资源简介

北师大版（2024）八年级下册 1.2 等腰三角形 课时训练
一、选择题
1.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（　　）
A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β＞∠α
B.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠α
C.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β＜∠α
D.两个角互为邻补角
2.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2，则AB的长度是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
3.如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ）
A.2 B.3 C.1 D.8
6.如图，在△ABC中，AB=AC，EF∥BC，∠A=40°，则∠AEF的度数是（　　）
A.40° B.50° C.70° D.140°
7.已知，如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）
A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③
8.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　）
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
9.下列各线中，不属于等腰三角形“三线合一”的线是（　　）
A.顶角的平分线
B.底边上的中线
C.底边上的中垂线
D.底边上的高线
10.如图，△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，则∠ADB等于（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
11.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　）
A.25° B.60° C.85° D.95°
12.如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（0，1），点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
13.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________.
14.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是_______．
15.用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是： ．
16.已知等边△ABC的周长为6，则它的边长等于　 　．
17.如图，已知，等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为________．
三、解答题
18.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．
19.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC．求证：∠B=30°．
20.用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°．”
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
21.如图，已知∠BAC=70°，D是△ABC的边BC上的一点，且∠CAD=∠C，∠ADB=80°．求∠B的度数．
22.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC．北师大版（2024）八年级下册 1.2 等腰三角形 课时训练（参考答案）
一、选择题
1.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（　　）
A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β＞∠α
B.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠α
C.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β＜∠α
D.两个角互为邻补角
【答案】C
2.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2，则AB的长度是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】C
【解析】如图，由题意可知在Rt△ACD中，∠ACD=30°，所以AC=2AD=4，
所以AB=2AC=8.故选C.
3.如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】∵∠A=36°，∠ADB=108°，∴∠ABD=36°，
∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形．
而△ABC及△BDC无法证明是等腰三角形．
故选A．
4.有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】由题意可得，3cm作腰，6cm作底或12cm作底，则三边分别为3cm，3cm，6cm，不能构成三角形，3cm，3cm，12cm，不能构成三角形；
6cm作腰，3cm作底或12cm作底，则三边分别为6cm，6cm，3cm，能构成三角形，6cm，6cm，12cm，不能构成三角形；
12cm作腰，3cm或6cm作底，则三边分别为12cm，12cm，3cm，能构成三角形，12cm，12cm，6cm，能构成三角形，
故最多能组成3个等腰三角形．故选：C．
5.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ）
A.2 B.3 C.1 D.8
【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC．∠BAC=∠C．
又∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD=∠CAE．
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．
∴∠BPF=∠APD=60°．
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°．
∴PF=PB=×4=2．
故选A．
6.如图，在△ABC中，AB=AC，EF∥BC，∠A=40°，则∠AEF的度数是（　　）
A.40° B.50° C.70° D.140°
【答案】C
【解析】∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=×（180°﹣40°）=70°，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B=70°，故选C.
7.已知，如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）
A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③
【答案】A
【解析】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选A．
8.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　）
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
【答案】C
【解析】①120°的角为顶角的外角，则顶角为180°﹣120°=60°，底角为（180°﹣60°）÷2=60°，三角形为等边三角形；
②120°的角为底角的外角，则底角为180°﹣120°=60°，顶角为180°﹣60°×2=60°，三角形为等边三角形．故选C．
9.下列各线中，不属于等腰三角形“三线合一”的线是（　　）
A.顶角的平分线
B.底边上的中线
C.底边上的中垂线
D.底边上的高线
【答案】C
【解析】等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故选项C不符合条件，故选C．
10.如图，△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，则∠ADB等于（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】B
【解析】∵△ABC中，若AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=
90°．故选B．
11.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　）
A.25° B.60° C.85° D.95°
【答案】D
【解析】∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°．故选D．
12.如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（0，1），点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】如图，点A（﹣2，2），B（0，1），
①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0），此时AP=AB；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0）（2，0）不能组成△ABP，故舍去），此时BP=AB；
③AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA=PB），此时AP=BP；∴符合条件的点有4个．
故选D．
二、填空题
13.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________.
【答案】3
14.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是_______．
【答案】60°
【解析】∵△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠BAC=×120°=60°．故答案为：60°．
15.用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是： ．
【答案】等腰三角形的底角都是直角或钝角
16.已知等边△ABC的周长为6，则它的边长等于　 　．
【答案】2
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∵等边△ABC的周长为6，∴AB+BC+CA=6，∴3AB=6，∴AB=2，故等边三角形的边长为2，故答案为2．
17.如图，已知，等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为________．
【答案】
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠C=60°，AB=AC=4，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD=∠CEF=90°，∴∠ADF=∠CFE=30°，∴AF=AD，CE=CF，∵点D是AB的中点，∴AD=2，∴AF=1，CF=3，CE=，∴BE=．故答案为．
三、解答题
18.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．
【答案】证明 ∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，
∠AED=∠C+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
19.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC．求证：∠B=30°．
【答案】证明 取AB的中点D，连接CD，则CD=AB,
∵AC=AB=AD,
∴△ACD为等边三角形,
∴∠A=60°.
∵∠A＋∠B=90°，
∴∠B=30°.
20.用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°．”
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
【答案】证明 假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形的三内角和为180°相矛盾．
∴假设不成立，
∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
21.如图，已知∠BAC=70°，D是△ABC的边BC上的一点，且∠CAD=∠C，∠ADB=80°．求∠B的度数．
【答案】解 ∵∠CAD=∠C，∠ADB=∠CAD+∠C=80°，
∴∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=70°．
22.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC．
【答案】证明 （1）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，∴BE=CE．
（2）∵BF⊥AC，∠BAC=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=BF，∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，∠EAF=∠CBF，∠AFE=∠BFC，AE=BF，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE=BC．

展开更多......

收起↑