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北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 课时训练
一、选择题
1.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　）
A.3米 B.6米 C.9米 D.10米
2.如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　）
A.（8，5） B.（4，5） C.（4，3） D.（3，4）
3.下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A.对顶角相等
B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数
C.两直线平行，内错角相等
D.如果a=b,那么a2=b2
4.我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A. B.8 C. D.
5.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（　　）
A.100度 B.120度 C.135度 D.140度
6.如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB等于（　　）
A.20 B.25 C.35 D.30
7.若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（　　）
A. B.13 C.或13 D.14
8.下列说法正确的是（　　）
A.在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度一定是4
B.三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是一组勾股数
C.三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D.一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
9.如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　）
A.（2，12） B.（3，13） C.（5，12） D.（5，13）
10.如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　）
A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm
11.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
12.如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是（　　）
A.③④ B.①②④ C.①② D.①②③④
二、填空题
13.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
14.如图所示的衣架可近似看作一个等腰三角形（即△ABC），其中AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，则高AD＝　 　cm．
15.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　 　米．
16.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…）
17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”．
（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 　 　；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若c+d＝9，c≠0，当为整数时，M是 　 　．
三、解答题
18.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
19.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，求BE的长．
20.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．
21.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
22.当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数．
如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．
（1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
（2）当n是大于1的奇数时，若n，，x是勾股数，且x＞n，x＞，求x．（用含n的式子表示）北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 课时训练（参考答案）
一、选择题
1.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　）
A.3米 B.6米 C.9米 D.10米
【答案】C
【解析】由题意可知，∠ACB＝90°，
∵AB＝15米，BC＝12米，
∴AC＝（米），
故选：C．
2.如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　）
A.（8，5） B.（4，5） C.（4，3） D.（3，4）
【答案】C
【解析】如图，过点A作AD⊥OB于点D，
∵OA＝AB＝5，OB＝8，
∴OD＝OB＝4．
在直角△OAD中，由勾股定理得，AD＝＝＝3．
故点A的坐标是（4，3）．
故选：C．
3.下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A.对顶角相等
B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数
C.两直线平行，内错角相等
D.如果a=b,那么a2=b2
【答案】C
【解析】A.对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
B.如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数的逆命题是如果两个数的和是偶数，那么这两个数是偶数，是假命题，不符合题意；
C.两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
D.如果a=b,那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=b,是假命题，不符合题意．
故选：C．
4.我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A. B.8 C. D.
【答案】D
【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则x2＝62+22＝40，
所以x＝2，
所以风车的外围周长为4×（2+3）＝8+12．
故选：D．
5.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（　　）
A.100度 B.120度 C.135度 D.140度
【答案】C
【解析】如图，∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-90°=90°，
∵AD，BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA=×90°=45°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-45°=135°．
故选：C．
6.如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB等于（　　）
A.20 B.25 C.35 D.30
【答案】B
【解析】在Rt△ADC中，AD＝16，CD＝12，
∴AC＝＝＝20，
在Rt△ACB中，
AB＝＝＝25，
故选：B．
7.若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（　　）
A. B.13 C.或13 D.14
【答案】B
【解析】①a为最长边，a＝＝13，13是正整数，符合题意；
②12为最长边，a＝＝，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意．
故选：B．
8.下列说法正确的是（　　）
A.在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度一定是4
B.三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是一组勾股数
C.三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D.一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
【答案】D
【解析】A.在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4或，原命题错误，不符合题意；
B.因勾股数必须都是整数，故原命题错误，不符合题意；
C.∵122+352≠362，
∴三边长度分别是12，35，36的三角形不是直角三角形，错误，不符合题意；
D.一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形，正确，符合题意．
故选：D．
9.如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　）
A.（2，12） B.（3，13） C.（5，12） D.（5，13）
【答案】A
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，
∵B（﹣3，0），C（7，0），
∴OB＝3，BC＝10，
∵AC＝AB＝13，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∴AD=＝＝12．
∴OD＝BD﹣OB＝2，
∴A（2，12）．
故选：A．
10.如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　）
A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm
【答案】C
【解析】将长方体展开，连接AB′，
则AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm．
故选：C．
11.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
则（1）AB=DE，正确；
（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；
（3）∠ABC=∠DEF．故选 C．
12.如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是（　　）
A.③④ B.①②④ C.①② D.①②③④
【答案】C
【解析】①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
④无法证明CA平分∠BCG，故错误；
③∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+ (∠ABC+∠ACB)＝135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，
∴∠CGE=2∠DFB，
∴∠DFB＝∠CGE，故正确．
∴正确的为：①②③，
故选：C．
二、填空题
13.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
14.如图所示的衣架可近似看作一个等腰三角形（即△ABC），其中AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，则高AD＝　 　cm．
【答案】8
【解析】∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，
∴BD＝CD＝BC＝15cm．
在直角△ABD中，由勾股定理知，AD＝＝＝8（cm）．
故答案为：8．
15.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　 　米．
【答案】10
【解析】如图，设大树高为AB＝10米，
小树高为CD＝4米，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米），
在Rt△AEC中，AC＝＝10（米），
故答案为：10．
16.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…）
【答案】17
【解析】145=，
所以a＝17．
故答案为17．
17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”．
（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 　 　；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若c+d＝9，c≠0，当为整数时，M是 　 　．
【答案】（1）2024 （2）8190或4536或4563
【解析】（1）∵22+22＝8，8≠20，
∴2022不是“勾股和数”；
∵22+32＝13，13≠20，
∴2023不是“勾股和数”；
∵22+42＝20，
∴2024是“勾股和数”．
（2）∵M为“勾股和数”，
∴10a+b＝c2+d2，
∴0＜c2+d2＜100，
∵c+d＝9，
∴＝为整数，
∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，
∴cd为3的倍数．
又c≠0，
∴①c＝9，d＝0，此时M＝8190；
②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．
即M的值为8190或4536或4563．
故答案为：8190或4536或4563．
三、解答题
18.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
【答案】证明 ∵BF=EC，
∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
19.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，求BE的长．
【答案】解 ∵AD平分∠CAB，
又∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∵BD＝5，
∴BE＝＝4．
20.如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．
【答案】解 ∵∠AFD=152°，
∴∠DFC=28°，
∵∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EDB=∠DFC=28°，
∴∠EDF=180°-∠EDB-∠FDC=180°-90°-28°=62°．
21.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
【答案】解 （1）如图，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝＝15（m），
∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m），
答：居民从点A到点C将少走6m路程．
（2）∵CD＝17m，AD＝8m，AD2+AC2＝DC2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝AD AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），
答：这片绿地的面积是114m2．
22.当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数．
如：3，4，5都是正整数，且32+42＝52，所以3，4，5是勾股数．
（1）当n是大于1的整数时，2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
（2）当n是大于1的奇数时，若n，，x是勾股数，且x＞n，x＞，求x．（用含n的式子表示）
【答案】解 （1）2n，n2﹣1，n2+1是勾股数，
理由：∵（2n）2+（n2﹣1）2
＝4n2+n4﹣2n2+1
＝n4+2n2+1
＝（n2+1）2，
∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股数．
（2）∵n，，x是勾股数，且x＞n，x＞，
∴x2＝n2+2
＝n2+
＝
＝，
∴x＝．

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