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(共20张PPT)
第四章 三角形
第9课 三角形章末复习
180°
直角
互余
等腰
大于
小于
相等
相等
一、选择题
1． 如图，钝角三角形的个数为(　D　)
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5
D
2． 如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论
中，不正确的是(　C　)
A． AC＝CE
B． ∠BAC＝∠DCE
C． ∠ACB＝∠ECD
D． ∠B＝∠D
C
3． 如图，使△ABC≌△ADC成立的是(　D　)
A． AB＝AD，∠B＝∠D
B． AB＝AD，∠ACB＝∠ACD
C． BC＝DC，∠BAC＝∠DAC
D． AB＝AD，∠BAC＝∠DAC
D
4． 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是(　C　)
A． 2 cm，3 cm，4 cm B． 3 cm，6 cm，6 cm
C． 2 cm，2 cm，6 cm D． 5 cm，6 cm，7 cm
C
5． 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，点P为AD边上一点，下列结论：①BD＝DC；②S△ABP＝S△BPD；③S△ABP＝S△APC；④S△BDP＝S△CDP；⑤C△ACD－C△ABD＝AC－AB. 其中正确的是(　C　)
A． ①②③④
B． ①②③④⑤
C． ①③④⑤
D． ①②④⑤
C
二、填空题
6． 如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图
形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是
．
三角形具有
稳定性
7． 如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，若
△ADC的面积等于8，则△BDE的面积等于 ．
4
8． 如图，这是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，
D，E五点均在格点上，则∠ABC＋∠ADE＝ °.
180
9． 如图，在四边形ABEF中，AB＝4，EF＝6，点C是BE上一
点，连接AC，CF. 若AC＝CF，∠B＝∠E＝∠ACF，则BE的长
为 ．
10
10． 已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周
长为 ．
11． 若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a＋b－c|＋|a＋b＋
c|＋|a－b－c|＝ .
12
a＋3b＋c
三、解答题
12． 已知：如图，点A，D，B，E在同一直线上，AC＝EF，
AD＝BE，∠A＝∠E. 试说明：△ABC≌△EDF.
解：因为AD＝BE，
所以AD＋BD＝BE＋BD.
所以AB＝ED.
在△ABC和△EDF中，
所以△ABC≌△EDF(SAS)．
13． 如图，已知：线段a，∠α.求作△ABC，使AB＝AC＝a，
∠B＝∠α.(尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹)
解：如图，△ABC即为所求．
14. 如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，满足DC＝
AB，过点C作CE∥AB，且 EC＝BC，连接DE并延长，分别交AC，
AB于点F，G.
(1)试说明：△ABC≌△DCE；
解：(1)因为CE∥AB，所以∠B＝∠ECD.
在△ABC和△DCE中，
所以△ABC≌△DCE(SAS)．
(2)若BD＝12，AB＝2EC，求BC的长度．
(2)因为AB＝2EC，EC＝BC，所以AB＝2BC.
因为AB＝DC，所以DC＝2BC.
又BC＋DC＝BD＝12，
所以BC＋2BC＝12.
所以BC＝4.
15． 如图，小明想知道一堵墙MN上的点A的高度(MN⊥MD)，但
又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于AM的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与
点A重合，记录直杆与地面的夹角(∠ABM)；
第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得∠ ＝
90°－∠ ，标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 的长度，即为点A的高度．
(1)请补全小明的设计方案；
MDC
ABM
DM
(2)请说明小明这样设计方案的理由．
解：由(1)，得∠MDC＝90°－∠ABM＝∠MAB.
在△ABM和△DCM中，
所以△ABM≌△DCM(AAS)．
所以AM＝DM.
16． 如图，已知△ABC的面积为6 cm2，BP是∠ABC的平分线，
且AP⊥BP，求阴影部分△PBC的面积．
解：如图，延长AP交BC于点E.
因为BP是∠ABC的平分线，且AP⊥BP，
所以∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠EPB＝90°.
在△ABP和△EBP中，
所以△ABP≌△EBP(ASA)．
所以AP＝EP，S△ABP＝S△EBP.
因为△APC和△EPC等底同高，
所以S△APC＝S△EPC.
所以S△PBC＝S△EBP＋S△EPC＝ S△ABC＝ ×6＝3(cm2).(共18张PPT)
第四章 三角形
微专题4 全等三角形的基本模型
平移模型
平移模型的特点 有一组边共线或部分重合，另外两组边分别平行
模型展示
1. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝
DF，AC∥DF. 试说明：BC＝EF.
解：因为AD＝BE，所以AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE.
因为AC∥DF，
所以∠A＝∠EDF.
因为AC＝DF，所以△ABC≌△DEF(SAS)．
所以BC＝EF.
对称模型
对称模型的特点 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点
模型展示
2. 如图，点E，C在BF上，BE＝CF，AB＝DF，∠B＝∠F. 试
说明：∠A＝∠D.
解：因为BE＝CF，所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝FE.
在△ABC和△DFE中，
所以△ABC≌△DFE(SAS)．所以∠A＝∠D.
旋转模型
旋转模型的特点 具有一个公共点，其中一个三角形可由另外一个三角形通过旋转得到
模型展示
3. 如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD. 试说明：
△AOB≌△COD.
解：因为∠DOC＝∠AOC－∠AOD，∠BOA＝∠BOD－∠AOD，∠AOC＝∠BOD，所以∠DOC＝∠BOA.
在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD(SAS)．
4． 如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点
F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB. 试说明：AC＝AE.
解：因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC.
所以∠BAC＝∠DAE.
因为∠2＋∠AFE＋∠E＝180°，∠3＋∠DFC＋∠C＝180°，
∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC，所以∠E＝∠C.
在△ABC和△ADE中，
所以△ABC≌△ADE(AAS)．
所以AC＝AE.
5. 如图，∠BAE＝∠CAF＝90°，EC，BF相交于点M，AE＝
AB，AC＝AF.
(1)试说明：EC＝BF；
解：(1)因为∠BAE＝∠CAF＝90°，
所以∠BAE＋∠BAC＝∠CAF＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAF.
在△CAE和△FAB中，
所以△CAE≌△FAB(SAS)．
所以EC＝BF.
(2)试说明：EC⊥BF；
(2)由(1)知△CAE≌△FAB.
所以∠AFO＝∠OCM.
因为∠AOF＝∠COM，∠CAF＝90°，
所以∠OMC＝∠CAF＝90°.所以EC⊥BF.
(3)若∠BAE＝∠CAF＝m°(m≠90)，其他条件不变，则(1)(2)中的
结论还成立吗？说明理由．
(3)(1)中的结论成立，(2)中的结论不成立．
理由如下：因为∠BAE＝∠CAF＝m°，
所以∠BAE＋∠BAC＝∠CAF＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAF.
在△CAE和△FAB中，
所以△CAE≌△FAB(SAS)．
所以EC＝BF.
所以(1)中的结论成立．
由△CAE≌△FAB，得∠AFO＝∠OCM.
又∠AOF＝∠COM，∠CAF＝m°，
所以∠CMO＝∠CAF＝m°≠90°.
所以(2)中的结论不成立．
“一线三等角”模型
“一线三等角”模 型的特点 一条线段上存在三个相等的角
模型展示
6. 如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE＝∠A＝∠B，CD
＝CE. 试说明：AD＝BC.
解：因为∠A＝∠DCE，∠A＋∠D＋∠ACD＝∠DCE＋∠BCE＋∠ACD＝180°，所以∠D＝∠BCE.
在△ACD和△BEC中，
所以△ACD≌△BEC(AAS)．
所以AD＝BC.
7． 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC. 如图1，过点C在
△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.
解：(1)因为∠ACB＝90°，所以∠ACM＋∠BCN＝90°.
因为AM⊥MN，BN⊥MN，所以∠AMC＝∠CNB＝90°.
所以∠BCN＋∠CBN＝90°.
所以∠ACM＝∠CBN.
在△ACM和△CBN中，
所以△ACM≌△CBN(AAS)．
所以CM＝BN，AM＝CN.
因为MN＝CN＋CM，所以MN＝AM＋BN.
(1)试说明：MN＝AM＋BN；
(2)如图2和图3，当A，B两点在直线MN异侧时，请分别写出
MN，AM，BN之间的等量关系．(不用说明理由)
(2)图2中，MN＝AM－BN，图3中，MN＝BN－AM.(共17张PPT)
第四章 三角形
第5课 探索三角形全等的条件(1)—— SSS
三角形全等的条件(SSS)
按照下面的方法，用刻度尺和圆规在一张透明的纸上画
△DEF，使其三边长分别为 1.3 cm，1.9 cm和2.5 cm.
作法：1.作线段EF＝1.3 cm.
2． 分别以点E，F为圆心，1.9 cm，2.5 cm长为半径作弧，两弧交于
点D.
3． 连接DE，DF.
4． △DEF就是所要作的三角形．
把你画的三角形与其他同学所画的三角形进行比较，它们 互
相重合．(填“能”或“不能”)
的两个三角形全等，简写为“边边边”或
“SSS”．
能
三边分别相等
例1 如图，AB＝AD，BC＝DC. △ABC与△ADC全等吗？为什么？
解：△ABC与△ADC全等．
理由如下：在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC(SSS)．
1. 如图，AB＝AC，点D是BC的中点．试说明：∠BAD＝∠CAD.
解：因为点D是BC的中点，所以BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD(SSS)．
所以∠BAD＝∠CAD.
例2 如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝
DF，BE＝CF.
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
解：(1)因为BE＝CF，所以BE＋CE＝CF＋CE.
所以BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)试说明：AB∥DE.
(2)因为△ABC≌△DEF(已证)，
所以∠ABC＝∠DEF.
所以AB∥DE.
三角形的稳定性
2. 传统文化花楼机是我国古代织造技术最高成就的代表，明代《天工
开物》中详细记载了花楼机的构造．如图是花楼机上的一个三角形木框
架，它是由三根木料固定而成的，三角形的大小和形状固定不变．三角
形的这个性质叫作三角形的 ．
稳定性
3. 如图，工人师傅安装门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，
使其不变形，这种做法的依据是(　D　)
A. 两点之间线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 三角形的稳定性
D
1． 下列图形中，具有稳定性的是(　A　)
A. 三角形 B． 平行四边形
C. 长方形 D． 正方形
A
2． 如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，
则∠ACD的度数是 ．
127°
3． 如图所示，若BC＝AD，添加条件 ，可用“SSS”
判定△ABC≌△BAD.
AC＝BD
4． 如图，已知线段a，b，求作△ABC，使AB＝a，BC＝2a，
AC＝b.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，△ABC即为所求．
5． 如图，AB＝AD，BC＝DC，点B在AE上，点D在AF
上．试说明：△ABC≌△ADC.
解：在△ABC和△ADC中，
所以 ≌ ( )．
△ABC
△ADC
SSS
_________
6． 推理能力如图，B，C，E三点在同一直线上，且AB＝AD，
AC＝AE，BC＝DE. 若∠1＋∠2＋∠3＝100°，则∠3＝ °.
50
7． 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝
DF，BC＝EF.
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
解：(1)因为AD＝BE，
所以AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
(2)因为△ABC≌△DEF，∠A＝55°，
所以∠FDE＝∠A＝55°.
因为∠E＝45°，
所以∠F＝180°－∠FDE－∠E＝80°.(共11张PPT)
第四章 三角形
微专题3 与角平分线有关的常考模型
同一顶点处的角平分线、高线夹角模型
图示
方法点拨 已知AE，AD分别为△ABC的角平分线和高线(∠ABC＞∠C)，则如图1，图2，∠DAE＝ (∠ABC－∠C)．特别地，当△ABC为直角三角形(∠ABC＝90°)时，此结论也成立
1. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边
上的高线，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为 ．
40°
2． 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝
70°，∠C＝30°.
(1)∠BAE的度数为 ；
(2)∠DAE的度数为 ；
(3)探究：如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B－∠C＝
40°，那么能得出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不
能，请说明理由．
40°
20°
理由如下：因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C.
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝ ∠BAC＝ (180°－∠B－
∠C)＝90°－ (∠B＋∠C)．
因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°.
所以∠BAD＝90°－∠B.
解：能．
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－ (∠B＋∠C)－(90°－
∠B)＝ (∠B－∠C)．
因为∠B－∠C＝40°，所以∠DAE＝ ×40°＝20°.
与三角形角平分线的夹角相关的模型
图示
方法点拨 如图，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BOC＝90°＋ ∠A
3． 如图，在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分
线，BD，CE交于点O，∠A＝70°，则∠BOE＝ .
55°
4． 在△ABC中．
(1)如图1，∠A＝50°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，则
∠BOC＝ ；
115°
(2)如图2，∠A＝66°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的三等
分线(即∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB)，求∠BOC的度数；
解：因为∠A＝66°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－66°＝114°.
因为BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的三等分线，
所以∠OBC＋∠OCB＝ ∠ABC＋ ∠ACB＝ (∠ABC＋
∠ACB)＝38°.
所以∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝142°.
(3)若∠A＝α，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的n等分线(即∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB)，则∠BOC＝ ．
·180°＋(共21张PPT)
第四章 三角形
第1课 认识三角形(1)——三角形及其内角和
三角形的有关概念
1． 三角形：由不在同一直线上的三条线段 相接所组成
的图形．
如图，顶点是点A，B，C的三角形，记作 ．三条
边： ；三个内角：
；三个顶点： ．
首尾顺次
△ABC
a，b，c(或BC，AC，AB)
∠A，∠B，
∠C
A，B，C
2． 如图，△BCD的三个内角分别是 ，三条边分别是 ；∠ABD是△ 的内角；在△CDE中，∠C的对边是 ，在△ABC中，∠C的对边是 ．
∠DBC，∠BDC，∠C
BD，BC，CD
ABD
DE
AB
三角形的内角和及其分类
小明把一个三角形的两个内角∠A和∠B剪下按如图所示的
方式拼在一起．
①用量角器量一量∠BCD＝ °；
②从而得到∠A＋∠B＋∠ACB＝ °.
180
180
三角形三个内角的和等于 °.
已知：如图，△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
180
证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB.
因为CE AB，所以 ，∠2＝ ．
因为 ＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB
＝ ．
∥
∠1＝∠A
∠B
∠1＋∠2＋∠ACB
180°
三角形三个内角的和等于180°.
例1 求出下列图形中x的值．
其中，三角形按内角的大小可分成 三角形、 三角
形和 三角形．
35
锐角
直角
钝角
60
45
3. 在△ABC中．
(1)若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝ °，这个三角形
是 ；
(2)若∠A＝20°，∠C＝70°，则∠B＝ °，这个三角形
是 ；
(3)若∠A＝40°，∠B＝30°，则∠C＝ °，这个三角形
是 ．
70
锐角三角形
90
直角三角形
110
钝角三角形
例2 在△ABC中，∠B＝∠C＝2∠A. 求各内角的度数，并说明按角
的大小分类时，它是什么三角形．
解：设∠A＝x，则∠B＝∠C＝2x.
在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°.
所以∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°.
所以△ABC是锐角三角形．
4. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3.求各内角的度数，并说
明它是什么三角形．
解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x.
在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以x＋2x＋3x＝180°.解得x＝30°.
所以∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
所以△ABC是直角三角形．
直角三角形的两个锐角互余
5. (1)表示方法：用符号“ ”表示“直角三角形ABC”．
(2)性质：直角三角形的两个锐角 ．
几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B
＝ ．
Rt△ABC
互余
90°
斜
直角
直角
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，那么∠B
＝ °.
40
7． 将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2
＝ °.
40
例3 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC.
(1)若∠B＝30°，则∠BAD＝ ，∠C＝ ；
60°
60°
(2)∠B＝∠CAD吗？为什么？
解：∠B＝∠CAD. 理由如下：
因为∠BAC＝90°，所以 ＋∠C＝90°.
因为AD⊥BC，所以∠C＋ ＝90°.
所以 ．
∠B
∠CAD
∠B＝∠CAD
1． 如图，以BC为边的三角形共有(　C　)
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
C
2． 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ADE＝40°，
DE∥BC，则∠C的度数是(　D　)
A． 50° B． 60° C． 70° D． 80°
D
3． 在三角形中，三个内角分别是∠1，∠2，∠3，若∠2＝∠1＋
∠3，那么这个三角形是 三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)
直角
4． 【北师七下P93习题T3变式】在直角三角形中，若两个锐角的差
为40°，则这两个锐角的度数分别为 ．
25°，65°
5． 【北师七下P86思考交流改编】下面给出的四个三角形都有一部
分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是(　A　)
A
6． 【北师七下P119复习题T15改编】某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是(　B　)
A． 50°
B． 60°
C． 70°
D． 80°
B(共14张PPT)
第四章 三角形
第8课 利用三角形全等测距离
利用三角形全等测距离
例1 如图，已知A，B两点被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点
可以到达，现给出一种方案：找两点C，D，使AD∥CB，且AD＝
CB，量出CD的长即得AB的长．其理由是什么？
解：因为AD∥CB，所以∠BCA＝∠DAC.
在△ABC和△CDA中，
所以△ABC≌△CDA(SAS)．
所以AB＝CD.
1. 如图，A，B两点分别位于一个物体的两端，小明想用绳子测量
A，B间的距离，但无法直接测量，他先在地上取一个可以直接到达点
A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA；连接BC并延长
到点E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度．
(1)试说明：DE＝AB；
解：(1)在△CDE和△CAB中，
所以△CDE≌△CAB(SAS)．
所以DE＝AB.
(2)如果DE的长度是8 m，则AB的长度是多少？
(2)由(1)知DE＝AB.
因为DE＝8 m，所以AB＝8 m．
所以AB的长度是8 m．
例2 如图，一位士兵为了使炮弹准确落在河对岸的敌军阵地上，需要
知道河宽，所以他站在河边点B处，将帽子压低，使视线沿着帽檐(点
A)落在河对岸的边线上的点C处，然后他保持视线方向不变，一步步后
退到视线落在河岸边B处，这时他后退的距离B′B就是河的宽度BC，
请解释其中的道理．
解：由题意，知∠B′＝∠ABC＝90°，A′B′＝AB，∠A′＝∠A.
在△A′B′B和△ABC中，
所以△A′B′B≌△ABC(ASA)．所以B′B＝BC.
2. 如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木
杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．
解：影子一样长．
理由如下：依题意，知AB＝A′B′，AC∥A′C′，AB⊥BC，
A′B′⊥B′C′.
所以∠ACB＝∠A′C′B′，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°.
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′(AAS)．
所以BC＝B′C′，即影子一样长．
测量距离的方法选择
1． 【北师七下P111随堂练习T1改编】如图，将两根钢条AA′，BB′
的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个
测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′
的理由是(　C　)
A. 边边边 B． 角边角
C. 边角边 D． 角角边
C
2． (2025·山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点
连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO. 测得C，D两点之间
的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的
距离．图中△AOB与△COD全等的依据是(　B　)
A. SSS B． SAS C． ASA D． HL
B
3． 如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由
点C观测，在BA的延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只
要量出AB′的长，就知道AB的长，正确吗？为什么？
解：正确．理由如下：
因为AC⊥AB，所以∠BAC＝∠B′AC＝90°.
在△BAC和△B′AC中，
所以△BAC≌△B′AC(ASA)．所以AB＝AB′.
4． 为了测量一幢高楼AB的高，在旗杆CD与高楼之间选定一点
P，测得旗杆顶C的视线PC与地面夹角∠DPC＝38°，测得楼顶A的
视线PA与地面夹角∠APB＝52°，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度
相等，都等于8 m，量得旗杆与楼之间的距离DB＝33 m，则楼高AB
为 m．
25
5． 如图，已知两个滑梯BC和EF的倾斜角∠ABC和∠DFE互为
余角(即∠ABC＋∠DFE＝90°)，且左边滑梯的高度AC与右边滑梯水
平方向的长度DF相等，且AC⊥BF，ED⊥BF. 小明说：“只要量出左
边滑梯水平方向的长度AB就可以知道右边滑梯的高度DE了”，他的说
法正确吗？请你说明理由．
理由如下：因为AC⊥BF，ED⊥BF，
所以∠BAC＝∠EDF＝90°.
所以∠ABC＋∠ACB＝90°.
又∠ABC＋∠DFE＝90°，
所以∠ACB＝∠DFE.
在△BAC和△EDF中，
所以△BAC≌△EDF(ASA)．
所以AB＝DE.
所以他的说法正确．
解：他的说法正确．(共18张PPT)
第四章 三角形
第4课 全等三角形
全等三角形的概念及性质
1. (1)全等三角形：能够 的两个三角形叫作全等三角
形．(即形状、大小完全相同)
(2)表示方法：如图，△ABC≌△ ．(注：对应顶点要写在
对应位置上)
(3)性质：全等三角形的对应边 ，对应角 ．
完全重合
DEF
相等
相等
2． 如图，沿直线BD对折，△ABD和△CBD完全重合，则
△ABD≌ ．AB的对应边是 ，BD的对应边
是 ，∠ADB的对应角是 ，∠A的对应角
是 ．
注意：全等三角形对应边的高，对应边的中线以及对应角的平分线均
相等．
△CBD
CB
BD
∠CDB
∠C
例1 如图，△AOB≌△COD，完成下面的推理过程．
因为△AOB≌△COD，所以OA＝ ，OB＝ ，AB＝ ，∠A＝ ，∠B＝ ，∠AOB＝ ．
OC
OD
CD
∠C
∠D
∠COD
3. 如图，△ABD≌△CDB，完成下面的推理过程．
因为△ABD≌△CDB，所以AB＝ ，AD＝ ，BD
＝ ，∠A＝ ，∠ABD＝ ，∠ADB
＝ ．
CD
CB
DB
∠C
∠CDB
∠CBD
利用全等三角形的性质进行计算和说明
例2 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，△ABC≌△DEF.
(1)试说明：AB∥DE；
解：(1)因为△ABC≌△DEF，
所以∠B＝∠DEF(全等三角形的对应角相等)．
所以AB∥DE(同位角相等，两直线平行)．
(2)试说明：BE＝CF.
(2)因为△ABC≌△DEF，
所以BC＝EF(全等三角形的对应边相等)．
所以BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF.
4. 如图，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2.
(1)试说明：AC∥DF；
解：(1)因为△ABC≌△FED，
所以∠A＝∠F.
所以AC∥DF.
(2)求AB的长．
(2)因为△ABC≌△FED，
所以AB＝FE.
所以AB－BE＝FE－BE，即AE＝BF.
因为AF＝8，BE＝2，
所以AE＋BF＝8－2＝6.
所以AE＝BF＝3.
所以AB＝AE＋BE＝3＋2＝5.
1． 下列说法正确的是(　D　)
A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形
B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形
C. 两个等边三角形是全等三角形
D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形
D
2． 如图，若△ABC≌△DEF，BC＝6，EC＝4，则CF的长为
(　B　)
A. 1 B． 2 C． 2.5 D． 3
B
3． 如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则
∠DCE的度数为(　C　)
A. 40° B． 60° C． 80° D． 100°
C
4． 【北师七下P96随堂练习T2变式】如图，△ACE≌△ABD，若
∠B＝25°，BD＝6 cm，AD＝4 cm，你能得出△ACE中哪些角的大
小，哪些边的长度？
解：因为△ACE≌△ABD，
所以∠C＝∠B＝25°，CE＝BD＝6 cm，AE＝AD＝4 cm.
5． 如图，将长方形ABCD沿AE翻折，使点D落在BC边上的点F
处，如果∠FEC＝60°，那么∠EAF等于(　B　)
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
B
6． 如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)试说明：BD＝DE＋CE；
解：(1)因为△BAD≌△ACE，所以AD＝CE，BD＝AE.
因为AE＝DE＋AD，
所以BD＝DE＋CE.
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？并说明理由．
(2)当△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE. 理由如下：
因为△BAD≌△ACE，所以∠ADB＝∠CEA＝90°.
易知∠ADB＝∠BDE＝90°.
所以∠CEA＝∠BDE＝90°.所以BD∥CE.
7． 推理能力如图，△ABC≌△ADE，∠CAE＝90°，AB＝2，
则图中阴影部分的面积为 ．
2
利用平移、翻折、旋转等变换得到的全等三角形(共14张PPT)
第四章 三角形
第7课 探索三角形全等的条件(3)—— SAS
三角形全等的条件(SAS)
1. 两边及其 分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”
或“SAS”．
几何语言：在△ABC和△DEF中，
因为AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，
所以△ABC≌△DEF(SAS)．
夹角
例1 如图，AC平分∠BAD，AB＝AD. 试说明：△ABC≌△ADC.
解：因为AC平分∠BAD，
所以∠BAC＝∠DAC.
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC(SAS)．
2. 如图，在∠MON的边OM，ON上分别取OA＝OB，AC＝BD.
试说明：△AOD≌△BOC.
解：因为OA＝OB，AC＝BD，
所以OA＋AC＝OB＋BD，即OC＝OD.
在△AOD和△BOC中，
所以△AOD≌△BOC(SAS)．
判定两个三角形全等小技巧：判定两个三角形全等时，必须有
边的参与，若有两边一角对应相等，则角必须是两边的夹角．
“边边角”(SSA)无法判定全等三角形的原因
当角是一组相等边的对角，即两边和其中一边的对角分别相等时，两
个三角形不一定全等．如图所示，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，
AC＝AD，∠B＝∠B(∠B分别是AC，AD边的对角)，显然△ABC和
△ABD不全等．
判定三角形全等的基本思路
根据“SAS”作三角形
例2 如图，已知线段a，c，∠α.用尺规作△ABC，使BC＝a，AB
＝c，∠B＝∠α.
作法：(1)作∠NBM＝ ；
(2)在射线BM上截取BC＝ ，在射线BN上截取BA＝ ；
∠α
a
c
(3)连接AC.
△ABC即为所求．
1． 【北师七下P104随堂练习T1改编】如图，下列三角形中全等的
两个是(　A　)
A. ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④
A
2． 如图，点C是线段AB的中点，AD＝BE，∠A＝∠B，则
△ACD≌ ，其依据是 ．
△BCE
SAS
3． (2025·广州)如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD. 求证：
△ABC≌△EBD.
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EBC＝∠2＋∠EBC，即∠ABC＝
∠EBD.
在△ABC和△EBD中，
∴△ABC≌△EBD(SAS)．
4． 【北师七下P107习题T11改编】如图，△EFG的三条边相等，三
个内角也相等，且EH＝FI＝GJ，△EHJ，△FIH，△GJI全等吗？
△HIJ的三边相等吗？
解：由题意，知EF＝FG＝EG，∠E＝∠F＝∠G.
因为EH＝FI＝GJ，所以EJ＝FH＝GI.
在△EHJ和△FIH中，
所以△EHJ≌△FIH(SAS)．
所以HJ＝IH.
同理可得△FIH≌△GJI.
所以IH＝JI.
所以△EHJ，△FIH，△GJI全等．
所以HJ＝IH＝JI，即△HIJ的三边相等．
5． 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1＋∠2＋∠3
＝ ．
135°(共16张PPT)
第四章 三角形
第3课 认识三角形(3)——三角形中几条重要线段
三角形的高线
1． 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和
垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高．
几何语言：因为AD是△ABC的高，所以∠ ＝∠
＝ °.
注意：三角形的三条高所在的直线交于一点．
ADB
ADC
90
2. 画出下列三角形的三条高．
(1)如图，AD，BE，CF即为所求．
(2)如图，AC，BC，CF即为所求．
(3)如图，AD，BE，CF即为所求．
三角形的中线
3． 定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三
角形的中线．
几何语言：因为AD是△ABC的中线，所以 ＝ ＝
(或 ＝2 ＝2 )．
BD
CD
BC
BC
BD
CD
例1 如图，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线．
(1)若DE＝2 cm，则BE的长为 ；
(2)若S△ABC＝8，则S△ADE＝ ．
6 cm
2
4. (1)如图，BD是△ABC的中线，若AB＝6 cm，BC＝4 cm，则
△ABD和△BCD的周长差为 cm；
(2)如图，点D，E分别是BC，AD的中点，若S△ABD＝8，则S△ACE
＝ ．
2
4
三角形的中线的特点
(1)三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心；
(2)三角形的中线把它的面积平均分成两等份．
三角形的角平分线
5． 定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个
角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线．
几何语言：因为AE是△ABC的角平分线，所以∠ ＝
∠ ＝ ∠ (或 )．
BAE
CAE
BAC
∠BAC＝2∠BAE＝2∠CAE
例2 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B
＝40°，∠BAD＝30°，求∠C的度数．
解：因为AD平分∠BAC，∠BAD＝30°，
所以∠BAC＝2∠BAD＝60°.
又因为在△ABC中，∠B＝40°，
所以∠C＝180°－∠B－∠BAC＝80°.
注意：三角形的三条角平分线交于一点．
6. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD是△ABC的角
平分线，DE∥BC交AC于点E，求∠EDC的度数．
解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝50°.
因为CD是△ABC的角平分线，
所以∠DCB＝∠DCE＝ ∠ACB＝25°.
因为DE∥BC，所以∠EDC＝∠DCB＝25°.
1． 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E
是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有(　C　)
A. 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
C
2． 如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长
大3 cm，BC＝8 cm，则AC的长为 cm.
5
3． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∠ADC＝70°，求∠CAD和∠B的度数．
解：在Rt△ACD中，因为∠ADC＝70°，
所以∠CAD＝20°.
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAC＝2∠CAD＝2×20°＝40°.
所以∠B＝90°－∠BAC＝90°－40°＝50°.
4． 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角
平分线．已知∠BAC＝80°，∠C＝30°.求∠B和∠DAE的大小．
解：因为∠BAC＝80°，∠C＝30°，
所以∠B＝180°－∠BAC－∠C＝70°.
因为AE是△ABC的角平分线，
所以∠CAE＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°.
因为AD⊥BC，∠C＝30°，
所以∠CAD＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.
所以∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝60°－40°＝20°.
5． 如图，△ABC的面积为30，AD与BF交于点E，且AE＝
ED，BD＝ CB，则图中阴影部分的面积为 ．
12(共11张PPT)
第四章 三角形
☆ 问题解决策略：特殊化
例 【问题引入】如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形
EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合．在正方形EFGH绕点E旋
转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？
【模型探究】我们采取一般问题特殊化的策略，先考虑特殊情形，如
图2，图3易得两个正方形重叠部分的面积是 .
【问题解决】将一般情形转化为特殊情形．如图4，连接EB，EC，
两个正方形重叠部分的面积记作S重叠，则S重叠＝S△BEC＋S△CEN－
S△BEM. 可以发现，△BEM≌△CEN，这时，图4的情形就转化为图2的
情形，S重叠＝S△BEC＝ .因此，一般情形下，重叠部分的面积也是 .
【问题拓展】小明发现在解决上述问题时，题目中正方形EFGH这一
条件主要用到的信息是∠FEH＝90°，图中一些线段之间也有特殊的
关系．深入思考后，他为大家编了如下题目：如图5，在△ABC中，
∠ABC＝90°，BA＝BC，点O是边AC的中点，连接OB，∠A＝
∠OBA＝∠OBC＝∠C＝45°，OA＝OB＝OC. 以O为顶点作
∠A′OC′＝90°，OA′交线段AB于点E，OC′交线段BC于点F.
(1)四边形OEBF的面积是△ABC面积的 ；
(2)猜想线段BE，BF，AB之间的等量关系，并说明理由．
解：BE＋BF＝AB. 理由如下：
因为∠OBC＝∠C＝45°，
所以∠BOC＝180°－∠OBC－∠C＝90°.
所以∠BOF＋∠COF＝90°.
因为∠EOF＝90°，
所以∠BOF＋∠BOE＝90°.所以∠BOE＝∠COF.
在△BOE和△COF中，
所以△BOE≌△COF(ASA)．所以BE＝CF.
所以BE＋BF＝CF＋BF＝BC＝AB.
变式 如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝∠B，∠ACB＝
120°，点D为边AB的中点，且∠EDF＝60°，∠EDF与边AC，BC
分别交于点E，F.
提出问题：当∠EDF绕着点D运动时，线段DE与DF的数量关系是
否发生改变？
(1)探究问题：首先观察点F的特殊位置：
①当点F与点C重合时，如图2所示，此时∠DEC＝ °，线段
DE与DF之间的数量关系： ；
②当CE＝CF时，如图3所示，此时∠DEC＝ °，线段DE与
DF之间的数量关系： .
60
DE＝DF
90
DE＝DF
解：(1)②提示：如答图1，连接DC.
因为 AC＝BC，点D为边AB的中点，所以易证
△ACD≌△BCD(SSS)．
所以∠DCE＝∠DCF＝ ∠ACB＝60°.
又CE＝CF，CD＝CD，所以△DCE≌△DCF(SAS)．
所以DE＝DF，∠CDE＝∠CDF＝ ∠EDF＝30°.
所以∠DEC＝180°－∠DCE－∠EDC＝180°－60°－30°＝90°.
(2)归纳猜想：观察一般情况，当∠EDF绕着点D运动时，通过观察、测量、发现，可以得出线段DE与DF之间的数量关系为 ．
DE＝DF
(3)证明结论：对于一个数学结论，数学上提倡“从一般到特殊，从特
殊到一般”，请你利用图1和所学的知识写出说理过程．
(3)如答图2，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为点M，N.
因为点D为边AB的中点，所以AD＝BD.
因为DM⊥AC，DN⊥BC，
所以∠DMA＝∠DME＝∠DNB＝90°.
又∠A＝∠B，所以△ADM≌△BDN(AAS)．
所以DM＝DN.
在四边形DMCN中，易得∠MDN＝∠EDF＝60°.
所以∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN.
所以∠MDE＝∠NDF.
所以△DME≌△DNF(ASA)．所以DE＝DF.(共14张PPT)
第四章 三角形
第6课 探索三角形全等的条件(2)—— ASA，AAS
三角形全等的条件(ASA)
1. 两角及其 分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”
或“ASA”．
几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，
因为∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，
所以△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
夹边
例1 如图，AD和BC相交于点O，∠A＝∠C，OA＝OC. 试说明：
△AOB≌△COD.
解：在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD(ASA)．
2. 如图，AD⊥BC于点D，AD平分∠BAC，试说明：AB＝AC.
解：因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD(ASA)．所以AB＝AC.
三角形全等的条件(AAS)
3. 两角分别相等且 相等的两个三角形全
等，简写为“角角边”或“AAS”．
几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，
因为∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′，
所以△ABC≌△A′B′C′(AAS)．
其中一组等角的对边
例2 如图，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠C，AD＝AE. 试说明：
△ABD≌△ACE.
解：因为∠BAC＝∠DAE，
所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
所以△ABD≌△ACE(AAS)．
4. 如图，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD. 试说明：BC＝DE.
解：因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
所以△ABC≌△ADE(AAS)．
所以BC＝DE.
根据“ASA”作三角形
例3 如图，已知∠α，∠β和线段c.求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B
＝∠β，AB＝c.尺规作图，保留作图痕迹，并简要写出作法．
解：如图，△ABC即为所求．
作法：(1)任意画一条射线AC，以点A为顶点，c为边作线段AB＝c；
(2)以点A为顶点，AB为边作∠BAD＝∠α；
(3)以点B为顶点，AB为边作∠ABE＝∠β，AD，BE相交于点C.
1． 已知△ABC的三条边、三个角如图所示，则甲、乙两个三角形
中，与△ABC全等的是(　C　)
A. 甲 B． 乙
C. 甲和乙 D． 都不是
C
2． 如图是作△ABC的作图痕迹，则作此图的已知条件是(　C　)
A. 已知两边及夹角
B. 已知三边
C. 已知两角及夹边
D. 已知两边及一边对角
C
3． 如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF.
(1)若以“ASA”为依据，则需补充的一个条件： ；
(2)若以“AAS”为依据，则需补充的一个条件： ．
∠A＝∠D
∠ACB＝∠F
4． (2025·内江)如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC＝
DF，∠A＝∠D，AB∥DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(1)证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E.
∵AC＝DF，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
(2)若BF＝4，FC＝3，求BE的长．
(2)解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF.
∴BF＋FC＝CE＋FC，即BF＝CE.
∴CE＝BF＝4.
∴BE＝BF＋FC＋CE＝4＋3＋4＝11.
5． 如图，AC＝CE，且∠ACE＝90°，AB⊥BD于点B，
ED⊥BD于点D，BC＝2，CD＝3.连接AD，AE. 则图中阴影部分的
面积为 ．
5(共22张PPT)
第四章 三角形
第2课 认识三角形(2)——三角形的三边关系
三角形按边分类
1． (1)有两边 的三角形叫作等腰三角形．
如图，在等腰三角形ABC中，腰是 ，底边
是 ；底角是 ，顶角是 ．
(2)三边 的三角形叫作等边三角形．
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形．
相等
AB，AC
BC
∠B，∠C
∠A
都相等
2. 三角形按边分类如下：
三角形的三边关系
如图，从点A到点B，由两点之间线段最短，可知：
最短的路线是第 条，所以AC＋BC AB.
分别测量图中AC，BC，AB的值，得出AC AB－BC.
三角形的任意两边之和 第三边；三角形的任意两边
之差 第三边．
②
>
>
大于
小于
例1 以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是(　A　)
A． 6，4，7 B． 4，6，11
C． 2，2，5 D． 1，2，3
A
3. 若某三角形的三边长分别为5，8，m，则m的值可以是(　D　)
A. 1 B． 2 C． 3 D． 4
D
例2 已知a，b，c是△ABC的三边，且a＝2，b＝5．
(1)求第三边c的取值范围；
解：(1)根据三角形的三边关系，
得5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7.
(2)若第三边c为偶数，求c的值．
解：(2)因为第三边c为偶数，且3＜c＜7，
所以c的值为4或6.
4. 小亮想用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的
长度分别为9 cm和3 cm，第三根木棒的长度可以为多少？
解：设第三根木棒的长度为x cm.
根据三角形的三边关系，得9－3因为三根木棒的长度均为奇数，
所以第三根木棒的长度为7 cm或9 cm或11 cm.
三角形三边关系应用技巧：(1)判断能构成三角形的方法：较短
两边之和＞最长的边；(2)求三角形的一边x的取值范围：另两边之差的
绝对值＜x＜另两边之和．
例3 (1)已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则该等腰三角形的周
长为 ；
(2)已知等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长
为 ．
5. (1)已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则该等腰三角形的周长
为 ；
(2)一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，则该等腰三角形的腰长
是 ．
11或13
10
19
6或7
1． 下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是(　B　)
A． ①对，②不对
B． ②对，①不对
C． ①，②都不对
D． ①，②都对
B
2． (2025·连云港)下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的
是(　B　)
A. 1，2，3 B． 2，3，4
C. 3，5，8 D． 4，5，10
B
3． 如图，小英在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝8 m，OB＝5
m，那么池塘两岸A，B间的距离可能是(　A　)
A. 10 m B． 3 m C． 14 m D． 13 m
A
4． (1)已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形
的周长是 ；
(2)已知一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则该等腰三角形的周
长是 ．
15
17或16
5． 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝
BC，请写出图中的等腰三角形： ．
△ABC，△BDC，△ABD
6． 已知△ABC的三边长分别为a，b，c.若a＝8，b＝2，且三角
形的周长为奇数，求c的值．
解：因为a＝8，b＝2，
所以8－2因为三角形的周长为奇数，a＋b＝10，
所以c为奇数．所以c的值为7或9.
7． 【北师七下P94习题T11改编】已知等腰三角形的周长为24 cm，
若其中一边长为6 cm，求另外两边长．
解：若腰长为6 cm，则底边长为24－6－6＝12(cm)．
三边长为6 cm，6 cm，12 cm，不符合三角形三边关系定理，这样
的三边不能围成三角形．
若底边长为6 cm，则腰长为(24－6)÷2＝9(cm).
三边长为6 cm，9 cm，9 cm，符合三角形三边关系定理，
所以另外两边长都为9 cm.
8． △ABC的三边长a，b，c满足关系式(a－b)(b－c)(c－a)＝
0，则这个三角形一定是(　A　)
A. 等腰三角形 B． 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D． 无法确定
A
9． 已知a，b，c是△ABC的三边，化简|a＋b－c|＋|a－b－c|
＝ ．
2b
10． 应用意识某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如
下表：
规格/m 1 2 3 4 5 6
价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35
学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买了两根长度分别为
2 m和5 m的钢管，还需要再购买一根．
(1)有哪几种规格的钢管可供选择？
解：(1)设第三根钢管的长度为x m.
根据三角形的三边关系可得5－2所以可以选择4 m或5 m或6 m长的钢管．
(2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成三角形支架一共
需要花多少钱购买钢管？
(2)因为做成的三角形支架的周长为偶数，
所以第三根应选择5 m长的钢管．
所以需要的钱数为15＋30＋30＝75(元)．
答：做成三角形支架一共需要花75元钱购买钢管．

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