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数学试题
一. 选择题(每题 3 分，共 24 分)
1. 的倒数是( ) A. -3 B. C. 3 D.
2. 中国的剪纸艺术博大精深，石榴象征“各民族像石榴籽一样紧紧相拥”，表达团结和谐的时代精神，如图是石榴的剪纸图, 既是轴对称, 又是中心对称图形的是 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
4. 如图，在 中，点 是边 延长线上一点， ，若 ， ，则 的度数为 ( )
第 4 题图
A. 55° B. 65° C. 60° D.
5. 已知关于 的二元一次方程组 的解为 ,如图,若直线 ( 为常数,且 ) 与直线 相交于点 ,则点 的坐标为 ( )
第 5 题图
A. (3, 5) B. (5,3) C. (5,2) D. (2,5)
6. 如图，在 Rt 中， ， 于点 ， ， 是斜边 的中点，则 ( )
第 6 题图
A. 20° B. C. 22.5° D. 30°
7. 如图，在正方形 中，E是BC延长线一点，连接DE，F是边CD边上一点，连接 交 于点 且 . 若 时， 的值为( )
A. B. 3
C. D. 2
第 7 题图
8. 二次函数 的自变量 与函数值 的部分对应值如表:
... -2 -1 1 2 ...
... 3 ...
其中 为常数,且 . 有下列四个结论:
① ；② 0和1是方程 的两个根；③ ④若 ，则 . 其中正确的结论的个数为( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题(每题 3 分, 共 15 分)
9. 数轴上表示数 和 的点到原点的距离相等，则 为_____.
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知 ，且点 、 、 、 均在圆 上，若 ，则 的长为_____.
第 10 题图
11. 对于有理数 ，我们给出如下定义:若 满足 ，则称 为“完美数对”，若 是“完美数对”， 则 的值为_____.
12. 如图，在平面直角坐标系中， ， 分别为 轴、 轴正半轴上的点，以 ， 为边，在第一象限内作矩形 ,将矩形 翻折,使点 与原点 重合,折痕为 ,点 的对应点 落在第四象限,过 点的反比例函数 的图象恰好经过 的中点 ,则点 的坐标为_____
第 12 题图
13. 如图，在四边形 中，已知 ， _____， 与 交于点 ，且 ， ， 四边形 的面积为_____.
第 13 题图
三、解答题(共 13 题，合计 81 分)
14. (4 分) 计算:
15. (4 分)解不等式组:
16. (5 分)化简:
17. (5 分) 已知直角三角形 是一个机器的零件,现在需要用一块圆形钢板与它组合, 要求圆形钢板刚好覆盖住三角形零件, 请用尺规作出该圆形钢板.
18. (5 分)如图，在四边形 中， ， 为对角线 上一点， ，且 .
求证:
19. (5 分)如图，有四张背面完全相同的卡片，将他们正面朝下洗匀后放在桌面上
(1)从 4 张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为 3 的倍数的概率是_____；
(2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下:小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的 3 张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于 11 小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由.
20. (5 分)某社区开展 “书香社区” 公益活动，计划为居民阅览室采购 A 型书签、B 型书签两种阅读小工具。 若每个 B 型书签 20 元，每个 A 型书签的费用是 B 型书签的 2 倍，社区决定购买 A 型书签和 B 型书签共 80 个，总费用不超过 2180 元，那么最多可以购买多少个 A 型书签？
21.(6 分)2026 年 1 月 1 日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示 、 、 、 四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内， 在 的正东方向， 在 的正北方向， 在 的北偏东 方向且在 的北偏西 方向，小明以 的速度从 打卡点沿 方向步行至 打卡点用了 ，求 打卡点与 打卡点之间的距离. (结果保留整数. 参考数据: , tan48° )
22.(6 分)肉夹馍香飘三秦，腊汁醇厚味悠长。陕西腊汁肉夹馍是享誉全国的特色美食，某腊汁肉夹馍小店根据往期销售经验每个肉夹馍的售价 x(元)与销售量为 y(个)成一次函数关系，售价与销售量之间的对应关系如下表:
每个售价(元) 12 11 10 9 8 ... ...
每天销售量(个) 60 75 90 105 120 ... ...
(1)求 与 的函数关系式;
(2)如果周日的销售量是 165 个，那么这天每个肉夹馍的售价是多少元
23. (6 分)为丰富同学们的校园生活，检验日常学习成果，某校在学期中开展了学科素养达标测试。测试结束后，
教务处从全校学生的测试成绩(单位:分，满分 100 分，均不低于 60 分)中用分层抽样的方法随机抽取部分成绩, 并进行整理, 绘制了如下统计图。
其中 D 组共有 10 个成绩, 从高到低分别为: 89, 88, 86, 85, 85, 85, 84, 83, 81, 80. 根据以上信息, 解答下列问题:
(1)D 组 10 个成绩的平均数为_____；众数为_____。
(2)本次被抽取的所有成绩的个数为_____，扇形统计图中，B 组对应扇形的圆心角为_____。
(3)若测试成绩不低于 80 分为优秀，估计该校 3000 名学生中成绩优秀的人数是多少？
24. (8 分)如图， 内接于 ①0，点 在线段 BC 的延长线上，连接 ，AB=AD 且 BD=BC+AC，AE⊥BC 于点 E.
(1)求证: 是 的切线；
(2)当 时，求 的长.
25. (10分)如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线 的抛物线与直线 的图象交于 两点，其中抛物线与 轴交于点 ，已知 .
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点 M 为抛物线第四象限部分上的一点，点 是坐标平面内一点(点 与点 不重合),过点 作 轴交直线 于点 ,求出当线段 的长度最大时,使以 、 为顶点的三角形与 全等的 点的坐标；
26. (12分)问题探究:
(1)如图①，在 Rt 中， ，过点 作直线 ，再分别过点 、 作 于 ， 于 . 则图中的相似三角形是_____；
(2)如图②，在矩形 中， =6, =8，点 是 :边上的动点，连接 ，过点 作 交 于点 ，在点 的运动过程中，求 的最大值
(3)问题解决:如图③，某科创园区正在搭建一个沉浸式户外投影秀场，场地为一块五边形的数字艺术画布，经测绘，AE=AB=30米，BC=40米，CD=12米，tan∠QBC= 。为了实现动态光影效果，技术人员在画布的AB、BC 边设置了可移动激光点 沿 虚拟折叠后，点 的虚拟投影点 恰好落在预设光路 上，延长 交 于 。为了让核心投影区域(四边形 AMPF)的视觉效果最佳，需要其面积最大。求此时折痕 MN 的长度。
图①
图②
图③
2026 年铁一滨河模拟一答案
一. 选择题(每小题 3 分，计 24 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C C A C D B
二、填空题(每小题 3 分，计 15 分)
9. 10. 11. -9 12. 13.72
三、解答题
14. (4 分)
解: 原式 . (每个化简 1 分)累计 3 分 . 累计 4 分
15. (4 分) 解不等式组: .
解: 解不等式①,得: , (解对 1 个不等式 1 分)1 分
解不等式②，得: ， (两个都对得 3 分) 累计 3 分
原不等式组的解集为 . (结论得 1 分)累计 4 分
16. (5 分) 化简: ).
解: 原式
(通分 1 分, 除变成乘 1 分, 分解因式 1 分, 去括号 1 分, 结论 1 分)
17. (5 分)作 的外接圆
18. (5 分)证明:
,
又 (每个全等条件 1 分, 共 3 分)
累计 4 分
. 累计 5 分
19.(5分)(1) .1 分
(2)游戏不公平, 理由如下: (判断公平性 1 分)累计 2 分
列表如下:
和小明 小亮 3 6 8 10
3 9 11 13
6 9 14 16
8 11 12 18
10 13 16 18
(表格或树状图完整 2 分)累计 4 分
共有 12 种等可能的结果, 其中和大于 11 的有 8 种, 小明获胜的情况有 8 种,
,
,
这个游戏不公平.
20.(6 分)解:设购买 A 型书签 x 个，则购买 B 型书签 (80-x) 个 1 分
(不等式列对 3 分) 累计 4 分
解得: (解不等式 1 分) 累计 5 分
答: 最多可以购买 29 个 A 型书签 (答语 1 分) 累计 6 分
21.(6 分)
过点 作 于点 ,过点 作 于点
四边形 CHEB 是矩形
在 Rt 中,
CH=CDsin58° (2 分 .2 分
.4 分
CH=BE=2.38
在 Rt 中，
AE=DEtan48° (2 分)
(1 分) .5 分
答: 求 打卡点与 打卡点之间的距离为 (1 分) .6 分
22. ( 6 分)( 1 )设 与 之间的函数表达式为 ，( 1 分当 时， ；当 时， ； 1 分
,
(1 分)
(1 分)
.2 分
与 的函数关系式为
3 分
(2)当 时， .5 分
答: 这天每个肉夹馍的售价为 5 元 .6 分
23. ( 6 分 )( 1 )84.6 分，85 分
(每空 1 分) 2 分
(2)50，108° .4 分
(3)3000×(24%+30%)=1620 人 .5 分
答: 该校 3000 名学生中成绩优秀的人数是 1620 人 .6 分
24.(8 分)(1)连接 AO 并延长交圆O 于点 G，连接 CG(1 分)
又
(1 分)
是圆 的直径
即:
且 是直径 (1 分)
是圆 的切线. (1 分)
(2)
在 Rt 中, (1 分)
则
设 ,则
在 RT 中, 即
解得: ,即
(1 分) (本问 4 分) 累计 8 分
25. (10分)(1) 将 代入
,令 得,
设抛物线 所对应的函数解析式为
将 代入得
抛物线所对应的函数解析式为 (1 分)
(2)设 则
当 时 有最大值,
轴且
要使 与 全等，
,点 在 轴上,
当 时, 或 (3 个答案每个 1 分)
综上所述, 或 , (1 分)
26. (12分)(1)(1分)△AMC/(2)CNB 1 分
(3)(5 分)设
四边形 为矩形
又
,
(2 分)
,即
(2 分)
, 抛物线开口向下
又 且 在此范围内, 当 时, 有最大值
CF 的最大值为
(3)(6 分)延长 交于点 ,连接 作 于点
三点共线 (1 分)
由折叠可得， ，
由(1)得
设 ,则 (1 分)
(1 分)
易证
是等腰三角形, 是等腰三角形
四边形 的面积 抛物线开口向下
且 在此范围内， 当 时，四边形面积有最大值(1 分)
(本问 6 分)累计 12 分

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