11.
1． 化简：(a＋1)2－(a－1)2＝ ．
2． 利用完全平方公式简便计算：1012＋992.
解：原式＝(100＋1)2＋(100－1)2
＝10 000＋200＋1＋10 000－200＋1
＝20 002.
4a
3． 利用乘法公式计算：
(1)(a＋2)2－a2；
解：原式＝a2＋4a＋4－a2
＝4a＋4.
(2)(2x＋y)(2x－y)－(2x＋y)2；
解：原式＝4x2－y2－(4x2＋4xy＋y2)
＝4x2－y2－4x2－4xy－y2
＝－4xy－2y2.
(3)(2x＋y＋z)(2x－y－z)．
解：原式＝[2x＋(y＋z)][2x－(y＋z)]
＝(2x)2－(y＋z)2
＝4x2－(y2＋2yz＋z2)
＝4x2－y2－2yz－z2.
4． 已知a＋b＝5，ab＝2，求a2＋b2的值．
解：因为a＋b＝5，ab＝2，
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
＝52－2×2
＝21.
5． 整体思想已知a2＋2b2－1＝0，求代数式(a－b)2＋b(2a＋b)
的值．
解：原式＝a2－2ab＋b2＋2ab＋b2
＝a2＋2b2.
因为a2＋2b2－1＝0，
所以a2＋2b2＝1.
所以原式＝1.
6． 杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的
讨论：
已知y＝－1，求代数式(x＋2y)(x－2y)－(x＋3y)2＋6xy的值 小白 只知道y的值，没有告诉x的值，求不出答案
小红 代数式的值与x的值无关，是可以解的
根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？
解：小红说得对．理由如下：
(x＋2y)(x－2y)－(x＋3y)2＋6xy
＝x2－4y2－(x2＋6xy＋9y2)＋6xy
＝x2－4y2－x2－6xy－9y2＋6xy
＝－13y2.
因为化简结果中不含x，所以代数式的值与x的值无关，可以求
解．所以小红说得对．(共19张PPT)
第一章 整式的乘除
第9课 乘法公式(3)——完全平方公式的认识
完全平方公式的认识
计算并探索规律：(把计算过程写出来)
(1)(m＋3)2＝(m＋3)(m＋3)＝ ＝ ；
(2)(1－n)2＝(1－n)(1－n)＝ ＝ ．
(1)(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝ ＝
；
m2＋3m＋3m＋32
m2＋6m＋9
12－n－n＋n2
1－2n＋n2
a2＋ab＋ab＋b2
a2＋
2ab＋b2
(2)(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝ ＝ ．
完全平方公式：(1)(a＋b)2＝ ；(2)(a－b)2
＝ ．
口诀记忆：首平方，尾平方，积的两倍在中央．
a2－ab－ab＋b2
a2－2ab＋b2
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
例1 根据完全平方公式填空：
(1)(x＋1)2＝( )2＋2×( )×( )＋( )2＝
；
(2)(x－2)2＝( )2－2×( )×( )＋( )2＝
；
(3)(2x－1)2＝( )2－2×( )×( )＋( )2＝
．
x
x
1
1
x2＋2x
＋1
x
x
2
2
x2－4x
＋4
2x
2x
1
1
4x2
－4x＋1
1. 根据完全平方公式填空：
(1)(5＋a)2＝ ；
(2)(a－7)2＝ ；
(3)(2x－7y)2＝ ；
(4)(ab＋c)2＝ ．
25＋10a＋a2
a2－14a＋49
4x2－28xy＋49y2
a2b2＋2abc＋c2
例2 计算：
(1)(2x＋5y)2；
解：原式＝(2x)2＋2·2x·5y＋(5y)2
＝4x2＋20xy＋25y2.
(2)一题多解(－y＋6x)2.
法1：解：原式＝(－y)2＋2·(－y)·6x＋(6x)2
＝y2－12xy＋36x2.
法2：解：原式＝(y－6x)2
＝y2－2·y·6x＋(6x)2
＝y2－12xy＋36x2.
2. 计算：
(1) ；
解：原式＝ －2· x·y＋y2
＝ x2－ xy＋y2.
(2)一题多解(－4x－y)2.
法1：解：原式＝(－4x)2－2·(－4x)·y＋y2＝16x2＋8xy＋y2.
法2：解：原式＝(4x＋y)2＝(4x)2＋2·4x·y＋y2
＝16x2＋8xy＋y2.
完全平方公式的特征
(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，两者仅有一个“符
号”不同．
(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边
二项式中每一项的平方，中间一项是左边二次项中两项乘积的2倍，两
者也仅有一个“符号”不同．
(3)运算时注意公式的变形巧用，如(－a－b)2＝(a＋b)2，(－a＋b)2
＝(a－b)2.
用图形验证完全平方公式
例3 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对
应的是(　A　)
A
A. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
C. (a＋b)(a－b)＝a2－b2
D. (ab)2＝a2b2
3． 根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab
＋b2.你根据图乙能得到的数学公式是(　C　)
A. (a－b)2＝a2－b2
B. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
D. (a＋b)(a－b)＝a2－b2
C
1． (2025·深圳)下列计算正确的是(　B　)
A. a2＋a4＝a6 B． a3·a3＝a6
C. (a2)3＝a5 D． (a＋b)2＝a2＋b2
B
2． 下列计算正确的是(　D　)
A. (－x－y)2＝－x2－2xy－y2
B. (m＋2n)2＝m2＋4n2
C. (－3x＋y)2＝3x2－6xy＋y2
D. ＝ x2＋5x＋25
D
3． 计算：
(1)(x－7)2＝ ；
(2)(5x＋y)2＝ ；
(3) ＝ 　 a2－ a＋ 　 ；
(4) ＝ 　9x2＋xy＋ y2　 ．
x2－14x＋49
25x2＋10xy＋y2
a2－ a＋
9x2＋xy＋ y2
4． 计算：
(1) ; (2) .
(1)解：原式＝a2－ab2＋ b4.
(2)解：原式＝ a2－ ab＋4b2.
5． (1)如果x2－kx＋9是一个完全平方式，那么常数k的值是
(　B　)
A. 3 B． ±6 C． 6 D． ±3
(2)已知(x－4)2＋m＝x2－8x－3，则m＝ .
B
－19
6． 数形结合两个同学玩裁纸片的游戏：甲同学将一个长为2a，宽
为2b的长方形纸片沿图1中虚线裁成四个小长方形，乙同学仿照甲同学
裁开纸片后拼成中空(中空部分用阴影部分表示)的正方形，如图2.
(1)图2中，中空(阴影)部分的正方形边长是 ；
(2)观察图1及图2中空(阴影)部分的面积，请你写出式子(a＋b)2，(a
－b)2，ab之间的等量关系： ；
a－b
(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
(3)根据(2)中的等量关系解决如下问题：若m－n＝－7，mn＝5，
则(m＋n)2的值为多少？
解：(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn＝(－7)2＋4×5＝69.(共17张PPT)
第一章 整式的乘除
第11课 整式的除法
单项式除以单项式
类别 单项式乘以单项式 单项式除以单项式
举例 6x5·( )＝18x7； －2x·( )＝16x4y 18x7÷6x5＝ ；
16x4y÷(－2x)＝
法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
3x2
－8x3y
3x2
－8x3y
例1 计算：
(1)8x5÷2x3＝(8÷2)(x5÷x3)＝ ；
(2)15a6b2÷3a4＝ ；
(3)－7a4b2÷28a3b2＝ ．
4x2
5a2b2
－ a
1. 计算：
(1)45y7÷5y3＝ ；
(2)－5a5b3÷(－15a4b)＝ ；
(3)6a3bc2÷(－3a2c2)＝ ．
9y4
ab2
－2ab
多项式除以单项式
2. 多项式除以单项式，先把这个多项式的 分别除以单项
式，再把所得的商相加．
例2 计算：
(1)(5x＋3xy)÷x＝5x÷x＋3xy÷x＝ ；
(2)(12a2b－4ab)÷4ab＝ ；
(3)(12a3－6a2＋3a)÷(－6a)＝ ．
每一项
5＋3y
3a－1
－2a2＋a－
3. 计算：
(1)(8a3b－5a2b2)÷4a＝ ；
(2)(－18a2b－6ab)÷(－6ab)＝ ；
(3)(－2a3＋3a2－2a)÷(- a)＝ ．
2a2b－ ab2
3a＋1
4a2－6a＋4
整式的混合运算
例3 计算：
(1)(2xy2)3·(－x3y)÷4x2y5；
解：原式＝8x3y6·(－x3y)÷4x2y5
＝－8x6y7÷4x2y5＝－2x4y2.
(2)(－2x5y6－3x3y4＋2x3y3)÷ .
解：原式＝(－2x5y6－3x3y4＋2x3y3)÷x3y3
＝－2x5y6÷x3y3－3x3y4÷x3y3＋2x3y3÷x3y3
＝－2x2y3－3y＋2.
4. 计算：
(1)(2x－y)4÷(2x－y)2；
解：原式＝(2x－y)4-2＝(2x－y)2＝4x2－4xy＋y2.
(2)(a3b5－3a2b2＋2a4b3)÷ .
解：原式＝(a3b5－3a2b2＋2a4b3)÷ a2b2
＝a3b5÷ a2b2－3a2b2÷ a2b2＋2a4b3÷ a2b2
＝4ab3－12＋8a2b.
1． (2025·德阳)下列各式计算正确的是(　C　)
A. 2a＋3b＝5ab B． －(a＋3)＝－a＋3
C. －2×3a＝－6a D． 2ab÷ ＝ab
C
2． 计算：
(1)3a6÷a＝ ；
(2)－48x3y2÷12x2y＝ ；
(3)－m3n2÷(－3mn2)＝ ．
3a5
－4xy
m2
3． 已知8a3bm÷8anb2＝b2，那么m，n的取值为(　A　)
A. m＝4，n＝3 B． m＝4，n＝1
C. m＝1，n＝3 D． m＝2，n＝3
A
4． 如果(4a2b－3ab2)÷M＝－4a＋3b，那么单项式M为(　B　)
A. ab B． －ab C． a D． －b
B
5． 计算：
(1)(25m2＋15m3n－20m4)÷(－5m2)；
解：原式＝25m2÷(－5m2)＋15m3n÷(－5m2)－20m4÷(－5m2)
＝－5－3mn＋4m2.
(2)(3 y-x + xy)÷ xy.
解：原式＝3x2y÷ xy－xy2÷ xy＋ xy÷ xy
＝6x－2y＋1.
6． 计算：－32a4b5c÷(－2ab)3·(- ac).
解：原式＝－32a4b5c÷(－8a3b3)·(- ac)
＝4ab2c·(- ac)
＝－3a2b2c2.
7． 【北师七下P30复习题T7改编】先化简，再求值：[(x－y)2－
x(3x－2y)＋(x＋y)(x－y)]÷2x，其中x＝1，y＝－2.
解：原式＝(x2－2xy＋y2－3x2＋2xy＋x2－y2)÷2x
＝－x2÷2x
＝－ x.
当x＝1时，原式＝－ ×1＝－ .
8． 一个三角形的面积是3xy－4y，一边长是2y，则这条边上的高
是 ．
9． 跨学科 我们都知道“先看见闪电，后听见雷声”，那是因为在空
气中光的传播速度比声音快．科学家们发现，光在空气中的传播速度约
为3×108 m/s，而声音在空气中的传播速度约为300 m/s.则光的传播速度
是声音的 倍．
3x－4
106
10． 【拓展题】信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信
息的时候需要加密传输．发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收
方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方
发出a＝2，b＝4时，解密后还原为明文，则mn＝ ．
120(共18张PPT)
第一章 整式的乘除
第1课 幂的乘除(1)——同底数幂的乘法
同底数幂的乘法
计算：
(1)102×103＝(10×10)×(10×10×10)＝ ；
(2)a3·a4＝(a·a·a)·(a·a·a·a)＝ ．
am·an＝ ＝ ．
同底数幂相乘，底数 ，指数 ，即am·an＝
a( )(m，n都是正整数)．
105
a7
am＋n
不变
相加
m＋n
例1 计算：
(1)72×74＝7( )＝ ；
(2)(－5)3×(－5)4＝(－5)(　 　)＝ ；
(3)b·b4＝b( )＝ ；
(4)x2·x4·x5＝x( )＝ ；
(5)m5·m4·(－m3)＝ ．
2+4
76
3+4
(－5)7
1+4
b5
2+4+5
x11
－m12
1. 计算：
(1)m2·m5＝ ；
(2)－x·x5＝ ；
(3) × ＝ 　 　；
(4)(－n)3·(－n)5·(－n)2＝ ；
(5)n3·nx-3＝ ．
m7
－x6
(－n)10
nx
例2 计算：
(1)(x－y)3·(x－y)5；
解：原式＝(x－y)3+5
＝(x－y)8.
(2)(2a＋b)2n+1·(2a＋b)3.
解：原式＝(2a＋b)2n+1+3
＝(2a＋b)2n+4.
2. 计算：
(1)(m－n)2·(m－n)3·(m－n)6；
解：原式＝(m－n)2+3+6
＝(m－n)11.
(2)(x－y)2·(y－x)5.
解：原式＝－(x－y)2·(x－y)5
＝－(x－y)7.
同底数幂的乘法的逆用am＋n＝am·an(m，n都是正整
数)
例3 已知am＝3，an＝4，求am＋n的值．
解：因为am＝3，an＝4，
所以am＋n＝am·an＝3×4＝12.
3. 【北师七下P9习题T2改编】已知xm＝4，xm＋n＝64，求xn的值．
解：因为xm＝4，xm＋n＝64，
所以xm＋n＝xm·xn＝4xn＝64.
所以xn＝16.
同底数幂的乘法的实际应用
例4 在天文学上，计算星球之间的距离通常用“光年”作单位，1光年
即光在一年内通过的路程．已知光的速度是3×105 km/s，一年约等于
3×107 s，则5光年大约有多远？
解：5×3×107×3×105＝45×1012＝4.5×1013(km)．
答：5光年大约有4.5×1013 km.
4. 银行的点钞机每分钟大约点钞103张，2小时不间断点钞，则点钞机
可点多少钱？(按点百元面额钞票计算)
解：2×60×103×100＝120×105＝1.2×107(元).
答：点钞机可点1.2×107元．
1． 下列各项中，是同底数幂的是(　D　)
A． x2与a2 B． (－a)2与－a3
C． (x－y)2与(y－x)2 D． －x2与x
D
2． 计算：
(1)52×55＝ ；
(2)(－x)2·(－x)3＝ ；
(3)－a4·a2＝ ；
(4)y2m+2·ym-1＝ ．
57
(－x)5
－a6
y3m+1
3． 若2x＝3，2y＝5，则2x＋y＝ ．
4． x3m+3可以写成(　D　)
A． 3xm+1 B． x3m＋x3
C． x3·xm+1 D． x3m·x3
5． 电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1 GB
＝210 MB，1 MB＝210 KB，1 KB＝210 B． 某视频文件的大小约为1
GB，1 GB等于(　A　)
A． 230 B B． 830 B
C． 8×1010 B D． 2×1030 B
15
D
A
6． 已知am-1·a2＝a7，求m的值．
解：由题意，得am-1+2＝a7，
所以am+1＝a7.
所以m＋1＝7.
所以m＝6.
7． 计算：
(1)－a2·a5＋a·a3·a3；
解：原式＝－a7＋a7
＝0.
(2)(a－b)2·(a－b)3－(a－b)4·(b－a)．
解：原式＝(a－b)5＋(a－b)5
＝2(a－b)5.
8． 已知3x＝y，则3x+1＝(　D　)
A． y B． 1＋y C． 3＋y D． 3y
9． 若2x＋y－2＝0，则52x·5y＝ ．
10． 探究性学习【探究】
D
25
22－21＝2×21－1×21＝2( )；
23－22＝ － ＝2( )；
24－23＝ － ＝2( )；
……
(1)请仔细观察，写出第4个等式；
解：(1)25－24＝2×24－1×24＝24.
(2)请你找规律，写出第n个等式；
解：(2)2n+1－2n＝2×2n－1×2n＝2n.
1
2×22
1×22
2
2×23
1×23
3
(3)【应用】计算：21＋22＋23＋…＋22 024－22 025.
解：(3)原式＝22－21＋23－22＋24－23＋…＋22 025－22 024－22
025＝－2.(共17张PPT)
第一章 整式的乘除
第8课 乘法公式(2)——平方差公式的应用
利用图形验证平方差公式
例1 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
(1)图1中的阴影部分面积为 ；
(2)小颖将阴影部分拼成一个长方形(如图2)，这个长方形的长为 ，宽为 ，它的面积为 ；
a2－b2
a＋b
a－b
(a＋b)(a－b)
(3)通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是
．
(a＋
b)(a－b)＝a2－b2
1. 将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，
将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长
方形(如图2)，解答下列问题：
(1)设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用
含a，b的式子表示：S1＝ ，S2＝ ；(不必
化简)
a2－b2
(a＋b)(a－b)
(2)由(1)中的结果可以验证的乘法公式是 ．
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
利用平方差公式进行简便计算
例2 用平方差公式进行计算：102×98.
解：原式＝(100＋2)(100－2)
＝1002－22
＝9 996.
2. 用平方差公式进行计算：19.7×20.3.
解：原式＝(20－0.3)(20＋0.3)
＝202－0.32
＝400－0.09
＝399.91.
平方差公式的应用
例3 计算：2(x＋y)(x－y)－2x(x＋2)．
解：原式＝2(x2－y2)－2x(x＋2)
＝2x2－2y2－2x2－4x
＝－2y2－4x.
3. 计算：a(1－2a)＋2(a＋1)(a－1)．
解：原式＝a－2a2＋2(a2－1)
＝a－2a2＋2a2－2
＝a－2.
1． 如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形，如图
2，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是(　C　)
A. a(a－b)＝a2－ab
B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
C. (a＋b)(a－b)＝a2－b2
D. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C
2． 计算：
(1)(n＋3)(n－3)－(n＋2)(n－2)；
解：原式＝n2－9－(n2－4)
＝n2－9－n2＋4
＝－5.
(2)y2(x＋2)(x－2)－x2y2.
解：原式＝y2(x2－4)－x2y2
＝x2y2－4y2－x2y2
＝－4y2.
3． 先化简，再求值：(2a＋b)(2a－b)－(a＋b)(4a－b)，其中a
＝－1，b＝2.
解：原式＝4a2－b2－(4a2－ab＋4ab－b2)
＝4a2－b2－4a2＋ab－4ab＋b2＝－3ab.
当a＝－1，b＝2时，
原式＝－3×(－1)×2＝6.
4． 用简便方法计算：1 9992－1 998×2 000.
解：原式＝1 9992－(1 999－1)(1 999＋1)
＝1 9992－(1 9992－1)
＝1 9992－1 9992＋1
＝1.
5． 从前，一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租
户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻
的另一边减少6米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有
吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会(　C　)
A. 没有变化 B． 变大了
C. 变小了 D． 无法确定
C
6． 规律探索请先观察下列算式，再填空：
32－12＝8×1，52－32＝8×2.
①72－52＝8× ；
②92－( )2＝8×4；
③( )2－92＝8×5；
④132－( )2＝8× ；
3
7
11
11
6
……
(1)通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写
出来．
解：(1)根据各个算式的规律可以得到
(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n.
(2)你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？
(2)因为(2n＋1)2－(2n－1)2
＝(2n＋1＋2n－1)[2n＋1－(2n－1)]
＝4n×2＝8n，
所以猜想正确．

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