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北师大版（2024）八年级下册 1.1 三角形内角和定理 课时训练（参考答案）
一、选择题
1.如图，已知△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝60°，D是AB边上一点，DE∥BC，则∠BDE等于(　　)
A.30° B.40° C.50° D.70°
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，
则∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠B＝40°．
故选：B．
2.如图，在△ABC中，点D为BC边延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，若∠A＝40°，∠D＝50°，则∠ACB的度数为(　　)
A.80° B.90° C.100° D.105°
【答案】C
【解析】∵DF⊥AB，
∴∠BFD＝90°．
∵∠BFD+∠D+∠B＝180°，
∴∠B＝40°．
∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
故选：C．
3.如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为(　　)
A.110° B.120° C.130° D.140°
【答案】D
【解析】在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°，
即∠1+∠2+∠3+∠4＝80°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴2∠2+2∠4＝80°，
∴∠2+∠4＝40°，
在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4＝180°，
∴∠BPC＝140°.
故选：D．
4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A.80° B.30° C.35° D.50°
【答案】C
【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝35°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝35°.
故选：C．
5.如图，已知∠A＝36°，∠ADC＝100°，BE⊥AC于点E．则∠B的度数为(　　)
A.46° B.44° C.40° D.36°
【答案】A
【解析】在△ACD中，∠A＝36°，∠ADC＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣36°﹣100°＝44°．
在△BCE中，∠BCE＝44°，BE⊥AC于点E，
∴∠B＝90°﹣∠BCE＝90°﹣44°＝46°．
故选：A．
6.已知在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，且∠C＝4∠B，则△ABC为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】C
【解析】由∠A﹣∠B＝30°，可得出∠A＝∠B+30°，在△ABC中，∠A=∠B+30°, ∠C=4∠B.利用三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=∠B+30°+∠B+4∠B=180°，解得∠B=25°，∠C=100°，结合∠C＝100°＞90°，可得出△ABC为钝角三角形．
故选：C．
7.如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于(　　)
A.35° B.45° C.55° D.65°
【答案】A
【解析】因为CD∥AB，∠B＝55°，BC⊥AE于点C，所以∠1＝∠A＝180°－90°－55°＝35°.
故选：A.
8.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是(　　)
A.59° B.60° C.56° D.22°
【答案】A
【解析】∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°.
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1＝∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°.
故选：A．
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为(　　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】A
【解析】∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝40°，
∵DF∥EB，∠D＝70°，
∴∠D＝∠CEB＝70°，
∴∠AEC=180°-∠CEB=110°，
∴∠ACD＝180°-∠AEC﹣∠A＝70°﹣40°＝30°.
故选：A．
10.在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】①由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故符合题意;
②由CE∥AB，则∠A＝∠FCE，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故符合题意;
③由CD⊥AB于点D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故不符合题意；
④由DF∥AC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥BC，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故符合题意.
共有①②④符合条件，
故选：C．
11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是(　　)
A.70° B.80° C.100° D.110°
【答案】B
【解析】∵AD平分∠BAC，∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝2×30°＝60°，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝180°－40°－60°＝80°.
故选：B.
12.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】C
【解析】如图，
由题意得∠5＝180°﹣(∠1+∠2)＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣(∠3+∠4)＝180°﹣2∠3，
∵∠α＝70°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°，
∵∠β＝180°﹣(∠5+∠6)
∴∠β＝180°﹣(180°﹣2∠2+180°﹣2∠3)
＝2(∠2+∠3)﹣180°
＝2×110°﹣180°
＝220°﹣180°
＝40°．
故选：C．
二、填空题
13.三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　．
【答案】90°
【解析】若三角形三个内角度数的比为1:2:3，
设一个角是x度，则另两角分别是2x度，3x度．
根据三角形内角和定理得到x+2x+3x＝180，
解得x＝30．
则最大的角是3x＝90．
故答案为：90°．
14.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　 　．
【答案】70°或30°
【解析】如图1，∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°，
如图2，∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°.
故答案为：70°或30°．
15.如图，三角形中的x的值是 　 　．
【答案】54
【解析】依题意得2x+72＝180，
解得x＝54，
故答案为：54．
16.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为 　　．
【答案】60°
【解析】∵∠B＝40°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°．
故答案为：60°．
17.一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α+∠β＝　 　°．
【答案】126
【解析】如图，
根据光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等，
在四边形ABCD中，∠ABC＝180°﹣2∠1，∠BCD＝180°﹣2∠2，
∴∠ABC+∠BCD＝180°﹣2∠1+180°﹣2∠2＝360°﹣2(∠1+∠2)，
∵∠1+∠2＝180°﹣117°＝63°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣2(∠1+∠2)＝360°﹣2×63°＝234°，
在四边形ABCD中，
∵∠ABC+∠BCD+∠α+∠β＝360°，
∴234°+∠α+∠β＝360°，
∴∠α+∠β＝126°．
故答案为：126°．
三、解答题
18.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
【答案】解：∵∠A＝54°，∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝39°．
19.阅读下列材料，并完成相应任务．
(1)证法一的思路是先用平行线的性质得到∠B＝∠1，∠C＝∠2，此处，括号内应填写的理由是 　 　，再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是 　　；(单选，将正确选项填入空格处)
A．数形结合思想
B．分类思想
C．转化思想
(2)将证法二补充完整．
【答案】解：(1)两直线平行，内错角相等；转化思想．
故答案为：C.
(2)∵CN∥AB，
∴∠A＝∠ACN，∠B＝∠NCM，
∵∠ACB+∠ACN+∠NCM＝180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．
20.如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
【答案】解：由题意得，BE∥AD，∠BAD＝40°，
∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，
∴∠EBA＝∠BAD＝40°，∠BAC＝40°＋15°＝55°，
∴∠ABC＝∠EBC－∠EBA＝80°－40°＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－55°－40°＝85°.
21.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC的度数．
【答案】解：∵由三角形内角和定理得，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°，
∵BO，CO平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－65°＝115°.
22.如图，D，E，F，G是△ABC边上的点，∠ABC＝∠ADE，∠DEB＝∠GFC．
(1)求证：BE∥GF；
(2)若BE平分∠ABC，∠BDE＝110°，∠C＝50°，求∠CGF的度数．
【答案】(1)证明：∵∠ABC＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠BED＝∠EBC，
∵∠DEB＝∠GFC，
∴∠EBC＝∠GFC，
∴BE∥GF.
(2)解：∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BDE＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC＝35°，
∵BE∥GF，
∴∠GFC＝∠EBC＝35°，
∵∠C+∠GFC+∠CGF＝180°，
∴∠CGF＝180°﹣∠C﹣∠GFC＝95°．北师大版（2024）八年级下册 1.1 三角形内角和定理 课时训练
一、选择题
1.如图，已知△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝60°，D是AB边上一点，DE∥BC，则∠BDE等于(　　)
A.30° B.40° C.50° D.70°
2.如图，在△ABC中，点D为BC边延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，若∠A＝40°，∠D＝50°，则∠ACB的度数为(　　)
A.80° B.90° C.100° D.105°
3.如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为(　　)
A.110° B.120° C.130° D.140°
4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A.80° B.30° C.35° D.50°
5.如图，已知∠A＝36°，∠ADC＝100°，BE⊥AC于点E．则∠B的度数为(　　)
A.46° B.44° C.40° D.36°
6.已知在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，且∠C＝4∠B，则△ABC为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
7.如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于(　　)
A.35° B.45° C.55° D.65°
8.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是(　　)
A.59° B.60° C.56° D.22°
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为(　　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
10.在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是(　　)
A.70° B.80° C.100° D.110°
12.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
二、填空题
13.三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　．
14.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　 　．
15.如图，三角形中的x的值是 　 　．
16.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为 　　．
17.一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α+∠β＝　 　°．
三、解答题
18.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
19.阅读下列材料，并完成相应任务．
(1)证法一的思路是先用平行线的性质得到∠B＝∠1，∠C＝∠2，此处，括号内应填写的理由是 　 　，再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是 　　；(单选，将正确选项填入空格处)
A．数形结合思想
B．分类思想
C．转化思想
(2)将证法二补充完整．
20.如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
21.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC的度数．
22.如图，D，E，F，G是△ABC边上的点，∠ABC＝∠ADE，∠DEB＝∠GFC．
(1)求证：BE∥GF；
(2)若BE平分∠ABC，∠BDE＝110°，∠C＝50°，求∠CGF的度数．

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