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17.2 课时3 平行四边形性质和判定的综合运用
1.能够综合运用平行四边形的性质和判定定理进行计算和证明
探究一：平行四边形性质与判定的综合应用
活动1：四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD∥ EF，AD=EF，
EF∥ BC，EF=BC.
∴AD∥ BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
A
B
C
D
E
F
平行线的传递性
思考：线段AD、EF、BC有怎样的关系(位置、大小)？为什么？
如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，证明四边形AFCE是平行四边形．
∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又AF∥CE
∴BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(A.S.A.)
∴AD∥BC,∠BAD=∠BCD,AB=CD
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
又AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，
∴∠BAE=∠FCD
在△ABE与△CDF中，
∠BAE=∠FCD、
AB=CD、
∠B=∠D
∵AD=BC,∴AF=CE,
提示：可结合三角形全等的判定，转换与四边形AFCE相等的边或角.
活动2：如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC
于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
解：四边形BMDN是平行四边形．
理由如下：连接BD交AC于O．
∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM,
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,
∴四边形BMDN是平行四边形．
O
提示：连接BD交AC于O.
2.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点，求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(A.A.S.)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
活动3：如图，在△ABC中，BE=EC，过点E作ED∥BA交AC与点G，且AD∥BC，连接AE、CD．求证：四边形AECD是平行四边形．
∴四边形AECD是平行四边形
∵AD∥BC，
∴AD=EC，
∵BE=EC，
∴AD=BE，
∴四边形BEDA是平行四边形，
证明：∵ED∥BA，且AD∥BC，
想一想：已知AD∥BC，要使四边形AECD是平行四边形，可以添加哪些条件？说说你的想法.
3.如图，?ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的点，要使四边形BEDF为平行四边形，需添加一个条件: .
AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE∥DF（答案不唯一）
注意结合已知条件灵活选用判定方法！
4.已知：如图，在?ABCD中，点E在BC的延长线，且DE∥AC.
请写出BE与BC的数量关系，并证明你的结论．
提示：观察图形，容易发现BE与BC涉及四边形
ABCD、四边形AECD，可猜想BE=2BC.
解：BE=2BC.
证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，即AD∥CE.
∵DE∥AC，
∴CE＝BC.
∴BE＝2BC.
∴四边形ADEC为平行四边形．
∴AD＝CE，
平行四边形的性质
判定
得出
所求四边形是否为平行四边形
平行四边形的性质和判定定理的综合运用：
1.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB,CD上的点,AE=CF，M、N是DE和BF上的中点,试证明四边形ENFM是平行四边形.
又∵AE=CF， ∴△ADE≌△CBF（S.A.S）

∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．
∴∠CFB=∠ABF．
又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，
∴四边形ENFM是平行四边形．
∴∠AED=∠CFB，DE=BF．
∴∠AED=∠ABF．
∴ME=FN．
∴AD=BC，∠A=∠C．
∴ME∥FN．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
2.如图，在?ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．
提示：AG、CH不属于图中任何四边形的边，可结合三角形全等反推需要的条件.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，
∵E、F分别为AD、BC边的中点，∴AE=DE=12AD，CF=BF=12BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
?
∴BE∥DF，
∴∠AEG=∠ADF，
∴∠AEG=∠CFH，
∴AG=CH．
∠EAG＝∠FCH
AE＝CF
∠AEG＝∠CFH ，
在△AEG和△CFH中，
∴ △AEG≌△CFH（A.S.A），

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