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(共18张PPT)
第二章 不等式与不等式组
第5课 一元一次不等式与一次函数(1)
一元一次不等式与一次函数
例1 若函数y＝kx＋b的图象如图所示．
(1)当x 时，y＝0；
(2)当x 时，y＞0；
(3)当x 时，kx＋b＜0；
＝2
＜2
＞2
1. 已知一次函数y＝ax＋b的图象如图．
(1)当x 时，ax＋b＝0；
(2)当x 时，ax＋b＞0；
(3)当x 时，ax＋b≤0；
(4)当x 时，ax＋b＜3.
＝－2
＞－2
≤－2
＜0
2. 一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则不等式kx＋b≥0的解集
是（　D　）
A. x≤3
B. x≥3
C. x≥1
D. x≤1
D
3. 若一次函数y＝－3x＋b的图象与两坐标轴分别交于A，B两
点，点A的坐标为(0，3)，则不等式－3x＋b≤0的解集为（　A　）
A. x≥1 B． x≤1
C. x≥3 D． x≤3
A
例2 如图，函数y1＝mx和y2＝x＋3的图象相交于点A(－1，2)．
(1)当x 时，y1＝y2；
(2)当x 时，y1＜y2；
(3)当x 时，y1＞y2．
＝－1
＞－1
＜－1
4. 已知直线y1＝k1x＋b与y2＝k2x的图象如图．
(1)当x 时，k1x＋b＝k2x；
(2)当x 时，k1x＋b≥k2x；
(3)当x 时，k1x＋b＜k2x.
＝－2
≤－2
＞－2
一次函数与方程、不等式的联系
类别 方程kx＋b＝0 不等式kx＋b＞0 不等式kx＋b＜0
从函数y＝kx＋b的角度 y＝0时，自变量x的值 y＞0时，自变量x的取值范围 y＜0时，自变量x的取值范围
从图象(直线y＝kx＋b)的角度 直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标 直线y＝kx＋b在x轴上方的部分对应的x的取值范围 直线y＝kx＋b在x轴下方的部分对应的x的取值范围
利用图象法求一元一次不等式k1x＋b1＞(或＜)k2x＋b2的解集 一次函数y1＝k1x＋b1的图象在y2＝k2x＋b2的图象的上方(或下方)的部分对应的x的取值范围 一元一次不等式与一次函数的应用
例3 如图，l1表示某电动车厂一天的销售收入y1(单位：万元)与销
售量x(单位：辆)之间的关系；l2表示该电动车厂一天的销售成本y2(单
位：万元)与销售量x(单位：辆)之间的关系．
(1)销售收入与销售量之间的函数关系式为 ；
y1＝x
(2)求出销售成本与销售量之间的函数关系式；
解：(2)设y2＝k2x＋b(k2≠0)．∵直线l2过(0，2)，(2，3)两点，
∴ 解得 ∴销售成本与销售量之间的函数
关系式为y2＝ x＋2.
(3)当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利？(利润＝收入－
成本)
(3)由图象知，当y1＞y2时，销售收入大于销售成本，即工厂获
利．∴x＞ x＋2.解得x＞4.
答：当一天的销售量超过4辆时，工厂才能获利．
1． 若一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象如图所示，则
关于x的不等式kx＋b≥0的解集为（　C　）
A. x≤－2
B． x≥0
C． x≥－2
D． x≤0
C
2． 一次函数y1＝mx＋n与y2＝－x＋a的图象如图所示，则mx＋
n≤－x＋a的解集为（　C　）
A. x≥3
B． x≥2
C． x≤3
D． x≤2
C
3． 已知不等式kx＋b<0的解集是x<2，则一次函数y＝kx＋b的
图象大致是（　B　）
A． B．
C． D．
B
4． 如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关
于x的不等式x－ax≤c－2的解集为 ．
x≤1
5． 【北师八下P70习题T3改编】甲、乙两辆摩托车从相距20 km的
A，B两地同时相向而行．如图，l1，l2分别反映了甲、乙两辆摩托车离
A地的距离s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的函数关系．
(1)乙摩托车的速度是 km/h.
40
(2)至少经过多长时间，甲车行驶的路程不小于总路程的 ？
解：设直线l1的表达式为s＝kt(k≠0)．
将(0.6，20)代入，得20＝0.6k.
解得k＝ .
∴直线l1的表达式为s＝ t.
当s> 时，即 t> ，解得t>0.2.
答：至少经过0.2 h，甲车行驶的路程不小于总路程的 .
(3)经过 h，甲、乙两车相遇．(共19张PPT)
第二章 不等式与不等式组
第9课 不等式与不等式组章末复习
>
>
<
移项
大
小
中间
一、选择题
1． 下列数学表达式，是不等式的有（　C　）
①m＝0；②x≠1；③ x＋3>0；④a2＋2ab＋b2；⑤ >0；⑥－
1>－2
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
C
2． 由2＜3，得2x＞3x，则x的值可能是（　A　）
A. －1 B． 0 C． 0.5 D． 1
A
3． 不等式组 的解集为（　D　）
A. x≥1 B． x≤1
C. x<3 D． 1≤x<3
D
4． 如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(－1，3)，则关于x的不等
式kx＋b≥3的解集为（　D　）
A. x>－1
B. x<－1
C. x≤－1
D. x≥－1
D
5． 若关于x的不等式组 的解集是x>2，则a的
取值范围是（　C　）
A. a>2 B． a≥2 C． a≤2 D． a<2
C
二、填空题
6． 写出一个解集在数轴上如图所示的不等式组：
．
(答案不唯一)
7． 某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某
小组的任务是平整土地600 m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3
小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了(60 ) .若设他们在
剩余时间内每小时平整土地x m2，则根据题意可列不等式为
．
60＋(3－
0.5)x≥600
8． 定义一种运算：a b＝a－b，则不等式2x (x－3)>1的解集
是 ．
x>－2
三、解答题
9． 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1)x＋10>4x－2；
解：移项，得x－4x>－2－10.
合并同类项，得－3x>－12.
两边都除以－3，得x<4.
不等式的解集在数轴上表示如图．
(2) - ≤1.
解：去分母，得2(2x－1)－3(5x＋1)≤6.
去括号，得4x－2－15x－3≤6.
移项，得4x－15x≤6＋2＋3.
合并同类项，得－11x≤11.
两边都除以－11，得x≥－1.
不等式的解集在数轴上表示如图．
10． 已知不等式组① 解决下列问题：
(1)求不等式组①的解集；
解：(1)由不等式2x＋5<3x＋6，得x>－1.
由不等式x－1< ，得x<4.
∴不等式组的解集为－1(2)若不等式组 的解集与①的解集相同，求a，b
的值．
(2)由不等式2x<1＋a，得x< .
∴不等式组的解集为3＋2b∵不等式组 的解集与①的解集相同，
∴ 解得
11． 某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案：
方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元；
方案二：底薪2 000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的
部分，每售出一件商品提成10元．
设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员的月工资分
别为y1，y2(单位：元)．
(1)分别写出y1，y2关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
解：(1)设y1关于x的函数关系式为y1＝k1x(k1≠0)．
由题意，得y1＝15x(x≥0)．
设y2关于x的函数关系式为y2＝k2x＋b(k2≠0)．
由题意，得当0≤x≤100时y2＝2 000；当x>100时y2＝10(x－100)＋
2 000＝10x＋1 000.
∴y2关于x的函数关系式为
y2＝
(2)若销售人员小王某月的销售量为150件时，他应该选择哪种方
案，才能使月工资更高？请说明理由．
(2)当销售量为150件时，选择方案二．理由如下：
方案一的月工资为y1＝15×150＝2 250(元)；方案二的月工资为y2＝
10×150＋1 000＝2 500(元)．
∵2 250<2 500，
∴他应该选择方案二，才能使月工资更高．
(3)根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方案，才能使月
工资更高？
(3)∵y1关于x的函数关系式为y1＝15x(x≥0)，y2关于x的函数关系
式为
y2＝
∴y1，y2关于x的函数图象如图．
由函数图象，得
当0≤x<200时，选择方案二，能够得到更高的工资；
当x＝200时，选择方案一和方案二工资相同；
当x>200时，选择方案一，能够得到更高的工资．(共21张PPT)
第二章 不等式与不等式组
第7课 一元一次不等式组(1)
一元一次不等式组的概念
1. 一般地，关于 的几个一元一次不等式合在一
起，就组成一个一元一次不等式组．
例1 下列选项中，是一元一次不等式组的是（　D　）
A． B．
C． D．
同一个未知数
D
2. 下列选项中，是一元一次不等式组的是（　A　）
A． B．
C． D．
A
一元一次不等式组的解集
例2
不等式组
数轴表示
解集
口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间
找 大大小小找不
到
x＞1
x＜－2
－2＜x＜1
无解
3. 写出下列不等式组的解集：
(1) ；
(2) ．
x＜－3
无解
4. 根据下列数轴写出各不等式组的解集：
(1)
；
(2)
．
－3＜x≤2
x＞1
解一元一次不等式组
例3 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
x≤1
x≥－3
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为 ．
解：在数轴上表示如图．
－3≤x≤1
5. 解不等式组：
解：解不等式①，得x<1.
解不等式②，得x≤4.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图．
∴原不等式组的解集为x＜1.
解一元一次不等式组的步骤：(1)分别求出不等式组中各个不
等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的
解集．
1． 下列属于一元一次不等式组的是（　D　）
A． B．
C． D．
D
2． 写出下列各不等式组的解集：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
x＞3
x＜1
1＜x＜3
无解
3． 关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不
等式组的解集是 ．
x≥3
4． (2025·哈尔滨)不等式组 的解集是 ．
25． 开放性题目某个关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图
所示，请你写出一个符合条件的不等式组：
．
(答案不唯一)
6． 解下列不等式组：
(1)
解：解不等式①，得x≤2.
解不等式②，得x＞－1.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图．
∴原不等式组的解集为－1＜x≤2.
(2)
解：解不等式①，得x＞2.
解不等式②，得x≥3.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图．
∴原不等式组的解集是x≥3.
7． 关于x的不等式组 的解集是2＜x＜3，则a的值
为 ．
2
8． 已知关于x的不等式组
(1)若该不等式组的解集为x>n，则n的取值范围是 ；
(2)若该不等式组的解集为x>4，n的取值范围是 ．
n≥4
n≤4
9． 已知关于x，y的方程组 若方程组的解满足x
＜4，y＜－1，求整数k的值．
解：解关于x，y的方程组，得
∵x＜4，y＜－1，∴
解得 ＜k＜ .∴整数k的值为1.(共22张PPT)
第二章 不等式与不等式组
第1课 不等式及其基本性质(1)
不等式的概念
在公路上行驶时，我们经常会看到如图所示的交通标志，
它们有着不同的含义．如果设汽车速度为v(km/h)，载重为T(t)，高度
为h(m)，请你用式子表示图中各种标志的含义，并说说这些式子有什
么共同的特点．
共同的特点： ．
都有不等号
v
T
h
一般地，用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫
作 ．
注：用“≠”连接的式子也是不等式．
不等式
例1 判断下列式子是否为不等式．(填“是”或“否”)
(1)3＞2( 　是　 )；
(2)a2＋1＞0( 　是　 )；
(3)3x2＋2x( 　否　 )；
(4)x＜3x＋1( 　是　 );
(5)x＝2x＋5( 　否　 );
(6)x2＋4x≠0 ( 　是　 )．
是
是
否
是
否
是
根据数量关系列不等式
例2 用适当的符号表示下列关系：
(1)x是正数： ；
(2)x是负数： ；
(3)y大于x： ；
(4)b与15的和小于27： ；
(5)x的3倍大于或等于9： ；
(6)y的一半小于或等于2.5： ．
x＞0
x<0
y＞x
b＋15＜27
3x≥9
y≤2.5
1. 用适当的符号表示下列关系：
(1)一枚炮弹的杀伤半径r不小于300米；
解：(1)r≥300.
(2)铅球的质量比篮球的质量大．
解：(2)设铅球的质量为x千克，篮球的质量为y千克，则应有x＞y.
不等式的解与不等式的解集
2. 在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，
叫作 .
不等式的解
3． 一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解
集．求不等式解集的过程叫作 .
所有解
解不等式
例 3 下列各数：－4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12，哪
些是不等式x＋3＞6的解？
解：3.2，4.8，8，12是不等式x＋3＞6的解．
4. 若x＝3是某个不等式的解，则这个不等式可以是（　B　）
A. x>3 B． x≥3
C. x<3 D． x>4
B
在数轴上表示不等式的解集
例4 将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
(1)x＞7；
解：不等式的解集在数轴上表示如图．
(2)x≤4.
解：不等式的解集在数轴上表示如图．
5. 写出下列数轴上表示的不等式的解集．(未知数用x表示)
(1)
数轴上表示的解集为 ；
x＜－1
(2)
数轴上表示的解集为 ；
(3)
数轴上表示的解集为 ．
x≥1
x＞－
用数轴表示不等式的解集的步骤：(1)画数轴；(2)定界点(“≥”
或“≤”画实心圆点，“>”或“<”画 圆圈)；(3)定方向(大于向右，
小于向 )．
空心
左
1． 我市某一天的最高气温是9 ℃，最低气温是零下2 ℃，则当天
我市气温变化范围t(℃)是（　D　）
A． 2＜t＜9 B． 2≤t≤9
C． －2＜t＜9 D． －2≤t≤9
D
2． 开放性题目试写出一个含有未知数y的不等式
．
3． 若x是不大于5的正数，则下列表示正确的是（　B　）
A． 0＜x＜5 B． 0＜x≤5
C． 0≤x≤5 D． x≤5
y>3(答案不唯一)
B
4． 下列不等式的解集中，不包括－5的是（　C　）
A． x≤－4 B． x≥－5
C． x≤－6 D． x≥－7
C
5． 在数轴上表示下列不等式的解集，并填空．
(1)x＞－2；
解：如图．
非正整数解为 ；
解：如图．
－1，0
(2)x＜0；
解：如图．
最大整数解为 ；
解：如图．
－1
(3)x≥－2.5；
解：如图．
负整数解为 ．
解：如图．
－2，－1
6． 请设计不同的实际背景来表示下列不等式：
(1)x＞y；
解：八年级(1)班的男生比女生多，其中男生x人，女生y人．(答案
不唯一)
(2)3a＋4b≤560.
解：3条长裤和4件上衣的总价不超过560元，其中长裤单价为a
元，上衣单价为b元．(答案不唯一)(共21张PPT)
第二章 不等式与不等式组
第2课 不等式及其基本性质(2)
不等式的基本性质
请用“＞”“＜”或“＝”填空：
已知5 4，则①5＋2 4＋2，5－2 4－2；
②5×2 4×2，5÷2 4÷2；
③5×(－2) 4×(－2)，5÷(－2) 4÷(－2)．
＞
＞
＞
＞
＞
＜
＜
(1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加(或减)同一个代
数式，不等号的方向 ，即如果a＞b，那么a＋c b＋
c，a－c b－c；
不变
＞
＞
(2)不等式的基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，
不等号的方向 ，即如果a＞b，并且c＞0，那么ac bc，
；
(3)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，
不等号的方向 ，即如果a＞b，并且c<0，那么ac bc，
.
不变
＞
＞
改变
＜
＜
例1 已知a＞b，用“＞”或“＜”填空．
(1)a＋2 b＋2; (2)a－3 b－3；
(3)－2a －2b; (4) ；
(5)－ － ； (6)2－a 2－b.
＞
＞
＜
＞
＜
＜
1. 若x＜y，则下列结论错误的是（　C　）
A. x－2＜y－2
B. 3x＋1＜3y＋1
C. －2x＜－2y
D. ＜
C
例2 写出下列不等式变形的根据：(填阿拉伯数字)
(1)由a＋3＞0，得a＞－3.根据不等式的基本性质 ；
(2)由－2a＜1，得a＞－ .根据不等式的基本性质 ．
1
3
将不等式化成“x>a”或“x例3 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)x－1＞2； (2)－x＜ ；
解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加1，得x＞2＋1，即x
＞3.
(2)根据不等式的基本性质3，两边都除以－1，得x＞－ .
(3) x＜3； (4)7x＜6x－4.
解：(3)根据不等式的基本性质2，两边都乘2，得x＜3×2，即x
＜6.
(4)根据不等式的基本性质1，两边都减6x，得x＜－4.
2. 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)x＋2＞4； (2)2x＜x－3；
解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都减2，得x＞4－2，即x
＞2.
(2)根据不等式的基本性质1，两边都减x，得x＜x－3－x，即x＜
－3.
(3) x＜－ ； (4)1－ x≥x－2.
解：(3)根据不等式的基本性质2，两边都乘3，得x＜－ ×3，即x
＜－4.
(4)根据不等式的基本性质1，两边都减(x＋1)，得
－ x≥－3.
根据不等式的基本性质3，两边都乘－ ，得x≤ .
1． (2025·济南)已知a>b，则下列不等式一定成立的是（　D　）
A． a－1C． －a>－b D． 2a>a＋b
D
2． 已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的是
（　D　）
A． a＞b B． a＋2＞b＋2
C． －a＜－b D． 2a＞3b
D
3． 若a＜b，则下列不等式正确的是（　C　）
A． ＜1 B． ac2＜bc2
C． －b＜－a D． b－a＜0
C
4． (2025·常州)若 > ，则x－y 0.(填“>”“<”或“＝”)
5． 开放性题目已知a＜b，且实数c满足ac＞bc，请你写出一个
符合题意的实数c的值： ．
＞
－1(答案不唯一，小于0即可)
6． 将下列不等式化成“x＞a”或“x(1)x－5<1；
解：根据不等式的基本性质1，两边都加5，得x＜1＋5，即x＜6.
(2)－5x<－2；
解：根据不等式的基本性质3，两边都除以－5，得x>－2÷(－5)，
即x> .
(3)10x－1＞7x;
解：根据不等式的基本性质1，两边都加(－7x＋1)，得3x>1.
根据不等式的基本性质2，两边都乘 ，得x＞1× ，即x> .
(4)2x＋5＜4x－2.
解：根据不等式的基本性质1，两边都加(－4x－5)，得－2x＜－7.
根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x>(－7)÷(－2)，即
x> .
7． 一题多解 当0A． x2C． A
8． 给出下列命题：①若a>b，则ac2>bc2；②若ab>c，则b> ；
③若－3a>2a，则a<0；④若a（　A　）
A． ③④ B． ①③
C． ①② D． ②④
A
9． 【北师八下P61习题T8变式】比较大小：
(1)如果a－1>b＋2，那么a b.
(2)试比较2a与3a的大小：
①当a>0时，2a 3a；
②当a＝0时，2a 3a；
③当a<0时，2a 3a.
＞
＜
＝
＞
(3)试比较a＋b与a的大小．
(4)试判断x2－3x＋1与－3x＋1的大小．
解：(3)当b＞0时，a＋b＞a.当b＝0时，a＋b＝a.当b＜0时，a
＋b＜a.
(4)∵x2≥0，
∴x2－3x＋1≥－3x＋1.(共17张PPT)
第二章 不等式与不等式组
第4课 一元一次不等式(2)
一元一次不等式的实际应用
1. 列一元一次不等式解应用题的步骤：①审；②设；③列；④解；
⑤验；⑥答．
例1 小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，
规定答对一道题得6分，答错或不答扣2分，只有得分超过90分才能获得
奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
解：设小明答对了x道题，则答错或不答的题目为
道．
依题意，得 ．解得 ．
∵x为非负整数，∴x最小为 ．
答：小明至少答对 道题才能获得奖品．
(25－x)
6x－2(25－x)＞90
x＞17.5
18
18
2. 【北师八下P66习题T5改编】丽丽计划去文具店购买笔和笔记
本，笔的单价为2元，笔记本的单价为8元，若用于购买的总费用不超过
30元，她买了3支笔，她最多能买几本笔记本？
解：设丽丽买了x本笔记本．
根据题意，得2×3＋8x≤30.解得x≤3.
答：她最多能买3本笔记本．
例2 为有效开展课后延时服务特色课程，某校计划购买葫芦丝和口
风琴给同学们活动使用，购买1个葫芦丝和2个口风琴需用280元；购买2
个葫芦丝和3个口风琴需用470元．
(1)求购买1个葫芦丝和1个口风琴各需要多少元；
解：(1)设购买1个葫芦丝需用x元，1个口风琴需用y元．
由题意，得
解得
(2)如果购买葫芦丝和口风琴共46个，且购买的总费用不超过4 430
元，那么最多可购买多少个葫芦丝？
答：购买1个葫芦丝需用100元，1个口风琴需用90元．
(2)设购买m个葫芦丝，则购买(46－m)个口风琴．
由题意，得100m＋90(46－m)≤4 430.
解得m≤29.
答：最多可购买29个葫芦丝．
3. 某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60 000元
购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13 500元，进价
和售价如表：
价格 上衣 裤子
进价/(元/件) 100 150
售价/(元/件) 125 180
(1)小东的商店购进上衣和裤子各多少件？
解：(1)设小东的商店购进上衣x件，裤子y件．
根据题意，得
解得
答：小东的商店购进上衣300件，裤子200件．
(2)该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购
进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子进行打折销
售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第二次销售活动获利不少于12
300元，每件裤子最多打几折？
(2)设每件裤子打m折．根据题意，得(125－100)×300＋(180× -
150)×200×2≥12 300.解得m≥9.
答：每件裤子最多打九折．
1． 某位车间工人接到一项任务，要求在10天内加工200个零件．前
2天该工人每天加工12个零件，若要在规定时间内完成任务，则以后该
工人平均每天加工x个零件，根据题意可列不等式为
．
2×12＋(10－
2)x≥200
2． 爆破施工时，导火索燃烧的速度为0.8 cm/s，人跑开的速度是5
m/s，为了让点导火索的人员在爆破时能跑到离爆破点100 m及以外的安
全地区，导火索至少要多长？
解：设导火索的长为x cm.
依题意，得 ×5≥100.解得x≥16.
答：导火索至少要16 cm长．
3． 情境创设刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣
之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划
购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣
作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘
绣作品共需要1 200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元；
解：(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得 解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，
总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
(2)设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品(200－a)件．
根据题意，得300a＋200(200－a)≤50 000.
解得a≤100.
答：最多能购买A种湘绣作品100件．
4． (2025·深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某
体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球、足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的费用为140元
②购买2个足球的费用比购买一个篮球多40元
③购买5个篮球与购买6个足球的费用相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的
单价；
解：(1)设每个篮球x元，每个足球y元．
选②③条件，由题意，得
解得
答：每个篮球60元，每个足球50元．
(若选①②条件，由题意，得
若选①③条件，由题意，得
(2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个
数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
(2)设购买篮球m个，则购买足球(10－m)个．
由题意，得10－m≤2m.解得m≥ .
设购买的总费用是w元，w＝60m＋50(10－m)＝10m＋500.
∵10>0，∴w随着m的减小而减小．
∵m≥ 且m为整数，
∴当m为最小值4时，w为最小值540.
答：当购买4个篮球时，花费最少，最少费用是540元．(共20张PPT)
第二章 不等式与不等式组
第3课 一元一次不等式(1)
一元一次不等式的概念
1. 不等式的左右两边都是 ，只含有 未知数，并
且未知数的次数都是 ，像这样的不等式，叫作一元一次不等式．
整式
一个
1
例1 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　B　）
A. x＋y≥0 B． x＋2＜48
C. x2＞1 D． ≤5
2. 已知 (m＋4) ＋6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值
为 ．
B
4
解一元一次不等式
例2 解不等式2x＋1＜10－x，并把它的解集表示在数轴上．
解：移项，得2x＋x＜10－1.
合并同类项，得3x＜9.
两边都除以3，得x＜3.
不等式的解集在数轴上表示如图．
3. 解不等式－(x－1)≥2(3－x)，并把它的解集表示在数轴上．
解：去括号，得－x＋1≥6－2x.
移项，得－x＋2x≥6－1.
合并同类项，得x≥5.
不等式的解集在数轴上表示如图．
例3 解不等式 ＞ ，并把它的解集表示在数轴上．
解：去分母，得3(－2＋x)＞2(2x－1)．
去括号，得－6＋3x＞4x－2.
移项，得3x－4x＞－2＋6.
合并同类项，得－x＞4.
两边都除以－1，得x＜－4.
不等式的解集在数轴上表示如图．
4. 解不等式 - ≤1，并把它的解集表示在数轴上．
解：去分母，得2(x－3)－(4x－1)≤4.
去括号，得2x－6－4x＋1≤4.
移项，得2x－4x≤4＋6－1.
合并同类项，得－2x≤9.
两边都除以－2，得x≥－ .
不等式的解集在数轴上表示如图．
解一元一次不等式的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.(注
意：步骤①②⑤易出错)
例4 不等式2(x＋2)≥x＋1的负整数解的个数为（　C　）
A. 1 B． 2 C． 3 D． 4
5. (2024·烟台)关于x的不等式m－ ≤1－x有正数解，m的值可以
是 ．(写出一个即可)
C
0(答案不唯一)
1． 下列不等式中，是一元一次不等式的是（　A　）
A． 2x－1＞x B． －1＞2
C． ＞1 D． 5x＋y＞0
A
2． 不等式2(x－1)≥6的解集是（　D　）
A． x≤2 B． x≥2
C． x≤4 D． x≥4
3． (2025·德州)若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范
围是 ．
D
x≥3
4． (2025·陕西)解不等式3(2x－1)≤4x＋1，并把它的解集表示在如
图所示的数轴上．
解：去括号，得6x－3≤4x＋1.
移项、合并同类项，得2x≤4.
系数化为1，得x≤2.
原不等式的解集在数轴上表示如图．
5． 解不等式： －1＜ .
解：去分母，得4(x＋1)－12＜3(x－1)．
去括号，得4x＋4－12＜3x－3.
移项，得4x－3x＜－3－4＋12.
合并同类项，得x＜5.
6． 当x取何值时，式子 －2的值不大于 －3的值？
解：依题意，得 －2≤ －3.
去分母，得2x－12≤3x－18.
移项，得2x－3x≤－18＋12.
合并同类项，得－x≤－6.
两边都除以－1，得x≥6.
7． 若关于x的不等式mx－n>0的解集是x< ，则关于x的不等式
(n－m)x>m＋n的解集是 ．
x>－
8． 【北师八下P66习题T4改编】下面是小明同学解不等式 －
1< 的过程，请认真阅读，并解决相应的问题．
解：去分母，得x＋5－1<3x－2.①
移项、合并同类项，得－2x<－6.②
两边都除以－2，得x>3.③
(1)第①步的依据是 ；小明解不等式的过程
是从第 (填序号)步开始出现错误的，原因是
．
不等式的基本性质2
①
去分母时不等式左
边的常数项1没有乘分母的最小公倍数2
(2)写出正确的解答过程．
解：去分母，得x＋5－2<3x－2.
移项、合并同类项，得－2x<－5.
两边都除以－2，得x> .
9． 【拓展题】已知关于x的方程5x＋3a＋1＝2x＋7的解是非负
数．
(1)求a的取值范围；
解：(1)解方程5x＋3a＋1＝2x＋7，得x＝2－a.
∵方程5x＋3a＋1＝2x＋7的解是非负数，
∴2－a≥0.解得a≤2.
∴a的取值范围为a≤2.
(2)当a取最大整数时，求关于y的不等式y－2< 的解集．
(2)∵a≤2，∴a的最大整数值为2.
∴当a取最大整数时，关于y的不等式为y－2< .
解得y<8.(共20张PPT)
第二章 不等式与不等式组
第6课 一元一次不等式与一次函数(2)
最优方案问题
例1 某电信公司有甲、乙两种手机收费业务．甲种业务规定月租费
8元，每通话1 min收费0.2元；乙种业务不收月租费，但每通话1 min收
费0.3元．
(1)请直接写出甲、乙两种收费业务每月应缴费用y(单位：元)与通
话时间x(单位：min)之间的关系式．
解：(1)由题意，得甲种收费业务每月应缴费用y甲＝8＋0.2x，乙种
收费业务每月应缴费用y乙＝0.3x.
(2)何时选择甲种业务对顾客更合算？
(2)当y甲＜y乙时，8＋0.2x＜0.3x.
解得x＞80.
∴当x＞80时，甲种业务对顾客更合算．
(3)何时选择乙种业务对顾客更合算？
(3)当y乙＜y甲时，0.3x＜8＋0.2x.
解得x＜80.
∴当x＜80时，乙种业务对顾客更合算．
1. 某单位要制作一批宣传材料，甲广告公司提出：每份材料收费50
元，另收设计费2 000元；乙广告公司提出：每份材料收费70元，不收设
计费．设该单位需要制作宣传材料x份，广告公司收取费用为y元．
(1)制作多少份时，选择甲公司更合算？
解：甲公司收取费用y甲＝50x＋2 000，乙公司收取费用y乙＝70x.
(1)当y甲＜y乙时，50x＋2 000＜70x.
解得x＞100.
∴当x＞100时，选择甲公司比较合算．
(2)制作多少份时，选择乙公司更合算？
(2)当y甲＞y乙时，50x＋2 000＞70x.
解得x＜100.
∴当x＜100时，选择乙公司比较合算．
(3)制作多少份时，两公司收费相同？
(3)当y甲＝y乙时，50x＋2 000＝70x.
解得x＝100.
∴当x＝100时，两公司的收费相同．
例2 【北师八下P68例改编】某公司计划组织员工到某地旅游，
甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人2 000元．经过协
商：甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去
一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．设该公司参加旅游的人数是
x人，选择甲旅行社所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2
元．请你通过计算说明，选择哪家旅行社更合算？
解：由题意，得y1＝2 000×0.75x＝1 500x，
y2＝2 000×0.8(x－1)＝1 600x－1 600.
当y1＝y2时，1 500x＝1 600x－1 600.解得x＝16.
当y1＞y2时，1 500x＞1 600x－1 600.解得x＜16.
当y1＜y2时，1 500x＜1 600x－1 600.解得x＞16.
∴当x＜16时，乙旅行社更合算；当x＝16时，两家旅行社一样合
算；当x＞16时，甲旅行社更合算．
1． 春节期间全国各大景点“人从众”现象刷屏，各大景区门票预订
量同比暴涨，某景区的票价为50元，为吸引游客推出两套家庭优惠方
案，方案一：享受1人免票，其余人八折优惠；方案二：所有人享受七
折优惠．
(1)若小红一家共5人游玩，则选择哪种方案更合算？
解：(1)方案一：50×0.8×(5－1)＝160(元)，
方案二：50×0.7×5＝175(元)．
∵160<175，∴选择方案一更合算．
(2)经计算小明一家选择方案二更合算，则小明一家至少有多少人？
(2)设小明家有x人去旅游．
根据题意，得50×0.8(x－1)>50×0.7x.
解得x>8.
∵x为整数，∴x的最小值为9.
∴小明家至少有9人．
2． 情境创设近日，“盛唐密盒”爆火出圈，一举将西安再次推入文
旅热门打卡城市，也带火了汉服体验．有数据显示，3月以来，西安汉
服体验订单量全国第一，比去年同期增长了13倍.某旅行社计划租用若
干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是75
元、80元，五一期间为吸引更多顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优
惠方案，具体如下：
甲汉服体验店：按原价八折进行优惠；
乙汉服体验店：若租用不超过6件，按原价收取租金；若租用6件以
上，超出6件的部分可按原价的五折进行优惠．
设该旅行社需要租用x(x>6)件汉服，选择甲店总租金为y1元．选择
乙店总租金为y2元．
(1)请分别求出y1，y2关于x的函数表达式．
解：根据题意，得y1＝0.8×75x＝60x(x＞6)，
y2＝6×80＋0.5×80(x－6)＝480＋40x－240＝40x＋240(x>6)．
(2)该旅行社选择哪家汉服体验店更便宜？
解：令y1>y2，则60x>40x＋240，解得x>12；
令y1＝y2，则60x＝40x＋240，解得x＝12；
令y1∴当x>12时，选择乙店更便宜；当x＝12时，选择两个店的费用相
同；当63． 某班准备买一些乒乓球和乒乓球拍，据了解有甲、乙两家商店
出售同种品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每
副定价30元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部
按九折优惠．该班需要球拍5副，乒乓球若干盒(不少于5盒)．
(1)由题意，得y甲＝y乙，即5x＋125＝135＋4.5x.解得x＝20.
答：当购买20盒乒乓球时，两家商店付款一样．
(1)当购买多少盒乒乓球时，两家商店付款一样？
解：设购买乒乓球x盒，甲商店的费用为y甲，乙商店的费用为y乙．
由题意，得y甲＝30×5＋(x－5)×5＝5x＋125，
y乙＝(30×5＋5x)×0.9＝135＋4.5x.
(2)当购买15盒乒乓球时，单独在哪一家商店购买更合算？
(2)当购买15盒时，甲店需付款5×15＋125＝200(元)，
乙店需付款135＋4.5×15＝202.5(元)．
∵200＜202.5，∴购买15盒乒乓球时，去甲店更合算．
(3)若可以在两家商店任意购买，要购买5副球拍和15盒乒乓球时，
怎样购买最合算？
(3)当购买5副球拍，15盒乒乓球时，
在甲店买5副球拍，送5盒乒乓球，需付款30×5＝150(元)，在乙店
买10盒乒乓球，需付款10×5×0.9＝45(元)．
∴150＋45＝195(元)．
∵195＜200＜202.5，∴此购买方法最合算．
答：在甲店买5副球拍，在乙店买10盒乒乓球最合算．(共19张PPT)
第二章 不等式与不等式组
第8课 一元一次不等式组(2)
解较复杂的一元一次不等式组
例1 解不等式组：
解：
解不等式①，得x≥－2.解不等式②，得x＜1.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图．
∴原不等式组的解集为－2≤x＜1.
1. 解不等式组：
解：
解不等式①，得x＜－2.解不等式②，得x<1.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图．
∴不等式组的解集为x<－2.
一元一次不等式组的特殊解
例2 解不等式组： 并求它的最小整数解．
解：
解不等式①，得x≥7.解不等式②，得x>2.
∴不等式组的解集为x≥7.
∴该不等式组的最小整数解为7.
2. 求不等式组1≤ ≤5的整数解．
解：解不等式 ≥1，得x≥3.
解不等式 ≤5，得x≤ .
两个不等式的解集在数轴上表示如图．
∴原不等式组的解集为3≤x≤ .
∴该不等式组的整数解为3，4，5.
一元一次不等式组的应用
例3 某中学八(1)班和八(2)班的同学外出参观，将两班的所有学生
分成8组．如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过
100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90
人．求预定每组学生的人数．
解：设预定每组学生的人数为x人．
由题意，得 解得11.5＜x＜12.25.
∵x为整数，∴x为12.
答：预定每组学生的人数为12人．
1． 已知不等式组 的解集如图所示，则不等式组的整数
解个数为（　C　）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
C
2． (2025·青海)在平面直角坐标系中，点P(a－2，1＋a)在第三象
限，则a的取值范围是 ．
a<－1
3． 解不等式组： 并写出它的所有整数解．
解：解不等式①，得x>－1.
解不等式②，得x<4.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图．
∴原不等式组的解集是－1∴整数解为0，1，2，3.
4． x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与 x－1≤7－ x都
成立？
解：由题意，得
解不等式①，得x＞－ .
解不等式②，得x≤4.
∴原不等式组的解集为－ ＜x≤4.
∴不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2，3，4.
∴x取整数－2，－1，0，1，2，3，4时，不等式5x＋2＞3(x－1)
与 x－1≤7－ x都成立．
5． 一题多问解不等式组：
(1)当a＝1时，请回答下列问题：
(ⅰ)解不等式①，得 ；
(ⅱ)解不等式②，得 ；
x≤1
x＞－2
(ⅲ)将不等式①和②的解集在数轴上表示；
解：在数轴上表示如图所示．
(ⅳ)原不等式组的解集为 ；
(ⅴ)满足原不等式组的整数解的和为 .
(2)若该不等式组的解集为－3＜x≤1，则a的值为 ．
(3)若该不等式组无解，则a的取值范围为 .
－2＜x≤1
0
a≤0
(4)若该不等式组有且只有4个整数解，求a的取值范围．
解：解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x＞1－3a.
∵该不等式组有且只有4个整数解，
∴－3≤1－3a＜－2.解得1＜a≤ .
∴a的取值范围为1＜a≤ .
6． 新定义我们定义 ＝ad－bc，例如： ＝2×5－
3×4＝－2，则满足1< <3的x的取值范围为 ．
1生活中的“一次模型”
例 综合与实践
主题：综合运用一元一次不等式、一元一次方程和一次函数等知识
解决生活中的“一次模型”问题．
背景：吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美
术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉
祥物，身穿冬季运动服，戴着红围巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑
冰．滑单板的“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物，身穿中华民族传统毛领
节庆红袄．某超市决定购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共
100个，且投入资金不少于1 160元又不多于1 168元进行销售．已知“滨
滨”造型钥匙扣挂件进价每个10元，售价每个16元；“妮妮”造型钥匙扣
挂件进价每个14元，售价每个18元．
问题：(1)问该超市有哪几种购买方案？
解：(1)设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，则购买“妮妮”造型钥匙
扣挂件(100－x)个．
根据题意，得 解得58≤x≤60.
∵x为正整数，∴x可以为58，59，60.共有3种购买方案．
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件
42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件
41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件
40个．
探究：(2)若购进的100个挂件全部售出，最多可获得利润多少元？
(2)设利润为y元．
∴y＝(16－10)x＋(18－14)(100－x)＝2x＋400.
∵2＞0，∴y随x的增大而增大．
∴当x＝60时，y有最大值为2×60＋400＝520.
答：最多可获得利润520元．
延伸：(3)该超市按获利最大的方案购进这100个挂件，同时按售出
的钥匙扣挂件数量每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润再次同
时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次
购进两种钥匙扣挂件最多的方案．
(3)购进“滨滨”造型钥匙扣挂件25个，“妮妮”造型钥匙扣挂件5个．

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