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(共19张PPT)
第十九章 二次根式
第4课 二次根式的乘法与除法(2)
二次根式的除法法则
(1) ＝ 　 　 ， ＝ 　 　 ，
故 (填“>”“<”或“＝”)；
＝
(2) ＝ 　 　 ， ＝ 　 　 ，
故 (填“>”“<”或“＝”)．
一般地，二次根式的除法法则是 ＝ 　 　 (a≥0，
b>0)．
＝
(1)解：原式＝ ＝ ＝2.
(2)解：原式＝
＝ ＝ ＝2 .
例1 计算：(1) ； (2) ÷ .
1. 计算：(1) ÷ ； (2) ÷ .
(1)解：原式＝ ＝ ＝6.
(2)解：原式＝
＝ ＝ ＝8.
逆用二次根式的除法法则
2. 把 ＝ (a≥0，b＞0)反过来，就得到 ＝ (a≥0，b＞0)．
例2 化简：(1) ； (2) .
(1)解：原式＝ ＝ .
(2)解：原式＝ ＝ ＝ .
3. 化简：(1) ； (2) .
(1)解：原式＝ ＝ ＝ ＝
(2)解：原式＝ ＝ ＝ .
最简二次根式
4. 最简二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式．
例3 下列各式中，是最简二次根式的是（　C　）
A. B． C． D．
C
5. 在二次根式 ， ， ， ， 中，最简二次根式
有（　B　）
A. 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
B
二次根式的乘除混合运算
例4 计算： × ÷ .
解：原式＝3 ×5 ÷ ＝15 ÷ ＝15.
6. 计算： ÷ × .
解：原式＝ × ×
＝ ＝ ＝2.
1． 计算 ÷ 的结果是（　C　）
A． B． C． 2 D．
C
2． 下列式子中，为最简二次根式的是（　B　）
A． B． C． D．
B
3． 下列各式计算正确的是（　C　）
A． ＝2 B． ÷ ＝
C． ()2＝3 D． ＝－2
C
4． 计算：
(1) ÷ ; (2) × .
(1)解：原式＝ ＝
＝ ＝ .
(2)解：原式＝2×
＝2
＝2 .
5． 把下列二次根式化简成最简二次根式：
(1) ＝ 　 　 ；(2) ＝ 　 　 ；
(3) ＝ 　 　 ；(4) 　 　 ．




6． 计算：
(1)2 × ÷5 ；
解：原式＝4 × × ＝ .
(2)4x2 ÷12 ·3 .
解：原式＝4x2÷12×3
＝x2
＝xy.
7． 【人教八下P9例6变式】设直角三角形的面积为S，两直角边长
分别为a，b，已知S＝2 ，a＝ ，求b的长．
解：∵S＝2 ，a＝ ，S＝ ab，
∴b＝ ＝ ＝ .
∴b的长为 .(共20张PPT)
第十九章 二次根式
第2课 二次根式及其性质(2)
二次根式的性质
()2＝ ；()2＝ ； ＝ ；
＝ ；
＝ 　 　 ；()2＝ ； ＝ ．
()2＝ (a≥0)； ＝ (a≥0)．(若a＜0呢？)
2
4
2
5
0
0
a
a
注：(1) (a≥0)表示a的算术平方根；(2)平方运算与开平方运算是
互逆运算．
例1 计算：
(1)()2＝ ；
(2)()2＝ ；
(3) ＝ 　 　 ；
(4)(－ )2＝ ；
(5)(2 )2＝( )2×( 　 　 )2＝ ；
(6)()2－()2＝ ．
3
1.5
6
2

20
2
1. 计算：
(1)()2＝ ；
(2)()2＝ ；
(3) ＝ 　 　 ；(4) ＝ 　 　 ；
(5)(3 )2＝ ；
(6)(－2 )2＝( )2×( 　 　 )2＝ ．
13
0.3
18
－2

12
＝
例2 计算：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ；
(3) ＝ ；
(4) ＝ ；
(5) ＝ (x≥0)；
(6) ＝ (x＜0)．
2
2
0.4
0.1
x
－x
2. 计算：
(1) ＝ ；
(2) ＝ 　 　 ；
(3)－ ＝ ；
(4) ＝ ；
(5) ＝ ；
(6) ＝ ．
9
－3
0.5
π
x2
例3 化简：
(1) ＝ 　 －1　 ；
(2) ＝ (a≥3)．
－1
a－3
3. (1)化简： ＝ 　2－ 　 ；
(2)若 ＝2－x，则x的取值范围是 .
2－
x≤2
二次根式的双重非负性： ≥0且a≥0
例4 已知 + ＝0，求x＋y的值．
解：∵ + ＝0， ≥0，
≥0，
∴ ＝0， ＝0.
∴x＋2＝0，y－1＝0.∴x＝－2，y＝1.
∴x＋y＝－2＋1＝－1.
4. 若(a－2)2＋ ＝0，求(a＋b)2 025的值．
解：∵(a－2)2＋ ＝0，(a－2)2≥0， ≥0，
∴(a－2)2＝0， ＝0.
∴a－2＝0，b＋1＝0.∴a＝2，b＝－1.
∴(a＋b)2 025＝(2－1)2 025＝1.
1． 计算：()2＝ ．
5
2． 化简 的结果是（　B　）
A． －4 B． 4 C． ±4 D． 16
B
3． 实数7不能写成的形式是（　D　）
A． B．
C． ()2 D． －
4． 化简： ＝ ．
D
π－3
5． 计算：
(1)()2； (2)(－ )2；
(1)解：原式＝6.
(2)解：原式＝0.2.
(3) ； (4)(－2 )2；
(3)解：原式＝ ＝ .
(4)解：原式＝(－2)2×()2＝4×2＝8.
(5)(＋2)(－2)．
解：原式＝()2－22＝3－4＝－1.
6． 计算： －(－ )2－ ＋2-1.
解：原式＝2－2－3＋
＝－ .
7． 若1＜x＜2，化简 的结果是（　D　）
A． x B． －2 C． x－2 D． 2－x
D
8． 已知a，b满足|a－7|＋ ＝0，求a－b的值．
解：∵|a－7|≥0， ≥0，
且|a－7|＋ ＝0，
∴a－7＝0，2b－6＝0.∴a＝7，b＝3.
∴a－b＝4.
9． (1)当a＝ 　－ 　 时， ＋2的值最小，最小值
为 ．
(2)【人教八下P5习题T9变式】若 是整数，则正整数n的最小值
是 ．
－
2
2(共18张PPT)
第十九章 二次根式
第1课 二次根式及其性质(1)
二次根式的概念
( 　±2　 )2＝4，4的平方根是 ，4的算术平方根
是 ；
( 　±3　 )2＝9，9的平方根是 ，9的算术平方根
是 ；
( 　0　 )2＝0，0的平方根是 ，0的算术平方根是 ；
如果x2＝a(a≥0)，那么a的平方根记作 ，a的算术平方
根记作 ．
±2
±2
2
±3
±3
3
0
0
0


一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，“ ”
称为二次根号．
例1 给出下列各式：① ；②6；③ ；④ ；⑤
(m≤0)；⑥ ；⑦ (x≥0，y≥0)．其中二次根式的个数是
（　C　）
A. 2 B． 3 C． 4 D． 5
C
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（　A　）
A. B． C． D．
2． 若 是二次根式，则a的值不可以是（　D　）
A. 4 B． C． 90 D． －2
A
D
有意义 a≥0
例2 当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
(1) ； (2) ； (3) .
(1)解：由x－2≥0，得x≥2.
(2)解：由3x≥0，得x≥0.
(3)解：由－x≥0，得x≤0.
3. 当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
(1) ； (2) .
(1)解：由5－x≥0，得x≤5.
(2)解：由x≠0，－ ≥0，得x＜0.
例3 要使式子 + 有意义，求x的取值范围．
解：由题意，得
解得－1≤x≤3. 4.要使式子 有意义，求x的取值范围．
解：由题意，得
解得x≥－1且x≠3.
二次根式的实际应用
例4 【人教八下P3练习T1改编】有一个长、宽之比为5∶1的长方形
过道，其面积为10 m2，则这个长方形过道的长为 m，宽
为 m.


5. 跨学科 电流通过导线时会产生热量，电流I（A 、导线电阻
R(Ω)、通电时间t(s)与产生的热量Q（J）之间的关系为Q＝I2Rt.已知
导线的电阻为6 Ω，通电时间为1 s时，导线产生30 J的热量，则此时电
流I的值为 A．
1． 下列式子是二次根式的是（　D　）
A． B． 2π C． －1 D．
D
2． 已知 是二次根式，则a的值可以是（　D　）
A． －3 B． －2 C． －1 D． 2
D
3． 给出下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤
(a≤0)；⑥ .其中二次根式的个数是（　C　）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
C
4． (2025·南通)若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范
围是 ．
5． (1)面积为7的正方形的边长为 ，面积为2S的正方形
的边长为 ；
(2)面积为2π的圆的半径为 ．
x≥3



6． 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) ； (2) ；
(1)解：由2x＋8≥0，得x≥－4.
(2)解：由－2x≥0，得x≤0.
(3) .
解：由 －2x≥0，得x≤ .
7． 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) ； (2) ；
(1)解：由x－5＞0，得x＞5.
(2)解：由4－x＞0，得x＜4.
(3) .
解：由x2≥0，得2＋x2＞0.
∴x为任意实数．
8． 推理能力若x，y都是实数，且y＝ + ＋6，求3x
＋y的立方根．
解：由题意，得 解得x＝7.
∴y＝6.∴3x＋y＝21＋6＝27.
∵27的立方根是3，∴3x＋y的立方根是3.(共18张PPT)
第十九章 二次根式
第5课 二次根式的加法与减法(1)
二次根式的加减
2a＋3a＝( ＋ )a＝ ．(字母及指数不
变，系数相加)
2 ＋3 ＝( ＋ ) ＝ 　5 　 ．(根式不
变，系数相加)
2
3
5a
2
3
5
例1 计算：
(1)2 ＋3 ＝ 　5 　 ；
5
(2)－ －2 ＝ 　－3 　 ．
－3
1. 计算：
(1)－ ＋3 ＝ 　2 　 ；
(2)2 －7 + ＝ 　－4 　 ．
2. 探究： + ＝ 　2 　 ＋ ＝ 　3 　 ．
同类二次根式：化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根
式，如 与 .
2
－4
2
3
例2 下列各式与 是同类二次根式的是（　B　）
A. B． C． D． 25
3. 在二次根式 ， ， 中，可以与 合并的是 　 ．
B
例3 计算：
(1) + ; (2)2 + .
(1)解：原式＝2 ＋3 ＝(2＋3) ＝5 .
(2)解：原式＝2×2 ＋3
＝4 ＋3
＝7 .
4. 计算：
(1) - ； (2) + .
(1)解：原式＝2 - ＝(2- ) ＝ .
(2)解：原式＝2 ＋3
＝5 .
二次根式加减的方法：先将二次根式化成最简二次根式，再
合并同类二次根式．
例4 计算：
(1)2 －5 + ；
解：原式＝4 - ＋4 ＝7 .
5. 计算：
(1)2 －7 ＋4 ；
解：原式＝2 －7×2 ＋4×3
＝2 －14 ＋12
＝0.
(2) ＋(－2 )．
解：原式＝3 ＋2 －2 ＝2 + .
(2)(+ )－(- )．
解：原式＝2 ＋2 - + ＝ ＋3 .
1． 下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　C　）
A． B． C． D．
C
2． (2025·徐州)下列运算错误的是（　A　）
A． + ＝ B． × ＝
C． ÷ ＝2 D． (－ )2＝3
A
3． 计算：
(1) - ＝ 　 　 ；
(2) + ＝ 　9 　 ；
(3) - ＝ 　 　 ．
9
4． 计算：
(1)2 - ；
解：原式＝(2- ) ＝ .
(2) + + .
解：原式＝2 ＋3 ＋4 ＝9 .
5． 计算：(+ )－3(- )．
解：原式＝2 ＋3 －3 ＋3 ＝5 .
6． 已知长方形的一边长为 ，另一边长为 ，则长方形的周
长为 ．
14
7． 若 与最简二次根式4 是同类二次根式，则a
＝ ．
4
8． 计算：
(1)(+ )－ + ；
解：原式＝2 + - + ＝3 + .
(2) ＋6 －x .
解：原式＝ ×3 ＋6× -
＝2 ＋3 -
＝4 .
9． 【人教八下P16习题T4改编】已知 ≈1.732，求 + -
的近似值．(结果保留小数点后两位)
解：原式＝ ＋3 - ＝ ＋3 - ＝ .
∵ ≈1.732，∴原式≈ ≈4.04.(共19张PPT)
第十九章 二次根式
第7课 二次根式章末复习
(a≥0)
分母
a
－a
·
最简
被开方数
一、选择题
1． 在下列代数式中，是二次根式的是（　B　）
A． 2 B． C． D．
B
2． 若x为实数，则下列式子中恒有意义的是（　D　）
A． B．
C． D．
D
3． 下列式子中，是最简二次根式的是（　A　）
A． B． C． D．
4． 在二次根式 ， ， ， ， 中，能与 合
并的有（　B　）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
A
B
5． 下列计算正确的是（　D　）
A． + ＝ B． 3 - ＝3
C． + ＝3 D． × ＝3
D
6． 要使二次根式 有意义，字母x必须满足的条件是
（　C　）
A． x≥1 B． x>－1
C． x≥－1且x≠2 D． x>1且x≠2
C
7． 已知n是正整数， 是整数，则n的最小值为（　B　）
A． 3 B． 5 C． 9 D． 15
8． 若x＝3－ ，则代数式x2－6x－8的值为（　C　）
A． 2 006 B． 2 007
C． 2 008 D． 2 009
B
C
二、填空题
9． 计算 ÷ 的结果是 ．
10． 若最简二次根式 与 的被开方数相同，则a
＝ .
3
2
11． 蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体
所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为
米，宽为 米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面
积为 平方米．
8
12． 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“ ”如下：
a b＝ .如：3 2＝ ，则12 4＝ 　 　 ．

三、解答题
13． 计算： ×5 - ÷ .
解：原式＝5 - ＝15 －2 ＝13 .
14． 已知a＝ ＋1，求代数式(3－2 )a2＋(1－ )a的值．
解：将a＝ ＋1代入，得
原式＝(3－2 )(＋1)2＋(1－ )(＋1)
＝(3－2 )(3＋2 )＋1－2
＝9－8＋1－2
＝0.
15． 已知实数x，y满足y＝ + ＋5.
(1)求x，y的值；
解：(1)∵实数x，y满足y＝ + ＋5，
∴ 解得x＝4.∴y＝5.
(2)化简并求 - 的值．
(2)结合(1)可知，
- ＝ +
＝ ＝ ＝
＝－4.
16． “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，
若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则
d≈ ，其中R是地球半径，约为6 400 km.
(1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度h为0.08
km，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值．
解：(1)∵h＝0.08 km，
R＝6 400 km，
∴d＝
＝
＝32(km)．
∴此时d的值为32 km.
(2)已知一座山的海拔为0.32 km，这座山到海边的最短距离为60
km，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．(人的高度忽略
不计)
(2)能看到．理由如下：
∵h＝0.32 km，R＝6 400 km，
∴d＝ ＝ ＝64(km)．
∵64>60，
∴天气晴朗时站在山巅能看到大海．(共27张PPT)
第十九章 二次根式
第6课 二次根式的加法与减法(2)
二次根式的混合运算
例1 计算：
(1)(+ )× ；
解：原式＝ × + × ＝ + .
(2)(+ )÷ .
解：原式＝ ÷ + ÷
＝ +
＝4＋2 .
1. 计算：
(1) ×(- )；
解：原式＝2 ×(3 －3 )
＝2 ×3 －2 ×3
＝6 －18.
(2)(- )÷ .
解：原式＝(4 - )÷4
＝4 ÷4 - ÷4
＝1－ .
例2 计算：
(1)(＋3)(－5)；
解：原式＝2－5 ＋3 －15＝－13－2 .
(2)(3＋ )(3－ )．
解：原式＝32－()2＝9－7＝2.
2. 计算：
(1)(＋2)(－2)－2 ；
解：原式＝()2－22－2
＝5－4－2
＝1－2 .
(2) (- )＋ .
解：原式＝3 －3＋2－2 ＋1＝ .
例3 若a＝3＋2 ，b＝3－2 ，求a2b－ab2的值．
解：由题可知a－b＝(3＋2 )－(3－2 )＝3＋2 －3＋2 ＝
4 ，
ab＝(3＋2 )(3－2 )＝32－(2 )2＝9－8＝1.
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝1×4 ＝4 .
3. 已知a＝ ＋2，b＝ －2，求a2－b2的值．
解：∵a＋b＝ ＋2＋ －2＝2 ，
a－b＝(＋2)－(－2)＝ ＋2－ ＋2＝4，
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2 ×4＝8 .
1． 下列各式运算错误的是（　C　）
A． × ＝ B． 3 + ＝4
C． - ＝ D． ＝2
C
2． (2025·河北)计算：(+ )(- )＝（　B　）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
B
3． 估计 (+ )的值应在（　C　）
A． 8和9之间 B． 9和10之间
C． 10和11之间 D． 11和12之间
C
4． 若一个长方形ABCD的长为 + ，宽为 － ，则这个
长方形的面积为 ．
1
5． 计算：
(1)(- )× ；
解：原式＝ × - × ＝9－1＝8.
(2)(- )÷ .
解：原式＝ ÷ - ÷
＝ -
＝2－3
＝－1.
6． 计算：
(1)10 ÷ ＋3 ；
解：原式＝10 ÷5＋3
＝2 ＋3
＝5 .
(2)(3＋ )(3－ )－(1＋ )2.
解：原式＝32－()2－(1＋2 ＋2)
＝9－2－(2 ＋3)
＝4－2 .
7． 若3－ 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2＋
a)·b的值是 ．
2
8． 【人教八下P16习题T5变式】已知x＝ ＋1，求代数式x2＋5x
－6的值．
解：原式＝x2＋6x－x－6
＝x(x＋6)－(x＋6)
＝(x＋6)(x－1)．
当x＝ ＋1时，原式＝(＋1＋6)×(＋1－1)＝(＋7)×
＝5＋7 .
9． 已知a－ ＝2 ，求a＋ 的值．
解：∵a－ ＝2 ，
∴ ＝a2－2a· + ＝a2－2＋ ＝8.
∴a2＋ ＝10.∴ ＝a2＋ ＋2＝10＋2＝12.
∴a＋ ＝± ＝±2 .
海伦－秦九韶公式
例1 【人教八下P17阅读与思考改编】如果一个三角形的三边长分
别为a，b，c，记p＝ ，那么这个三角形的面积为S＝
.这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的
三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也
得出了类似的公式，称为三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦－秦
九韶公式”．
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6.
(1)△ABC的面积为 ；
6
(2)设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1＋h2的值．
解：∵S＝ ch1＝ bh2＝6 ，
∴ ×6h1＝ ×5h2＝6 .
解得h1＝2 ，h2＝ .∴h1＋h2＝ .
变式 已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外
数学家曾经进行过深入研究，古希腊几何学家海伦(Heron，约公元50
年)给出求其面积的海伦公式S＝ ，其中p＝
；我国南宋时期数学家秦九韶(约1202—约1261)，曾提出利用三角
形的三边求其面积的秦九韶公式S＝ .若一个三角形的三边长分别为
2，3，4，则其面积是（　B　）
B
A． B． C． D．
做长方体纸盒
例2 做一个底面积为24 cm2，长、宽、高的比为4∶2∶1的长方体．
(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？
解：设长方体的高为x cm，则长为4x cm，宽为2x cm.
由题意，得4x·2x＝24.解得x1＝ ，x2＝－ (舍去)．
∴4x＝4 ，2x＝2 .
答：这个长方体的长、宽、高分别是4 cm，2 cm， cm.
(2)长方体的表面积是 cm2.
(3)长方体的体积是 cm3.
84
24(共20张PPT)
第十九章 二次根式
第3课 二次根式的乘法与除法(1)
二次根式的乘法法则
(1) × ＝ ， ＝ ，故 ×
(填“>”“<”或“＝”)；
(2) × ＝ ， ＝ ，故
(填“>”“<”或“＝”)．
6
6
＝
20
20
＝
一般地，二次根式的乘法法则是 ·
＝ (a≥0，b≥0)．

例1 计算：
(1) × ； (2) × .
(1)解：原式＝ ＝ .
(2)解：原式＝ ＝ .
1. 计算：
(1) × ； (2) × .
(1)解：原式＝ ＝ ＝4.
(2)解：原式＝ ＝ .
逆用二次根式的乘法法则
2. 把 · ＝ (a≥0，b≥0)反过来，就得到 ＝ ·
(a≥0，b≥0)．
例2 化简：
(1) ； (2) ；
(1)解：原式＝ × ＝2× ＝2 .
(2)解：原式＝ ＝ × ＝2 .
(3) (x＞0，y＞0)．
解：原式＝ · ·
＝3· ·y
＝3y .
3. 化简：
(1) ； (2) ；
(1)解：原式＝ × ＝ ×5＝5 .
(2)解：原式＝ ＝ × ＝5 .
(3) (x＞0，y＞0)．
解：原式＝ · · ·
＝2· ·x·
＝2x .
二次根式的乘法运算
例3 计算：
(1) × ； (2)2 × ；
(1)解：原式＝ ＝ ＝3 .
(2)解：原式＝2 ＝2 .
(3) · .
解：原式＝
＝ ＝ · ＝3a.
4. 计算：
(1)3 ×2 ； (2)－ · ；
(1)解：原式＝3×2 ＝6× ＝36.
(2)解：原式＝－ ＝－ ＝－2.
(3)2 × ×(－3 )．
解：原式＝－2× ×3
＝－ ×6
＝－9.
1． (2025·广东)计算 × 的结果是（　B　）
A． 3 B． 6 C． D． 2
B
2． 下列计算正确的是（　D　）
A． × ＝ B． ＝－3
C． (xy)2＝xy2 D． × ＝
D
3． 计算：
(1)(2025·淮安) × ＝ ；
(2)2 × ＝ ；
(3) × ＝ ．
2
4
1
4． 化简： ＝ 　2 　 ， ＝ 　2 　 ．
5． 计算：(－3 )×4 .
解：原式＝－3×4
＝－12×7
＝－84 .
2
2
6． 计算：
(1)(3 + )(3 - )；
解：原式＝(3 )2－()2＝18－3＝15.
(2) · (x>0，y>0)．
解：原式＝ ＝6 y.
7． 若一个长方形的长为3 ，宽为2 ，则它的面积
为 ．
30
8． 规律探究按规律排列的二次根式：
， ， ， ， ，….
(1)根据你发现的规律猜想第6个式子是 ，第n个
式子是 ；
(2)前面4个二次根式的积是 ．

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