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第十一章 不等式与不等式组
第4课 一元一次不等式(1)
一元一次不等式的概念
1． 定义：只含有 个未知数，且含有未知数的式子都是整
式，未知数的次数是 的不等式，叫作一元一次不等式．
一
1
例1 下列式子：①x2－x＞1；②3x－5＞0；③2x＋7；④x＞1；
⑤ －2＞0；⑥x＋2＞y＋1.其中，是一元一次不等式的有(　A　)
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
A
2． 下列不等式中，是一元一次不等式的是(　B　)
A. x＋y≥0 B． x＋2＜48
C. x2＞1 D． ≤5
B
解一元一次不等式
例2 解不等式9x＋3＞8x－4，并在数轴上表示解集．
解：移项，得9x－8x＞－4－3.
合并同类项，得x＞－7.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
3． 解不等式2x－1> ，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得2(2x－1)＞3x－1.
去括号，得4x－2＞3x－1.
移项，得4x－3x＞－1＋2.
合并同类项，得x＞1.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
一元一次不等式的应用
例3 当a取什么值时，代数式 表示下列数？
(1)正数； (2)小于－2的数．
解：(1)由题意，得 ＞0.解得a＞－ .
(2)由题意，得 ＜－2.解得a＜－ .
4． 当x取何值时，代数式 - 的值不小于代数式 的值？
解：由题意，得 - ≥ .
去分母，得4(x＋1)－3(2x－1)≥2(x－3)．
去括号，得4x＋4－6x＋3≥2x－6.
移项，得4x－6x－2x≥－6－4－3.
合并同类项，得－4x≥－13.
系数化为1，得x≤ .
解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号(不要漏
乘)；③移项(要改变正负号)；④合并同类项；⑤系数化为1(注意：两边
同乘或除以负数时，不等号的方向要改变)．
1． 下列各式中，是一元一次不等式的是(　B　)
A． 5＋4>8 B． 4x≤5
C． 2x－1 D． x2－2x≥2
B
2． 不等式3(2＋x)＞2x的最小整数解为(　B　)
A． －6 B． －5 C． 0 D． 1
B
3． 解不等式 ≤ ＋1时，去分母步骤正确的是(　D　)
A． 1＋x≤1＋2x＋1
B． 3(1＋x)≤2(1＋2x)＋1
C． 1＋x≤1＋2x＋6
D． 3(1＋x)≤2(1＋2x)＋6
D
4． 若x2a+3－9＞6是关于x的一元一次不等式，则a＝ ．
－1
5． 若 是正数，则x的取值范围是 　x>－ 　 ．
x>－
6． 解不等式3＋x≤3x＋13，并把解集在数轴上表示出来．
解：移项，得x－3x≤13－3.
合并同类项，得－2x≤10.
系数化为1，得x≥－5.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
7． (2025·陕西)解不等式3(2x－1)≤4x＋1，把它的解集表示在如图
所示的数轴上．
解：去括号，得6x－3≤4x＋1.
移项、合并同类项，得2x≤4.
系数化为1，得x≤2.
原不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
8． 若关于x的不等式4x－3(x－a)＞5的解集为x＞－1，则a的值
为 ．
2
9． 已知关于x的方程x＋2k＝5(x＋k)＋1的解是负数，求k的取值
范围．
解：去括号，得x＋2k＝5x＋5k＋1.
移项，得x－5x＝5k＋1－2k.
合并同类项，得－4x＝3k＋1.
系数化为1，得x＝－ .
由题意，得－ ＜0.解得k＞－ .
10． 若关于x的方程2x－3m＝2m－4x＋4的解不小于 - ，求
m的最小值．
解：解方程2x－3m＝2m－4x＋4，
得x＝ .
依题意，得 ≥ - .
去分母，得4(5m＋4)≥21－8(1－m)．
去括号，得20m＋16≥21－8＋8m.
移项、合并同类项，得12m≥－3.
系数化为1，得m≥－ .
∴m的最小值为－ .(共18张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
第1课 不等式(1)——不等式及其解集
不等式的概念
1． 用符号“＜”或“＞”或“≠”表示不等关系的式子，叫作 ．
例1 下列式子是不等式的是 ．(填序号)
不等式
①②⑤⑥
①3＜4; ②2x2－3＞0; ③5n＋8；
④2x＝7; ⑤3x＜0; ⑥2x＋3≠1.
2． 下列各式不是不等式的是(　B　)
A. 2x≠1 B． 3x2－2x＋1
C. 2＞0 D． 3x－2＜1
B
列不等式
例2 【人教七下P121例1变式】用不等式表示下列不等关系：
(1)a大于4： ；
(2)b与11的差小于－5： ；
(3)雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面的温度t的4.5倍还要
高： ．
a＞4
b－11＜－5
4.5t＜28 000
3． 用不等式表示下列不等关系：
(1)m－3是负数： ；
(2)2x与y的和不等于7： ；
(3)小霞的存款有520元，小霞的存款超过了小明的存款的10倍，设
小明的存款为m元： ．
m－3＜0
2x＋y≠7
10m＜520
不等式的解
4． 使不等式成立的未知数的值叫作 ．
例3 【人教七下P122探究改编】下列数值中，哪些是不等式2x＋3
＜9的解？哪些不是？
－4，－2，0，3，3.02，5，7，100.
解：把上面的数值逐一代入可知，－4，－2，0是该不等式的解，
3，3.02，5，7，100不是该不等式的解．
不等式的解
5． (1)下列数值不是不等式x＋2＜3的解的是(　D　)
A． －5 B． －1 C． 0 D． 1
(2)不等式x＞4的解有 个，请写出它的三个解：
．
D
无数
5，6，7
(答案不唯一)
不等式的解集
6． 一般地，一个含有未知数的不等式的 的解，组成这个
不等式的 ．求不等式的解集的过程叫作 ．
所有
解集
解不等式
例4 在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x＜1；
(2)x＋2＞3.
7． 在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x＞－2；
(2)x－4＜0.
注意：用数轴表示解集时，小于向左边画，大于向右边画，空心圆
圈表示解集不包含这个点所对应的数．
1． 下列式子：①2＞0；②4x＋y≤1；③x＋3≠0；④y－7；⑤m
－2.5＞3.其中不等式有(　D　)
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
D
2． 下列不是不等式x＋3≤4的解的是(　B　)
A． 1 B． 2 C． －1 D． －2
B
3． 为了保障交通安全、畅通，隧道入口处常有汽车限高标识(如
图)．下列高度的汽车不可以通过这条隧道的是(　D　)
A． 3米
B． 3.5米
C． 4米
D． 4.5米
D
4． 跨学科某生物兴趣小组在恒温箱中培养甲、乙两种菌种，甲种
菌种的生长温度在 34～37 ℃之间，乙种菌种的生长温度在33～36 ℃之
间，那么恒温箱的温度应该设定在(　C　)
A． 33～36 ℃之间 B． 33～37 ℃之间
C． 34～36 ℃之间 D． 34～37 ℃之间
C
5． 用不等式表示下列关系：
(1)a的相反数是正数： ；
(2)x与3的差是负数： ；
(3)a的4倍比3小： ；
(4)x的5倍大于y的一半： ．
－a＞0
x－3＜0
4a＜3
5x＞ y
6． 在数轴上表示出下列不等式的解集：
(1)x＞－2；
解：不等式的解集在数轴上表示如图．
(2)x≤ .
解：不等式的解集在数轴上表示如图．
7． 开放性问题写出一个与不等式x＜3同解的不等式：
．
x＋1＜ 4
(答案不唯一)
8． 将下列不等式的解集在数轴上表示出来，并完成填空．
(1)2x＞2.
最小整数解为 ．
(2)x＞－3.
负整数解为 ．
2
－2，－1(共15张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
第9课 不等式与不等式组章末复习
＜
＞
＞
＞
＞
＜
＜
去分母
公共
一、选择题
1． 不等式x－2<0的解集是(　A　)
A． x<2 B． x>2
C． x<－2 D． x>－2
A
2． 若a>b－1，则下列结论一定正确的是(　D　)
A． a＋1C． a>b D． a＋1>b
D
3． 当x是哪些整数时，2≤3x－7＜8成立(　B　)
A． 2，3 B． 3，4 C． 4，5 D． 5，6
B
4． 若关于x的不等式组 的解集为x<3，则m的取值
范围是(　B　)
A． m>2 B． m≥2 C． m<2 D． m≤2
B
5． “迎五一·赞劳模”活动准备中，商场推出定价为每瓶3元的清凉
茶饮料，若购买超过15瓶，则超出的部分按每瓶2元售卖，若顾客现有
50元钱，则他最多能买清凉茶饮料的瓶数为(　B　)
A． 16 B． 17 C． 18 D． 19
B
二、填空题
6． 请写出一个关于x的不等式，使－2，3都是它的解：
．
7． 一罐饮料净重300 g，罐上标注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋
白质的含量至少为 g.
8． 关于x的不等式3x<6与x9． 若不等式组 的解集为3≤x≤4，则a＋b＝ ．
10． 关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值
范围是 ．
x<4(答
案不唯一)
1.5
2
1
－ ≤a<0
三、解答题
11． 解不等式组 并将解集在数轴上表示出来．
解：
解不等式①，得x>1.解不等式②，得x<2.
所以不等式组的解集为1在数轴上表示解集如图所示．
12． 已知关于x，y的方程组 若方程组的解满足x＜
4，y＜－1，求整数k的值．
解：解关于x，y的方程组 得
∵x＜4，y＜－1，
∴ 解得 ＜k＜ .
∴整数k的值为1.
13． 某市正在创建“全国文明城市”，育才学校拟举办“创文知识”抢
答赛，欲购买A，B两种奖品以鼓励抢答者．若购买A种奖品20件，B种
奖品15件，则共需380元；若购买A种奖品15件，B种奖品10件，则共需
280元．
(1)A，B两种奖品每件各多少元？
解：(1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元．
根据题意，得 解得
答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．
(2)现要购买A，B两种奖品共100件．
①若购买金额不超过900元，则A种奖品最多购买多少件？
(2)①设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100－a)件．
根据题意，得16a＋4(100－a)≤900.
解得a≤ .
∵a为整数，∴a的最大值为41.
答：A种奖品最多购买41件．
②若购买金额不低于860元且不超过900元，则有哪几种购买方案？
②设A种奖品购买b件，则B种奖品购买(100－b)件．
根据题意，得860≤16b＋4(100－b)≤900.
解得 ≤b≤ .
∵b为整数，∴b的取值可以是39，40，41.
此时100－b分别为61，60，59.
∴共有三种购买方案．方案1：A种奖品购买39件，B种奖品购买61
件；方案2：A种奖品购买40件，B种奖品购买60件；方案3：A种奖品购
买41件，B种奖品购买59件．(共14张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
第5课 一元一次不等式(2)
一元一次不等式的简单应用
例1 大刚和小亮进行投球比赛，每人连投12次，投中一次记2分，
投空一次记1分，大刚先投，投得18分，小亮要想超过大刚，应至少投
中多少次？
解：设小亮投中x个球，则投空(12－x)个球．
由题意，得2x＋(12－x)×1＞18.解得x＞6.
答：小亮要想超过大刚，应至少投中7次．
1． 学校举行环保知识竞赛，共有20个问题，答对一题得5分，不答
或答错一题扣3分，如果王林希望自己的得分不低于80分，那么他至少
应答对多少题？
解：设王林答对了x道题，则不答或答错 (20－x)道题．
由题意，得5x－3(20－x)≥80.
解得x≥17.5.
∵x为正整数，∴x的最小值为18.
答：王林至少应答对18题．
例2 某种商品的进价为800元，出售时标价为1 200元，由于该
商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，至多可
打几折？
解：设可打x折．
依题意，得1 200× －800≥800×5%.
解得x≥7.
答：至多可打7折．
2． 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比
达到80%，如果明年(365天)这样的比值要不低于90%，那么明年空气质
量良好的天数比去年至少要增加多少？
解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天．
依题意，得 ＞90%.
解得x＞36.5.
∵x为正整数，∴x的最小值为37.
答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37天．
例3 某人计划在15天里加工408个零件，最初三天里每天加工24
个，以后每天至少要加工多少个零件才能在规定时间内超额完成任务？
解：设以后每天加工x个零件才能在规定时间内超额完成任务．
依题意，得24×3＋(15－3)x＞408.解得x＞28.
∵x为正整数，∴x可以取的最小值为29.
答：以后每天至少要加工29个零件才能在规定时间内超额完成
任务．
列不等式解应用题的步骤：①审；②设；③列；④解；⑤
检；⑥答．
1． 小明准备用节省的零花钱买一台AI学习机，他已存有450元，
若他计划从现在起以后每月节省50元，直到他至少有1 800元．设x个月
后他至少有1 800元，则根据题意可列不等式 ．
50x＋450≥1 800
2． (广东中考)某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销
售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 折．
8.8
3． 甲、乙两地相距30 km，小李要从甲地到乙地办事，若他以5
km/h的速度可按时到达，现在小李走了3 h，后因有事停留了0.5 h，为
了不迟到，小李后来的速度至少是多少？
解：设小李后来的速度为x km/h.
由题意，得3×5＋(-3-0.5)x≥30.
解得x≥6.
答：为了不迟到，小李后来的速度至少是6 km/h.
4． 跨学科某种弹簧，原长10厘米，挂重在1千克内，弹簧长度不
变，但超过1千克后，每增加1千克，长度增加3厘米，只要长度不超过
37厘米，弹簧就不会坏，那么最多可挂重多少千克？
解：设可挂重x 千克．
根据题意，得10＋3(x－1)≤37.解得x≤10.
答：最多可挂重10千克．
5． (2025·长沙)为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技
推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购
的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等
级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和
2千克B等级农产品共收入68元．(不考虑加工损耗)
解：(1)设A等级农产品每千克销售单价为 x元，B等级农产品每千
克销售单价为y元．
由题意，得 解得
答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销
售单价为10元．
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？
(2)若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品，全部加工后对
外销售，要求总利润不低于16 000元，则至少需加工A等级农产品多少
千克？
(2)设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品(6 000－m)千克．
由题意，得(12－8)m＋(10－8)(6 000－m)≥16 000.
解得m≥2 000.
答：要求总利润不低于16 000元，则至少需加工A等级农产品2 000
千克．(共6张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
用不等式解决实际问题
例 【人教七下P142数学活动1改编】某市统计资料表明，现在该市
的城市建成区面积为1 500平方千米，城市建成区园林绿地率为15%，计
划五年后，该市城市建成区面积增加400平方千米，并且城市建成区园
林绿地率超过20%，那么该市计划增加的城市建成区园林绿地面积应超
过多少平方千米？
解：设该市计划增加的城市建成区园林绿地面积为x平方千米．
由题意，得 ×100%＞20%.解得x＞155.
答：该市计划增加的城市建成区园林绿地面积应超过155平方千米．
变式 每年的5月20日是我国学生营养日，某校社会实践小组在这
天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份
快餐的信息(如图)．
根据信息，解答下列问题：
(1)这份快餐中所含脂肪的质量是 克；
(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，则这份快餐所含蛋白质的质
量是 克；
20
40
(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，
求其中所含碳水化合物质量的最大值．
解：设所含蛋白质质量为y克，则碳水化合物的质量为4y克．
由题意，得 ×100%≤85%.
解得y≤68.∴4y≤272.
答：这份快餐中所含碳水化合物质量的最大值为272克．
例 【人教七下P142数学活动2改编】小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数字相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上写的4个数字是 ．
2，3，4，4或2，3，3，5
猜数游戏
变式 老师和同学们玩猜数游戏．老师在心里想一个100以内的
数，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错．甲问：“小于
50吗？”老师摇头．乙问：“不大于75吗？”老师点头．丙问：“不小于60
吗？”老师点头．老师心里想的数x所在的范围为(　B　)
A． 50＜x≤75 B． 60≤x≤75
C． 50＜x＜60 D． 50≤x＜60
B(共18张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
第7课 一元一次不等式组(1)
一元一次不等式组的概念
1． 定义：两个含有同一个未知数的 合起来，
组成一个一元一次不等式组．
一元一次不等式
2． 下列各式是一元一次不等式组的是(　D　)
A． B．
C． D．
D
一元一次不等式组的解集及其表示
例1
不等式组
数轴表示
解集
口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到
x＞1
x＜－2
－2＜x＜1
无解
3． 写出下列不等式组的解集：
(1) ；
(2) .
x＜－3
无解
4． 根据下列数轴写出各不等式组的解集：
(1) ；
(2) .
－3＜x≤2
x＞1
解一元一次不等式组
例2 解不等式组：
请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
x≥－1
x＞－3
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
解：不等式①和②的解集表示在数轴上如图．
(4)原不等式组的解集是 ．
x≥－1
5． 解不等式组：
解：
解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤1.
不等式①和②的解集在数轴上表示如图．
∴原不等式组的解集为－2例3 解不等式组：
解：解不等式①，得x＜ .
解不等式②，得x≤－1.
∴不等式组的解集为x≤－1.
6． 解不等式组：
解：解不等式①，得x＜1.
解不等式②，得x＞－3.
∴不等式组的解集为－3＜x＜1.
1． 下列不等式组中，一元一次不等式组的个数为(　B　)
① ② ③
④ ⑤
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
B
2． (广东中考)关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，
则这个不等式组的解集是 ．
x≥3
3． 若点M(3－m，m－2)在第二象限，则m的取值范围是 ．
4． 不等式组 的最大整数解是 ．
m＞3
2
5． 求不等式－3<4x－7≤9的整数解．
解：由题意，得
解不等式①，得x>1.解不等式②，得x≤4.
∴该不等式组的解集为1∴整数解为2，3，4.
6． (2025·西藏)解不等式组： 并把解集在数
轴上表示出来．
解：解不等式①，得x>－2.
解不等式②，得x<4.
所以不等式组的解集为－2不等式组的解集在数轴上表示如图．
7． 【人教七下P140练习T2改编】若要使2≤3x－7＜8成立，则x可
取的整数值为 ．
8． 已知关于x的不等式组
(1)若该不等式组的解集是1＜x＜2，则a的值为 ；
(2)若该不等式组无解，则a的取值范围为 ．
3，4
3
a≤2
9． 若关于x的不等式x＋m<1只有3个正整数解，求m的取值范
围．
解：∵x＋m<1，∴x<1－m.
∵不等式只有3个正整数解，∴3<1－m≤4.
∴－3≤m＜－2.(共7张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
低碳生活
活动一 学习“碳中和”等相关知识
【学习资料】“碳中和”“碳交易”等是落实《巴黎协定》要求并促进
各国低碳绿色发展活动的重要概念，其中碳中和，是指企业、团体或个
人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树
造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧
化碳零排放．这意味着在一定时期内，二氧化碳的消除量等于排放量．
碳交易，即把二氧化碳排放权作为一种商品，买方通过向卖方支付
一定金额从而获得一定数量的二氧化碳排放权，从而形成了二氧化碳排
放权的交易．
碳达峰指二氧化碳排放量在某一年达到了最大值，之后进入下
降阶段．
活动二 计算生活中的“碳足迹”
【阅读资料】每个人的日常消费都会产生二氧化碳(温室气体都可
转化为二氧化碳当量计算)排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每
一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据：
排碳计算公式 家庭用电的二氧化碳排放量(kg)＝耗电量
(kW·h)×0.785； 汽油的二氧化碳排放量(kg)＝耗油量(L)×2.7； 天然气的二氧化碳排放量(kg)＝天然气使用量
(m3)×0.19； 自来水的二氧化碳排放量(kg)＝自来水使用量
(t)×0.91 每人使用各种交通工
具
每移动1 km产生的碳
排放量
自行车：0 kg；
公交车：0.04 kg；
汽车：0.17 kg
【理解运用】(1)小明家本月家庭用电100 kW·h，驾车耗油80 L，
天然气使用量为10 m3，自来水使用量为6 t，请你计算一下小明家本月
这几项二氧化碳排放量的总和．(结果保留整数)
解：(1)100×0.785＋80×2.7＋10×0.19＋6×0.91＝78.5＋216＋1.9
＋5.46＝301.86≈302(kg)．
答：小明家本月这几项二氧化碳排放量的总和约为302 kg.
(2)小丽按照上述公式估计家里去年一年的碳排放总量为2 240 kg，
并计划通过植树来中和去年的碳排放量，她查阅资料后，得知一棵白榆
树一年吸收二氧化碳约8 kg、一棵紫穗槐一年吸收二氧化碳约5.2 kg，
根据这两个数据计算，她发现种植白榆树、紫穗槐共350棵，一年恰好
可以吸收掉家里去年的碳排放总量，则她应分别种植这两种树多少棵？
(2)设她种植x棵白榆树，y棵紫穗槐．
根据题意，得 解得
答：她应种植150棵白榆树，200棵紫穗槐．
(3)为了倡导低碳出行，某城市计划建设一些共享单车租赁点，已知
建设一个小型租赁点的成本是5 000元，建设一个大型租赁点的成本是8
000元，若该城市计划投入资金不超过50 000元，建设大、小两种租赁点
一共8个(两种租赁点都至少有一个)，则有多少种建设方案？
(3)设建设x个大型租赁点，则建设(8－x)个小型租赁点．
根据题意，得8 000x＋5 000(8－x)≤50 000，解得x≤ .
又x为正整数，所以x可以取1，2，3.
因此，共有3种建设方案：
①建设1个大型租赁点，7个小型租赁点；
②建设2个大型租赁点，6个小型租赁点；
③建设3个大型租赁点，5个小型租赁点．(共21张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
第2课 不等式(2)——不等式的性质
不等式的两个基本事实
用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其
中的规律：
(1)如果2＞x，那么x 2；如果y＜3，那么3 y．
(2)如果x＜－3，－3＜5，那么x 5；如果y＞x，x＞z那么
y z．
＜
＞
＜
＞
(1)交换不等式两边，不等号的方向改变：如果a＞b，那么
b a．
＜
(2)不等关系可以传递：如果a＞b，b＞c，那么a c．
＞
例1 已知z＜y，y＜x，且x，y，z均为正数，则x2 z2) .(填“＞”或“＜”)
1． 若∠A＞∠B，∠B＞30°，则∠A 30°.(填“＞”或“＜”)
＞
＞
不等式的性质
用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其
中的规律：
(1)已知－1<3，则－1＋2 3＋2，－1－3 3－3；
(2)已知6>2，则6×5 2×5，6×(－5) 2×(－5)；
(3)已知－4>－6，则(－4)÷2 (－6)÷2，(－4)÷(－2) (－6)÷(－2)．
＜
＜
＞
＜
＞
＜
不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不
等号的方向 ．
如果a＞b，那么a±c b±c.
不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个 ，不等号
的方向不变．
如果a＞b，c＞0，那么ac bc(或 ).
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个 ，不等号
的方向 ．
如果a＞b，c＜0，那么ac bc(或 ).
不变
＞
正数
＞
＞
负数
改变
＜
＜
例2 已知a＜b，用“＜”或“＞”填空：
(1)a＋2 b＋2，a－2 b－2；
(2)4a 4b， a b；
(3)－2a －2b，2－a 2－b.
＜
＜
＜
＜
＞
＞
2． 下列不等式的变形中，错误的是(　C　)
A. 若a＞b，则2a＞2b
B. 若a＞b，则－2a＜－2b
C. 若a＞b，则a－1＜b－1
D. 若a＞b，则1－a＜1－b
C
例3 已知x＜2，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围：
(1)x＋2； (2) ； (3)－2x.
解：(1)因为x＜2，所以x＋2＜2＋2＝4，即x＋2<4.
(2)因为x＜2，所以 ＜ ＝1，即 <1.
(3)因为x＜2，所以－2x＞－4.
3． 根据不等式的形式，将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的
形式：
(1) ＜5可化为 ；
(2)－4x＞3可化为 ．
x＜15
x＜－
1． 若x＜y，则下列式子不成立的是(　D　)
A． x＋1＜y＋1 B． x－2＜y－2
C． 5x＜5y D． － ＜－
D
2． 已知x＞1，则下列各式正确的是(　C　)
A． x＋1<0 B． 3x＜3
C． 2－x＜1 D． ＞2
C
3． (2025·广西)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b
克水，a>b，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质
量的大小关系的是(　A　)
A． a＋c>b＋c B． a＋c＝b＋c
C． a＋cA
4． 写出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：
(1)由 x＞－3，得x＞－6； ；
(2)由3＋x≤5，得x≤2； ；
(3)由－2x＜6，得x＞－3； ；
(4)由3x≥2x－4，得x≥－4. ．
性质2
性质1
性质3
性质1
5． 已知a＞b，用“＜”或“＞”填空：
(1)a＋2 b＋2；
(2)5a 5b；
(3)－3a －3b；
(4)5a－3 5b－3；
(5)1－3a 1－3b.
＞
＞
＜
＞
＜
6． 已知等式2x－y＝0.
(1)用含x的代数式表示y为 ；
(2)若y的取值范围如图所示，请利用不等式的性质求x的取值范
围．
解：由图可得y＜1.
所以2x<1.
不等式两边除以2，得x< .
y＝2x
7． 已知点P(4m－8，1)在第二象限，则m的取值范围是(　A　)
A． m＜2 B． m≤2
C． m≥2 D． m＞2
A
8． 若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等
式成立的是(　B　)
A． a－c＞b－c B． a＋c＜b＋c
C． ac＞bc D． ＞
B
9． 【易错题】若不等式(a＋1)x＜a＋1的解集为x＞1，则a必须
满足 ．
a＜－1
10． 某公司发行了两种规格的长方形纪念卡片，第一种规格的卡
片相邻两边长分别为3m＋5和6，第二种规格的卡片相邻两边长分别为
6m＋11和3，问哪种规格的纪念卡片面积较大？并说明理由．
解：第二种规格的纪念卡片面积较大．
理由如下．
第一种规格的卡片的面积为(3m＋5)×6＝18m＋30，
第二种规格的卡片的面积为(6m＋11)×3＝18m＋33.
因为30＜33，所以18m＋30<18m＋33.
所以第二种规格的纪念卡片面积较大．
11． 【拓展题】用“>”或“<”填空：
(1)当a＞0，b 0时，ab＞0；
(2)当a＞0，b 0时，ab＜0；
(3)当a＜0，b 0时，ab＞0；
(4)当a＜0，b 0时，ab＜0.
＞
＜
＜
＞(共20张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
第3课 不等式(3)——不等式的性质应用
利用不等式的性质解不等式
例1 利用不等式的性质解下列不等式：
(1)x＋3＜5；
(1)解：根据不等式的性质1，
不等式两边减3，不等号的方向不变，
所以x＋3－3＜5－3，即x＜2.
(2)解：根据不等式的性质2，
不等式两边乘2，不等号的方向不变，
所以2× x＜2×3，即x＜6.
(2) x＜3.
1． 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x－1＞2；
(1)解：根据不等式的性质1，
不等式两边加1，不等号的方向不变，
所以x－1＋1＞2＋1，即x＞3.
其解集在数轴上的表示如图．
(2)－2x＞5.
解：根据不等式的性质3，
不等式两边除以－2，不等号的方向改变，
所以 ＜ ，即x＜－ .
其解集在数轴上的表示如图．
例2 利用不等式的性质解不等式4x≤x－2，并在数轴上表示解
集．
解：根据不等式的性质1，
不等式两边减x，不等号的方向不变，
所以4x－x≤x－2－x，即3x≤－2.
根据不等式的性质2，
不等式两边除以3，不等号的方向不变，
≤ ，即x≤－ .
其解集在数轴上的表示如图．
2． 利用不等式的性质解不等式3－ x≤0，并在数轴上表示解集．
解：根据不等式的性质1，
不等式两边减3，不等号的方向不变，
所以3－ x－3≤0－3，即－ x≤－3.
根据不等式的性质3，
不等式两边乘－ ，不等号的方向改变，
所以－ ×(- x)≥－ ×(－3)，即x≥4.
其解集在数轴上的表示如图．
注意：用符号“≥”或“≤”表示大小关系的式子也是不等式，它们分别
比“＞”或“＜”各多了一层相等的含义．用数轴表示解集时，无等号画空
心圆圈，有等号画实心圆点．
利用不等式的性质解决实际问题
例3 一种饮料重约300克，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，则蛋白
质的含量最少为多少克？
解：设蛋白质的含量为x克．
根据题意，得 ≥0.5%.解得x≥1.5.
答：蛋白质的含量最少为1.5克．
3． 小辰准备自己攒钱买一套190元的我国四大名著，计划每个
月攒下30元钱，那么设小辰要攒x个月的钱才能买到这一套书，则x
满足的不等式为 ，小辰至少要攒 个月的钱才能
买到这一套书．
30x≥190
7
1． 应用意识小明一家外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小客车 的速度为v千米/时，则v应满足的条件是(　C　)
A． v≤120 B． v＝120
C． 60≤v≤120 D． v≥60
C
2． 用不等式表示下列关系：
(1)a的一半不小于3： ；
(2)n的2倍不超过5： ．
a≥3
2n≤5
3． 不等式x＋2＞4的解集为 ，它的最小整数解是 ．
x>2
3
4． 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x＋3＞－1；
解：根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方向不变，所
以x＋3－3＞－1－3，即x＞－4.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
(2)4x＞－12；
解：根据不等式的性质2，不等式两边除以4，不等号的方向不变，所以 ＞－ ，即x＞－3.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
(3)2x≥3x＋1.
解：根据不等式的性质1，不等式两边减3x，不等号的方向不变，
2x－3x≥3x＋1－3x，即－x≥1.
再根据不等式的性质3，不等式两边乘－1，不等号的方向改变，所
以x≤－1.
不等式的解集在数轴上表示如图所示．
5． 阅读下列解题过程，解答下列问题：
已知x＞y，试比较－7x＋2与－7y＋2的大小．
解：因为x＞y①，
所以－7x＞－7y②.
所以－7x＋2＞－7y＋2③.
(1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因
是 ．
②
不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变
(2)请写出正确的解题过程．
解：正确的解题过程如下：
因为x＞y，所以－7x＜－7y.
所以－7x＋2＜－7y＋2.
6． 利用不等式的性质解不等式1－ x≥ .
解：不等式两边减1，不等号的方向不变，所以1－ x－1≥ －1，
即－ x≥－ .
不等式两边除以－ ，不等号的方向改变，所以 ≤ ，即x≤1.
7． 【人教七下P130习题T11改编】有一个两位数，个位上的数字是
a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对
调，试比较新得到的两位数与原来的两位数的大小．
解：∵原来的两位数为10b＋a，新得到的两位数为10a＋b，
∴10a＋b－(10b＋a)＝10a＋b－10b－a＝9(a－b)．
当a＞b，即a－b＞0时，9(a－b)＞0，
则新得到的两位数大于原来的两位数；
当a＝b，即a－b＝0时，9(a－b)＝0，
则新得到的两位数等于原来的两位数；
当a＜b，即a－b＜0时，9(a－b)＜0，
则新得到的两位数小于原来的两位数．(共19张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
第6课 一元一次不等式(3)
例1 某造纸企业为了更好地处理污水问题，决定购买10台新型污
水处理设备．现有A，B两种型号的设备可选，其中A型设备10万元/
台，B型设备8万元/台．经预算：该企业购买污水处理设备的资金不超
过85万元，求A型设备最多购买多少台．
解：设购进A型污水处理设备x台，则购进B型污水处理设备(10－
x)台．
依题意，得10x＋8(10－x)≤85.解得x≤ .
∵x为非负整数，∴x的最大值为2.
∴A型设备最多购买2台．
1． 某商场销售A，B两种型号小家电，已知A型小家电的单价为120元，B型小家电的单价为40元．现某公司准备购买这两种型号的小家电(两种都买)共20个送给某贫困地区，且购买金额不超过1 000元，请你帮该公司设计购买方案.
解：设购买m个A型小家电，则购买(20－m)个B型小家电．
根据题意，得120m＋40(20－m)≤1 000.
解得m≤2.5.
∵m为正整数，∴m的值可取1，2.
∴共有2种购买方案．
方案1：购买A型小家电1个，B型小家电19个；
方案2：购买A型小家电2个，B型小家电18个．
例2 【人教七下P134例4改编】甲、乙两个商场以同样的价格出售
同样的商品，且各自推出了以下不同的优惠方案：在甲商场累计购物超
过200元后，超出的部分按80%收费；在乙商场累计购物满100元后，超
出的部分按90%收费．已知小王累计要购买x元该商品(超过100元)，则
他到哪家商场购物花费少？
解：(1)当100“乙”)
乙
(2)当x＞200时，
在甲商场购物的花费为 元，
在乙商场购物的花费为 元．
①若到甲商场比到乙商场的实际费用少，
则可列不等式为 ．
解得 ．
②若到甲商场与到乙商场的实际费用相同，
则可列等式为 ．
解得 ．
(0.8x＋40)
(0.9x＋10)
0.8x＋40＜0.9x＋10
x＞300
0.8x＋40＝0.9x＋10
x＝300
③若到甲商场比到乙商场的实际费用多，
则可列不等式为 ．
解得 ．
0.8x＋40＞0.9x＋10
x＜300
2． 某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问
卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一
份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12
元．设共印刷调查问卷x份．
(1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收
费 元；(用含x的式子表示)
(0.1x＋6)
0.12x
(2)若共需印刷500份调查问卷，通过计算说明选用哪种方式合算；
解：(2)当x＝500时，
甲种方式收费为0.1×500＋6＝56(元)，
乙种方式收费为0.12×500＝60(元)．
∵56＜60，∴选甲种方式合算．
(3)当x取何值时，乙种方式收费合算？
(3)根据题意，得0.1x＋6＞0.12x.
解得x＜300.
∴当x＜300时，乙种方式收费合算．
1． 某校拟用不超过2 600元的资金在新华书店购买党史和改革开放史书籍共40套来供学生借阅，其中党史每套72元，改革开放史每套60元，那么学校最多可以购买党史书籍多少套？设学校可以购买党史书籍x套．根据题意，得(　A　)
A． 72x＋60(40－x)≤2 600
B． 72x＋60(40－x)＜2 600
C． 72x＋60(40－x)≥2 600
D． 72x＋60(40－x)＝2 600
A
2． 为鼓励市民节约用水，某自来水公司规定：若每户用水不超过
5 m3，收费标准为1.8元/m3；若每户用水量超过5 m3，则超出部分的收
费标准是2元/m3.若小颖家每月水费都不超过11元，则小颖家每月用水量
最多是(　A　)
A． 6 m3 B． 7 m3 C． 8 m3 D． 9 m3
A
3． 甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每
张办公桌800元，每把椅子80元．甲、乙两个厂家推出了各自销售的优
惠方案，甲厂家：买1张桌子送3张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原
价的8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子
数为x把(x≥9)．
(1)分别用含x的式子表示在甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
解：(1)根据甲、乙两个厂家推出的优惠方案：
甲厂家所需金额为3×800＋80(x－3×3)＝1 680＋80x；
乙厂家所需金额为(3×800＋80x)×0.8＝1 920＋64x.
(2)购买的椅子至少多少把时，到乙厂家购买更合算？
(2)由题意，得1 680＋80x＞1 920＋64x.
解得x＞15.
答：当购买的椅子至少16把时，到乙厂家购买更合算．
4． 世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少
1元．若少于40人时，一个团队至少要有 人进公园，买40张门票
反而合算．
33
5． 某电器超市销售进价分别为200元/台，170元/台的A，B两种型
号的电风扇．下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1 800元
第二周 4台 10台 3 100元
(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
解：(1)设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇
的销售单价为y元．
依题意，得 解得
答：A种型号的电风扇的销售单价为250元，B种型号的电风扇的销
售单价为210元．
(2)如果购买A，B两种型号的电风扇共30台，且购买A种型号的数
量不高于B种型号数量的3倍，求最多可购买多少台A种型号的电风扇？
(2)设购买A种型号的电风扇a台，则购买B种型号的电风扇(30－
a)台．
依题意，得a≤3(30－a)．解得a≤22.5.
∵a为整数，∴a的最大值为22.
答：最多可购买22台A种型号的电风扇．
(3)在(2)的前提下，要求销售完这批电风扇实现利润不低于1 410
元，请问有哪几种购买方案？哪种方案利润最高？
(3)依题意，得(250－200)a＋(210－170)(30－a)≥1 410.解得a≥21.
由(2)知a≤22.5，且a为整数．
∴a＝21或22.∴30－a＝9或8.
∴有两种购买方案．方案一：购买21台A种型号的电风扇，购买9台
B种型号的电风扇；方案二：购买22台A种型号的电风扇，购买8台B种
型号的电风扇．
∴方案一的利润为(250－200)×21＋(210－170)×9＝1 410(元)，方
案二的利润为(250－200)×22＋(210－170)×8＝1 420(元)．
∵1 410＜1 420，∴方案二利润最高．(共16张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
第8课 一元一次不等式组(2)
解较复杂的一元一次不等式组
例1 解不等式组： 并在数轴上表示解集．
解：解不等式①，得x≤2.解不等式②，得x＞－1.
∴不等式组的解集为－1＜x≤2.
不等式组的解集在数轴上表示如图．
1． 解不等式组： 并求所有整数解的和．
解：解不等式①，得x<1.解不等式②，得x>－4.
∴不等式组的解集为－4∴不等式组所有整数解的和为－3－2－1＋0＝－6.
一元一次不等式组的应用
例2 【人教七下P141习题T3改编】当x取哪些整数值时，不等式5x
＋2>3(x－1)与 x－1≤7－ x都成立？
解：解不等式组
解不等式①，得x>－ .解不等式②，得x≤4.
∴不等式组的解集为－ ∵x取整数，∴x取－2，－1，0，1，2，3，4时，不等式5x＋
2>3(x－1)与 x－1≤7－ x都成立．
2． 当x取哪些整数时，－2≤ ＋1＜3成立？
解：依题意，得
解不等式①，得x≥－4.解不等式②，得x＜ .
∴不等式组的解集为－4≤x＜ .
∴x可取的整数值是－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.
例3 【人教七下P141习题T5改编】某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，那么还余5本；如果前面每人送6本，那么最后一人得到的就不足3本．求该校在数学竞赛中获奖的学生人数．
解：设该校在数学竞赛中获奖的学生人数为x，则共有(4x＋5)本课
外读物．
由题意，得
解得4＜x≤ .
∵x为正整数，∴x＝5.
答：该校在数学竞赛中获奖的学生人数为5.
3． 一个玩具厂生产甲、乙两种玩具，已知造一件甲种玩具需用金
属80 g，塑料140 g；造一件乙种玩具需用金属100 g，塑料120 g．若工
厂有金属4 600 g，塑料6 440 g，计划用两种材料生产甲、乙两种玩具共
50件，求玩具厂有哪几种生产方案．
解：设生产甲种玩具x件，则生产乙种玩具(50－x)件．
依题意，得
解得20≤x≤22.
∴该玩具厂共有三种生产方案．
方案一：生产甲种玩具20件，乙种玩具30件．
方案二：生产甲种玩具21件，乙种玩具29件．
方案三：生产甲种玩具22件，乙种玩具28件．
1． 不等式组 的解集在以下数轴上表示正确的是(　B　)
B
2． (2025·青海)在平面直角坐标系中，点P(a－2，1＋a)在第三象
限，则a的取值范围是 .
a<－1
3． (2025·济南)解不等式组
并写出它的所有整数解．
解：解不等式①，得x>－2.
解不等式②，得x<4.
原不等式组的解集是－2∴整数解为－1，0，1，2，3.
4． 某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活
动．若每人种3棵，则剩86棵；若每人种5棵，则最后一人有树种但不足
3棵.请问该班有多少名学生？本次一共种植了多少棵树？
解：设该班有x名学生，则本次一共种植了(3x＋86)棵树．
由题意，得
解得44∵x为正整数，∴x＝45.∴3x＋86＝221.
答：该班有45名学生，本次一共种植了221棵树．
5． 一题多问解不等式组：
(1)当a＝1时，请完成下列问题：
(ⅰ)解不等式①，得 ；
(ⅱ)解不等式②，得 ；
(ⅲ)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
x≤1
x＞－2
解：将不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示．
(ⅳ)原不等式组的解集为 ；
(ⅴ)满足原不等式组的整数解的和为 .
(2)若该不等式组的解集为－3＜x≤1，则a的值为 .
(3)若该不等式组无解，则a的取值范围为 .
－2＜x≤1
0
a≤0
(4)【拓展延伸】若该不等式组有且只有4个整数解，求a的取值
范围．
解：解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x＞1－3A．
∵该不等式组有且只有4个整数解，即1，0，－1，－2，
∴－3≤1－3a＜－2.解得1＜a≤ .
∴a的取值范围为1＜a≤ .

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