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学情调研(二) 数 学
注意事项:
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知复数 , 为虚数单位,则 的虚部为
A. B. C. D.
2. 已知向量 ,则
A. 14 B. 18 C. 22 D. 35
3. 已知集合 ，且 ，则实数
A. -1 B. -2 C. -3 D.
4. 已知 分别为椭圆 的左、右焦点,点 为椭圆 的上顶点,若 ,则椭圆 的标准方程为
A. B. C. D.
5. 如图是函数 的部分图象,则函数 的解析式可以为
A.
B.
C.
D.
6. 已知数列 的前 项和为 ,则
A. 0 B. 7 C. 9 D. 20
7. 已知函数 ,则函数 的零点个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知 ,则
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 某小组共有 12 人，其中男生 4 人，女生 8 人，在某项测试中男生得分的平均数 为 9， 方差 为 8; 女生得分的平均数 为 6,方差 为 12,记这次测试中该小组总体的平均数为 ,方差为 ,则下列正确的有
A. B.
C. D.
10. 已知 是函数 图象上的两个动点,过 两点的切线 与 相交于点 ,直线 分别与 轴相交于点 ,若 ,则下列正确的有
A. B.
C. 为定值 D. 存在 两点,使 的面积等于 2
11. 在直三棱柱 中, 为 的中点, 为 上一点,点 分别为直三棱柱 和三棱锥 的外接球的球心,且 ,直三棱柱 存在表面积为 的内切球 ,则下列正确的有
A. 球 的表面积为
B.
C. 点 在球 内
D. 过 的平面截球 的截面圆的面积的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知函数 是定义域为 的奇函数,当 时, ,则 _____，
13. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与 交于 两点,其中点 在第一象限,若 ,则 的离心率为_____.
14. 已知 ,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)
小明参加庆新年活动中的一项小游戏. 游戏中有完全相同的甲、乙两个小袋, 每袋中有形状、质地和大小完全相同的 8 个乒乓球, 其中甲袋中有 6 个黄球和 2 个白球, 乙袋中有 3 个黄球和 5 个白球.
游戏规定:参加游戏者首先从这两个袋子中等可能地随机选择一个袋子，再从选中的袋子中等可能地随机摸出一个球.
(1)求小明摸出的是黄球的概率;
(2)已知小明摸出的球是白球,求他选中的袋子为甲袋的概率.
16. (15 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 , .
(1)求a；
(2)已知点 在边 上，且 ，求 的余弦值.
17. (15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ，且 ， .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(17 分)
已知圆心在 轴上移动的圆经过点 ，且与 轴、 轴分别交于点 ， 两个动点,动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知 为坐标原点,直线 ( 为实数)与曲线 交于 两点，证明: ；
(3)已知曲线 上存在三个点 ， ， ，使 为等腰直角三角形，求 面积的最小值.
19.(17 分)
已知数列 的前 项和为 ，且 . 函数 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的最小值；
(3)证明: .
学情调研(二)
数学 参考答案
1. ,则 的虚部为 .
故选 D.
2. A ,
故选 A.
3. 由 ,解得 或 ,所以 或 ,又 , 所以 ,故 . 经检验符合题意.
故选 C.
4. B 由 ,得 ,
所以椭圆 的标准方程为 .
故选 B.
5. A 由图可知, ,所以 ,当 时, ,所以
当 时, ,所以 ,舍去,
又 ,所以 ,
综上函数 的解析式为 .
故选 A.
6. 由 ,所以数列 的奇数项是首项为 -7,公差为 4 的等差数列, 所以 , 又 ,所以 ,得 -1,同理 ,
所以
故选 C.
7. C 由题意, 6) ,
令 ,解得 ,设 , ,则 ,又 恒成立,
令 ,解得 或 ;
令 ,解得 或 .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
即 的单调递减区间为 和 , ,单调递增区间为 和 .
当 时,因为 , ,即 ,所以 在 上存在唯一零点:
当 时, ,故 ,所以 在 上存在唯一零点;
当 时,
,故 . ,所以 在 上存在唯一零点;
当 时, ，所以 在 上无零点.
综上,函数 的零点个数为 3 .
故选 C.
8. D
又 , 又 ,
设 ,当 时,函数 单调递减，
所以 , 故 ,即 ,
综上, .
故选 D.
9. AC ,则 ,故 A 正确; ,故 C 正确, 错误.
敏选 AC.
10. 由题设
不妨设 ,
设直线 的斜率分别为 ,又
当 时, ,则 , 当 时, ,则 ,
均与 矛盾,所以若 ,则
则 ,则 ,即 ,故 A 正确;
由 ,所以 ,所以 ,所以 ,故 正确;
,则 , ,则 ,
则 , 故 正确；
设点 的横坐标为 。
因为 ,联立直线 的方程可得
所以 , 所以 的面积的取值范围 ，故 错误.
故选 .
11. 直三棱柱 如图，
直三棱柱 存在表面积为 的内切球 ,
设球 的半径为 ,即 ,
则球 的直径 ,
设点 分别为 的中点,由直三棱柱 的对称性, 在直三棱柱 的截面 中，
如图，球 在平面 中的截面圆与边分别切于点 ,
由 ,所以 ,故 ,
所以 ，又 ，所以 ，
设球 的半径为 ,
由上知 为矩形 的中心,且球 的直径为矩形 的对角线,所以球 的半径 ,所以球 的表面积为 ，所以 正确；
又 和 均在一棱柱 的截面 中,
且 为 的中点,又 ,所以
又 ,所以 ，所以 正确；
由 、又 、所以 、 、 、 四点均在过 ，的球 的截面圆上。
所以球 也是三棱锥 的外接球， 义 两两垂直，故球 为矩形 的中心，
所以点 在球 ，外，所以 错误；
由上知 为 的中点，所以 三点连线为直角三角形,如图,
当 . 到过 的平面的距离最大时,截面圆面积取得最小值,
且 ,又 ,所以 ,
所以 到 的距离为 ,该距离为 到过 的平面的最大距离,
又 . 所以此时截面圆的半径
过 : 的平面积或 的截面圆面积的最小值为 ,故 正确.
故选 ABD.
12. 4 山必任 ，又 .
12. 设 ,则 - ,
由双曲线定义， ，
，所以 ( 2a )。 所以
在 中，
所以
化简得 ，所以 .
11. ,得
由 ,
所以
又 ,
所以
得 ,即 ,
当且仅当 ,即 ,
时,等号成立.
15. 解:设 “选择甲袋”为事件 ，“选择乙袋”为事件 ，“摸球结果为黄球”为事件 ，“摸球结果为白球”为事件 ，
(1)
所以摸出的是黄球的概率为 . (6 分)
(2)因为 是对立事件， , (8 分)
所以
所以选中的袋子为甲袋的概率为 .
16. 解:( 1 )在 中， ，
由正弦定理可得 (2 分)
又 ,故 ,所以 (4 分)
又 ,所以 , (5 分)
由余弦定理得 ,所以 . (7 分)
(2)由(1)得 ， (8 分)
又 (11 分)
所以 21, (13 分)
由余弦定理,得 (15 分)
17. 解:(1)证明:设 ，所以 .
过点 作 延长线的垂线，垂足为 ，连接 ,
因为 为平行四边形,故 ,又 ,故 ,
又 ,且 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,可得 ,
又 ,所以 ,所以 为等腰直角三角形，
所以 ,
又 ，且 ，由勾股定理可得 , (4 分)
又 ,所以 ,
所以 ,又 , 平面 ,所以 平面 ,又 平面 , 所以平面 平面 . (7 分)
(2)由(1)可知， 两两垂直，如图以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴， 所在直线为 轴,建立如图所示的空问直角坐标系 . (8 分)
则 , (9 分)
0).
设 为平面 的法向量,
则 即 可取 , (11 分)
设 为平面 的法向量,
则 即 可取 , (13 分)
.
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
18. 解: (1) 设圆心为 ,则半径 -4 .
得圆的方程为 ，(1) 由圆过点 ,所以 ,化简得 ,故 , (2 分)
又圆过点 ,所以 ,化简得 , (3 分)
由 ,
所以 , (4 分)
整理得 ,又
又 时， 与 重合，故舍去， 所以曲线 的方程为 ,即 .
(5 分)
(2)证明，设 ，
由 得 ,则有
,不妨设 , (7 分)
要证 ,只要证 ，即 即可，
只要证 ,只要证 ，只要证 ，
即 , (9 分)
又 . 所以 0 , 得证.
综上, . (10 分)
(3)不妨设 ，
设点 ,且 ,直线 的斜率为 ,
则直线 的斜率为 .
因为 ,则
得 ①, (11 分)
因为 ,则 ,即 ② (12 分)
因为 ,则 ,即 ③, (13 分)
将②，③代入①，得 ，即，
则 , (14 分)
故 的面积 。
(15 分)
因为 ,则 ,又 ,则 ,
故 ,当且仅当 时取等号,所以 的面积的最小值为 16. (17 分)
19. 解: (1) 由 ,得 ,所以 , (1 分)
由 ,得
当 时，
所以
故 . (3 分)
又 ，所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列,
所以 ,得 . (4 分)
(2) ，设 (5 分)
又 ,所以函数 在 上单调递增, (6 分)
又 , (7 分)
在 上 ,在 上, 0 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,故 的最小值为 0 . (8 分)
(3) 证明:由(1)知 .
由 ,所以 ,所以 . (10 分)
设 ，下面证明 ,
令 .
因为 ,所以 在 , ) 上单调递减， (12 分)
所以 ，得 (14 分)
由( 2 )知 ，所以 ,得 ,
所以 (15 分)
又 . , (16 分)
故
(17 分)

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