资源简介

(共22张PPT)
第二十一章 四边形
第13课 特殊的平行四边形(6)
正方形的判定
正方形的判定 几何语言 图形
在矩形基础上的判定 判定1：有一组邻边 的矩形是正方形 如图，∵四边形ABCD是矩形， ，∴四边形ABCD是正方形
判定2：对角线互相 的矩形是正方形 如图，∵四边形ABCD是矩形， ，∴四边形ABCD是正方形 相等
AB＝BC(答案不唯一)
垂直
AC⊥BD
在菱形
基础上
的判定 判定3：有一个
角为 的
菱形是正方形 如图，∵四边形ABCD是菱
形，
， ∴四边形ABCD是正方形
判定4：对角
线 的菱
形是正方形 如图，∵四边形ABCD是菱
形， ，∴四边
形ABCD是正方形 直角
∠BAD＝90°(答案
不唯一)
相等
AC＝BD
在平行
四边形
基础上
的判定 判定5：有一组邻
边 ，并且有
一个角是 的
平行四边形是正方形 如图，∵四边形ABCD
是平行四边形，AB＝
BC，∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方
形
相等
直角
例1 在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个
条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　D　）
A． ∠D＝90° B． AB＝CD
C． AD＝BC D． BC＝CD
D
1. 在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD. 如果添加一个条件，
即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　B　）
A． AB∥CD B． ∠A＝90°
C． AD∥BC D． ∠A＝∠C
B
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. 求证：四边形CFDE是正
方形．
证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°.
∴四边形CFDE是矩形．
∵CD平分∠ACB，∴DE＝DF.
∴四边形CFDE是正方形．
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，
F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA. 求证：四边形AECF是正
方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OE＝OF.
∴四边形AECF是菱形．
∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC.
∴EF＝AC. ∴四边形AECF是正方形．
例3 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三
个顶点E，G，H分别在矩形 ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，
DG＝2.求证：四边形EFGH为正方形．
证明：∵四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，
∴∠A＝∠D＝90°，HE＝GH.
∵AH＝DG＝2， ∴Rt△AHE≌Rt△DGH(HL)．
∴∠AEH＝∠DHG.
∵∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°.
∴∠EHG＝90°.∴四边形EFGH为正方形．
3. 如图，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，
BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形EFGH
是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH.
∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE(SAS)．
∴EF＝FG＝GH＝HE，∠BFE＝∠AEH.
∴四边形EFGH是菱形．
∵∠B＝90°，∴∠BFE＋∠FEB＝90°.
∴∠AEH＋∠FEB＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．
1． 对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（　A　）
A． 正方形 B． 菱形
C． 矩形 D． 平行四边形
A
2． 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O. 过点C作
CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E，求证：四边形
CODE是正方形．
证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形．
∴OD＝OC，∠DOC＝90°.
∴四边形CODE是正方形．
3． 如图，点E为正方形ABCD内一点，∠BEC＝90°，将△BEC
绕点B按逆时针方向旋转90°得到△BFA(点E的对应点为点F)，延长
CE交AF于点G.
(1)试判断四边形BEGF的形状，并说明理由；
解：(1)四边形BEGF是正方形．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°.
由旋转的性质，知∠F＝∠BEC＝90°，
BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°.
∴四边形BEGF为矩形．
又BE＝BF，∴四边形BEGF为正方形．
(2)若AB＝5，AG＝1，求CE的长．
(2)由(1)，知四边形BEGF为正方形．
设正方形的边长为x，则AF＝x＋1，BF＝x.
在Rt△ABF中，AF2＋BF2＝AB2.
∴(x＋1)2＋x2＝52.
∴x＝3.∴AF＝AG＋GF＝1＋3＝4.
∴CE＝AF＝4.
用多边形镶嵌平面
例1 【人教八下P54探究与发现改编】【问题背景】生活中，我们
经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地
砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一
个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一
个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平
面镶嵌问题．
如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
(1)填写下表：
正多边形的
边数 3 4 5 6 8
正多边形每
个外角的度
数 120° 90°
72°
60°
45°
(2)若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形
有 (填序号)．
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八
边形．
①③
【拓展应用】
(3)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组
成了一个大五边形．求∠CBF的度数．
解：∵正五边形的每个内角的度数为 ＝108°，
∴∠CBF＝360°－108°×3＝36°.
黄金矩形
例2 宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫黄金矩形．
(1)如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝1，它的长BC
＝ ；

(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形
ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证
明你的结论．
解：矩形DCEF是黄金矩形．理由如下：
不妨设AB＝1，则由裁剪可知AB＝AF＝BE＝EF＝CD＝1.
根据黄金矩形的性质，知 ＝ .
∴BC＝ .∴EC＝BC－BE＝ －1＝ .
∴ ＝ ＝ .∴矩形DCEF是黄金矩形．(共18张PPT)
第二十一章 四边形
第7课 平行四边形(5)
三角形的中位线
1. (1)三角形的中位线的定义：连接三角形两边 的线段叫
作三角形的中位线．
中点
(2)三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
几何语言：
如图，∵DE是△ABC的中位线，
∴ ．
DE∥BC，且DE＝ BC
2. (三角形中位线定理的证明)如图，点D，E分别为△ABC边
AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且DE＝ BC.
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.
∵点E为AC的中点，∴AE＝EC.
∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴CF∥DA，CF＝DA.
∵点D为AB的中点，∴DA＝BD.
∴CF∥BD，CF＝BD.
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF∥BC，DF＝BC. ∵DE＝ DF，∴DE∥BC，且DE＝ BC.
例1 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．
(1)若DE＝5，则BC＝ ；
(2)若∠B＝65°，则∠ADE＝ ．
10
65°
3. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中
点．
(1)若∠ADE＝44°，则∠DEF＝ ；
(2)若AB＝10，BC＝6，则DE＋EF＝ ．
44°
8
例2 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G分别是
AB，CD，AC的中点．求证：△EFG是等腰三角形．
证明：∵点E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴FG是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线．
∴FG＝ AD，EG＝ BC.
又AD＝BC，∴FG＝EG. ∴△EFG是等腰三角形．
4. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中
点．
(1)若DE＝10 cm，则AB＝ cm；
(2)求证：AD与EF互相平分．
20
证明：∵点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DE∥AB，DE＝ AB，AF＝ AB.
∴DE＝AF，DE∥AF.
∴四边形AFDE是平行四边形．∴AD与EF互相平分．
1． (广东中考)如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为
AB，AC的中点，则DE＝（　D　）
A． B． C． 1 D． 2
D
2． (2025·广东)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，
∠A＝70°，则∠EDF＝（　C　）
A． 20° B． 40° C． 70° D． 110°
C
3． 如图，DE为△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点
F，若EF＝2，BC＝10，则AB的长为（　C　）
A. 3
B． 5
C． 6
D． 8
C
4． 如图，等边三角形ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC
边的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD和EF，则EF的长
为 ．
2
5． 如图，点E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC.
连接AE交BC于点F，连接AC交BD于点O，连接OF. 判断AB与OF
的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
解：AB∥OF，OF＝ AB.
证明如下：如图，连接BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝DC，AB∥DE.
∵CE＝DC，∴AB＝CE.
∵AB∥CE，∴四边形ABEC是平行四边形．
∴BF＝CF.
∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线．
∴AB∥OF，OF＝ AB.
构造中位线巧解题
【方法指导】 可以通过以下添加辅助线的方法构造中位线：(1)已
知两个中点：连接两中点或连接第三边；(2)已知一个中点：取另一边中
点并连接这两个中点；(3)已知角平分线 ＋垂直：延长有关的线段(被平
分角的边或垂直的边)．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，BD＝8，AD⊥DB，
点M，N分别是边AB，BC上的动点(不与点A，B，C重合)，点E，
F分别为DN，MN的中点，连接EF，则EF的最小值为（　A　）
A． 2.4 B． 3 C． 4 D． 4.8
A
7． 如图，在四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝
30°，∠BDC＝120°，点E，F分别是AD，BC的中点，则EF的长
为 ．
8． 如图，在△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，点E是BC的中
点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为 cm.
1(共17张PPT)
第二十一章 四边形
第9课 特殊的平行四边形(2)
矩形的判定 几何语言 图形
判定1(定义)：有一个
角是 的平行
四边形是矩形 如图，∵四边形ABCD是平行
四边形，∠BAD＝ °，
∴四边形ABCD是矩形
直角
90
判定2：对角
线 的平行
四边形是矩形 如图，∵四边形ABCD是平行四边
形，AC＝ ，∴四边形ABCD
是矩形
判定3：有三个角
是 的四边
形是矩形 如图，∵在四边形ABCD中，∠BAD
＝∠ABC＝∠BCD＝ °，∴
四边形ABCD是矩形 相等
BD
直角
90
有一个角是直角的平行四边形是矩形
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EG∥CB，FG∥CA. 求
证：四边形EGFC是矩形．
证明：∵EG∥CB，FG∥CA，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∵∠C＝90°，
∴四边形EGFC是矩形．
1. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F
在边CD上，DF＝BE，连接BF. 求证：四边形BFDE是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE.
又DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.
∴四边形BFDE是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形
例2 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，且
∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠1＝∠2，∴OB＝OC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2OB，AC＝2OC.
∴BD＝AC.
∴四边形ABCD是矩形．
2. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于
点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF. 求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵AE⊥BD，DF⊥AC，∴∠AEO＝∠DFO＝90°.
又AE＝DF，∠AOE＝∠DOF，
∴△AEO≌△DFO(AAS)．∴AO＝DO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝DO＝BO.
∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形
例3 如图，点A是直线MN上一点，AP，AQ分别是∠NAC和
∠MAC的平分线，CB⊥AQ于点B，CD⊥AP于点D. 求证：四边形
ADCB是矩形．
证明：∵AQ，AP分别平分∠MAC和∠NAC，
∴∠BAC＝ ∠MAC，∠DAC＝ ∠NAC.
∵∠MAC＋∠NAC＝180°，
∴∠BAC＋∠DAC＝90°.∴∠BAD＝90°.
∵CB⊥AQ，CD⊥AP，
∴∠CBA＝90°，∠CDA＝90°.∴四边形ADCB是矩形．
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，AN
是△ABC的外角∠CAM的平分线，过点C作CE⊥AN，垂足为点E.
求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝ ∠BAC. ∴∠ADC＝90°.
∵AN是∠CAM的平分线，∴∠CAN＝ ∠CAM.
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋∠CAM)
＝ ×180°＝90°.
∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°.∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°.
∴四边形ADCE为矩形．
1． 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 若添加一个条
件，使得 ABCD是矩形，则这个条件可以是（　B　）
A. AB＝AD
B． AO＝BO
C． AC⊥BD
D． AO＝CO
B
2． 在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框
是否为矩形，下面是某合作学习小组的甲、乙、丙、丁四位同学拟
定的方案：
甲：测量两组对边是否分别相等；
乙：测量对角线是否相互平分；
丙：测量其内角是否有三个直角；
丁：测量两条对角线是否相等．
其中拟定的方案正确的同学是（　C　）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁
C
3． 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若OA＝3，
则当OB的长为 时， ABCD为矩形．
3
4． 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为（　A　）
A. 35°
B． 40°
C． 45°
D． 50°
A
5． 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，
CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(1)证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC＝90°.
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝180°－∠ADC＝90°.
又AE⊥AD，∴∠EAD＝90°.
∴四边形ADCE是矩形．
(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
(2)解：由(1)，知四边形ADCE是矩形．
∴AE＝DC，AD＝CE＝3，∠AEC＝90°.
∵点D是BC的中点，BC＝4，
∴DC＝AE＝ BC＝2.
在△ADC中，∠ADC＝90°.
∴AC＝ ＝ ＝ .
∵EF⊥AC，∴ EF·AC＝ AE·CE.
∴ EF· ＝ ×2×3.∴EF＝ .
6． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D
是边AB上一动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
连接EF，则线段EF的最小值为 ．(共15张PPT)
第二十一章 四边形
第6课 平行四边形(4)
平行四边形的判定 几何语言 图形
判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如图，∵AB∥ ，AB＝ ， ∴四边形ABCD是平行四边形
CD
CD
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
例1 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠1＝∠2.求证：四边
形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD.
又AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
1. 【人教八下P66习题T8】如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四
边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，AD＝EF.
∵四边形EBCF是平行四边形，
∴BC∥EF，BC＝EF. ∴AD∥BC，AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的性质与判定综合
例2 如图，在 ABCD中，点E，F分别是对角线BD上两点，且
BF＝DE，连接AF，AE，CE，CF. 求证：四边形AFCE是平行四边
形．
证明：如图，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BF＝DE，∴FO＝EO.
∴四边形AFCE是平行四边形．
2. 如图，在 ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且
BE＝DF，连接AF，交BC于点H，连接EC.
(1)求证：四边形EAFC是平行四边形；
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵BE＝DF，
∴BE－AB＝DF－CD，
即AE＝CF.
又AE∥CF，∴四边形EAFC是平行四边形．
(2)若∠F＝∠D＝70°，求∠CHF的度数．
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∴∠HCF＝∠D＝70°.
∴∠CHF＝180°－∠HCF－∠F＝40°.
1． 如图，在6×4的正方形网格中，以格点A，B，C，D，E，
F中的四个点为顶点，可以画出平行四边形的个数为（　A　）
A. 3
B． 4
C． 6
D． 8
A
2． 如图，在四边形ABCD中，过点B，D分别作对角线AC的垂
线，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，AF＝CE. 求证：四边形
ABCD为平行四边形．
证明：∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF.
∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形．
3． 如图，在 ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分
线．求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD.
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，
∴∠FAE＝ ∠DAB，∠ECF＝ ∠BCD. ∴∠FAE＝∠ECF.
∵AF∥EC，∴∠AFC＋∠ECF＝180°，∠FAE＋∠AEC＝180°．
∴∠AFC＝∠AEC. 又∠FAE＝∠ECF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
4． 如图，已知△ABC是等边三角形，点E为AC上一点．将AC绕
点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连
接AF. 求证：四边形ABDF是平行四边形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝60°.
∵将AC绕点E旋转得到FD，
∴ED＝CE，FD＝AC. ∴△EDC是等边三角形．
∴∠EDC＝∠ABC＝60°.∴AB∥FD.
∵AC＝AB，FD＝AC，∴AB＝FD.
∴四边形ABDF是平行四边形．
5． 开放性题目如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边
AB上， ．请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝
CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解
决下列问题：
①(或②)
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(1)若选①：证明：
∵∠B＝∠AED，∴DE∥CB.
∵EB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形．
若选②：证明：
∵AE＝BE，AE＝CD，∴CD＝BE.
∵EB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形．
(2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长．
(2)解：由(1)，得DE＝BC＝10.
∵AD⊥AB，AD＝8，∴∠A＝90°.
∴由勾股定理，得AE＝ ＝6.(共18张PPT)
第二十一章 四边形
第1课 四边形及多边形(1)——四边形及其内角和
四边形的概念
1. 四边形：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接
组成的图形叫作四边形．
(1)边：组成四边形的各条 叫作四边形的边．
(2)顶点：每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点．
线段
(3)四边形用表示它的各个顶点的字母表示，如图的四边形记作“四
边形ABCD”．
说明：如无特殊说明，后面所讨论的四边形都是凸四边形．(凸四
边形始终都在它的任何一条边所在直线的同一侧)
2. 如图，在四边形ABCD中．
(1)对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对
角线．四边形ABCD的对角线为 ．
AC，BD
(2)内角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形
的角．四边形ABCD的内角为
．
∠BAD，∠ABC，∠BCD，
∠ADC
(3)外角：四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形
的外角．请在图中分别画出四边形ABCD顶点B，D处的一个外角．
解：如图，∠ABE，∠ADF分别就是四边形ABCD顶点B，D处
的一个外角．(答案不唯一)
四边形的内角与外角的性质
例1 求任意一个四边形的内角和．
解：如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD
被分为△ABC和△ACD两个三角形．
在△ABC中，由三角形内角和定理，得
∠1＋∠B＋∠3＝ °.
同理∠2＋∠4＋∠D＝ °.
由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D
180
180
＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D
＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D)
＝ °.
结论：四边形的内角和等于 °.
360
360
3. 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作
四边形的外角和．求四边形ABCD的外角和．
解：∵∠DAB与∠1是邻补角，∴∠DAB＋∠1＝180°.
同理∠ABC＋∠2＝180°，∠BCD＋∠3＝180°，
∠CDA＋∠4＝180°.
∴∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋
∠CDA＋∠4＝720°.
而∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.
∴四边形ABCD的外角和为360°.
结论：四边形的外角和等于 °.
360
例2 (人教八下P49练习T1变式)写出图中x的值．
x＝ x＝ x＝
100
50
90
4. 写出图中x的值．
x＝ x＝ x＝
85
55
30
四边形的不稳定性
例3 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一
个长方形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①对角线
BD的长度不变；②四边形ABCD的内角和不变；③四边形ABCD的面
积不变；④四边形ABCD的周长不变．其中所有正确的结论是
．
②④
5． 如图，小明做了一个长方形框架，但发现它很容易变形．若要
加固此长方形框架，则他应该选择的加固方案是（　B　）
A B C D
B
1． 四边形的外角和等于（　B　）
A． 180° B． 360°
C． 540° D． 720°
2． 已知四边形三个内角分别为85°，95°，105°，则第四个内角
是 ．
B
75°
3． (1)下列图形中具有稳定性是 ；(只填图形序号)
(2)对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
解：如图所示．(答案不唯一)
①④⑥
4． 在四边形中，最多有 个钝角．（　C　）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
C
5． 【人教八下P49练习T2改编】如图，在四边形ABCD中，∠A＋
∠C＝180°，∠B和∠D有怎样的关系？
解：∠B＋∠D＝180°.
理由如下：
在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝180°.
6． 方程思想 一个四边形的四个内角之比为1∶2∶3∶4，最大的内
角是（　A　）
A． 144° B． 120°
C． 90° D． 72°
A(共22张PPT)
第二十一章 四边形
第14课 四边形章末复习
360°
360°
(n－2)×180°
360°
相等
平分
相等
相等
直角
相等
相等
垂直
垂直
相等
一、选择题
1． 在 ABCD中，若∠A＝30°，则∠C的度数是（　C　）
A． 150° B． 60°
C． 30° D． 120°
C
2． 平行四边形不一定具有的性质是（　A　）
A． 对角线互相垂直 B． 对角线互相平分
C． 邻角互补 D． 对边相等
A
3． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若
∠BAD＝120°，AB＝6，则OA的长为（　C　）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
C
4． 如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，
EF，DF. 若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为（　A　）
A． 5 B． 6 C． 8 D． 10
A
5． 如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，
若BC＝8，AB＝6，则线段CF的长度是（　B　）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
B
6． 如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝35°，则
∠ANM的度数为（　B　）
A. 45°
B． 55°
C． 65°
D． 75°
B
7． 如图，矩形ABCD的边AB上有一动点E，连接DE，CE，以
DE，CE为边作平行四边形DECF. 在点E从点B移动到点A的过程
中，平行四边形DECF的面积（　D　）
A． 先变大后变小 B． 先变小后变大
C． 一直变大 D． 保持不变
D
8． 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，
BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中
点，点G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM＋ FG的最小值是
（　B　）
A． 4 B． 5 C． 8 D． 10
B
二、填空题
9． 在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC. 要使该四边形
成为矩形，只需再加上的一个条件是 ．(填
上你认为正确的一个答案即可)
∠A＝90°(答案不唯一)
10． 如图，在Rt△ABC中，点E是斜边AB的中点，若AB＝2
025，则CE＝ ．
1 012.5
11． 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点O又
是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.
如果两个正方形的边长都为6，那么这两个正方形重叠部分的面积等
于 ．
9
三、解答题
12． 如图，在 ABCD中，点E，F是对角线BD上的点，且DE＝
BF. 求证：∠1＝∠2.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB. ∴∠ADE＝∠CBF.
又DE＝BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)．
∴∠1＝∠2.
13． 如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，点F，G分别
是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG.
证明：∵BE，CD都是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥BC，DE＝ BC.
∵点F，G分别是OB，OC的中点，
∴FG∥BC，FG＝ BC.
∴DE∥FG且DE＝FG.
∴四边形DEGF是平行四边形．∴DF＝EG.
14． 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，
EF⊥AD于点F. 求证：四边形ABEF是正方形．
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°.
∵EF⊥AD，∴∠DAB＝∠B＝∠EFA＝90°.
∴四边形ABEF为矩形．
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°.
∴△ABE为等腰直角三角形．
∴AB＝BE. ∴四边形ABEF为正方形．
15． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交
AC的延长线于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线
CM交BE于点F；(保留作图痕迹，不写作法)
(1)解：如图，∠ECM，点F即为所求．
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形．
(2)证明：∵∠ECM＝∠A，∴CM∥AB.
∵BE∥DC，
∴四边形CDBF是平行四边形．
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD＝ AB. ∴四边形CDBF是菱形．(共19张PPT)
第二十一章 四边形
第3课 平行四边形(1)
平行四边形的定义与边、角性质
(1)观察下面图形，发现它们的两组对边分别 ；(填
“平行”或“不平行”)
平行
(2)填空：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC.
求证：AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D，∠BAD＝∠DCB.
证明：如图，连接AC. ∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1 ∠2，∠3 ∠4.
又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA( )．
∴AB＝ ，BC＝ ，∠B＝ ．
又∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠4 ∠2＋∠3，即
．
＝
＝
ASA
CD
DA
∠D
＝
∠BAD
＝∠DCB
平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形叫作
平行四边形，用“ ”表示．
类型 几何语言 图示
边：对边 且 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，BC∥ ，AB＝CD，BC＝
角：对角 ， 邻角 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝ ，∠A＋∠D＝180°，∠A＋∠B＝ ° 平行
平行
相等
AD
AD
相等
互补
∠D
180
例1 如图，在 ABCD中．
(1)若AB＝3，BC＝5，则CD＝ ，AD＝ ， ABCD的
周长为 ；
(2)若∠A＝110°，则∠B＝ ，∠C＝ ，∠D
＝ ．
3
5
16
70°
110°
70°
1. 如图，在 ABCD中．
(1)若 ABCD的周长为28 cm，AB∶BC＝3∶4，则AB＝
，BC＝ ；
(2)若∠A∶∠B＝3∶2，则∠A＝ ，∠B＝ ．
6cm
8 cm
108°
72°
平行四边形对角线的性质
类型 几何语言 图示
对角线：平行四边形
的对角线
如图，∵四边形ABCD是平
行四边形， ∴OA＝ ＝
，OB＝ ＝

互相平分
OC
AC
OD
BD
例2 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝20，则AO＝ ，DO＝ ．
6
10
2. 如图，在 ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△AOD的
周长是 ．
21
例3 如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝12，AC⊥BC，求
BC，AC，OA的长及 ABCD的面积．
解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12，OA＝OC＝ AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理，
得AC＝ ＝5.
∴OA＝ .∴S ABCD＝BC·AC＝12×5＝60.
3. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AC
＝10，BD＝26.
(1)求AB的长；
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD.
∵AC＝10，BD＝26，∴OA＝5，OB＝13.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB＝ ＝ ＝12.
(2)求 ABCD的面积．
(2)∵AC⊥AB，
∴S ABCD＝AB·AC＝12×10＝120.
1． 如图，在 ABCD中，∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则
∠BCD等于（　C　）
A． 80° B． 100°
C． 120° D． 140°
C
2． 如图，在 ABCD中，不一定成立的是（　D　）
A． AB＝CD B． AD∥BC
C． ∠A＋∠D＝180° D． ∠A＝∠B
D
3． (2025·湖北)如图，平行四边形ABCD对角线的交点在原点．若
A(－1，2)，则点C的坐标是（　C　）
A． (2，－1) B． (－2，1)
C． (1，－2) D． (－1，－2)
C
4． (广州中考)如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线
上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ ．
5
5． 如图，AC，BD是 ABCD的两条对角线，则图中的全等三角
形共有（　C　）
A. 2对
B． 3对
C． 4对
D． 6对
C
6． 如图，在 ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交
DA的延长线于点E，求证：AE＝BC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠OAE＝∠OBC，
∠E＝∠OCB.
∵点O是AB的中点，∴OA＝OB.
∴△AOE≌△BOC(AAS)．
∴AE＝BC.(共20张PPT)
第二十一章 四边形
第2课 四边形及多边形(2)——多边形及其内角和
多边形
1. 在平面内，由几条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作
．多边形有几条边就叫作几边形．
2. 各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作 ．
多边形
正多边形
多边形的内角和
如图，探究n边形的内角和规律．
多边形的边数 3 4 5 6 … n
分成的三角形的个数 1 2 3 4 … n－2
对角线总条数 0 2 5 9 …
多边形的内角和 180° 180°×2 … 180°×(n－2
3
4
n－2
5
9

180°×3
180°×4
180°×(n－2)
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作 条对
角线，它们将n边形分为 个三角形，n边形的内角和等
于 ．
(n－3)
(n－2)
(n－2)×180°
例1 (1)四边形的内角和为 °，六边形的内角和
为 °；
(2)一个多边形的内角和等于1 260°，它是 边形．
360
720
九
3. 写出图中x的值．
x＝ x＝
120
85
多边形的外角和定理
如图，当多边形A1A2…An逐步“缩小”时(形状不变)，它的外角和不
变．若多边形“缩小”成一点，则它的所有外角就组成一个周角，它们的
和就是 °.
多边形的外角和等于 ．
360
360°
4. 多边形的每一个内角与和它相邻的外角是 ，因此n边
形的内角和与外角和的总和等于 ，外角和等
于 － ＝ ．
邻补角
n×180°
n×180°
(n－2)×180°
360°
例2 【人教八下P53习题T4改编】一个多边形的内角和等于它的外
角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形．
由题意，得(n－2)×180°＝3×360°.
解得n＝8.
∴它是八边形．
5. 一个多边形内角和的度数比外角和的度数的4倍多180°，求该多
边形的边数．
解：设该多边形的边数为n.
由题意，得(n－2)×180°＝4×360°＋180°.解得n＝11.
∴该多边形的边数为11.
1. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（　C　）
A. 180°
B． 360°
C． 540°
D． 720°
C
2． 一个多边形的内角和是1 800°，则这个多边形的边数是
（　D　）
A． 9 B． 10 C． 11 D． 12
3． (2025·巴中)正多边形的一个内角是120°，这个正多边形是
正 边形．
D
六
4． 如图，x的值为 ．
130
5． 如图，某人从点A出发，前进8 m后向右转60°，再前进8 m后
又向右转60°……按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点
A时，共走了 m．
48
6． 已知一个正多边形的每个外角的度数是它每个内角度数的一
半，求它的边数．
解：设这个正多边形的每一个外角为x°，则它对应的每一个内角
为2x°.
根据题意，得x＋2x＝180.解得x＝60.
∴这个正多边形的每一个外角为60°.
∴它的边数为360°÷60°＝6.
7． 如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.
(1)若∠1＝48°，求∠2的度数；
(1)解：∵六边形ABCDEF的各内角都相等，
∴一个内角的大小为 ＝120°.
∴∠E＝∠F＝∠FAB＝120°.
∵∠1＝48°，
∴∠FAD＝∠FAB－∠1＝120°－48°＝72°.
∵∠2＋∠FAD＋∠F＋∠E＝(4－2)×180°，
∴∠2＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝360°－72°－120°－120°＝48°.
(2)求证：AB∥DE.
(2)证明：由(1)，得∠2＝360°－120°－120°－∠FAD＝120°－
∠FAD.
∵∠1＝120°－∠FAD，∴∠1＝∠2.
∴AB∥DE.
8． 分类讨论 如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两
个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是
（　C　）
A． 360° B． 540°
C． 630° D． 720°
C
9． 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ．
540°(共15张PPT)
第二十一章 四边形
第11课 特殊的平行四边形(4)
菱形的判定 几何语言 图形
定义法：有一组邻
边相等的平行四边
形是菱形 如图，∵四边形ABCD是平行四边
形，AB＝ ，∴四
边形ABCD是菱形
AD(或BC)
判定1：对角线互
相垂直的平行四边
形是菱形 如图，∵四边形ABCD是平行四边
形，AC⊥ ， ∴四边形ABCD是菱形
判定2：四条边相
等的四边形是菱形 如图，∵在四边形ABCD中，AB
＝ ＝ ＝ ，
∴四边形ABCD是菱形 BD
BC
CD
DA
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
例1 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，
CE∥BD. 求证：四边形OCED是菱形．
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD＝ BD，OC＝ AC.
∴OD＝OC. ∴四边形OCED是菱形．
1. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝
2CD，点E为AB的中点，连接CE.
求证：四边形AECD为菱形．
证明：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，
∴CE＝AE＝ AB.
又CD＝ AB，∴CD＝AE.
又CD∥AE，∴四边形AECD是平行四边形．
∵CE＝AE，∴四边形AECD是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例2 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC
＝8，DB＝6.求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC＝4，OB＝OD＝ BD＝3.
∵AB＝5，∴32＋42＝52，即OB2＋OA2＝AB2.
∴△AOB是直角三角形．
∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形．
2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于点H，点
E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH. 求证：四边形EBFC是
菱形．
证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.
∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形．
∵AH⊥BC，
∴四边形EBFC是菱形．
四条边相等的四边形是菱形
例3 如图，△ABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到
△DBC. 求证：四边形ABDC是菱形．
证明：∵将△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，
∴AB＝BD，AC＝CD.
∵AB＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC.
∴四边形ABDC是菱形．
3. 如图，AC＝8，分别以点A，C为圆心，5为半径作弧，两条弧
分别相交于点B，D. 依次连接点A，B，C，D. 连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
解：四边形ABCD为菱形．
理由如下：
由作法，得AB＝AD＝CD＝CB＝5.
∴四边形ABCD为菱形．
(2)BD的长为 ．
6
1． 如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不．能．证
明 ABCD是菱形的是（　D　）
A. ∠BAC＝∠BCA
B． ∠ABD＝∠CBD
C． OA2＋OD2＝AD2
D． AD2＋OA2＝OD2
D
2． 如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，
连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF.
求证：四边形ABEF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE.
∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA.
∵点O为BF的中点，∴FO＝BO.
∴△AOF≌△EOB(AAS)．∴BE＝FA.
∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形．
又AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．
3． 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是各边的中
点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(1)证明：如图，连接BD，AC．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴GF∥BD，HG∥AC.
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG⊥GF. ∴BD⊥AC. ∴四边形ABCD是菱形．
(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB
的长．
(2)解：如图，设AC与BD的交点为O.
∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴GF＝EH＝ BD，HG＝EF＝ AC.
∵矩形EFGH的周长为22，∴BD＋AC＝22.
∵四边形ABCD是菱形，
∴ BD＋ AC＝OA＋OB＝11.
∵四边形ABCD的面积为10，
∴ BD·AC＝10，即2OA·OB＝10.
∵(OA＋OB)2＝OA2＋2OA·OB＋OB2＝121，
∴OA2＋OB2＝(OA＋OB)2－2OA·OB
＝121－10＝111.
∴AB＝ ＝ .(共16张PPT)
第二十一章 四边形
第4课 平行四边形(2)
利用平行四边形的性质证明
例1 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且点M，
N分别是OB，OD的中点．求证：AN＝CM.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC.
∵点M，N分别是OB，OD的中点，
∴OM＝ OB，ON＝ OD. ∴OM＝ON.
又∠AON＝∠COM，∴△AON≌△COM(SAS)．
∴AN＝CM.
1. 如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线
EF分别交AD，BC于E，F两点，求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∴∠1＝∠2.
∵点O为对角线BD的中点，∴DO＝BO.
又∠3＝∠4，∴△EOD≌△FOB(ASA)．
∴OE＝OF.
两条平行线之间的距离
2. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 ，
叫作这两条平行线之间的距离．
距离
例2 如图，直线l1∥l2，点A，B是直线l1上任意两点，AC⊥l2，
BD⊥l2，垂足分别为点C，D. 求证：AC＝BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1＝∠2＝ °.
∴AC∥ ．
∵AB∥CD，
∴四边形 是平行四边形．
∴AC＝BD.
90
BD
ABDC
3. 如图，直线a∥b，AB∥CD，FG⊥b，CE⊥b，则下列说法
不正确的是（　C　）
A. AB＝CD
B． EC＝FG
C． AB的长就是a，b之间的距离
D． CE的长就是a，b之间的距离
总结：平行线间的距离处处相等．
C
例3 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC. 求证：∠B＝
∠C.
证明：如图，在梯形ABCD中，
AD∥BC，过点A，D分别作AE⊥BC，
DF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离，
∴AE＝DF.
又AB＝DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)．∴∠B＝∠C.
4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，垂足为C，AD
＝3，AB＝4，BC＝5，E为边BC上一点，AB∥DE. 求AD，BC之间
的距离．
解：∵AD∥BC，CD⊥BC，
∴CD的长就是AD，BC之间的距离．
∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．
∴DE＝AB＝4，BE＝AD＝3.
∴EC＝BC－BE＝5－3＝2.
在Rt△DEC中，CD＝ ＝ ＝2 .
1． 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一
定正确的是（　B　）
A． AB＝BC B． AD＝BC
C． OA＝OB D． AC⊥BD
B
2． 如图，直线l1∥l2，点A，D为直线l1上的两点，点B，C在直
线l2上，且△ABC的面积为15，则△DBC的面积为 ．
15
3． 如图， ABCD中，AB，BC长分别为12和26，边AD与BC之
间的距离为8，则AB与CD之间的距离为 ．
4． 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
AC⊥BC，且AB＝13，AD＝5，则OB的长度为（　A　）
A． B． C． 4 D．
A
5． 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝
40°，过点D作DE∥AB交BC于点E，若AD＝3，BC＝10，则CD的
长是 .
7
6． 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，S△ADM＝1，S△BNC＝0.8，
则S四边形EMFN为（　B　）
A． 1.6 B． 1.8 C． 2 D． 3.6
B
7． (2025·甘肃)如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折
叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三
角形．若AB＝6 cm，则AD＝ cm.
12
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝ AC＝4，OB＝OD.
∵点E在BD的延长线上，且△EAC为等边三角形，
∴EB⊥AC，AE＝AC＝8.
在Rt△AOB与Rt△AOE中，
由勾股定理，得
OB＝ ＝ ＝3，
OE＝ ＝ ＝4 .
∴OD＝OB＝3.∴ED＝OE－OD＝4 －3.
8． 【拓展题】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形．若AC＝8，AB
＝5，求ED的长．(共23张PPT)
第二十一章 四边形
第10课 特殊的平行四边形(3)
菱形的定义与性质
1. 菱形的定义：有一组邻边 的平行四边形叫作菱形．
相等
2． 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O. 测
量图中的边长和角度，可发现：
菱形的四条边都 ，菱形的两条对角线 ，并
且每一条对角线 一组对角．
相等
互相垂直
平分
证明如下：在菱形ABCD中，根据菱形的定义，菱形ABCD是平行
四边形，且有一组邻边相等，不妨设AB＝AD.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝ ，AD
＝ ．
∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD. ∴△ABC，
△ACD，△ABD，△BCD都是 三角形．
∵菱形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.
在△ABC中，AB＝BC，AO＝CO，∴BO平分∠ ，
BO AC.
CD
BC
等腰
ABC
⊥
同理可得DO平分∠ ，DO AC，AO平分
∠ ，AO BD，CO平分∠ ，CO BD，即
AC⊥BD，BD平分∠ABC，∠ADC，AC平分∠BAD，∠BCD.
∴菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条
对角线平分一组对角．
ADC
⊥
BAD
⊥
BCD
⊥
菱形的性质
菱形的性质 图形
(1)菱形具有平行四边形的所有性质； (2)菱形不同于一般平行四边形的性质： ①四条边都 ； ②对角线互相 ，并且每一条对角线
相等
垂直
平分一组对角
几何语言 图形
如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴(边)AB＝ ＝CD＝ ； (角)∠BAD＝ ，∠ABC＝ ； (对角线)AC⊥ ，AO＝ ，BO＝ ，∠1＝ ＝∠3＝ ，∠5＝ ＝∠7＝
菱形的周长：C＝边长×4；菱形的面积：S＝底×高或S＝ AC·BD BC
DA
∠BCD
∠ADC
BD
CO
DO
∠2
∠4
∠6
∠8
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若AB＝4，则菱形ABCD的周长为 ；
(2)若∠BAD＝80°，则∠BAC＝ °，∠ABD
＝ °；
16
40
50
(3)若周长为20，AC＝8，求菱形的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC＝4，AB＝BC＝CD＝AD＝20÷4＝5.
∴由勾股定理，得DO＝ ＝3.
∴BD＝2DO＝6.
∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×8×6＝24.
3. 如图，已知四边形ABCD是菱形．
(1)若AC＝10，BD＝24，则AB＝ ，菱形的周长
为 ，面积为 ；
13
52
120
(2)若∠ABC＝60°，AB＝2，求对角线AC，BD的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝BC＝AB＝2.∴AO＝ AC＝1.
∴由勾股定理，得BO＝ ＝ .
∴BD＝2BO＝2 .
例2 (福建中考)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD
边上，∠AEB＝∠AFD，求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵∠AEB＝∠AFD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)．
∴BE＝DF.
4. 如图，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，连接
EA，EC，求证：AE＝CE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，
∠ABE＝∠CBE.
又BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)．
∴AE＝CE.
1． 如图，四边形ABCD为菱形，则下列描述不一定正确的是
（　C　）
A. CA平分∠BCD
B． AC，BD互相平分
C． AC＝CD
D． ∠ABD＋∠ACD＝90°
C
2． 【人教八下P79习题T4改编】在菱形ABCD中，若∠DBC＝
33°，则∠A＝ ．
114°
3． (2025·珠海期中)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接
AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为 ．
24
4． 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD
的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（　B　）
A． 20 B． 24 C． 28 D． 32
B
5． 如图，已知菱形ABCD的面积为24，对角线AC，BD相交于点
O，且AC＝8，则菱形的边长为（　D　）
A． 3 B． 4 C． 4.8 D． 5
D
6． 如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴
上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为（　C　）
A． (－4，2) B． (- ，4)
C． (－2，4) D． (-4， )
C
7． (2025·广州期末)如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，
E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是
（　C　）
A. 2
B． 3
C． 2
D．
C
8． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D
作BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：CD＝AE；
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD．
∵DE⊥BD，∴DE∥AC.
∴四边形ACDE是平行四边形．∴CD＝AE.
(2)若∠E＝30°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．
(2)解：由(1)，知DE∥AC，
∴∠BAO＝∠E＝30°.
∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴OB＝OD＝4，OA＝OC，AC⊥BD.
∴∠AOB＝90°.∴AB＝2OB＝8.∴OA＝4 .
∴AC＝2OA＝8 .
∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×8 ×8＝32 .
9． (广东中考)如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，
点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积
为 ．
10(共18张PPT)
第二十一章 四边形
第8课 特殊的平行四边形(1)
矩形的定义与性质
1. 矩形的定义：有一个角是 的平行四边形叫作矩形．
直角
2. 如图，四边形ABCD是矩形，其中∠A＝90°.
由平行四边形 的性质，得∠C＝ °.
再由平行四边形的定义，得
AD BC，AB DC.
∴∠A＋∠B＝ °，∠A＋∠D＝ °.
∴∠B＝∠D＝ °.
因此，矩形的四个角都是 ．
对角相等
90
∥
∥
180
180
90
直角
3. 如图，四边形ABCD是矩形．求证：对角线AC＝BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠ ＝ °.
又BC＝CB，
∴ (SAS)．
∴AC＝BD.
因此，矩形的对角线 ．
DCB
90
△ABC≌△DCB
相等
矩形的性质
矩形的性质 几何语言 图形
(1)矩形具有平行四边形的所有性质； (2)矩形不同于一般平行四边形的性质：①四个角都是 ； ②对角线 如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴(边) ； (角)∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝ °； (对角线)AC＝ ，AO＝ ＝ ＝
直角
相等
AB，CD，AD，BC
90
BD
BO
CO
DO
例1 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O. 若AD＝6，BD＝
10，则AC＝ ，AB＝ ．矩形ABCD的周长为 ，面
积为 ．
10
8
28
48
4. 如图，在矩形ABCD中，BC＝12，BD＝13，则CD＝ ，
OC＝ .△AOB的周长为 ，面积为 ．
5
18
15
例2 如图，在矩形ABCD中，AE＝DF. 求证：BF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，
∠B＝∠C＝90°.
又AE＝DF，∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)．
∴BE＝CF.
∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE.
5. 如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC于点
E，CF⊥BD于点F. 求证：BE＝CF.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC.
在△BOE和△COF中，
∴△BOE≌△COF(AAS)．∴BE＝CF.
直角三角形斜边上中线的性质(直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半)
例3 如图，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．
(1)若AD＝3，则AB＝ ，CD＝ ；
(2)若∠A＝30°，则∠BDC＝ ．
6
3
60°
6. 如图，在△ABC中，点E是AC边上的中点，点D，F分别在
AB，DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝10，BC＝16，则
EF的长为 ．
3
1． 如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，若∠AOB＝50°，
则∠ACD的度数为 ．
65°
2． 小明在喝水时发现：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与
桌面保持平行．如图，矩形ABCD为静止状态的某水杯的截面图，杯中
水面与CD的交点为E，当水杯侧面AB与桌面的夹角为54°时，
∠CBE＝ °.
36
3． 【人教八下P80习题T9改编】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线．若AD＝2，CE＝
10，则CD＝ ．
6
4． 如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE，连接EB，EC分
别与AD相交于点F，G. 求证：△ABE≌△DCE.
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
AB＝DC.
∵AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA．
∴∠BAD＋∠EAD＝∠ADC＋∠EDA，
即∠BAE＝∠CDE.
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)．
5． 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，将长方形ABCD
沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则AE的长为
（　D　）
A. 8
B． 6
C． 5
D． 4
D
6． 如图，四边形ABCD是矩形，E为BC边上的一点，作
EG⊥AC于点G，连接AE，F为AE的中点，连接BF，GF.
(1)求证：BF＝GF；
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AC，
∴∠ABC＝∠AGE＝90°.
∵F为AE的中点，
∴BF＝GF＝ AE.
(2)若∠ACB＝40°，求∠BFG的度数．
(2)解：由(1)得BF＝GF＝ AE＝AF.
∴∠BAF＝∠ABF，∠GAF＝∠AGF.
∴∠BFE＝2∠BAF，∠EFG＝2∠GAF.
∵∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝50°，即∠BAF＋∠GAF＝50°.
∴∠BFG＝∠BFE＋∠EFG＝2∠BAF＋2∠GAF＝2∠BAC＝
100°.(共13张PPT)
第二十一章 四边形
第5课 平行四边形(3)
平行四边形的判定 几何语言 图形
判定1(定义)：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 如图，∵AB∥ ，BC∥ ， ∴四边形ABCD是平行四边形
判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图，∵AB＝ ，BC＝ ， ∴四边形ABCD是平行四边形 CD
AD
CD
AD
判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图，∵∠BAD＝ ，∠ABC＝ ， ∴四边形ABCD是平行四边形
判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图，∵OA＝ ，OB＝ ， ∴四边形ABCD是平行四边形 ∠BCD
∠ADC
OC
OD
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
例1 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠1＝∠2.求证：四边
形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠A＝∠C，∠1＝∠2，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB(AAS)．∴AB＝CD，AD＝CB.
∴四边形ABCD是平行四边形．
1. 【人教八下P66习题T5变式】如图，在四边形ABCD中，点E，F
分别为边AB，CD的中点，△ADE≌△CBF. 求证：四边形ABCD是
平行四边形．
证明：∵△ADE≌△CBF，∴AD＝CB，AE＝CF.
∵点E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AB＝2AE，CD＝2CF. ∴AB＝CD.
又AD＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
例2 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，∠B＝∠D. 求
证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠D＋∠A＝180°，
∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝∠D，∴∠A＝∠C.
∴四边形ABCD是平行四边形．
2. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB. 求
证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B＝∠D，∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACB.
∴∠DAC＋∠CAB＝∠ACB＋∠DCA.
∴∠DAB＝∠DCB.
∵∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形
例3 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F是AC
上的两点，且AE＝CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO.
∵AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF. ∴EO＝FO.
又BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形．
3. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，
G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是平
行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴OE＝ OA，OF＝ OB，OG＝ OC，OH＝ OD.
∴OE＝OG，OF＝OH. ∴四边形EFGH是平行四边形．
1． 在四边形ABCD中，若∠A＝∠C，则添加下列条件，仍不能
判定四边形ABCD是平行四边形的是（　A　）
A． AD＝BC B． AB∥CD
C． AD∥BC D． ∠B＝∠D
A
2． 如图，∠AOB是锐角，M，N分别是射线OA，OB上的点，
利用尺规作图找一点P，使得四边形PMON是平行四边形，则可直接判
定四边形PMON是平行四边形的条件是（　A　）
A. 两组对边分别平行
B． 两组对边分别相等
C． 两组对角分别相等
D． 对角线互相平分
A
3． 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，若AC＝8
cm，BD＝10 cm，那么AO＝ cm，DO＝ cm时，四边形
ABCD为平行四边形．
4
5
4． 【人教八下P62练习T2变式】如图，AB，CD相交于点O，
AC∥DB，AO＝BO，点E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边
形AFBE是平行四边形．
证明：∵AC∥DB，∴∠CAO＝∠DBO.
∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD(ASA)．∴OC＝OD.
∵点E，F分别是OC，OD的中点，
∴OE＝ OC，OF＝ OD. ∴OE＝OF.
又AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．(共20张PPT)
第二十一章 四边形
第12课 特殊的平行四边形(5)
正方形的定义与性质
1. 正方形的定义：不仅有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平
行四边形是正方形．
正方形的性质 图形
(1)正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质； (2)正方形的四条边都 ，四个角都是 ，两条对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； (3)正方形是轴对称图形，它有4条对称轴
相等
直角
几何语言 图形
如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴(边)AB＝ ＝CD＝ ； (角)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝ °； (对角线)AC＝ ，AC⊥ ，AO＝ ＝BO＝ ，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝ °
BC
DA
90
BD
BD
CO
DO
45
例1 如图，已知正方形ABCD的对角线相交于点O.
(1)若边长为4，则对角线长为 ，周长为 ，面积
为 ；
(2)图中有 个直角，△BOC是 三角形．
16
16
8
等腰直角
4
2． (1)若正方形的面积是25 cm2，则它的边长是 cm，周长
是 cm，对角线长是 cm；
(2)如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，且BC＝
BE，则∠BEC＝ °.
5
20
5
67.5
例2 如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长
线上一点，且EA⊥AF. 求证：DE＝BF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°.
∴∠DAE＋∠BAE＝90°，∠ABF＝90°.
∵EA⊥AF，∴∠BAF＋∠BAE＝90°.
∴∠DAE＝∠BAF.
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF(ASA)．∴DE＝BF.
3. 如图，四边形ABCD是正方形，点G是AB上的任意一点，
CE⊥DG于点E，AF∥CE，且交DG于点F. 求证：EF＝CE－AF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝DA，∠ADC＝
90°.∴∠CDE＋∠FDA＝90°．
∵CE⊥DG，AF∥CE，
∴∠DFA＝∠CEG＝∠CED＝90°.∴∠DAF＋∠FDA＝90°.
∵∠CDE＋∠FDA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF.
在△CDE和△DAF中，
∴△CDE≌△DAF(AAS)．
∴DE＝AF，CE＝DF. ∴EF＝DF－DE＝CE－AF.
例3 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点
E，F分别在边AB，BC上，且∠EOF＝90°.求证：
△BOE≌△COF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
AC⊥BD，∠ABD＝∠ACB＝45°.
∴∠BOC＝∠EOF＝90°. ∴∠EOB＝∠FOC.
在△BOE和△COF中，
∴△BOE≌△COF(ASA)．
4. 如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于点
E，PF⊥CD于点F.
(1)求证：PA＝EF.
证明：如图，连接PC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BCD＝90°.
在△ABP与△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEC＝90°，∠PFC＝90°.
又∠ECF＝90°，∴四边形PFCE是矩形．
∴EF＝PC. ∴PA＝EF.
(2)若正方形ABCD的边长为12，则四边形PFCE的周长为 ．
24
1． (2025·成都)下列命题中，假命题是（　D　）
A． 矩形的对角线相等
B． 菱形的对角线互相垂直
C． 正方形的对角线相等且互相垂直
D． 平行四边形的对角线相等
D
2． 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝
AC，连接CE，则∠E的度数是（　C　）
A. 25°
B． 45°
C． 67.5°
D． 75°
C
3． 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF
为边的正方形EFGH的周长为 .
2
4． 如图，正方形ABCD的边长为 ，对角线AC，BD交于点
O，点E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为（　C　）
A． B． C． D． 2
C
5． 如图所示，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直
角，且点E，A，B三点共线，AB＝4.
(1)求证：△ECA≌△BAF；
(1)证明：∵四边形ACDF是正方形，
∴AC＝FA，∠CAF＝90°.
∴∠EAC＋∠BAF＝180°－∠CAF＝90°.
∵∠CEA＝∠ABF＝90°，∴∠ECA＋∠EAC＝90°.
∴∠ECA＝∠BAF. ∴△ECA≌△BAF(AAS)．
(2)求阴影部分的面积．
(2)解：由(1)，知△ECA≌△BAF. ∴CE＝AB＝4.
∴阴影部分的面积为 AB·CE＝ ×4×4＝8.
6． 如图，在边长为5的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交
BC于点E，AF交CD于点F，连接EF. 若DF＝2，则BE的长
为 .

展开更多......

收起↑