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(共31张PPT)
第四章 因式分解
第4课 公式法(2)——完全平方公式
完全平方式
计算下列各式：
(1)(x＋y)2＝ ；
(2)(x－5)2＝ ；
(3)(3x＋y)2＝ ．
x2＋2xy＋y2
x2－10x＋25
9x2＋6xy＋y2
根据上面的等式将下面的多项式因式分解：
(4)x2＋2xy＋y2＝ ；
(5)x2－10x＋25＝ ；
(6)9x2＋6xy＋y2＝ ．
(x＋y)2
(x－5)2
(3x＋y)2
把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2
反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝ ，a2－2ab＋b2＝
．利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫
作 ．形如 的式子称为完全平方式．
(a＋b)2
(a－
b)2
公式法
a2±2ab＋b2
例1 下列式子中，是完全平方式的是（　D　）
A. a2＋ab＋b2 B． a2＋2a＋2
C. a2－2b＋b2 D． a2＋2a＋1
D
1. 已知k为常数，填空：
(1)若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝ ；
(2)若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝ ．
9
±4
直接运用完全平方公式因式分解
例2 把下列各式因式分解：
(1)x2＋12x＋36；
(1)解：原式＝x2＋2×6x＋62
＝(x＋6)2.
(2)4x2＋y2－4xy；
(2)解：原式＝(2x)2－2×2x·y＋y2
＝(2x－y)2.
(3)(m＋n)2－8(m＋n)＋16.
解：原式＝(m＋n)2－2×4(m＋n)＋42
＝(m＋n－4)2.
2. 把下列各式因式分解：
(1)x2－10xy＋25y2; (2)y2＋y＋ ；
(1)解：原式＝x2－2·x·5y＋(5y)2
＝(x－5y)2.
(2)解：原式＝y2＋2× y＋ ＝ .
(3)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9.
解：原式＝(x＋y)2＋2×3(x＋y)＋32
＝(x＋y＋3)2.
先提公因式，再运用完全平方公式因式分解
例3 把下列各式因式分解：
(1)3x2－18x＋27; (2)4ax2＋8axy＋4ay2.
(1)解：原式＝3(x2－6x＋9)
＝3(x－3)2.
(2)解：原式＝4a(x2＋2xy＋y2)
＝4a(x＋y)2.
3. 把下列各式因式分解：
(1)－4x2y2＋8xy－4; (2)－4x3＋4x2y－xy2.
(1)解：原式＝－4(x2y2－2xy＋1)
＝－4[(xy)2－2xy＋12]＝－4(xy－1)2.
(2)解：原式＝－x(4x2－4xy＋y2)
＝－x[(2x)2－2×2x·y＋y2]
＝－x(2x－y)2.
1． 下列各式可以用完全平方公式进行因式分解的是（　B　）
A． a2＋2a＋ B． a2＋8a＋16
C． x2－2x＋4 D． x2－xy＋y2
B
2． 把下列多项式进行因式分解，结果正确的是（　A　）
A. 4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2
B． a2－2a＋4＝(a－2)2
C． a2－2a－1＝(a－1)2
D． a2－b2＝(a－b)2
A
3． 把下列各式因式分解：
(1)49m2－14mn＋n2＝ ；
(2)4b2－20ab＋25a2＝ ．
4． 因式分解：3ax2－6axy＋3ay2＝ ．
(7m－n)2
(2b－5a)2
3a(x－y)2
5． 把下列各式因式分解：
(1)－x2＋6xy－9y2；
解：原式＝－(x2－6xy＋9y2)
＝－[x2－2·x·3y＋(3y)2]
＝－(x－3y)2.
(2)(a＋b)2－2(a＋b)＋1.
解：原式＝(a＋b)2－2·(a＋b)·1＋12
＝(a＋b－1)2.
6． 分类讨论【北师八下P122习题T3改编】在多项式x2＋1中添加一
个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是
．
±2x或 x4
7． 利用因式分解进行简便计算：
8502－1 700×848＋8482.
解：原式＝8502－2×850×848＋8482
＝(850－848)2
＝22
＝4.
8． 过程性学习 下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4
进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，则
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（　C　）
A． 提取公因式
B． 平方差公式
C． 两数和的完全平方公式
D． 两数差的完全平方公式
C
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻
底”)，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ；
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因
式分解．
解：设x2＋2x＝m，则原式＝m(m＋2)＋1＝m2＋2m＋1＝(m＋
1)2＝(x2＋2x＋1)2＝( ) .
不彻底
(x－2)4
智慧数
例 【北师八下P121阅读思考改编】如果一个正整数能表示为两个正
整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，3＝22－12，5
＝32－22，7＝42－32，因此3，5，7这三个数都是智慧数．
小组活动任务：从1开始，第2 025个智慧数是哪个数呢？
某数学兴趣小组的研究过程如下：
【阶段一】特殊情况探讨：3＝22－12，5＝32－22，7＝42－32，8＝
32－12，9＝52－42，11＝62－52，…
【阶段二】一般性探究：同学们想到设k是正整数，
∵(k＋1)2－k2＝2k＋1，∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵(k＋1)2－(k－1)2＝① ，
∴除4外，所有能被② 整除的偶数都是智慧数．
∴还需要讨论被4除余2的数是不是智慧数．
如果4k＋2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k＋2＝
m2－n2，即2(2k＋1)＝(m＋n)(m－n)．
……
4k
4
【阶段三】总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，
除第一组有③ 个智慧数外，其余各组都有④ 个智慧数，而
且每组中第⑤ 个不是智慧数．
请你完成以下任务：
(1)下列偶数中是智慧数的是 ；
A. 2 018 B． 2 022 C． 2 024 D． 2 026
1
3
2
C
(2)请将【阶段二】【阶段三】中的①～⑤分别补充完整；
(3)请完成【阶段二】“……”部分的研究；
解：(3)如果4k＋2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k
＋2＝m2－n2，
即2(2k＋1)＝(m＋n)(m－n)．
∵m＋n，m－n的奇偶性是相同的，∴(m＋n)(m－n)是4的倍数
或奇数．
∵2(2k＋1)是偶数，但一定不是4的倍数，∴不存在正整数m和
n，使2(2k＋1)＝(m＋n)(m－n)成立．∴4k＋2不是智慧数．
(4)在正整数中，从1开始，第2 025个智慧数是 ．
2 703
拓展：(5)设两个连续偶数是2n和2n＋2(其中n取正整数)，由这两
个连续偶数构造的智慧数是8的倍数吗？为什么？
(5)由这两个连续偶数构造的“智慧数”不是8的倍数．理由如下：
∵(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2)＝4(2n
＋1)，
∴由这两个连续偶数构造的“智慧数”不是8的倍数．
运用：(6)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．按此规
律拼叠到正方形ABCD，其边长为200，求阴影部分的面积．
(6)(42－22)＋(82－62)＋(122－102)＋…(2002－1982)＝4×(22－12)＋4×(42－32)＋4×(62－52)＋…＋4×(1002－992)＝4×3＋4×7＋4×11＋…4×199＝4× ×50＝20 200.(共19张PPT)
第四章 因式分解
第3课 公式法(1)——平方差公式
直接运用平方差公式因式分解
1. 乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
反之，a2－b2＝ ．
例1 把下列各式因式分解：
(1)x2－1＝( )2－( )2＝ ；
(2)4x2－25＝ ＝ ；
(3)9a2－49b2＝ ．
(a＋b)(a－b)
x
1
(x＋1)(x－1)
(2x)2－52
(2x＋5)(2x－5)
(3a＋7b)(3a－7b)
2. 把下列各式因式分解：
(1)49－ y2＝( )2－ ＝ 　(7+ y)(7- y)　 ；
(2)－16y2＋9x2＝ ＝ .
7
(7+ y)(7- y)
(3x)2－(4y)2
(3x＋4y)(3x－4y)
综合运用提公因式法和平方差公式因式分解
例2 把下列各式因式分解：
(1)16m3－mn2；
解：原式＝m(16m2－n2)
＝m(4m＋n)(4m－n)．
(2)x2(a－b)－y2(a－b)．
解：原式＝(a－b)(x2－y2)
＝(a－b)(x＋y)(x－y)．
3. 把下列各式因式分解：
(1)－24ab＋54a3b；
解：原式＝54a3b－24ab
＝6ab(9a2－4)
＝6ab(3a＋2)(3a－2)．
(2)m2(a－2)＋(2－a)．
解：原式＝m2(a－2)－(a－2)
＝(a－2)(m2－1)
＝(a－2)(m＋1)(m－1)．
综合运用提公因式法和平方差公式因式分解的步骤：①先提
公因式；②再套公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
运用整体思想和平方差公式因式分解
例3 因式分解：(2x＋y)2－(x＋2y)2.
解：原式＝[(2x＋y)＋(x＋2y)][(2x＋y)－(x＋2y)]
＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y)
＝(3x＋3y)(x－y)
＝3(x＋y)(x－y)．
4. 因式分解：9x2－(x－2y)2.
解：原式＝(3x)2－(x－2y)2＝[3x＋(x－2y)][3x－(x－2y)]
＝(3x＋x－2y)(3x－x＋2y)
＝(4x－2y)(2x＋2y)
＝4(2x－y)(x＋y)．
两次运用平方差公式进行因式分解
例4 因式分解：x4－16.
解：原式＝(x2)2－42
＝(x2＋4)(x2－4)
＝(x2＋4)(x＋2)(x－2)．
注：因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
5. 因式分解：a4－b4.
解：原式＝(a2)2－(b2)2
＝(a2＋b2)(a2－b2)
＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)．
1． 下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（　D　）
A． a2＋(－b)2 B． 3m2－12m
C． －m2－n2 D． 1－x2
D
2． (2025·西藏)因式分解：x2－4＝ .
3． 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x2－■＝(x＋2)(x－▲)
中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字是（　B　）
A． 4，1 B． 4，2 C． 2，2 D． 2，4
(x+2)(x-2)
B
4． 把下列各式因式分解：
(1)9m2－4n2＝ ；
(2)－16＋a2b2＝ ；
(3)4x2－ y2＝ 　(2x+ y)(2x- y)　 ．
(3m＋2n)(3m－2n)
(ab＋4)(ab－4)
(2x+ y)(2x- y)
5． 【北师八下P119随堂练习T2改编】把下列各式因式分解：
(1)45ab2－20a；
解：原式＝5a(9b2－4)
＝5a[(3b)2－22]
＝5a(3b＋2)(3b－2)．
(2)－16x4＋81y4.
解：原式＝(9y2)2－(4x2)2
＝(9y2＋4x2)(9y2－4x2)
＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
6． 整体思想 已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝
．
－6
7． 若a，b，c分别是某个三角形的三边长，则代数式(a－b)2－c2
的值是（　B　）
A． 正数 B． 负数
C． 0 D． 不能确定
B
8． 【拓展题】如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两
个边长为b的正方形孔．
(1)求图中阴影部分的面积；(用含a，b的式子表示)
解：(1)2a·a－2b2＝2a2－2b2.
∴图中阴影部分的面积为2a2－2b2.
(2)当a＝15.7，b＝4.3时，用因式分解的方法计算阴影部分的面
积．
(2)2a2－2b2＝2(a2－b2)＝2(a＋b)(a－b)．
当a＝15.7，b＝4.3时，
原式＝2×(15.7＋4.3)×(15.7－4.3)＝456.
∴阴影部分的面积为456.(共19张PPT)
第四章 因式分解
第1课 因式分解
因式分解的概念
计算下列各式：
(1)2(x－y)＝ ；
(2)(x＋1)(x－1)＝ ；
(3)(x＋1)2＝ ．
2x－2y
x2－1
x2＋2x＋1
根据上面的等式将下面的多项式写成若干个整式的乘积的形式：
(4)2x－2y＝ ；
(5)x2－1＝ ；
(6)x2＋2x＋1＝ ．
2(x－y)
(x＋1)(x－1)
(x＋1)2
把一个多项式化成几个整式 的形式，这种变形叫
作因式分解．因式分解也可称为分解因式．
乘积
例1 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　C　）
A． a(m＋n)＝am＋an
B． a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C. 10x2－5x＝5x(2x－1)
D． x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
因式分解与整式乘法
1. 因式分解与整式乘法的区别与联系：
类别 因式分解 整式乘法
区别 (1)将一个多项式转化为几个整
式乘积的形式；(2)是多项式的
恒等变形 (1)把几个整式相乘的形式转化
为一个整式的形式；(2)是一种
运算
联系 整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形，即几个整式相乘一个多项式．如：(x＋1)(x－1) x2－1 例2 根据乘法运算的算式，把下列多项式因式分解：
乘法运算 因式分解
a(a＋1)＝a2＋a a2＋a＝
(x－2y)(x＋2y)＝x2－4y2 x2－4y2＝
(a－3b)2＝a2－6ab＋9b2 a2－6ab＋9b2＝
a(a＋1)
(x－2y)(x＋2y)
(a－3b)2
2. (1)计算下列各式：
①a(3a－5b)＝ ；
②(x－3y)(2x＋y)＝ ．
3a2－5ab
2x2－5xy－3y2
(2)根据(1)中的计算结果，把下列各式因式分解：
①3a2－5ab＝ ；
②2x2－5xy－3y2＝ ．
a(3a－5b)
(x－3y)(2x＋y)
3. 若多项式x2＋px－15因式分解的结果是(x－3)(x＋5)，则p的值
为 ．
2
因式分解的简单应用
例3 【北师八下P111观察思考改编】利用1个边长为a的正方形，1
个边长为b的正方形和2个长为a，宽为b的长方形可拼成一个正方形(如
图所示)，请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分
解： ．
a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
4. 如图是由一个边长为a的小正方形和一个长、宽分别为a，b的
小长方形组成的大长方形，则整个图形可表达出一个有关多项式因式分
解的等式，请写出这个等式： ．
a2＋ab＝a(a＋b)
1． 【北师八下P113习题T1改编】下列从左到右的变形中，是因式
分解的是 ．(填序号)
①x2＋2xy＋y2－1＝x(x＋2y)＋(y＋1)(y－1)；
②ax2－4a＝a(x＋2)(x－2)；
③ ab2＝ a·b2；
④a2＋2＋ ＝ .
②
2． 对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从
左到右的变形，①属于 ，②属于 ．(填“因
式分解”或“整式乘法”)
因式分解
整式乘法
3． 小明在解答“因式分解：(1)3x2－9x＋3；((2)4 ) －9.”时，是
这样做的：
解：(1)3x2－9x＋3＝3(x2－6x＋1)．
解：(1)∵3(x2－6x＋1)＝3x2－18x＋3≠3x2－9x＋3，
∴他的因式分解不正确．
(2)4x2－9＝(2x＋3)(2x－3)．
请你利用因式分解与整式乘法的关系，判断小明的因式分解是
否正确．
(2)∵(2x＋3)(2x－3)＝(2x)2－32＝4x2－9，
∴他的因式分解正确．
4． 已知多项式x2＋bx＋c因式分解为(x＋1)(x－3)，则b＝
，c＝ ．
－2
－3
5． 一题多解已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－
6)，求2a－m的值．
法1：解：由题意，得x2－4x＋m＝(x＋a)(x－6)．
∵(x＋a)(x－6)＝x2＋(a－6)x－6a，
∴ 解得
∴2a－m＝2×2－(－12)＝16.
法2：解：∵x2－4x＋m＝(x＋a)(x－6)，
∴当x＝6时，62－4×6＋m＝(6＋a)(6－6)＝0.
解得m＝－12.
∴x2－4x＋m＝x2－4x－12＝(x＋a)(x－6)．
∴当x＝0时，02－4×0－12＝(0＋a)(0－6)．
解得a＝2.∴2a－m＝2×2－(－12)＝16.
6． 【拓展题】【北师八下P123复习题T3改编】通过计算说明：255
＋511能被30整除．
解：∵255＋511＝510＋511
＝510×(1＋5)
＝59×5×6
＝59×30，
∴255＋511能被30整除．(共22张PPT)
第四章 因式分解
第2课 提公因式法
公因式
1. 公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项
的 ．
例1 填空：
(1)多项式x2＋x中各项的公因式是 ；
(2)多项式6x2y－4x3中各项的公因式是 ；
(3)多项式6x3y3－3x2y4＋12x2y4中各项的公因式是 ．
公因式
x
2x2
3x2y3
2. 填空：
(1)多项式πr2h＋πr3中各项的公因式是 ；
(2)多项式3a2x＋6ax中各项的公因式是 ；
(3)多项式6xy2＋2x2y2－4x2y2z3中各项的公因式是 .
找公因式的方法：①数字的最大公约数；②相同字母的最低
次幂．
πr2
3ax
2xy2
提公因式法因式分解
例2 把下列各式因式分解：
(1)m2－m＝ ；
(2)2ab－8b2＝ ．
m(m－1)
2b(a－4b)
3. 把下列各式因式分解：
(1)3a3＋6a4＝ ；
(2)－10m3＋5m2－20m＝ ．
3a3(1＋2a)
－5m(2m2－m＋4)
例3 把下列各式因式分解：
(1)28x4－21x3＋7xy；
解：原式＝7x·4x3－7x·3x2＋7x·y
＝7x(4x3－3x2＋y)．
(2)－a2b3c＋2ab2c3－ab2c.
解：原式＝－(a2b3c－2ab2c3＋ab2c)
＝－(ab2c·ab－ab2c·2c2＋ab2c·1)
＝－ab2c(ab－2c2＋1)．
4. 把下列各式因式分解：
(1)8a3b2－12ab3＋2ab；
解：原式＝2ab·4a2b－2ab·6b2＋2ab·1
＝2ab(4a2b－6b2＋1)．
(2)－24x3－12x2＋28x.
解：原式＝－(24x3＋12x2－28x)
＝－(4x·6x2＋4x·3x－4x·7)
＝－4x(6x2＋3x－7)．
例4 把下列各式因式分解：
(1)2a(a＋b)－3(a＋b)；
解：原式＝(a＋b)(2a－3)．
(2)6(x－3)＋x(3－x)．
解：原式＝6(x－3)－x(x－3)
＝(x－3)(6－x)．
5. 把下列各式因式分解：
(1)x(y－3)－(2y－6)；
解：原式＝x(y－3)－2(y－3)
＝(y－3)(x－2)．
(2)5(x－y)3＋10(y－x)2.
解：原式＝5(x－y)3＋10(x－y)2
＝5(x－y)2(x－y＋2)．
提公因式法因式分解
步骤 ①确定应提的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商
作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式
注意 ①当提出“－”号时，括号里的每一项都要变号；②某项与公因
式相同时，该项保留因式是1，而不是0；③公因式提取后，注
意运用整式乘法来检验是否正确
1． 多项式2a2b－4ab2中各项的公因式是 .
2ab
2． 把下列各式因式分解：
(1)a2－7a＝ ；
(2)x2y＋2xy＝ ；
(3)x(a＋b)＋y(a＋b)＝ ；
(4)3a(x－y)－(x－y)＝ ；
(5)9a(x＋y)2＋3b(y＋x)2＝ ．
a(a－7)
xy(x＋2)
(a＋b)(x＋y)
(x－y)(3a－1)
3(x＋y)2(3a＋b)
3． 小丽发现有一道题：－12xy2－6x2y＋3xy＝－3xy·(4y
＋ )，横线上的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写
（　C　）
A. 2x B． －2x
C． 2x－1 D． －2x－1
C
4． 如图，将长方形①和②拼成一个大长方形，据此能得出的因式
分解为 ；将前面得到的大长方形和长方形③拼
成一个更大长方形，能得出的因式分解为
．
am＋bm＝m(a＋b)
m(a＋b)＋n(a＋b)＝(m＋
n)(a＋b)
5． 因式分解：2(y－x)2＋3(x－y)．
解：原式＝2(x－y)2＋3(x－y)
＝(x－y)(2x－2y＋3)．
6． 先因式分解，再求值：(a＋b)(a－b)－(a－b)2，其中a＝1，b
＝－ .
解：原式＝(a－b)[a＋b－(a－b)]
＝(a－b)(a＋b－a＋b)
＝2b(a－b)．
当a＝1，b＝－ 时，
原式＝2×(- )×(1+ )＝－ .
7． 若一次函数y＝－x＋6的图象经过点P(a，b)，Q(c，d)，则
a(c＋d)＋b(c＋d)的值为 ．
36
8． 规律探索 认真阅读以下因式分解的过程，再回答所提出的
问题：
1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)[(1＋x)(1＋x)]
＝(1＋x)3.
(1)上述因式分解的方法是 ；
(2)因式分解：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3；
解：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2]
＝(1＋x)(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)(1＋x)(1＋x)(1＋x)
＝(1＋x)4.
提公因式法
(3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n因式分解的
结果是 ．
(1＋x)n+1(共18张PPT)
第四章 因式分解
第5课 因式分解章末复习
乘积　
(a＋b)(a－b)　
(a±b)2
一、选择题
1． 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　A　）
A． a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B． a2＋2a＋1＝a(a＋2)＋1
C． a(m－n)＝am－an
D． (a＋1)(a＋3)＝a2＋4a＋3
A
2． 把多项式a2－4a因式分解，结果正确的是（　A　）
A． a(a－4) B． (a＋2)(a－2)
C． a(a＋2)(a－2) D． (a－2)2－4
A
3． 下列多项式：①x2＋y2；②－x2－4y2；③－1＋a2；④0.81a2
－b2.其中能用平方差公式因式分解的多项式有（　B　）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
B
4． 下列因式分解正确的是（　D　）
A． a2－ab＋a＝a(a－b)
B． m2＋n2＝(m＋n)(m－n)
C． x＋1＝x(1+ )
D． x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2
D
5． 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足( -a ) －ab2＝0，
则△ABC一定是（　C　）
A． 等腰三角形 B． 等边三角形
C. 直角三角形 D． 等腰直角三角形
C
6． 小丽在计算2 0253－2 025时，发现其计算结果能被三个连续整
数整除，则这三个整数是（　B　）
A． 2 025，2 026，2 027
B． 2 024，2 025，2 026
C． 2 023，2 024，2 025
D． 2 022，2 023，2 024
B
二、填空题
7． 单项式8x2y3与4x3y4的公因式是 ．
8． 若多项式x2－mx＋16能用完全平方公式进行因式分解，则实
数m＝ ．
9． 已知x＋y＝1，x－y＝－3，则x2－y2的值为 ．
4x2y3
±8
－3
三、解答题
10． 把下列各式因式分解：
(1)ax2－10ax＋25a；
解：原式＝a(x2－10x＋25)
＝a(x－5)2.
(2)m2(n－3)＋4(3－n)．
解：原式＝m2(n－3)－4(n－3)
＝(n－3)(m2－4)
＝(n－3)(m＋2)(m－2)．
11． 学完因式分解后，王老师在黑板上写了一个二次三项式因式分
解的题，亮亮因看错了一次项系数而分解成5(x－2)(x－8)，莉莉因看错
了常数项而分解成5(x－3)(x－5)．
(1)求王老师在黑板上写的二次三项式；
解：(1)设原多项式为ax2＋bx＋c(其中a，b，c均为常数，且
abc≠0)．
∵亮亮因看错了一次项系数而分解成5(x－2)(x－8)，5(x－2)(x－8)
＝5(x2－10x＋16)＝5x2－50x＋80，∴a＝5，c＝80.
∵莉莉因看错了常数项而分解成5(x－3)(x－5)，5(x－3)(x－5)＝
5(x2－8x＋15)＝5x2－40x＋75，∴b＝－40.
∴王老师在黑板上写的二次三项式为5x2－40x＋80.
(2)将(1)中的二次三项式因式分解．
(2)5x2－40x＋80＝5(x2－8x＋16)＝5(x－4)2.
12． 数学实验
实验材料：现有若干张如图所示的正方形和长方形硬纸片．
动手操作：试借助拼图的方法，把二次三项式a2＋3ab＋2b2分解因
式，并把拼出的图形画在虚线方框内．
探索问题：
(1)小明有9张小正方形硬纸片和4张大正方形硬纸片，如果他想拼成
一个正方形(无空隙、无重叠地拼接)，那么他还需要 张长方形硬
纸片；
解：a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)．
拼图如下：
12
(2)小明说：我可以用50张长方形和正方形硬纸片拼成一个新的正方
形(无空隙、无重叠地拼接)．你支持小明的观点吗？并阐述你的理由．
(2)不支持小明的观点．理由如下：
假设可以用50张长方形和正方形硬纸片拼成一个正方形，设拼成的
正方形的边长为ma＋nb(m>0，n>0且都为整数)，则新正方形的面积
为(ma＋nb)2.
∵(ma＋nb)2＝m2a2＋2mnab＋n2b2，m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2＝
50，∴m＋n＝5 .
∵m，n为正整数，
∴m＋n不符合题意，假设不成立．
∴用50张长方形和正方形硬纸片不能拼成一个正方形，小明的观点
是错误的，所以不支持小明的观点．

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