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(共17张PPT)
第六章 平行四边形
第1课 平行四边形的性质(2)
平行四边形的对角线互相平分
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 线段OA与
OC，OB与OD长度有何关系？
(1)猜想：OA＝ ，OB＝ ．
OC
OD
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝ ，AD∥ ．
∴∠DAO＝ ，∠ADO＝ ．
∴△ADO≌△CBO(ASA)．
∴OA＝ ，OB＝ ．
BC
BC
∠BCO
∠CBO
OC
OD
　
性质 几何语言
边 对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥DC，AB＝DC
角 对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
对角线 相互平分 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝ ，OB＝
OC
OD
例1 如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，若BD
＝6 cm，AC＝8 cm，则BO＝ ，CO＝ ．
3 cm
4 cm
1. 如图， ABCD的对角线相交于点O，且AB＝16，△OCD的周
长为36，则 ABCD的两条对角线的和为 ．
40
例2 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的
直线交AB于点E，交CD于点F. 求证：EO＝FO.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AB∥CD.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴EO＝FO.
2. 【北师八下P156例2变式】如图， ABCD的对角线AC，BD相交
于点O，经过点O的直线分别交BA的延长线，DC的延长线于点E，
F. 求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD.
∴∠E＝∠F.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF.
过平行四边形的对角线交点的直线的特征：过平行四边形的
对角线交点所作的直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，
得到的两条线段总相等，且这条直线平分这个平行四边形的周长及面
积．
等腰梯形
3. 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作 ．如
图，平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为 ，较长的底
通常称为 ．不平行的两边称为梯形的 ，两腰相等的梯
形称为 ．
梯形
上底
下底
腰
等腰梯形
例3 如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b，∠1＝
110°，∠4＝125°，求∠2和∠3的度数．
解：∵a∥b，
∴∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°.
∵∠1＝110°，∠4＝125°，
∴∠2＝70°，∠3＝55°.
4. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，已知∠A＝∠B，求证：
AD＝BC.
证明：如图，过点C作CE∥AD，交AB于点E.
∴∠A＝∠CEB.
∵∠A＝∠B，∴∠CEB＝∠B. ∴CE＝BC.
∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴AD＝CE. ∴AD＝BC.
1． 平行四边形的对角线一定具有的性质是（　B　）
A． 相等 B． 互相平分
C． 互相垂直 D． 互相垂直且相等
B
2． 已知 ABCD的两条对角线相交于点O. 若OA＋OB＝8，则该
平行四边形两条对角线的和为 ．
16
3． 如图，在 ABCD中，AC＝6，BD＝10，CD＝6，则△ABO
的周长是（　B　）
A. 10
B． 14
C． 20
D． 22
B
4． 已知， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，对于以点O为
公共顶点的4个三角形来说，下面结论中错误的是（　B　）
A． 有两对三角形全等
B． 它们的周长相等
C． 它们的面积相等
D． 每个三角形的面积都等于平行四边形面积的四分之一
B
5． 【北师八下P158习题T5改编】如图，四边形ABCD是平行四边
形，AD＝12，AB＝13，BD⊥AD，求OD的长度和平行四边形ABCD
的面积．
解：∵AD＝12，AB＝13，BD⊥AD，
∴由勾股定理，得BD＝ ＝5.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝ BD＝ .
∵BD⊥AD，∴S ABCD＝AD·BD＝12×5＝60.(共27张PPT)
第六章 平行四边形
第7课 平行四边形章末复行且相等
相等
互相平分
中心对称
相等
平分
平行
一半
一、选择题
1． 图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表
示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列四边形一定
为平行四边形的有（　C　）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
C
2． 如图，点A，B分别在直线l1，l2上，且l1∥l2，AB⊥l1.下列两
种说法：①线段AB的长是A，B两点之间的距离；②线段AB的长是平
行线l1，l2之间的距离，判断合理的是（　B　）
A. ①正确，②错误
B． ①②都正确
C． ①错误，②正确
D． ①②都错误
B
3． 如图， ABCD的周长为20 cm，AC与BD相交于点O，
OE⊥AC交AD于点E，则△CDE的周长为（　C　）
A. 6 cm
B． 8 cm
C． 10 cm
D． 12 cm
C
4． 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在
BC上，DE是∠AEF的平分线．若∠C＝80°，则∠EFB的度数是
（　A　）
A. 100°
B． 110°
C． 115°
D． 120°
A
5． 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，
B，C的坐标分别是(0，4)，(－5，－1)，(0，－1)，则顶点D的坐标是
（　C　）
A. (5，5)
B． (4，5)
C． (5，4)
D． (4，4)
C
二、填空题
6． 已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝
4，AO＝3，BO＝5，则平行四边形的面积是 ．
24
7． 如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接
BE，DE. 若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 ．
4
8． 如图，在 ABCD中，点E为AD边的中点，将 ABCD沿BE翻
折，得到△FBE，连接DF并延长交BC于点G，若BE＝AD＝3，平行
四边形ABCD的面积为6，则FG＝ ．
3－
三、解答题
9． 如图，在 ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求
证：DF＝BE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC. ∴∠DAF＝∠BCE.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AFD＝∠CEB＝90°.
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB(AAS)．∴DF＝BE.
10． 如图，等边三角形ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC
的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD和EF.
(1)求证：四边形DCFE是平行四边形；
(1)证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝ BC，DE∥BC.
∵CF＝ BC，∴DE＝CF.
∴四边形DCFE是平行四边形．
(2)求EF的长．
(2)解：由(1)，得四边形DCFE是平行四边形．
∴EF＝DC.
∵等边三角形ABC的边长是4，点D为AB的中点，
∴AC＝AB＝4，AD＝ AB＝2，CD⊥AB.
∴CD＝ ＝2 .∴EF＝CD＝2 .
11． 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30
cm，点P自点A出发，向点D以1 cm/s的速度运动，点Q自点C出发，
向点B以2 cm/s的速度运动，当点P，Q中有一点到达终点时，另一点
也随之停止运动．直线PQ截梯形为两个四边形．当点P，Q同时出
发，问几秒时其中一个四边形为平行四边形？
解：设点P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或
四边形APQB是平行四边形．
由题意，得AP＝t，PD＝24－t，CQ＝2t，BQ＝30－2t.
①若四边形PDCQ是平行四边形，则PD＝CQ.
∴24－t＝2t.解得t＝8.
∴8秒时四边形PDCQ是平行四边形．
②若四边形APQB是平行四边形，则AP＝BQ.
∴t＝30－2t.解得t＝10.
∴10秒时四边形APQB是平行四边形．
综上所述，8秒或10秒时其中一个四边形是平行四边形．
开展垃圾处理宣传活动
【北师八下P180综合与实践改编】项目式学习：进行垃圾分类，既
能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实
现资源利用最大化．
【项目主题】垃圾填埋的空间危机与分类减量价值
【收集数据】已知某校所在城区人口约 10 万，每人日均产生生活
垃圾 0.8 千克，填埋场每立方米可填埋垃圾 0.6 吨．
【问题解决】
(1)求该城区居民日均产生垃圾总质量(单位：吨)；
解：(1)100 000×0.8÷1 000＝80(吨)．
(2)若该城区拥有一座总容量为 300 万立方米的垃圾填埋场，试估算
多少年后需要建新的垃圾填埋场(结果保留整数，一年按365天计算)；
(2)设x年后需要建新的垃圾填埋场．
根据题意，得80×365x≤3 000 000×0.6.解得x≤ .
∵x取整数，∴x≤61.
答：估算61年后需要建新的垃圾填埋场．
(3)在第(2)问的基础上，若通过分类回收，可减少30%填埋量，计
算分类后垃圾填埋场将增加多少年的使用年限(结果保留整数)；
(3)设分类后垃圾填埋场将增加y年的使用年限．
根据题意，得80×365y≤3 000 000×0.6×30%.解得y≤ .
∵y取整数，∴y≤18.
答：分类后垃圾填埋场将增加18年的使用年限．
(4)在推进垃圾分类项目过程中，该城区将分类出的可回收物进行资
源回收，其他垃圾用于焚烧处理．为提高其他垃圾的焚烧处理效率，引
进新型焚烧处理设备．使用新设备后，处理300吨其他垃圾所用时间与
原来处理240吨其他垃圾所用时间相同，且新设备每天比原来多处理20
吨其他垃圾．求原来每天处理其他垃圾
多少吨？
(4)设原来每天处理其他垃圾z吨，则现在每天处理其他垃圾(z＋
20)吨．
根据题意，得 ＝ .解得z＝80.
经检验，z＝80是原分式方程的解，且符合题意．
答：原来每天处理其他垃圾80吨．
设计美丽的镶嵌图案
例 【北师八下P181综合与实践改编】在日常生活中，观察各种建筑
物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，
也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留
下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫作平面镶嵌)，这显然与正多边
形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好
组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．
(1)请根据下列图形，填表：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数


…
60°
90°
108°
120°
(2)如果仅限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种正多边形能镶嵌成
一个平面图形？
解：(2)如果仅限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和
等于360°，得正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形都能镶嵌成一
个平面图形．
(3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中
选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图形的示意
图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的
理由．
(3)选择正方形和正八边形(如图所示)．理由如下：
设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，
那么m，n应满足90m＋135n＝360，即2m＋3n＝8，且m，n为正整数．
∵2m＋3n＝8的正整数解只有 一组，
∴符合条件的图形只有一种．
变式 (1)小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷
砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖
的边数可以是 ；(填一种即可)
(2)如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则∠1的度数
是 ．
4(答案不唯一)
36°(共16张PPT)
第六章 平行四边形
第3课 平行四边形的判定(1)
(1)用两根长30 cm的木条和两根长40 cm的木条作为四边形
的四条边，能否拼成一个平行四边形？
①猜测： (填“能”或“不能”)拼成一个平行四边形；
能
证明：如图，连接BD.
∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB(SSS)．
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.
∴AB∥CD，AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形．
②证明猜测：如图，已知四边形ABCD，AB＝CD，AD＝CB. 求
证：四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行
四边形．
几何语言：如图，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)只用两根长30 cm的木条AB，CD平行放置，再用木条AD，BC
加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
①猜测：四边形ABCD (填“是”或“不是”)平行四边形；
是
证明：如图，
连接AC.
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.
又AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(SAS)．
∴BC＝DA.
∴四边形ABCD是平行四边形．
②证明猜测：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD. 求
证：四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形．
几何语言：如图，
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
例1 如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′按如图方式放置，
使两条直角边BC与C′B′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B是平
行四边形吗？说明理由．
解：四边形ACA′B是平行四边形．理由如下：
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，AC＝A′C′，
即AB＝A′C，AC＝A′B.
∴四边形ACA′B是平行四边形．
1. 如图，AC＝BD，AB＝CD＝EF，CE＝DF. 图中有几个平行
四边形？有哪些互相平行的线段？请说明理由．
解：图中有两个平行四边形，有AB∥CD∥EF，AC∥BD，CE∥DF.
理由如下：∵AC＝BD，AB＝CD，
∴四边形ABDC是平行四边形．∴AB∥CD，AC∥BD.
∵CE＝DF，EF＝CD，∴四边形CDFE是平行四边形．
∴CD∥EF，CE∥DF.
综上所述，AB∥CD∥EF，AC∥BD，CE∥DF.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
例2 如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且AE
＝CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵AE＝CF，
∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.
∴四边形BFDE是平行四边形．
2. 【北师八下P161例1变式】如图，在 ABCD中，点E，F分别
在AD，BC边上，且∠ABE＝∠CDF. 求证：四边形BFDE是平行四
边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝CB.
∵∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)．∴AE＝CF.
∵AD＝CB，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.
∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
1． 在四边形ABCD中，AD＝BC，要使其是平行四边形，还需补
充的一个条件是： ．
2． 在四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，当BC
＝ cm，CD＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
AD∥BC(答案不唯一)
10
6
3． 【北师八下P161随堂练习T1改编】如图，将一条长2 cm的线段
AB向右平移3 cm后，连接对应点得到的图形是 形．理由
是 ．
平行四边
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4． 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，
CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（　C　）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 16
C
5． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F为对角线AC
上两点，且AE＝CF，DF∥BE. 求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
∵DF∥BE，∴∠BEC＝∠DFA.
∴∠AEB＝∠CFD. 又AE＝CF，
∴△AEB≌△CFD(ASA)．∴AB＝CD.
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
6． 分类讨论 如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，且CD＝6 cm，
AB＝9 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由
点A向点B运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点D运动．则
秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形．
2或3(共18张PPT)
第六章 平行四边形
第5课 平行四边形的判定(3)
平行线之间的距离
(1)在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木
长．(填“一样”或“不一样”)
一样
(2)如图，直线a∥b，点A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，
BD⊥b，垂足分别为点C，D. 求证：AC＝BD.
证明：∵AC⊥b，BD⊥b，∴∠1＝∠2＝90°.
∴AC∥BD.
∵AB∥CD，∴四边形ACDB是平行四边形．
∴AC＝BD.
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到
另一条直线的距离都相等(如图，AC＝BD)，这个距离称为平行线之间
的距离．
例1 如图，已知直线a∥b，点A，B是直线a上的点，点C，D是
直线b上的点，且AD∥BC. 求证：AD＝BC.
证明：∵a∥b，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD＝BC.
总结：夹在两条平行线间的任何平行线段都相等．
1. 如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂
足，则下列说法不正确的是（　D　）
A. AB＝CD
B. EC＝GF
C. A，B两点间的距离就是线段AB的长度
D. a与b的距离就是线段CD的长度
D
平行四边形的性质和判定的综合
例2 如图，在 ABCD中，点M，N分别是CD，AB上的点，点
E，F分别是AC上的两点，若CM＝AN，AE＝CF. 求证：四边形
MENF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD. ∴∠BAC＝∠DCA.
∵AN＝CM，∠NAE＝∠MCF，AE＝CF，
∴△ANE≌△CMF(SAS)．
∴EN＝FM，∠AEN＝∠CFM.
∴∠FEN＝∠EFM. ∴EN∥FM.
又EN＝FM，∴四边形MENF是平行四边形．
2. 如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF. 求
证：四边形DEBF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB. ∴∠1＝∠2.
∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)．
∴DE＝BF，∠3＝∠4.
∵∠3＋∠5＝180°＝∠4＋∠6，
∴∠5＝∠6.∴DE∥BF. 又DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
1． 如图，AD∥BC，AB⊥BC，DC⊥BC，若AB＝1，AD＝
2，则AD，BC之间的距离为（　A　）
A. 1
B． 2
C． 3
D． 4
A
2． 已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一
定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　C　）
A． AD＝BC B． AC＝BD
C． ∠A＝∠C D． ∠A＝∠B
C
3． 如图，在 ABCD中，已知BE＝5，AD＝10，S△ABE＝10，则
S梯形AECD＝（　B　）
A． 40 B． 30 C． 20 D． 10
B
4． 如图，已知直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线
b上，线段BC，AD相交于点E，与△ABD面积相等的三角形
是 ，与△ACD面积相等的三角形是 ．
△ABC
△BCD
5． (2025·济南)已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分
别在BC和AD上，且AF＝CE. 求证：∠AEB＝∠CFD.
证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AD∥BC，AF＝CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴AE∥CF. ∴∠DAE＝∠CFD. ∴∠AEB＝∠CFD.
6． 如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的边长为1，
小正方形的顶点叫作格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度
的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)BC＝ ；
2
(2)在图中画出平行四边形ABCD，D为格点；在AD边上画一点
E，使得∠CBE＝45°；找到格点F，画出直线EF，使得EF平分平行
四边形ABCD的面积．(不必说明理由，不写画法)
解：如图，四边形ABCD、点E、直线EF即为所求．
7． 如图，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，点E，F分别为
垂足．
(1)求证：AF＝CE；
(1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°.∴AE∥CF.
在 ABCD中，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF.
∵AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(AAS)．
∴AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.
(2)如果AE＝3，EF＝4，求AF与EC所在直线之间的距离．
(2)解：在 AECF中，AF∥EC，设AF与EC所在直线之间的距离
为h.
∵AE⊥BD，∴∠AEF＝90°.
∴AF＝ ＝5.
∵S AECF＝AE·EF＝AF·h，∴h＝ ＝ .
∴AF与EC所在直线之间的距离是 .(共25张PPT)
第六章 平行四边形
第6课 三角形的中位线
三角形中位线定理及应用
如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连
接DE.
(1)像DE这样，连接三角形 边
的线段叫作三角形的中位线．
两
中点
(2)在△ABC中，中位线DE和边BC有什么关系？
①猜想：数量关系：DE＝ ；位置关系：DE BC.
BC
∥
证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE，
连接CF. ∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(SAS)．
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF. ∴CF∥AB.
∵AD＝BD，∴CF＝BD. ∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF∥BC，DF＝BC. ∴DE∥BC，DE＝ BC. (方法不唯一)
②证明猜想：已知：如图，DE是△ABC的中位线．求证：
DE∥BC，DE＝ BC.
三角形中位线定理：三角形的中位线 于第三边，
且等于第三边的 ．
几何语言：如图，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝
BC.
平行
一半
例1 如图，点D，E分别是边AB，BC的中点，若AC＝10，∠A
＝90°，则DE＝ ，∠BDE＝ °.
5
90
1. 如图，在 ABCD中，BD为对角线，点E，F分别是AD，BD
的中点，连接EF. 若CD＝6 cm，则EF的长为 ．
3 cm
证明：如图，连接BD.
∵点E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH＝ BD，EH∥BD. 同理，得FG＝ BD，FG∥BD.
∴EH＝FG，EH∥FG. ∴四边形EFGH是平行四边形．
例2 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
2. 【北师八下P174习题T3改编】如图，四边形ABCD是一块土地，
点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点．四边形土地
EGFH是平行四边形吗？请证明你的结论．
解：四边形土地EGFH是平行四边形．证明如下：
∵点E，G分别是线段AB，AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线．∴EG∥BC.
同理，得HF∥BC，GF∥AD，EH∥AD.
∴EG∥HF，GF∥EH.
∴四边形土地EGFH是平行四边形．
1． 情景创设如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间
的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，
并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为
（　C　）
A． 18 m B． 24 m
C． 36 m D． 54 m
C
2． (2025·广东)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，
∠A＝70°，则∠EDF＝（　C　）
A． 20° B． 40° C． 70° D． 110°
C
3． 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中
点，AC＝4.若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为（　B　）
A．4
B． 5
C． 6
D． 8
B
4． 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点M，N，P分别是
AD，BC，BD的中点．若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数
为 ．
25°
5． 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是
CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF，DE.
(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；
证明： ∵点 D ，E分别是 AC ，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥BC ，BC＝2DE.
∵CF＝3BF ，
∴BC＝2BF. ∴DE＝BF.
又∵DE∥BC，即DE∥BF，
∴四边形 DEFB是平行四边形．
(2)若∠ACB＝90°，AC＝12 cm，DE＝4 cm，则四边形DEFB的
周长为 cm.
28
构造中位线巧解题
【方法指导】可以通过以下添加辅助线的方法构造中位线：
(1)已知两个中点：连接两中点或连接第三边；
(2)已知一个中点：取另一边中点并连接这两个中点；
(3)已知角平分线＋垂直：延长有关的线段(被平分角的边或垂直的
边)．
6． 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，
∠D＝100°，AD＝CD. 若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF
的长是 ．
4
7． 如图，CD是△ABC的中线，点E是CD的中点，点F是BE的
延长线与AC的交点．若AF＝2，则AC的长为 ．
3
8． 如图，△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，点E是BC的中
点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为 cm.
1
速度的大小和方向探究
综合与实践
【素材】如图1，点O受到两个速度v1，v2的影响，大小、方向用
有向线段OA，OB表示，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，则对
角线OC的大小和方向表示合速度(即实际速度)v的大小和方向，这种方
法称为平行四边形法则．
【实践】操作一：为了让同学们实际感受速度的大小和方向，老师
带领实践小组的成员到某景区搭乘小船横渡河流．乘船前，小组成员利
用实验工具测得河流的水流速度为3 km/h；
操作二：实践小组的成员在乘船过程中利用指南针认真观察小船行
进的方向，并记录船上的速度记录仪的数据．
【探索】(1)若小船在静水中的航行速度为3 km/h.如图2，当小船朝
着垂直河岸方向航行时，则根据平行四边形法则可知，小船的实际速度
方向为北偏东 °，大小为 km/h；
45
3
(2)如图3，若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸方向，大小为
3 km/h，则小船应该朝哪个方向航行，速度大小为多少？
解：如图．根据题意，得
GM＝3，GN＝3 ，∠NGM＝90°.
根据勾股定理，得MN＝ ＝6.
∴MN＝2GM. ∴∠GNM＝30°.
根据平行四边形法则，知GH∥NM，GH＝NM＝6.
∴∠NGH＝∠GNM＝30°.
∴小船应朝北偏西30°方向航行，速度大小为6 km/h.(共15张PPT)
第六章 平行四边形
第4课 平行四边形的判定(2)
对角线互相平分的四边形是平行四边形
(1)复习上节课的判定：
平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边
形．
平行四边形判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形．
(2)猜想：对角线互相平分的四边形 (填“是”或“不是”)平行四
边形．
是
(3)证明：如图，在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD. 求
证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)．
∴AB＝CD. 同理，得AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．(答案不唯一)
平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四
边形．
几何语言：如图，∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平
行四边形．
例1 如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，若AC
＝10，BD＝6，则当AO＝ ，DO＝ 时，四边形ABCD是平
行四边形．
5
3
1. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件能
判定四边形ABCD是平行四边形的是（　D　）
A. ∠BAD＝∠ABC，∠ADC＝∠BCD
B. AB∥CD，AD＝BC
C. AB＝CD，OA＝OC
D. OA＝OC，OB＝OD
D
例2 如图，在四边形ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，
且AE＝CF，四边形BFDE是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行
四边形．
证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴OE＝OF，OB＝OD.
又AE＝CF，
∴OE＋AE＝OF＋CF，即OA＝OC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
2. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BM⊥AC，
DN⊥AC，垂足分别为点M，N. 求证：四边形BMDN是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD. ∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴∠OMB＝∠OND＝90°.
又∵∠MOB＝∠NOD，
∴△OBM≌△ODN(AAS)．∴OM＝ON.
∴四边形BMDN是平行四边形．
判定平行四边形的方法选择
已知
条件 一组对边相等 一组对边平行 对角线相
交
证明 思路 ①另一组对
边也相等 ②相等的
边也平行 ①另一组对
边也平行 ②平行的
边也相等 对角线互
相平分
1． 在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OB＝OD，再
添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（　D　）
A. OA＝OC
B． ∠1＝∠2
C． ∠3＝∠4
D． AD＝BC
D
2． 如图，要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC，BD的
中点重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法
的依据是 ．
对角线互相平分的四边形是平行四边形
3． ①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF，在这三个条件中任
选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于
点O，点E，F在AC上， .(填写序号)求证：BE＝
DF.
①(或②或③)
解：若选①AE＝CF，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC. ∴∠BAE＝∠DCF.
又AE＝CF，∴△BAE≌△DCF(SAS)．
∴BE＝DF. (②③证明略)
4． 如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交
BA的延长线于点F，连接AC，DF. 求证：四边形ACDF是平行四边
形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠FAE＝∠CDE.
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.
∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE(ASA)．∴FE＝CE.
∵AE＝DE，∴四边形ACDF是平行四边形．
5． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠CBD
＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积
为 ．
24
6． 推理能力 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD
＝12 cm，AC＝6 cm，点E从点B出发以1 cm/s的速度向点O运动，点
F从点O出发以2 cm/s的速度向点D运动，且其中一点到达终点时，另
一点便停止运动．若点E，F同时出发，设运动时间为t s，则当t
为 时，四边形AECF是平行四边形．
2(共16张PPT)
第六章 平行四边形
第1课 平行四边形的性质(1)
平行四边形的定义及性质
(1)定义：两组对边分别 的四边形叫作平行四边
形．
平行
文字：平行
四边形 符号： 边：AB，
AD，BC，
DC 角：
∠BAD，
∠ABC，
∠BCD，
∠ADC 对角线：
AC，BD
(2)两个完全重合的平行四边形，将其中一个绕对角线的交点旋转
180°，观察旋转后的图形，由此你能得到哪些结论？
①它与另一个平行四边形 ；(填“重合”或“不重合”)
②我们可以猜想：AD BC，AB CD，
∠BAD ∠BCD，∠ABC ∠ADC.
重合
＝
＝
＝
＝
证明猜想：已知：如图，在 ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
AC为对角线．
求证：CD＝AB，DA＝BC，∠B＝∠D，∠BAD＝∠DCB.
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又AC＝CA，∴△CDA≌△ABC(ASA)．
∴CD＝AB，DA＝BC，∠B＝∠D.
又∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，即∠BAD＝∠DCB.
　
性质 几何语言
边 对边平行 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC
对边相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC
角 对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D
对称性 平行四边形是 图形，两条对角线的交点是它的 中心对称
对称中心
例1 如图，在 ABCD中，已知AB＝8，AD＝6，∠A＝70°，则
DC＝ ，BC＝ ，∠B＝ °.
8
6
110
1. 如图，在 ABCD中，已知两邻边之比为3∶4，且AB＞AD，若
∠A∶∠B＝2∶3， ABCD的周长为56 cm，则DC＝ cm，BC
＝ cm，∠B＝ °.
16
12
108
例2 如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝
BF. 求证：∠1＝∠2.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ADE＝∠CBF.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
∴∠1＝∠2.
2. 【北师八下P154例1变式】如图，在 ABCD中，点E，F是直线
AC上两点，且AE＝CF，求证：DF＝BE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠DAC＝∠BCA.
∴∠DAF＝∠BCE.
∵AE＝CF，∴CF－AC＝AE－AC，即AF＝CE.
在△FAD和△ECB中，
∴△FAD≌△ECB(SAS)．∴DF＝BE.
1． 在 ABCD中．
(1)若AB＝3，BC＝5，则它的周长为 ；
(2)若它的周长为60，两邻边AB，BC的比为3∶2，则AB
＝ ，BC＝ ．
16
18
12
2． 如图，已知 ABCD.
(1)若∠B＋∠D＝120°，则∠A＝ ，∠B
＝ ，
∠C＝ ，∠D＝ ；
(2)若∠A＝3∠B，则∠C＝ ，∠D＝ ．
120°
60°
120°
60°
135°
45°
3． 如图，在 ABCD中，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE
＝DF. 求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D.
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE＝CF.
4． (2025·贵州)如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝
60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为
（　D　）
A. 5
B． 4
C． 3
D． 2
D
5． 推理能力 如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线交
DC于点E，且点E恰好是DC的中点，过点D作DF⊥AE，垂足为点
F. 若AE＝2 ，则DF的长为 ．
1
6． 分类讨论 若平行四边形的三个顶点的坐标分别是O(0，0)，
A(4，0)，B(2，3)，则第四个顶点C的坐标是
．
(2，－3)或(－2，3)或
(6，3)

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