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冀教版（2024）八年级下册 21.3 平行四边形的判定 题型专练（参考答案）
【题型1】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【典例】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ＝2AP，设AP＝x，CE为y，则y＝2x﹣2．当点Q为BC中点时，y＝3．
（1）BC＝ ．
（2）当AP＝ 时，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】（1）10；
（2）4或12．
【解析】（1）CE＝y＝2x﹣2，当y＝3时，则3＝2x﹣2，
解得x＝，
∴AP＝x＝，CQ＝2AP＝2×＝5，
∵此时Q为BC中点，
∴BC＝2CQ＝2×5＝10，
故答案为：10．
（2）∵AD∥CB，点P在AD上，点E在CB上，
∴AP∥BE，
∴当AP＝BE时，以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，
当点E在边BC上，则x＝10﹣（2x﹣2），
解得x＝4，
∴AP＝4；
当点E在CB的延长线上，则x＝2x﹣2﹣10，
解得x＝12，
∴AP＝12，
故答案为：4或12．
【强化训练1】小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是 ．
【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解析】∵将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，
∴A1B1＝AB，A1B1∥AB，
∴四边形ABB1A1是平行四边形，
∴小明这样做的依据是有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【强化训练2】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF．求证：四边形ADEF是平行四边形．
【答案】证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE；
∵BE＝AF，
∴AF＝DE；
∴四边形ADEF是平行四边形．
【强化训练3】如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．
【答案】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
又∵AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
【题型2】两组对角线互相平分的四边形是平行四边形
【典例】阅读以下作图步骤：
①任意画两条相交直线m、n，记交点为O；
②以点O为中心，分别在直线m、n上截取OB与OD、OA与OC，使OB＝OD，OA＝OC；
③顺序连接所得的四点得到四边形ABCD．
根据以上作图，可以推断四边形ABCD的形状是 ．
【答案】平行四边形．
【解析】∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，若AC＝10cm，BD＝8cm，那么当AO＝ cm，BO＝ cm时，四边形ABCD为平行四边形，因为 ．
【答案】5，4，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解析】根据平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
可得：AO＝AC＝5cm，DO＝BD＝4cm．
故答案为：5，4，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【强化训练2】如图，D为AB上一点，DF交AC于点E，E为AC的中点，CF∥AB．连接DC，FA．求证：四边形AFCD是平行四边形．
【答案】证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴DE＝FE，
∵AE＝CE，
∴四边形AFCD是平行四边形．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO＝CO，∠ABD＝∠CDB．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴BO＝DO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【题型3】判断所给条件能否判定平行四边形
【典例】一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（　　）
A.92°，88°，88°
B.102°，88°，102°
C.92°，88°，92°
D.92°，78°，92°
【答案】C
【解析】当∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°时，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴ABCD是平行四边形，
∴四个选项中只有B选项满足题意，
故选：C．
【强化训练1】四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　）
A.6种
B.5种
C.4种
D.3种
【答案】C
【解析】①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：C．
【强化训练2】下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.AB＝CD，∠A＝∠C
B.AB∥CD，AD＝BC
C.AB∥CD，∠A＝∠B
D.AB∥CD，∠A＝∠C
【答案】D
【解析】A．AB＝CD，∠A＝∠C，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B．AB∥CD，AD＝BC，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
C．AB∥CD，∠A＝∠B，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
D．如图，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【强化训练3】点A、B、C、D在同一平面内，若从①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（　　）
A.①②
B.①④
C.②④
D.①③
【答案】B
【解析】A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
B、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确．
故选：B．
【强化训练4】两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形． （判断对错）
【答案】×．
【解析】两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，而两个等底等高的三角形不一定能拼成一个平行四边形，
故答案为：×．
【强化训练5】在四边形ABCD中，现给出下列结论：
①若AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形；
②若∠A＝∠C，∠B＝∠D，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AB∥CD，∠A＝∠C，则四边形ABCD是平行四边形；
④若AB＝CD，∠A＝∠C，则四边形ABCD是平行四边形．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③．
【解析】①若AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD不是平行四边形，故①错误；
②若∠A＝∠C，∠B＝∠D，则四边形ABCD是平行四边形；故②正确；
③若AB∥CD，∠A＝∠C，则四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
④若AB＝CD，∠A＝∠C，则四边形ABCD不是平行四边形，故④错误．
故答案为：②③．
【强化训练6】已知，如图，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件：
①AB＝CD；
②AD∥BC；
③∠BAD＝∠BCD；
④BO＝DO中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形．你的选择是 ．
【答案】②③或②④；
【解析】选择②③或②④；理由如下：
选择②③时，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
选择②④时，
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△OAD和△OCD中，，
∴△OAD≌△OCD（AAS），
∴OA＝OC，
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：②③或②④．
【题型4】添一个条件成为平行四边形
【典例】已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD是平行四边形，给出下列四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是（　　）
A.①② B.①③④ C.②③ D.②③④
【答案】C
【解析】①也可能是等腰梯形．
②∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝180°
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故正确．
③∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故正确．
④也可能是等腰梯形．
故选：C．
【强化训练1】如图，若再增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为（　　）
A.a B.b C.c D.d
【答案】A
【解析】这条线段为a，
理由：∵∠DAC＝∠ACB＝55°，
∴AD∥BC，
∵AD＝a＝5，BC＝5，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：A．
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ．
【答案】AE＝CF，理由见解析．
【解析】添加条件为：AE＝CF，
理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
故答案为：AE＝CF．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，其中AB＝CD，请你再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，可以添加的条件是 ．
【答案】AD＝BC（答案不唯一）．
【解析】∵AB＝CD，
∴当AD＝BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
【答案】解：（1）添加条件为：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【题型5】数图形中平行四边形的个数
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AB，CD上，EF∥AD，则图中的平行四边形共有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，四边形AEFD为平行四边形，
由∵EB∥CF，
∴四边形EBCF为平行四边形，
∴图中有平行四边形ABCD，平行四边形AEFD，平行四边形EBCF一共三个，
故选：C．
【强化训练1】如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】D
【解析】在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故选：D．
【强化训练2】如图， ABCD中，E、F和G、H分别是AD和BC的三等分点，则图中平行四边形的个数是（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】D
【解析】图中平行四边形有： ABGE、 ABHF、 ABCD、 EGCD、 EGHF、 FHCD，故选D．
【强化训练3】把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 个平行四边形．
【答案】3．
【解析】如图，
共拼成6个四边形，其中有3个平行四边形，
故答案为：3．
【强化训练4】如图是由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段AB的端点在格点上，要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形．
【答案】4．
【解析】如图，四边形即为所求．
共能作出4个平行四边形．
故答案为：4．
【强化训练5】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
【答案】解：如图所示：
图中有6个平行四边形，分别是四边形ABCO、四边形BCDO、四边形CDEO、四边形DEFO、四边形EFAO、四边形AOEF；
理由如下：
∵△ABO和△BCO是等边三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝∠OBC＝∠BCO＝∠BOC＝60°，
∴∠ABC＝∠AOC＝120°，
∴四边形ABCO是平行四边形，
同理：四边形BCDO、四边形CDEO、四边形DEFO、四边形EFAO、四边形AOEF都是平行四边形．
【强化训练6】在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为多少个？
【答案】解：如图所示：
图中平行四边形有 ABEC， BDEC， BEFC共3个．
【题型6】求与已知三点组成平行四边形的点的坐标
【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（﹣1，2），（2，1），（3，3），点D是平面内一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标可能是（　　）
A.（0，4） B.（1，3） C.（5，2） D.（﹣2，﹣1）
【答案】A
【解析】如图，
分三种情况：
①当AB∥CD，AD∥BC时，点D的坐标为（0，4）；
②当AB∥CD，AC∥BD时，点D的坐标为（6，2）；
③当AD∥BC，AC∥BD时，点D的坐标为（﹣2，0）；
故选：A．
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中有O，A，B三点，现需要在平面内找一点C，使以点O，A，B，C，为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标不可能为（　　）
A.（﹣1，3） B.（1，3） C.（3，﹣1） D.（﹣3，1）
【答案】A
【解析】由图可知：A（﹣1，2），B（2，1），
∵以点O，A，B，C，为顶点的四边形是平行四边形，
∴点C的坐标可能是（﹣3，1），（3，﹣1），（1，3），
故不可能是（﹣1，3），
故选：A．
【强化训练2】如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　）
A.① B.② C.③ D.④
【答案】B
【解析】对于A，如图，
此时，四边形ACBD不是平行四边形，故A不符合题意；
对于B，如图，
此时，AD∥BC，且AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B符合题意；
对于C，如图，
此时，四边形ABCD不是平行四边形，故C不符合题意；
对于D，如图，
此时，四边形ABDC不是平行四边形，故D不符合题意．
故选：B．
【强化训练3】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3）、B（﹣2，0）、C（0，﹣1），点D在坐标轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为 ．
【答案】（0，4）．
【解析】依题意，点D在坐标轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D在y轴的正半轴上，
设D（0，m），
∴，
解得：m＝4，
故答案为：（0，4）．
【强化训练4】在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，2），B（2，5），在x轴、y轴上分别有两动点C、D，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
【答案】（﹣6，0），（6，0）或（﹣2，0）．
【解析】如图所示，作AM∥x轴，作BM⊥AM轴于点M，
∵A（﹣4，2），B（2，5），
∴AM＝2﹣（﹣4）＝6，
∵点C、D分别在x轴、y轴上，
∴当AB∥C1D1时，则OC1＝AM，此时点C1的坐标为（﹣6，0）；
当AB∥C2D2时，则OC2＝AM，此时点C2的坐标为（6，0）；
当AB为对角线时，设点C3的坐标为（c，0），则，得c＝﹣2，此时点C3的坐标为（﹣2，0）；
故答案为：（﹣6，0），（6，0）或（﹣2，0）．
【强化训练5】如图，在由边长为1的小正方形组成的9×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在图中确定一个格点D，使点A、B、C、D组成平行四边形．
【答案】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
依题意，，，BC2＝52＝25，
∵AB2+AC2＝5+20＝25＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）取格点D或D1，如图所示：
∵AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【强化训练6】如图，点A（1，2），点B（2，0）．求：
（1）求OA和AB的解析式；
（2）在坐标平面内存在一点C，使得以O、A、C、B为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点C的坐标．
【答案】解：（1）∵点A（1，2），点B（2，0），
∴AB＝＝，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4；
（2）设点C（x，y），
当OA，OB为边时，∵四边形OACB是平行四边形，
∴AB与OC互相平分，
∴，＝，
∴x＝3，y＝2，
∴点C（3，2）；
当OB、AB为边时，∵四边形ABOC是平行四边形，
∴OA与BC互相平分，
∴，
∴x＝﹣1，y＝2，
∴点C（﹣1，2）；
当AO、AB为边时，∵四边形OABC是平行四边形，
∴AC与OB互相平分，
∴，，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴点C（1，﹣2），
综上所述：点C坐标为：（3，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）．
【题型7】利用平行四边形的判定和性质求解
【典例】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O．若AC＝8cm，则线段AO的长度等于（　　）
A.2cm B.4cm C.3cm D.5cm
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AC＝8cm，
∴AO＝4cm．
故选：B．
【强化训练1】如图，E是 ABCD边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（　　）
A.24 B.20 C.17 D.10
【答案】C
【解析】如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BEC＝∠FCE，∠ABF＝∠CFB，
∵Q是CE中点，
∴EQ＝CQ，
∴△EBQ≌△CFQ（AAS），
∴BE＝CF，
又∵AB∥CD，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴S△BEF＝2S△BQC＝14cm2，
∵AB＝CD，BE＝CF，
∴AE＝DF，
又∵AB∥CD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴S△PEF＝S△APD＝S△APD＝3cm2，
∴S阴影＝3+14＝17cm2，
故选：C．
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，点E是BC边上任意一点，过点E分别作AB，AC的平行线，交AC于点F，交AB于点D，则四边形ADEF的周长是（　　）
A.32 B.24 C.16 D.8
【答案】A
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵ED∥AF，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE＝AF，EF＝AD，
∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠C，
∴∠B＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴四边形ADEF的周长＝2（DE+DA）＝2（DB+DA）＝2AB＝32．
故选：A．
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．若∠A＝30°，BC＝2，CF＝3，则CD＝ ．
【答案】．
【解析】∵点E为CD中点，
∴CE＝DE．
∵EF＝BE，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴CF∥AB，DF∥BC．
∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．
在Rt△FCG中，CF＝3，
∴FG＝，CG＝．
∵DF＝BC＝2，
∴DG＝．
在Rt△DCG中，CD＝＝．
故答案为：．
【强化训练4】如图，四边形AFCE中；对角线AC，EF交于点O，OA＝OC，OB＝OD，BE＝DF，连接AB，CD．若OE＝CE，∠EAC＝45°，，求四边形AFCE的周长．
【答案】解：如图，过点E作EH⊥OC于点H，
∵∠EAC＝45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴EH＝AE＝AH，
∵OE＝CE，
∴OH＝CH，
∵OB＝OD，BE＝DF，
∴OB+BE＝OD+DF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
∴OA＝OC，OE＝OF＝EF＝＝CE，
∴AH＝3CH，
在Rt△EHC中，EH＝3CH，根据勾股定理得：EH2+CH2＝CE2，
∴（3CH）2+CH2＝（）2，
∴CH＝1（负值已舍去），
∴AH＝3CH＝3，
∴AE＝AH＝3，
∴平行四边形AFCE的周长＝2（AE+CE）＝2（3+）＝6+2．
【强化训练5】如图， ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作垂直于AB的直线分别交AB，CD于点E，F，交AD，CB的延长线分别于点G，H，连接AH，CG．若AE＝5，DF＝3，EF＝6，求 ABCD的面积．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AG∥CH，
∴∠OAG＝∠OCH，∠OGA＝∠OHC，
在△AGO和△CBO中，
，
∴△AGO≌△CBO（AAS），
∴AG＝CH，
又∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∵AB⊥HG，
∴CD⊥HG，
∴∠DFG＝∠DFE＝∠BEH＝∠BEF＝90°，
∵四边形AHCG是平行四边形，
∴AG＝CH，AG∥CH，
∴∠DGF＝∠BHE，
AG﹣AD＝CH﹣BC，
即DG＝BH，
在△DGF和△BHE中，
，
∴△DGF≌△BHE（AAS），
∴DF＝BE＝3，
∴AB＝AE+BE＝5+3＝8，
∴ ABCD的面积＝AB EF＝8×6＝48．
【题型8】利用平行四边形的判定和性质证明
【典例】如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，转动一张纸条的过程中，下列结论：
①四边形ABCD的周长不变；
②四边形ABCD的面积有变化；
③AD＝BC；
④AD＝AB；
其中一定正确的是（　　）
A.②④ B.②③ C.①② D.①③
【答案】B
【解析】由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，DC到AB的距离不会变化，
∴AD＝BC，
随着纸条的转动，线段AB的长度发生变化，
∴四边形ABCD的面积有变化，四边形ABCD的周长有变化．
故选：B．
【强化训练1】如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接BF，则下列结论中其中正确的有（　　）
①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③；④．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】连接EC，过点C作CH⊥EF于点H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），故①正确；
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴EF＝EC＝BD＝1，FH＝EH＝，
∴CH＝＝＝，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD CH＝1×＝，故③正确，
∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1，
∴CD＝2BD，AF＝2CF，
∵S△ABD＝×＝，
∴S△AEF＝ S△AEC＝S△ABD＝×＝，故④正确，
∴①②③④都正确，
故选：D．
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，∠ADC＝30°，则以下结论正确的是 （填序号）．
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是；
④四边形ACEB的面积是16．
【答案】①②③．
【解析】①∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴∠ACD＝∠CDE＝90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC＝EB，
∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC＝2，∠ADC＝30°，∠ACD＝90°，
∴AD＝4，
∴CD＝＝＝2，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE＝AD＝4，
∵CE＝EB，D是BC的中点，
∴EB＝4，BC＝2CD＝2×2＝4，
∴AB＝＝＝2，
∴四边形ACEB的周长＝2+4+4+2＝10+2，故③正确；
④四边形ACEB的面积＝×2×4+×4×2＝8，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【强化训练3】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点G，连接OG．下列结论：①OG＝AD；②AE平分∠CAD；③以点A，C，E，D为顶点构成的四边形是平行四边形；④S ABCD＝6S△OCG．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AO＝OC，
∴∠DAG＝∠E，∠ADG＝∠ECG，
∵CE＝BC，
∴CE＝AD，
∴△ADG≌△ECG（ASA），
∴AG＝GE，DG＝GC，
∴OG是△CAD的中位线，四边形ACED是平行四边形，故③正确；
∴OG＝AD，故①正确；
∴OG∥AD，
∴S△ACD＝4S△OCG，
∴S ABCD＝8S△OCG，故④错误；
∵AC≠CE，
∴∠E≠CAE，
∴∠CAE≠∠DAG，故②错误．
∴正确的是①③．
故答案为①③．
【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使2AD＝AB，连接DE，DF．
（1）求证：四边形ADFE为平行四边形；
（2）求证：∠DFA＝∠C．
【答案】证明：（1）∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AD，AB＝2EF，
∵AB＝2AD，
∴EF＝AD，
∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）在Rt△ABC中，∵E为BC的中点，
∴AE＝BC＝EC，
∴∠EAF＝∠C
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴DFA＝∠EAF，
∴∠DFA＝∠C．冀教版（2024）八年级下册 21.3 平行四边形的判定 题型专练
【题型1】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【典例】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ＝2AP，设AP＝x，CE为y，则y＝2x﹣2．当点Q为BC中点时，y＝3．
（1）BC＝ ．
（2）当AP＝ 时，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形．
【强化训练1】小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是 ．
【强化训练2】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF．求证：四边形ADEF是平行四边形．
【强化训练3】如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．
【题型2】两组对角线互相平分的四边形是平行四边形
【典例】阅读以下作图步骤：
①任意画两条相交直线m、n，记交点为O；
②以点O为中心，分别在直线m、n上截取OB与OD、OA与OC，使OB＝OD，OA＝OC；
③顺序连接所得的四点得到四边形ABCD．
根据以上作图，可以推断四边形ABCD的形状是 ．
【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，若AC＝10cm，BD＝8cm，那么当AO＝ cm，BO＝ cm时，四边形ABCD为平行四边形，因为 ．
【强化训练2】如图，D为AB上一点，DF交AC于点E，E为AC的中点，CF∥AB．连接DC，FA．求证：四边形AFCD是平行四边形．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO＝CO，∠ABD＝∠CDB．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【题型3】判断所给条件能否判定平行四边形
【典例】一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（　　）
A.92°，88°，88°
B.102°，88°，102°
C.92°，88°，92°
D.92°，78°，92°
【强化训练1】四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　）
A.6种
B.5种
C.4种
D.3种
【强化训练2】下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.AB＝CD，∠A＝∠C
B.AB∥CD，AD＝BC
C.AB∥CD，∠A＝∠B
D.AB∥CD，∠A＝∠C
【强化训练3】点A、B、C、D在同一平面内，若从①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（　　）
A.①②
B.①④
C.②④
D.①③
【强化训练4】两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形． （判断对错）
【强化训练5】在四边形ABCD中，现给出下列结论：
①若AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形；
②若∠A＝∠C，∠B＝∠D，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AB∥CD，∠A＝∠C，则四边形ABCD是平行四边形；
④若AB＝CD，∠A＝∠C，则四边形ABCD是平行四边形．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
【强化训练6】已知，如图，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件：
①AB＝CD；
②AD∥BC；
③∠BAD＝∠BCD；
④BO＝DO中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形．你的选择是 ．
【题型4】添一个条件成为平行四边形
【典例】已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD是平行四边形，给出下列四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是（　　）
A.①② B.①③④ C.②③ D.②③④
【强化训练1】如图，若再增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为（　　）
A.a B.b C.c D.d
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，其中AB＝CD，请你再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，可以添加的条件是 ．
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
【题型5】数图形中平行四边形的个数
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AB，CD上，EF∥AD，则图中的平行四边形共有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【强化训练2】如图， ABCD中，E、F和G、H分别是AD和BC的三等分点，则图中平行四边形的个数是（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【强化训练3】把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 个平行四边形．
【强化训练4】如图是由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段AB的端点在格点上，要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个平行四边形．
【强化训练5】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
【强化训练6】在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为多少个？
【题型6】求与已知三点组成平行四边形的点的坐标
【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（﹣1，2），（2，1），（3，3），点D是平面内一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标可能是（　　）
A.（0，4） B.（1，3） C.（5，2） D.（﹣2，﹣1）
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中有O，A，B三点，现需要在平面内找一点C，使以点O，A，B，C，为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标不可能为（　　）
A.（﹣1，3） B.（1，3） C.（3，﹣1） D.（﹣3，1）
【强化训练2】如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　）
A.① B.② C.③ D.④
【强化训练3】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3）、B（﹣2，0）、C（0，﹣1），点D在坐标轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为 ．
【强化训练4】在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，2），B（2，5），在x轴、y轴上分别有两动点C、D，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
【强化训练5】如图，在由边长为1的小正方形组成的9×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在图中确定一个格点D，使点A、B、C、D组成平行四边形．
【强化训练6】如图，点A（1，2），点B（2，0）．求：
（1）求OA和AB的解析式；
（2）在坐标平面内存在一点C，使得以O、A、C、B为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点C的坐标．
【题型7】利用平行四边形的判定和性质求解
【典例】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O．若AC＝8cm，则线段AO的长度等于（　　）
A.2cm B.4cm C.3cm D.5cm
【强化训练1】如图，E是 ABCD边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（　　）
A.24 B.20 C.17 D.10
【强化训练2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，点E是BC边上任意一点，过点E分别作AB，AC的平行线，交AC于点F，交AB于点D，则四边形ADEF的周长是（　　）
A.32 B.24 C.16 D.8
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．若∠A＝30°，BC＝2，CF＝3，则CD＝ ．
【强化训练4】如图，四边形AFCE中；对角线AC，EF交于点O，OA＝OC，OB＝OD，BE＝DF，连接AB，CD．若OE＝CE，∠EAC＝45°，，求四边形AFCE的周长．
【强化训练5】如图， ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作垂直于AB的直线分别交AB，CD于点E，F，交AD，CB的延长线分别于点G，H，连接AH，CG．若AE＝5，DF＝3，EF＝6，求 ABCD的面积．
【题型8】利用平行四边形的判定和性质证明
【典例】如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，转动一张纸条的过程中，下列结论：
①四边形ABCD的周长不变；
②四边形ABCD的面积有变化；
③AD＝BC；
④AD＝AB；
其中一定正确的是（　　）
A.②④ B.②③ C.①② D.①③
【强化训练1】如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接BF，则下列结论中其中正确的有（　　）
①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③；④．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，∠ADC＝30°，则以下结论正确的是 （填序号）．
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是；
④四边形ACEB的面积是16．
【强化训练3】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点G，连接OG．下列结论：①OG＝AD；②AE平分∠CAD；③以点A，C，E，D为顶点构成的四边形是平行四边形；④S ABCD＝6S△OCG．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
【强化训练4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使2AD＝AB，连接DE，DF．
（1）求证：四边形ADFE为平行四边形；
（2）求证：∠DFA＝∠C．

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