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2025-2026学年福建省厦门市双十中学思明分校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.一元二次方程的解是( )
A. B.
C. ， D. ，
3.将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( )
A. B.
C. D.
4.用配方法解方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是( )
A. B.
C. D.
6.若关于x的方程没有实数根，则m的值可以为( )
A. B. C. 0 D. 1
7.根据下列表格中的二次函数、b、c为常数的自变量x与函数y的对应值，判断的一个解x的取值范围为( )
x
A. B. C. D.
8.鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线.若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 …
关于此函数下列说法不正确的是( )
A. 函数图象开口向下
B. 当时，该函数有最大值
C. 当时，
D. 若在函数图象上有两点，，则
9.已知关于x的方程均为常数，且的两个根分别是，，则关于x的方程的两个根分别是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为单位：，为单位：如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点.下列选项正确的是( )
A. B.
C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.方程的解为： .
12.抛物线的开口______，顶点坐标为______.
13.已知一元二次方程有一根为1，则k的值为______.
14.我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度单位：与水平距离单位：之间的函数关系式为，则巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是 .
15.☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根.
利用以上方法解关于x的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则m的值为 .
16.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，若，，且AB的长为kt，其中，k的值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解下列方程：
；
18.本小题8分
已知二次函数顶点坐标为，且抛物线过点
求二次函数解析式；
在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
当时，y的取值范围为______.
19.本小题8分
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
求m的取值范围.
当时，求另一个根的值.
20.本小题8分
随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，山东省2022年公共充电桩的数量约为5万个，2024年公共充电桩的数量多达万个，位居全国首位.
求山东省2022年至2024年公共充电桩数量的年平均增长率；
按照这样的增长速度，预计山东省2025年公共充电桩数量能否超过30万个？为什么？
21.本小题8分
如图抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为点
求此抛物线的解析式；
求四边形AOBD的面积.
22.本小题10分
在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.
同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请求出小芳方案中的花园四周小路正确的宽度.
你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.
23.本小题10分
某网店3月份经营一种热销商品，每件成本20元，发现三周内售价在持续提升，销售单价元/件与时间天之间的函数关系为其中，t为整数，且其日销售量件与时间天的关系如下表
时间天 1 5 9 13 17 21
日销售量件 118 110 102 94 86 78
已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出件与时间天函数关系式；
在这三周的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
在实际销售的21天中，该网店每销售一件商品就捐赠a元利润给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间天的增大而增大，求a的取值范围.
24.本小题13分
我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”.
关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”.
①当时，该幸运方程的“幸运数”是______；
②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______.
若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”；
若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值.
25.本小题13分
如图，已知二次函数与x轴交于，两点，与y轴交于点
①求二次函数的解析式；
②当时，函数的最大值为，最小值为4，求出m的取值范围；
③把线段AE沿射线ED方向平移，平移后的线段记为，在对称轴左侧，若点N落在对称轴上，且等腰直角三角形，求N点坐标.
参考答案
一、选择题
1.B
2.C
3.A
4.D
5.B
6.D
7.C
8.D
9.D
10.D
二、填空题
11.
12.向上
13.6
14.20m
15.
16.2
三、解答题
17.解：，
，
或，
，；
，
，，，
，
，
，
18.解：二次函数的图象的顶点坐标为
设二次函数的解析式为，
把代入得，，
解得，
这个函数的解析式为；
函数的图象如图：
；
当时，，
当时，，
当时，，
由图象可以看出：
y的取值范围为：，
故答案为：
19.解：由题意得：，
解得：；
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
，
，
，
另一个根的值是
20.解：设山东省2022年至2024年公共充电桩数量的年平均增长率为x，
，
，舍去，
答：年平均增长率为；
该省2025年公共充电桩数量
答：不会超过30万个．
21.解：，令，则，令，则，
故点A、B的坐标分别为：、，
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
对于，
则顶点D的坐标为，
过点D作轴交AB于点H，
当时，，即点，
则，
则四边形AOBD的面积
22.解：小芳的方案不符合条件，小芳方案中的花园四周小路正确的宽度为2米．理由：
设小芳方案中的花园四周小路的宽度为x米，由题意得：
，
，
或不合题意，舍去，
小芳方案中的花园四周小路正确的宽度为2米．
花园的设计的草图如下：
说明：取边长为16m的一边的中点为三角形的一个顶点，对边的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积为矩形的面积的一半．
23.解：设件与时间天函数关系式是，
，得，
即件与时间天函数关系式是；
设日销售利润为w元，
，
当时，w取得最大值，此时，
答：第10天的销售利润最大，最大利润是1250元；
设捐赠后的每日的销售利润为元，
，
的对称轴是，
这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间天的增大而增大，
，
解得，，
又，
，
即a的取值范围是
24.解：①当时，代入得，，
，即，
故答案为：；
②依题意，，
整理得，，
解得，，
故答案为：或3；
，
，
，
，
是“幸运方程”，
是完全平方数，
即是完全平方数，
或49或64，
解得或9或，
为整数，
，
当时，方程化为，
，
方程的“幸运数”为；
是“幸运方程”，
的两个根为整数，
设方程的两个根分别为p，q，
，，
，
，
，
，q为整数，，
当，时，则，，此时，
当，时，则，，此时，
当，时，则，，此时，
当，时，则，，此时，
综上所述，m的值为5或，
方程的“幸运数”为，
当时，，
当时，，
，
方程的“幸运数”为，
与互为“开心数”，
，即，
当时，方程为：，
解得：或舍去，不是整数，
当时，方程为：，
解得：，
综上所述，或
25.解：①设二次函数解析式为，
将代入得，，
解得，
二次函数的解析式为；
②，
顶点坐标为，
当时，，
当时，，
由抛物线对称性可知，关于对称轴对称点为，
当时，依然满足，
又当时，y的最大值为，最小值为4，
；
③由，可得直线DE的解析式为；
设，
第一种情况：，
如图，过作轴，分别过和N作MQ的垂线，垂足为M和Q，
由平移可知≌，
，，，
≌，
≌≌，
，，
，
，
，
，
，
，
第二种情况：，
同理可得≌≌，
，，
，
，
，
，
；
第三种情况：，
由平移得≌，
，，
同理可得≌，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
综上，点N的坐标为或或

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