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(共20张PPT)
第五章 分式与分式方程
第2课 分式及其基本性质(2)
分式的基本性质
填空： ＝ ， ＝ .
＝ ， ＝ .m可以为任意值吗？
．
不可以，
m≠0
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一
个 的整式，分式的值不变，即 ＝ ， ＝ (m≠0)．
不等于零
例1 根据分式的基本性质填空：
(1) ＝ (c≠0)；
(2) ＝－ .
1. 根据分式的基本性质填空：
(1) ＝ ；
(2) ＝ .
分式的约分
2. 把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式
的约分，即 ＝ (m≠0)．
公因式
例2 化简下列分式：
(1) ； (2) .
(1)解：原式＝ ＝ .
(2)解：原式＝ ＝ .
3. 化简下列分式：
(1) ； (2) .
(1)解：原式＝ ＝－ .
(2)解：原式＝ ＝ .
分式的化简：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者
整式．最简分式就是分式的分子和分母没有公因式．
分式的化简求值
例3 先化简，再求值： ，其中a＝2.
解：原式＝ ＝ .
当a＝2时，原式＝ ＝－ .
4. 先化简，再求值： ，其中x＝2，y＝－1.
解：原式＝ ＝－ .
当x＝2，y＝－1时，原式＝－ ＝2.
1． 下列各式从左到右的变化正确的是（　C　）
A． ＝ B． ＝
C． ＝－ D． ＝x＋y
C
2． 下列分式是最简分式的是（　B　）
A． B． C． D．
B
3． 【北师八下P130随堂练习T1改编】填空：
(1) ＝ (x≠0)；
(2) ＝ ；
(3) ＝ (x≠0)；
(4) ＝ .
4． 化简下列分式：
(1) ； (2) ；
(1)解：原式＝
＝－2.
(2)解：原式＝
＝－ .
(3) ； (4) .
(3)解：原式＝
＝ .
(4)解：原式＝
＝ .
5． 如果把分式 的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　C　）
A． 扩大3倍 B． 扩大2倍
C． 不变 D． 缩小
C
6． 【易错题】下列各式：① ＝－ ；② ＝ ；③
＝ ；④ ＝ .其中错误的有（　D　）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
D
7． 整体思想 (2025·北京改编)已知a＋b－3＝0，则代数式
的值为 　 　 ．
8． 开放性试题 已知a>3，代数式：A＝2a2－8，B＝3a2＋6a，
C＝a3－4a2＋4a.
(1)因式分解A；
解：(1)A＝2a2－8＝2(a2－4)
＝2(a＋2)(a－2)．
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一
个分式，并化简该分式．
(2)选择A和B：
＝ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ＝ .
(答案不唯一)(共17张PPT)
第五章 分式与分式方程
第8课 分式与分式方程章末复习
＝0　
B≠0
一、选择题
1． 下列各式：－3x， ， ，－ ， ， ， ， ，
其中分式的个数是（　C　）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
C
2． 下列各分式中，是最简分式的是（　A　）
A． B．
C． D．
A
3． 若要使式子 有意义，则m的取值范围是（　B　）
A． m≥－2
B． m≥－2且m≠2
C． m>－2
D． m>－2且m≠2
B
4． 化简 · + 的结果是（　B　）
A． 0 B． 1 C． a D． a－1
B
5． 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降
价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10
袋，则每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程
正确的是（　C　）
A． - ＝10 B． - ＝10
C． - ＝10 D． - ＝10
C
6． 若关于x的方程 - ＝ 无解，则a的值为
（　D　）
A． 2 B． －1
C． 2或 D． 2或－1或
D
二、填空题
7． 若 ＝1，则x＝ ．
8． 若分式 的值为零，则x的值是 ．
9． 若分式方程 ＝3－ 的解为正整数，则整数m的值为
．
3
0
－1
三、解答题
10． 计算：
(1) ÷ · ；
解：原式＝－ · ·
＝－ .
(2) －a－b.
解：原式＝ - ＝
＝ .
11． 解分式方程： ＋1＝ .
解：化简原方程，得 ＋1＝ .
方程两边都乘2(x＋3)，得4x＋2x＋6＝7.
解得x＝ .检验：当x＝ 时，2(x＋3)≠0.
所以x＝ 为原方程的根．
12． 已知W＝ ÷ + .
(1)化简W；
解：(1)W＝ · + ＝ + ＝ .
(2)若a，2，4恰好是等腰三角形ABC的三边长，求W的值．
(2)∵a，2，4恰好是等腰△ABC的三边长，
∴当a＝2时，2＋2＝4，不能构成三角形；
当a＝4时，符合题意．
∴W＝ ＝ .
13． 为了增强体质，某学校组织徒步活动．
(1)两小组都走完了3千米的绿道，第一小组的速度是第二小组
速度的1.2倍，第一小组比第二小组提早 小时到达目的地．求两个
小组的速度；
解：(1)设第二小组的速度是x千米/时，则第一小组的速度是1.2x千
米/时．
由题意，得 ＝ + .解得x＝3.
经检验，x＝3是原方程的根，且符合题意．
∴第一小组的速度为1.2×3＝3.6(千米/时)．
答：第一、二小组的速度分别是3.6千米/时，3千米/时．
(2)假设绿道长为a千米，第一小组走完绿道需要m(m>1)小时，第
二小组走完绿道的时间比第一小组时间的1.2倍还要多 小时，是否存在
m，使得第一小组的速度是第二小组速度的2倍？请说明理由．
(2)不存在．理由如下：
由题意，得 ＝2× .解得m＝ .
经检验，m＝ 是原方程的根．
∵m＝ <1，不符合题意，
∴不存在m，使得第一小组的速度是第二小组速度的2倍．(共21张PPT)
第五章 分式与分式方程
第4课 分式的运算(2)
计算： + ＝ ； + ＝ 　 　 ； - ＝ 　 　 ； -
＝ ．
猜想： + ＝ 　 　 ； + ＝ 　 　 ； - ＝ 　 　 ；
- ＝ 　 　 ．
1
同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，
不变，把分子相加减．用式子表示为 ± ＝ .
分母
同分母分式的加减法
例1 计算：
(1) + ＝ 　 　 ；
(2) - ＝ 　 　 ；
(3) - ＝ ．
1
1. 计算：
(1) + ＝ 　 　 ；
(2) - ＝ ；
(3) - ＝ ．
2
x－3
例2 计算： - .
解：原式＝ ＝
＝ ＝a.
2. 计算： + .
解：原式＝ ＝ ＝ .
分母互为相反数的分式的加减法
例3 计算：(1) + ；
解：原式＝ - ＝ ＝1.
(2) - .
解：原式＝ + ＝
＝ ＝x－1.
3. 计算：(1) - ；
解：原式＝ + ＝ ＝ .
(2) + .
解：原式＝ - ＝
＝ ＝ ＝x＋2.
1． 计算 - 的结果为（　A　）
A． B． C． － D．
A
2． (2025·新疆)计算： - ＝（　A　）
A． 1 B． x－2y C． D．
A
3． (2025·乐山) 计算 + 的结果为（　D　）
A． B． C． －1 D． 1
4． 计算 - 的结果为 　 　 ．
D
5． 计算：
(1) + ；
解：原式＝
＝
＝a＋b.
(2) - ；
解：原式＝
＝ ＝ ＝2.
(3) - .
解：原式＝ + ＝
＝ ＝ .
6． 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的
是 ．
1
7． 若a，b互为倒数，且a≠b，则分式 - 的值为（　D　）
A． 0 B． －1 C． －2 D． 1
D
8． 【北师八下P140习题T3改编】先化简，再求值： + ，其
中x＝3＋ ，y＝3－ .
解：原式＝ - ＝
＝ ＝x－y.
当x＝3＋ ，y＝3－ 时，
原式＝3＋ －(3－ )＝2 .
9． 【创新题】已知M＝ - .
(1)化简M；
解：(1)M＝
＝
＝
＝ .
(2)若一次函数y＝ax＋b经过点(－2，0)，求M的值．
(2)∵一次函数y＝ax＋b经过点(－2，0)，
∴－2a＋b＝0，即b＝2a.
∴M＝ ＝ ＝－ .(共18张PPT)
第五章 分式与分式方程
第7课 分式方程(2)
1. 列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)作答．
销售问题(数量＝总价÷单价)
例1 某商店购进A，B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B
的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的
数量相同．求纪念品A，B的单价分别是多少元．
解：设纪念品A的单价为x元，则纪念品B的单价为(x－10)元．
由题意，得 ＝ .解得x＝30.
经检验，x＝30是原分式方程的根．
∴纪念品B的单价为x－10＝20(元)．
答：纪念品A，B的单价分别是30元和20元．
2. 梅雨季节来临，某电器店开始销售A，B两种型号的便携式小型
除湿器，B型除湿器每台价格是A型除湿器的1.5倍．销售若干周后，A
型除湿器销售额为20 000元，B型除湿器销售额为45 000元，其中B型除
湿器比A型除湿器多销售50台．A型除湿器每台价格是多少元？
解：设A型除湿器每台价格为x元，则B型除湿器每台价格是
1.5x元．
由题意，得 - ＝50.解得x＝200.
经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意．
答：A型除湿器每台价格为200元．
工程问题(工作时间＝工作总量÷工作效率)
例2 情境创设 为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市
场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后
生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答
下列问题：
(1)更新设备后每天生产 件产品；(用含x的式子表示)
1.25x
(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2
天，求更新设备后每天生产多少件产品．
解：由题意，得 －2＝ .解得x＝100.
经检验，x＝100是所列分式方程的根，且符合题意．
∴1.25×100＝125(件)．
答：更新设备后每天生产125件产品．
3. 社会热点 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更
广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组
每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人
每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2
倍，求甲、乙两组各有多少名工人．
解：设甲组有x名工人，则乙组有(35－x)名工人．
由题意，得 ＝ ×1.2.解得x＝20.
经检验，x＝20是所列分式方程的根，且符合题意．
∴35－x＝35－20＝15.
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．
行程问题(时间＝路程÷速度)
例3 (广东中考)某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12
km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，
结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度．
解：设乙同学骑自行车的速度为x km/min，则甲同学骑自行车的速
度为1.2x km/min.
根据题意，得 - ＝10.解得x＝0.2.
经检验，x＝0.2是原方程的根，且符合题意．
答：乙同学骑自行车的速度为0.2 km/min.
4. 小明家距学校2 000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发
现忘带作业，此时离上课时间还有25分钟，于是他立刻步行回家取，随
后骑车返回学校，在上课前5分钟到达了学校．若小明骑车的平均速度
是步行速度的5倍，求小明步行的平均速度．
解：设小明步行的平均速度为每分钟x米．
根据题意，得 + ＝25－5.解得x＝70.
经检验，x＝70是所列方程的根，且符合题意．
答：小明步行的平均速度为70米/分．
1． 一商场先用3 200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一
空．商场又用8 000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2
倍，但每把太阳伞贵了4元，则第一次购进这种太阳伞 把．
200
2． 传统文化 书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣
赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装
裱前的大小是1.2 m×0.8 m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别
是a m，b m，c m，d m.若装裱后AB与AD的比是16∶10，且a＝b，
c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
解：由题意，得AB＝1.2＋c＋d＝1.2＋2c
＝1.2＋4a，AD＝0.8＋a＋b＝0.8＋2a.
∵AB与AD的比是16∶10，
∴ ＝ .解得a＝0.1.
经检验，a＝0.1是原方程的根．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m.
3． 一个圆柱形容器的容积为v立方米，开始用一根小水管向容器
内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的
大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间10分钟，则大水管注水
的速度为 立方米/分．
4． 【北师八下P145问题改编】某单位将沿街的一些店面房出租，
第一年租给一家公司获租金6万元，第二年租给一些个体经营户获租金
7.2万元．已知第一年每间店面房的租金比第二年少1 000元，这两年每
间店面房的租金各是多少元？
解：设第一年每间店面房的租金为x万元，则第二年每间店面房的
租金为(x＋0.1)万元．
根据题意，得 ＝ .解得x＝0.5.
经检验，x＝0.5是所列方程的根，且符合题意．
∴x＋0.1＝0.5＋0.1＝0.6.
答：第一年的租金为每间5 000元，第二年的租金为每间6 000元.
分式在生活中的应用
综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗
衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干；
重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服
上都残留0.5 kg水．
浓度关系式：d后＝ ，其中d前，d后分别为单次漂洗前、后
校服上残留洗衣液浓度，w为单次漂洗所加清水量(单位：kg)．
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需
要多少清水？
解：(1)把d后＝0.01%，d前＝0.2%代入d后＝ ，
得0.01%＝ .解得w＝9.5.
经检验w＝9.5是原方程的根，且符合题意．
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5
kg清水．
(2)如果把4 kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(2)第一次漂洗：
把w＝2 kg，d前＝0.2%代入d后＝ ，
得d后＝ ＝0.04%.
第二次漂洗：
把w＝2 kg，d前＝0.04%代入d后＝ ，
得d后＝ ＝0.008%.
∵0.008%<0.01%，∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标．
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的
想法．
(3)由(1)(2)的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还
能大幅度节约用水．
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．(共19张PPT)
第五章 分式与分式方程
第3课 分式的运算(1)
分式的乘除法
(1) × ＝ ，…，
× ＝ ；
(2) ÷ ＝ × ＝ ，…，
÷ ＝ × ＝ .
· ＝ 　 　 ； ÷ ＝ · 　 　 ＝ 　 　 ．
分式乘除法的法则：
(1)两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的 ，把分母相
乘的积作为积的 ．
(2)两个分式相除，把除式的分子和分母 后再与被除
式相乘．
分子
分母
颠倒位置
例1 计算：
(1) · ； (2) · .
(1)解：原式＝ ＝ .
(2)解：原式＝ ＝ ＝ .
1. 计算：
(1) · ； (2) · .
(1)解：原式＝－ ＝－ .
(2)解：原式＝
＝ .
例2 计算：
(1) ÷ ； (2) ÷ .
(1)解：原式＝ · ＝ ＝ .
(2)解：原式＝ ÷
＝ ·
＝x2.
2. 计算：
(1)－3xy÷ ；
(1)解：原式＝－3xy· ＝－
＝－ .
(2) ÷(4－a2)．
(2)解：原式＝ · ＝
＝－
＝－ .
分式乘除法的注意事项：(1)整式和分式进行运算时，可以把
整式看成分母为1的分式；
(2)当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
分式的乘方
例3 探究：
(1) ＝ · ＝ ＝ 　 　 ；
(2) ＝ · · ＝ ＝ 　 　 ；
(3) ＝ 　 　 ；
(4) ＝ 　 　 ．(n为正整数)
3. 计算：
(1) ＝ ＝ 　 　 ；
(2)()2＝ 　 　 ；
(3) · ＝ 　 　 ．
1． 计算 ÷ 的结果是（　D　）
A． B． C． 2xy D．
D
2． 化简x3· 的结果是（　A　）
A． xy6 B． xy5 C． x2y5 D． x2y6
A
3． 若 ÷ 运算的结果不是分式，则“( )”内的式子可能是
（　A　）
A． ab B． a＋b C． a－b D．
A
4． 计算：
(1)(a2＋3a)÷ ；
解：原式＝a(a＋3)·
＝
＝a.
(2) · .
解：原式＝ ·
＝ .
5． 已知|3a－b＋1|＋(2a－b)2＝0，求 ÷(· )的值．
解：∵|3a-b+1|≥0， ≥0，|3a-b+1|+( ) ＝0，
∴ 解得
÷(· )＝ ÷ ＝ · ＝ .
将a＝－1，b＝－2代入，得原式＝ ＝－1.
6． 数学文化 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了行军时的后
勤供应情况：人负米六斗，卒自携五日干粮，人食日二升．其大意为在
行军过程中，一个民夫可以背负六斗(60升)米，一个士兵可以自己背5天
的干粮(5天的干粮为一斗米，即10升米)，民夫和士兵每人行军一天都会
消耗2升米．在没有其他粮食补充的情况下，若两个士兵雇佣n个民夫
随其一同行军，则背负的米最多支持行军 天．(用含n的式
子表示)(共20张PPT)
第五章 分式与分式方程
第1课 分式及其基本性质(1)
分式的概念
填空并回答下列问题：
(1)长方形的面积为20，长为a，则宽为 ；
(2)汽车行驶的路程为100，速度为v＋2，则行驶的时间
为 ；
(3)把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度
为 ．
可以发现，以上(1)(2)(3)题中所填式子都是 形式，
中含有字母．
分数
分母
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 的
形式．如果B中 ，那么称 为分式，其中A称为分式的分
子，B称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都 ．
含有字母
不能为零
例1下列各式：① ；② ；③－ ；④x＋ ；⑤ ；⑥－3x2.
其中是分式的有 ，是整式的有 ．(填序号)
①④⑤
②③⑥
分式有(无)意义的条件：分式 有意义 B≠0；分式
无意义 B＝0.
例2 (1)当x 时，分式 有意义；
(2)当x 时，分式 无意义；
(3)当x 时，分式 有意义．
≠1
＝－5
≠±2
1. (1)要使分式 有意义，则x需满足的条件是 ；
(2)当x 时，分式 无意义．
x≠19
＝±1
分式的值：分式 的值为零 A＝0，B≠0.
例3 若分式 的值为0，则x的值为 　 　 ． 2.若分式 的值
为零，则a＝ ．
例4 当x＝1时，求分式 的值．
解：当x＝1时， ＝ ＝1.
－1
3. 当x＝ ，y＝1时，求分式 的值．
解：当x＝ ，y＝1时， ＝ ＝ .
列分式
例5 一个圆柱的体积为V，底面半径为r，则它的高为（　B　）
A． B． C． D．
B
4. 王老师骑自行车用m小时到达距离家n千米的学校，则王老师的
平均速度是 千米/时；若乘公共汽车则可少用0.2小时，则公共汽
车的平均速度是 千米/时．
1． 若 是分式，则□不可以是（　A　）
A． 3π B． x＋1 C． c－3 D． 2y
A
2． 当x＝1时，下列分式没有意义的是（　B　）
A． B． C． D．
B
3． 如果分式 的值为0，那么x的值为（　A　）
A． 2 B． －2
C． －2或0 D． 2或－2
A
4． 当x取何值时，下列分式有意义？
(1) ； (2) .
解：(1)由题意，得x＋2≠0.∴x≠－2.
∴当x ≠－2时，分式 有意义．
(2)由题意，得x2＋1恒大于0.
∴当x为任意实数时，分式 有意义．
5． 【北师八下P131习题T3改编】当x＝2，y＝－1时，求分式
的值．
解：当x＝2，y＝－1时， ＝ ＝1.
6． 下列分式中，一定有意义的是（　A　）
A． B． C． D．
A
7． 列式表示下列各量：
(1)若小王每小时能做x个零件，则他4小时做 个零件，做40
个零件需 小时；
(2)若将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，则混合后
的糖水含糖率为 ．
4x
×100%
8． 已知分式 (a，b为常数)满足表格中的信息：
x的取值 3 －2
分式的值 无意义 c
(1)b的值是 ；
(2)求出c的值 ．
－3
1
9． 【拓展题】已知分式 (a，b为常数)，当x＝2时，分式无意
义，当x＝0.5时，分式的值为0，求ba的值．
解：∵当x＝2时，分式无意义，∴2－b＝0.
∴b＝2.
∵当x＝0.5时，分式的值为0，
∴ ＝ ＝0.解得a＝－1.
∴ba＝2-1＝ .(共18张PPT)
第五章 分式与分式方程
第6课 分式方程(1)
分式方程的概念
1. 分母中含有 的方程叫作分式方程．
例1 给出下列关于x的方程：① ＝4；② ＝5；③ + ＝1；④
＝6；⑤ ＝x＋7；(⑥ ) － x＝0.其中是整式方程的有
，是分式方程的有 ．
未知数
①⑤⑥
②③④
2. 下列关于x的方程中，是分式方程的是（　C　）
A. 3x＋2＝ B． ＝
C. + ＝2 D． x－ ＝4
C
分式方程和整式方程的区别
分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数，如 ＝
1和 ＝ －2都是分式方程，而方程x2－2x＋1＝0和 ＝x－ 都是整
式方程，不是分式方程．
解分式方程
解一元一次方程： ＝ .
解：两边都乘 ，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
10
5x＝2(x＋3)
5x＝2x＋6
5x－2x＝6
3x＝6
x＝2
对比左边解方程的方法，将分式方程 ＝ 转化为整式方
程求解．
解：两边都乘x(x＋3)，得 ．
解这个整式方程，得 ．
检验：把 代入最简公分母，得
x(x＋3) 0.
所以 是原方程的根．
2(x＋3)＝5x
x＝2
x＝2
≠
x＝2
解分式方程的步骤：(1)去分母(两边都乘最简公分母，化为
整式方程)；(2)解整式方程；(3)检验(将整式方程的解代入最简公分母，
若不为0，则是原方程的根，若为0，则不是原方程的解)；(4)得出结
论．
例2 (2025·浙江)解分式方程： - ＝0.
解：方程两边同时乘(x－1)(x＋1)，得
3(x－1)－(x＋1)＝0.
解这个方程，得x＝2.
检验，当x＝2时，(x-1)(x+1)≠0.
所以x＝2是原方程的根．
3. 解方程： - ＝1.
解：方程两边同时乘2(x－3)，得
x－2＝2x－6.
解这个方程，得x＝4.
检验，当x＝4时，2(x－3)≠0.
所以x＝4是原方程的根．
分式方程的增根
4. 分式方程求解后得到的使原分式方程的分母为零的根称为原方程
的增根．
例3 若关于x的分式方程 - ＝1(m为常数)有增根，则增根
是 ．
5. 若关于x的分式方程 ＋1＝ 有增根，则m的值为
．
x＝2
－1
1． 下列方程不是分式方程的是（　D　）
A． ＝0 B． ＋4＝
C． + ＝1 D． ＝
D
2． 分式方程 ＝ 的解为（　D　）
A． x＝1 B． x＝－1
C． x＝3 D． x＝－3
D
3． (2025·武汉)方程 ＝ 的解是 ．
4. 当x＝ 时，分式 与 的值相等．
x＝3
－1
5． 解方程： ＝ .
解：方程两边都乘(x－3)(x－1)，
得x(x－1)＝(x－3)(x＋1)．解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x－3)(x－1)≠0.
所以x＝－3是原方程的根．
6． 【易错题】解方程： ＝5＋ .
解：方程两边都乘x－1，得3＝5(x－1)－3x.解得x＝4.
检验：当x＝4时，x－1≠0.
所以x＝4是原方程的根．
7． 传统文化 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了
生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原
因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得
方程（　A　）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
A
8． 【拓展题】已知关于x的方程 ＝ －2.
(1)当m为何值时，方程无解？
解：(1)原方程两边都乘x＋3，得
2x＝mx－2x－6.整理，得(4－m)x＝－6.
①当4－m＝0，即m＝4时，原方程无解．
②当分母x＋3＝0，即x＝－3时，原方程无解．
∴(4－m)·(－3)＝－6.解得m＝2.
综上所述，m＝4或2时，方程无解．
(2)当m为何值时，方程的解为负数？
(2)原方程化简，得(4－m)x＝－6.
当m≠4时，x＝－ ＜0.解得m＜4.
由(1)，得当m＝2时原方程无解．
∴m＜4且m≠2时，方程的解为负数．(共20张PPT)
第五章 分式与分式方程
第5课 分式的运算(3)
最简公分母
(1)① ， ， 的公分母是 ；② ， 的
公分母是 ．
(2)若把第(1)题第②问中的3，5用x，y来代替，则分式 ，
的公分母是 ．
12
22×34×52
4x4y2
(1)最简公分母：各分母的系数的最小公倍数与各分母所有
字母的最高次幂的积．
(2)根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为 的分
式，这一过程称为分式的通分．为了计算方便，异分母分式通分时，通
常取 作为它们的共同分母．
同分母
最简公分母
例1 (1) 与 的最简公分母是 ，通分为 　 　
与 ；
(2) 与 的最简公分母是 ，通分
为 　 　 与 　 　 .
6xy
2(x＋1)(x－1)
1. (1) 与 的最简公分母是 ，通分为 　 　
与 ；
(2) 与 的最简公分母是 ，通分
为 　 　 与 　 　 ．
4a2x
(m－3)(m＋3)
异分母分式的加减法
2. 异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先 ，
化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．用式
子表示为 ± ＝ ± ＝ .
通分
例2 计算：
(1) + ＝ 　 　 ；
(2) + ＝ 　 　 ；
(3)1－ ＝ 　 　 ；
(4) －x＋2＝ 　 　 ．
3. 计算：
(1) + ＝ 　 　 ；
(2) + ＝ 　 　 ；
(3)x＋ ＝ 　 　 ；
(4) ＋x－1＝ 　 　 ．
异分母分式加减法中的通分：①通分的关键就是找最简公分
母，对于分母是多项式且能够进行因式分解的，要先因式分解，再类比
最小公倍数找最简公分母；②通分前分子是单项式的，通分后就可能是
多项式了，运算时记得添括号；③运算结果要化到最简．
分式加减法的应用
例3 国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游
览，租金为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到x名．
(1)原来平均每名学生需分摊车费 元，现在平均每名学生需
分摊车费 元；
(2)最开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？
解：由题意，得 - ＝ ＝ (元)．
答：最开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊 元钱．
1． 分式 与 的最简公分母是（　C　）
A． x－1 B． x2－1
C． 2(x－1) D． 2(x－1)2
C
2． 化简 + 的结果为 　－ 　 ．
－
3． 计算：
(1) + ； (2) + ；
(1)解：原式＝ ＋ ＝ .
(2)解：原式＝ ＋
＝ ＝ .
(3) - ；
解：原式＝ -
＝ ＝ .
(4) - + .
解：原式＝
＝ ＝ .
4． 已知A＝ ÷(1- ).
(1)化简A；
解：(1)A＝ ÷
＝ · ＝－ .
(2)若x2－2x＋y2＋4y＋5＝0，求A的值．
(2)∵x2－2x＋y2＋4y＋5＝0，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝0.
∴x＝1，y＝－2.
∴A的值为－ ＝－ .
5． 整体思想已知x＋y＝2，xy＝－5，则 +(＝ 　－ 　 ．
－
6． 【北师八下P141习题T5改编】用两种方法计算：(- )· .
方法一：解：原式＝ · ＝ ＝x－9.
方法二：原式＝ · - ·
＝2(x－3)－(x＋3)＝2x－6－x－3＝x－9.

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