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浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷
一．选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（3分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图所示，该几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）在直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣1，则顶点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
4．（3分）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角∠BAC＝36°，自动扶梯的长度AB＝15 米．则该自动扶梯的高度BC等于（　　）
A．15sin36°米 B．米
C．15tan36°米 D．米
5．（3分）目前，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力．某城市博物馆今年10月份接待游客10万人，12月份接待游客增加到14.4万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，则根据题意可列方程（　　）
A．14.4（1﹣x）2＝10 B．10（1+2x）＝14.4
C．14.4（1+x）2＝10 D．10（1+x）2＝14.4
6．（3分）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长AB）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离CD）为2米，则该拱门模型的半径为（　　）
A．米 B．4米 C．米 D．5米
7．（3分）如图，点A，点B，点C在⊙O上，连接AB，BC，OC，连接AO并延长交CB于点D．若AO＝CD，∠AOC＝105°，则∠A＝（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．35°
8．（3分）若A（m，y1），B（m﹣2，y2）是函数y＝﹣（x﹣1）2+3图象上的两点，且1≤m＜2，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
9．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．若BD＝4，AD＝CD＝5，则AB＝（　　）
A．5 B．4 C．6 D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3），B（1，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上．若点C（n，0）是该函数图象与x轴的一个交点，且2＜n＜4，则a可能是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）cos60°＝　 　 ．
12．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在0.2左右，则可估计袋子里红球约有　 　 个．
13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若△ADE与四边形DBCE的面积之比是，则　 　 ．
14．（3分）将一个无底圆锥母线长为2，展开得到面积为2π的扇形，则圆锥的高为　 　 ．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0），当x＞m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　 ．
16．（3分）如图，将菱形ABCD（60°＜∠B＜90°）绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，使得点E落在边BC上，CD与EF相交于点H．设，则cosB＝　 　 （用含a的代数式表示）．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，△ABC的顶点都在网格点上，点B的坐标为（﹣2，1）．
（1）以点O为位似中心，把△ABC按1：2放大，请在y轴的左侧，画出放大后的△DEF．
（2）点B的对应点E的坐标是 　 　 ，点C的对应点F的坐标是 　 　 ．
18．（8分）一个不透明的盒子中装有4个白球、2个黄球、1个红球，这些球除颜色外无其他区别，方方从盒子中随机摸出1个球．
（1）求方方摸到红球的概率．
（2）在盒子中再放入n个除颜色外都相同的红球，若方方从盒子中随机摸出1个球，摸到黄球的概率为，求n的值．
（3）在（2）的条件下，方方和圆圆利用这个盒子做游戏，规则如下：方方从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则方方获胜；若摸到白球或黄球，则圆圆获胜．请判断这个游戏是否公平，请说明理由．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，且．
（1）求证：∠ADB＝∠C．
（2）若AD∥BC，AD＝4，CD＝6，求BC的长．
20．（8分）如图，一块直角三角形铁皮ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4．现要从这块铁皮上剪出一个矩形CDEF，且满足点D，E，F分别在BC，AB，AC上．
（1）设EF＝x，请用含x的代数式表示矩形CDEF的面积S．
（2）当剪出的矩形CDEF面积最大时，求EF的长以及矩形面积．
21．（8分）如图1是一款可折叠学习台灯，图2是其截面结构示意图，已知底座AB放置在水平桌面上，支架CD＝10厘米，支架CD⊥底座AB，灯杆DE＝40厘米，灯管EF＝40厘米，灯杆DE可绕点D旋转，灯管EF可绕点E旋转（参考数据：，．
（1）当∠DEF＝90°，∠EDC＝150°，求点F到桌面的距离（结果精确到0.1厘米）．
（2）当灯杆DE绕点D旋转时，保持∠DEF＝90°，求点F到桌面的最大距离和此时∠EDC的度数．
22．（10分）如图1，用尺规作图画过圆上一点画圆的切线时，小明有以下作法：如图2，①连接OA，以点A为圆心，OA为半径画弧交⊙O于点B；②作射线OB，以点B为圆心，OB为半径画弧，交射线OB于点C；③连接AC，直线AC就是⊙O的切线．
（1）请判断小明的作法是否正确？并说明理由．
（2）在图2上，点D在⊙O上，⊙O的半径为4，弧AD的度数为150°，连接AD，BD，且满足AD＝BD．
①请在图2上标出点D的大致位置，连接AD，BD．
②直接写出△ABD的面积．
23．（10分）若抛物线y＝ax2+bx+c（a是常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求a与b之间的关系式．
（2）若将此抛物线向上平移1个单位长度，该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围．
（3）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x2＞x1≥1．当对于任意的x1，x2满足x2﹣x1＝1时，都有y2﹣y1≥4．求证：a≥4．
24．（12分）如图，△ABC是圆内接三角形，且AB是圆的直径，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，交AB于点E，过点E作FG⊥OE交AC，BD于点F，点G．
（1）求证：△AEF∽△ACB．
（2）若△AED的面积为15，CF＝4，求AF．
（3）求证：EF＝EG．
浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D A D A B A C B
一．选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（3分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴11，
故选：B．
2．（3分）如图所示，该几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：该几何体为三棱柱，它的主视图是由1个矩形，中间的轮廓线用虚线表示．
故选：D．
3．（3分）在直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣1，则顶点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．
故选：D．
4．（3分）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角∠BAC＝36°，自动扶梯的长度AB＝15 米．则该自动扶梯的高度BC等于（　　）
A．15sin36°米 B．米
C．15tan36°米 D．米
【解答】解：由题意得：BC⊥AC，
在Rt△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝15米，
∴BC＝AB sin36°＝15sin36°（米），
∴该自动扶梯的高度BC等于15sin36°米，
故选：A．
5．（3分）目前，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力．某城市博物馆今年10月份接待游客10万人，12月份接待游客增加到14.4万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，则根据题意可列方程（　　）
A．14.4（1﹣x）2＝10 B．10（1+2x）＝14.4
C．14.4（1+x）2＝10 D．10（1+x）2＝14.4
【解答】解：根据题意得：10（1+x）2＝14.4．
故选：D．
6．（3分）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长AB）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离CD）为2米，则该拱门模型的半径为（　　）
A．米 B．4米 C．米 D．5米
【解答】解：如图，设圆心为O，则C，D，O共线，OC⊥AB，连接OA，设OA＝OC＝r米．
∵AD＝DBAB＝3米，CD＝2米，
在Rt△ADO中，则有r2＝32+（r﹣2）2，
∴r．
故选：A．
7．（3分）如图，点A，点B，点C在⊙O上，连接AB，BC，OC，连接AO并延长交CB于点D．若AO＝CD，∠AOC＝105°，则∠A＝（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．35°
【解答】解：∵点A，点B，点C在⊙O上，∠AOC＝105°，
∴AO＝CO，∠B∠AOC＝52.5°，
∵连接AO并延长交CB于点D，AO＝CD，
∴CO＝CD，
∴∠ADC＝∠DOC＝180°﹣∠AOC＝75°，
∵∠ADC＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ADC﹣∠B＝22.5°，
故选：B．
8．（3分）若A（m，y1），B（m﹣2，y2）是函数y＝﹣（x﹣1）2+3图象上的两点，且1≤m＜2，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
【解答】解：∵，，
∴y1﹣y2
＝[﹣（m﹣1）2+2026]﹣[﹣（m﹣3）2+2026]
＝（m﹣3）2﹣（m﹣1）2
＝（﹣2）×（2m﹣4）
＝﹣4m+8，
∵1≤m＜2，
∴﹣4m+8＞0，
即y1＞y2．
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．若BD＝4，AD＝CD＝5，则AB＝（　　）
A．5 B．4 C．6 D．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝CD＝5，
∴∠C＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠ABD＝∠ABC，
∴△BAD∽△BCA，
∴AB：BC＝BD：AB，
∵BC＝BD+CD＝4+5＝9，
∴AB：9＝4：AB，
∴AB2＝36，
∴AB＝6（舍去负值）．
故选：C．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3），B（1，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上．若点C（n，0）是该函数图象与x轴的一个交点，且2＜n＜4，则a可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵点A（﹣2，3），B（1，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
∴，
消去c得3a﹣3b＝6，即a﹣b＝2，
∴b＝a﹣2，
把b＝a﹣2代入a+b+c＝﹣3得a+（a﹣2）+c＝﹣3，
∴2a+c＝﹣1，
∴c＝﹣2a﹣1，
∴二次函数可表示为：y＝ax2+（a﹣2）x﹣2a﹣1，
∵点C（n，0）是函数与x轴的交点，且2＜n＜4，即当x＝n时 y＝0，且n在区间 （2，4）内，
当x＝2时，y2＝4a+2（a﹣2）﹣2a﹣1＝4a+2a﹣4﹣2a﹣1＝4a﹣5，
当x＝4时，y4＝16a+4（a﹣2）﹣2a﹣1＝16a+4a﹣8﹣2a﹣1＝18a﹣9，
∵2＜n＜4时函数穿过x轴，
∴y2和y4异号，即y2 y4＜0，
∴（4a﹣5）（18a﹣9）＜0，
∴或，
解得a，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）cos60°＝　　 ．
【解答】解：cos60°．
故答案为：．
12．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在0.2左右，则可估计袋子里红球约有　8　 个．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，
∴红球个数约为：0.2×40＝8（个），
故答案为：8．
13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若△ADE与四边形DBCE的面积之比是，则　1　 ．
【解答】解：∵△ADE与四边形DBCE的面积之比是，
∴△ADE与四边形DBCE△ABC的面积之比是，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽ABC，
∴，
∴AD＝DB，
∴1．
故答案为：1．
14．（3分）将一个无底圆锥母线长为2，展开得到面积为2π的扇形，则圆锥的高为　　 ．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，
则π r 2＝2π，
解得r＝1，
令圆锥的高为h，
则h．
故答案为：．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0），当x＞m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≥1　 ．
【解答】解：由题知，
因为二次函数解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3（a为实数，a≠0），
所以抛物线的对称轴为直线x．
又因为当x＞m时，y随x的增大而增大，
所以抛物线的开口一定向上，即a＞0，
所以m≥1．
故答案为：m≥1．
16．（3分）如图，将菱形ABCD（60°＜∠B＜90°）绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，使得点E落在边BC上，CD与EF相交于点H．设，则cosB＝　a （用含a的代数式表示）．
【解答】解：分别延长AD、EF交于点M，作AN⊥BE于N．
设菱形ABCD的边长为x，
∴AD∥BC．
由旋转的性质，
∴AB＝AE＝AD＝AE＝FG＝x，AG∥EF．
∵∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝∠GAD+∠DAE，
∴∠BAE＝∠GAD．
∴△BAE≌△GAD（SAS）．
∴BE＝GD．
∵AD∥BC，
∴a．
设DM＝m，
∴EC＝aDM＝ma．
∴GD＝BE＝BC＝EC＝x﹣ma．
∴DF＝FG﹣GD＝x﹣x+ma＝ma．
∵AG＝AD，
∴∠G＝∠ADG．
∵AG∥EF，
∴∠G＝∠DFM＝∠ADG．
∵∠ADG＝∠MDF，
∴∠DFM＝∠MDF．
∴MD＝MF＝ma．
∵AG∥EF，
∴．
∴．
∴x﹣ma＝xa．
∴BE＝x﹣ma＝xa．
∵AB＝AE，AN⊥BE，
∴BNBExa．
∴COSBa．
故答案为：a．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，△ABC的顶点都在网格点上，点B的坐标为（﹣2，1）．
（1）以点O为位似中心，把△ABC按1：2放大，请在y轴的左侧，画出放大后的△DEF．
（2）点B的对应点E的坐标是 　（﹣4，2）　 ，点C的对应点F的坐标是 　（﹣6，8）　 ．
【解答】解：（1）如图，△DEF为所作；
（2）E（﹣4，2），F（﹣6，8）．
故答案为：（﹣4，2），（﹣6，8）．
18．（8分）一个不透明的盒子中装有4个白球、2个黄球、1个红球，这些球除颜色外无其他区别，方方从盒子中随机摸出1个球．
（1）求方方摸到红球的概率．
（2）在盒子中再放入n个除颜色外都相同的红球，若方方从盒子中随机摸出1个球，摸到黄球的概率为，求n的值．
（3）在（2）的条件下，方方和圆圆利用这个盒子做游戏，规则如下：方方从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则方方获胜；若摸到白球或黄球，则圆圆获胜．请判断这个游戏是否公平，请说明理由．
【解答】解：（1）方方摸到红球的概率为；
（2）根据题意得，，
解得：n＝3，
经检验，x＝3是方程的根，
答：放入了3个红球；
（3）这个游戏对双方不公平．
理由：因为盒子中装有4个白球、2个黄球和4个红球，
所以方方获胜的概率是，圆圆获胜的概率是，
所以这个游戏对双方不公平．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，且．
（1）求证：∠ADB＝∠C．
（2）若AD∥BC，AD＝4，CD＝6，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵，∠ABD＝∠DBC，
∴△ABD∽△DBC，
∴∠ADB＝∠C．
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
由（1）得△ABD∽△DBC，∠ADB＝∠C，
∴∠DBC＝∠C，
∵AD＝4，CD＝6，
∴BD＝CD＝6，
∴，
∴BCBD6＝9，
∴BC的长为9．
20．（8分）如图，一块直角三角形铁皮ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4．现要从这块铁皮上剪出一个矩形CDEF，且满足点D，E，F分别在BC，AB，AC上．
（1）设EF＝x，请用含x的代数式表示矩形CDEF的面积S．
（2）当剪出的矩形CDEF面积最大时，求EF的长以及矩形面积．
【解答】解：（1）∵四边形CDEF是矩形，
∴∠CFE＝90°，DE＝CF，则∠AFE＝90°，
∵∠A＝30°，EF＝x，
∴AE＝2x，AFx，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，AC4，
∴CF＝DE＝4x．
∴矩形CDEF的面积S＝EF CF＝x （4x）x2+4x；
（2）∵矩形CDEF的面积S＝EF CFx2+4x（x﹣2）2；
答：当EF＝2，矩形CDEF的面积最大，矩形CDEF的最大面积是4．
21．（8分）如图1是一款可折叠学习台灯，图2是其截面结构示意图，已知底座AB放置在水平桌面上，支架CD＝10厘米，支架CD⊥底座AB，灯杆DE＝40厘米，灯管EF＝40厘米，灯杆DE可绕点D旋转，灯管EF可绕点E旋转（参考数据：，．
（1）当∠DEF＝90°，∠EDC＝150°，求点F到桌面的距离（结果精确到0.1厘米）．
（2）当灯杆DE绕点D旋转时，保持∠DEF＝90°，求点F到桌面的最大距离和此时∠EDC的度数．
【解答】解：（1）延长FE交AB于点G，过点F作FM⊥AB，M为垂足，D过NH⊥CD，与FM，FM交于点N，H，
∵支架CD⊥底座AB，CD＝10厘米，灯杆DE＝40厘米，灯管EF＝40厘米，∠DEF＝90°，∠EDC＝150°，
∴∠FNH＝∠MNH＝∠CDN＝∠MCD＝∠DEH＝90°，
∴四边形MNDC是矩形，
∴MN＝CD＝10cm，
∴∠EDH＝150°﹣90°＝60°，
∴∠EHD＝30°，
∴EH＝80cm，
∴FH＝80+40＝120cm，
∴FN＝120÷2＝60cm，
∴FM＝60+10＝70cm，
∴点F到桌面的距离是70cm；
（2）连接FD，
当F，D，C三点共线时，点F到桌面的距离最大＝FD+CD，
∵DE＝EF＝40cm，∠DEF＝90°，
∴∠FDE＝45°，根据勾股定理得DF＝40cm，
∴当F，D，C三点共线时，∠FDC＝180°，此时∠EDC＝150°﹣15°＝135°，
故点F到桌面的最大距离是（4010）cm，此时∠EDC的度数135°．
22．（10分）如图1，用尺规作图画过圆上一点画圆的切线时，小明有以下作法：如图2，①连接OA，以点A为圆心，OA为半径画弧交⊙O于点B；②作射线OB，以点B为圆心，OB为半径画弧，交射线OB于点C；③连接AC，直线AC就是⊙O的切线．
（1）请判断小明的作法是否正确？并说明理由．
（2）在图2上，点D在⊙O上，⊙O的半径为4，弧AD的度数为150°，连接AD，BD，且满足AD＝BD．
①请在图2上标出点D的大致位置，连接AD，BD．
②直接写出△ABD的面积．
【解答】解：（1）正确，理由：连接BA．
由作法可知BO＝BA＝BC＝OAOC．
∴点A在以OB为半的圆上，
∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴直线CA与⊙O相切；
（2）如图，∵弧AD的度数为150°，
∴∠AOD＝150°，
∵AD＝BD，
∴，
∴∠BOD＝150°，
∴∠AOC＝360°﹣150°﹣150°＝60°，
延长DO交AB于H，
∵AD＝BD，OB＝OA，
∴DH⊥AB，
∴∠AOH∠AOB＝30°，
∵OA＝OD＝4，
∴OH＝2，
∴DH＝4+2，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝4，
∴△ABD的面积AB DH4×（4+2）＝8+4．
23．（10分）若抛物线y＝ax2+bx+c（a是常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求a与b之间的关系式．
（2）若将此抛物线向上平移1个单位长度，该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围．
（3）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x2＞x1≥1．当对于任意的x1，x2满足x2﹣x1＝1时，都有y2﹣y1≥4．求证：a≥4．
【解答】解：（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a是常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴为直线x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a；
（2）解：∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
将（﹣1，0）代入得a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax﹣3a，
将此抛物线向上平移1个单位长度可得y＝ax2﹣2ax﹣3a+1，
∵抛物线与x轴无交点，
∴Δ＝4a2﹣4a（﹣3a+1）＝16a2﹣4a＝4a（4a﹣1）＜0，
∴或，
∴0＜a；
（3）证明：∵x2﹣x1＝1，
∴x2＝x1+1．
∴，y2＝a（2a（x1+1）﹣3a，
∴y2﹣y1＝a（x1+1）2﹣2a（x1+1）﹣3a2ax1﹣a≥4，
∴a（2x1﹣1）≥4．
∵x1≥1，
∴2x1﹣1≥1＞0，
∴，
∵2x1﹣1≥1，
∴则1，
∴，
∴a≥4．
24．（12分）如图，△ABC是圆内接三角形，且AB是圆的直径，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，交AB于点E，过点E作FG⊥OE交AC，BD于点F，点G．
（1）求证：△AEF∽△ACB．
（2）若△AED的面积为15，CF＝4，求AF．
（3）求证：EF＝EG．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵FG⊥OE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝∠ACB，
∵∠FAE＝∠BAC，
∴△AEF∽△ACB；
（2）解：连接OD，
∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠DCB∠ACB＝45°，
∴∠BAD＝∠DCB＝45°，
∵AO＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵△AED的面积为15，
∴AE OD＝15，
∴AE OD＝30，
∴AE AB＝30，
∴AE AB＝60，
∵△AEF∽△ACB，
∴，
∴AF AC＝AB AE＝60，
∵CF＝4，
∴AF （AF+4）＝60，
∴AF＝6（负值舍去）；
（3）证明：连接AG，
∵△AEF∽△ACB，
∴∠AFE＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠AFC＝∠ADC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADG＝∠AEG＝90°，
∴点A，E，G，D四点共圆，
∴∠ADC＝∠AGF，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，
∵FG⊥AB，
∴EF＝EG．
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