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如图,A、B两点被池塘隔开,现在要测量出A、B两点间的距离,但又无法直接去测量,怎么办? 这时,在A、B外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点D、E,如果能测量出DE的长度,也就能知道AB的长度了.这是为什么呢?
17.2 课时4 三角形中位线定理
1.理解三角形中位线的定义.
2.理解三角形中位线定理的，能运用其进行论证和计算．
在图中,点D、E分别是△AFB的两边AF、BF的中点,即DE是连结△AFB的两边中点的线段.
证明：∵四边形ABCD??是平行四边形，
∴DA ∥
=
∴∠FDE=∠BCE,∠DFE=∠CBE.
又∵DA=DF, ∴DF=CB.
在△DFE与△CBE??中?，
∵∠FDE=∠BCE,DF=CB,∠DFE=∠CBE,?
∴△DFE?△CBE.
?
例1 如图，已知□ABCD，延长边AD至点F，使DF=DA.连结BF，交边DC于点E.求证：EF=EB.
CB(平行四边形的对边平行且相等).?
∴EF=EB.
三角形中位线的定义的两层含义:
①如图,∵D、E分别为AB、AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线.
②如图,∵DE为△ABC的中位线,
∴D、E分别为AB、AC的中点.
定义：连结三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.
例2 如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB和AC的中点.求证：DE//BC，DE=12BC
?
分析：如图，过点C作CF//AB，且与DE的延长线交于点F.
由平行线性质和已知条件可以证明△ADE?△CFE，从而推出四边形BCFD是平行四边形，
可得DE//BC，DE=EF=12BC
?
观察并分析DE与BC的数量关系是什么？一个三角形有几条中位线？每条中位线与三角形的边有什么关系？
猜想：三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
例2 如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB和AC的中点.求证：DE//BC，DE=12BC
?
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
用几何语言叙述:如图,如果DE是△ABC的中位线,那么
(1)DE∥BC,(2)DE=??????????? BC.
?
作用:
①证明平行问题
②证明一条线段是另一条线段的2倍或??????????.
?
例3 证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知:如图,在△ABC中,AD=DB,BF=FC,AE=EC.
求证:AF与DE互相平分.
证明:如图,连结DF、EF.
∵AD=DB,BF=FC,
∴DF∥AC(三角形的中位线平行于第三边).
同理可得,EF∥BA.
∴四边形ADFE是平行四边形.
∴AF与DE互相平分.
试一试：一个三角形有3条中线和3条中位线,从定义、性质和相互联系等几方面比较三角形的中线与中位线(如图):
1.定义
中线:三角形的中线是指从三角形的一个顶点到其对边中点的线段.
中位线:三角形的中位线是指连结三角形两边中点的线段.
2.性质
中线的性质:三角形的三条中线相交于一点,中线将三角形分为两个面积相等的小三角形.
中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
3.相互联系:三角形的中位线与中线都与三角形的中点有关,但中线是从顶点到对边中点的连线,而中位线是连结两边中点的线段.
如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连结DE，延长BC到点F，使得CF=1?2?BC，连结DF交AC于点O.求证：OC=OE
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解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=1?2?BC，∴∠DEO=∠FCO.
∵CF=1?2?BC，∴DE=CF
∵∠DOE=∠FOC，∴△DOE?△FOC(AAS).
∴OC=OE
?
通过本节课的学习,你学到了哪些内容?还有哪些困惑?
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