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中考数学总复习第1期：数与式
重点知识链接
知识点1 实数的分类
按定义分 1. 有理数：分为整数和分数.分数也包含有限小数和无限循环小数； 2. 无理数：无限不循环小数
按大小分 分为正实数、0、负实数，其中0既不是正数也不是负数
正负数的意义 常用正负数表示两种具有相反意义的量，如规定零上为“＋”，则零下为“－”
知识点2 实数的相关概念
数轴 1.数轴的表示方法及三要素： 2.性质：实数与数轴上的点是一一对应的
绝对值 1. 绝对值具有非负性 2.几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离.
相反数 1.概念：只有符号不同的两个数互为相反数； 2.性质：（1）非零实数a的相反数是－a.特别地，0的相反数是0； （2）实数a，b互为相反数 a＋b＝0 3.几何意义：在数轴上，表示互为相反数(0除外)的两个点，分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等
倒数 乘积是1的两个数互为倒数.特别地，0没有倒数，倒数等于它本身的数是±1
科学记 数法 把一个数表示成a×10n的形式(1≤| a |＜10，n为整数)
知识点3 实数的运算
1.平方根、算术平方根、立方根
平方根 实数a(a＞0)的平方根为，其中为算术平方根.0的平方根为0
算术平 方根
立方根 实数a的立方根为
2.实数的混合运算
0次幂 a0＝1(a≠0)
负整数 指数幂 a-p＝(a≠0，p为正整数)；特别地，a-1＝(a≠0)
去绝对 值符号 先比较绝对值符号中两个数的大小，再利用绝对值的非负性去掉绝对值符号
-1的奇 偶次幂 －1的奇数次幂为－1，如(－1)2025＝－1； －1的偶数次幂为1，如(－1)2024＝1
特殊角 的三角 函数值 sin 30°＝cos 60°＝；sin 45°＝cos 45°＝； sin 60°＝cos 30°＝； tan 30°＝；tan 45°＝1；tan 60°＝
常见的 开方 ， ， ， ，，， ， ， ， ，
乘方
知识点4 二次根式
相关 概念 1. 有意义的条件： 被开方数大于或等于零； 2. 最简二次根式满足的两个条件： (1)被开方数中不含分母(即分母中不含根号)； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
性质 1. 双重非负性：≥0且a≥0； 2. ()2＝a(a≥0)； 3. ＝； 4. ＝(a≥0，b≥0)； 5. (a≥0，b＞0)
运算 加减 先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
乘 =(a≥0，b≥0)
除 (a≥0，b＞0)
分母有理化 (a＞0)； (a≥0，b≥0，且a≠b)
知识点5 实数的大小比较
数轴法 1.数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大； 2.离原点越远的数，绝对值越大
类别法 1.正数＞0＞负数； 2.两个负数比较大小，绝对值大的反而小
作差法 a－b＞0 a＞b； a－b＜0 a＜b； a－b＝0 a＝b
作商法 当a>0，b>0时， a＞b； a＜b； a＝b
平方法 ＞b＞0 a＞b2(b＞0)
知识点6 代数式及整式
代数式 用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子
整式的相关概念 单项式 1. 定义：用数或字母的积表示的式子.单独的一个数或一个字母也是单项式； 2. 系数：单项式中的数字因数； 3. 次数：一个单项式中，所有字母指数的和
多项式 1. 定义：几个单项式的和； 2. 项：多项式中的每个单项式；不含字母的项叫做常数项； 3. 次数：多项式中次数最高项的次数
整式 单项式和多项式统称为整式
整式加减运算 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；所有的常数项都是同类项
合并同类项 1. 字母和字母的指数不变； 2. 系数相加减作为新的系数
去括号法则 1. 括号前是“＋”号，去括号后，括号内各项不变号，a＋(b＋c)＝a+b+c； 2. 括号前是“－”号，去括号后，括号内每一项都变号，a－(b－c)＝ a - b + c 口诀：“＋”不变，“－”全变
幂的运算(a≠0， b≠0， m，n 为正 整数) 同底数 幂相乘 底数不变，指数相加，即am·an＝am+n
同底数 幂相除 底数不变，指数相减，即am÷an＝am-n
幂的 乘方 底数不变，指数相乘，即(am)n＝amn
积的 乘方 先把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n＝anbn
整式的乘法 单项式乘单项式 把系数、同底数幂分别相乘，作为积的一个因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式 乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc
多项式 乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma + mb + na + nb
乘法 公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
整式的除法 单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
知识点7 因式分解
定义 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式
基本方法 1. 提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a+b+c)； 2. 公式法：
知识点8 分式
相关 概念 1. 定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且B≠0，那么式子叫做分式； 2. 分式有意义的条件：分母不为0； 3. 分式值为零的条件：分子为零且分母不为零； 4. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式
基本 性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变，即(用于通分)＝(用于约分)，其中A，B，C是整式，且C≠0
分式的运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即＝
除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即=
加减运算 1.同分母：分母不变，把分子相加减，即； 2.异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减，即
易错点/方法梳理/解题技巧
1.常见的无理数形式
（1）π及化简后含π的数，如2π，π＋1等；
（2）含根号且开方开不尽的数，如，等；
（3）有规律的无限不循环小数，如0.101001…(相邻两个1之间依次多一个0)等；
（4）含有根号的三角函数值，如sin 60°，cos 45°等.
2.科学记数法表示方法
（1）当原数的绝对值≥10时，n为正整数，它等于原数的整数位数减1；
（2）当0＜原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)
3.代数式求值的两种方法
（1）直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按运算顺序计算求值；
（2）整体代入法：当单个字母的值不能或不易求出时，可把已知条件作为一个整体，代入所求代数式中，应用这种方法时先要对已知条件或所求代数式进行变形，如找倍数关系，因式分解，移项等.
4.因式分解易错点
因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式，二者不可混淆.
5.分式化简的一般步骤
（1）有括号的先计算括号内的；
（2）进行乘除运算；
（3）进行加减运算；
（4）代入相应的数字，求代数式的值(代值过程中要注意使分式有意义，即所代值不能使分母为零).
【易错警示】
（1）化简求值类题一定要做到“先”化简，“再”求值；
（2）通分时若有常数项，要记得给常数项乘最简公分母；
（3）含有括号的，要先计算括号里面的分式运算；
（4）分式化简求值时要注意符号的变化，分式的分子要作为一个整体，在添括号或去括号的时候，若括号前为负号，则去括号后括号内每一项都要变号；
（5）注意化简结果应为最简分式或整式；
（6）必须保证所“代”数值使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不为0.
原创题练习
1.(2025山西《黑白卷》)下列运算正确的是(　　)
A.x2·x=2x3 B.7x-4x=3
C.(2x+y)(2x-y)=4x2-y2 D.(x2y)3=x2y3
2.(2025成都《黑白卷》)作为新兴力量，DeepSeek承载着打破国外技术垄断、为中国AI开拓新局的使命，在全球AI竞技场上崭露头角，助力中国迈向AI强国之列.数据显示，随着访问使用量急速上升，在2月1日DeepSeek已经成为目前最快突破3000万日活跃用户量的应用程序.则将数据3000万用科学记数法可以表示为（ ）
A.3×105 B.3×106
C.3×107 D.3×108
3.(2025湖北《黑白卷》)已知a2-2a=1，则2a2-4a-7的值是 .
4.计算
（1）(2025甘肃《黑白卷》)计算：8cos60°＋(π－3.14)0－|－4|＋(－1)2021.
（2）(2025陕西《黑白卷》)先化简，再求值：m(m+n)-(m-n)2，其中m=2，n=-1.
（3）(2025安徽《黑白卷》)先化简，再求值：(1－)÷，其中x＝1.
挑战题
5.(2025重庆《黑白卷》)已知m=(-)×，则实数m的范围是（ ）
A.0＜m＜1 B.1＜m＜2
C.2＜m＜3 D.3＜m＜4
6.(2025福建《黑白卷》)已知：（a-b）2+4（a-2c）（b-2c）=0(c≠0).求证：+=4．
答案解析
1.C【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A x2·x=x3≠2x3 ×
B 7x-4x=3x≠3 ×
C (2x+y)(2x-y)=(2x)2-y2=4x2-y2 √
D (x2y)3=(x2)3·y3=x6y3≠x2y3 ×
2.C【解析】3000万＝30 000 000＝3×107千瓦．
3.-5【解析】∵a2－2a=1，∴2a2－4a－7=2(a2－2a)－7=2×1－7=﹣5.
4.（1）解：原式＝8×＋1－(4－)－1，
＝4＋1－4＋－1，
＝.
（2）解：原式=m2+mn-(m2-2mn+n2)
=m2+mn-m2+2mn-n2
=3mn-n2，
当m=2，n=﹣1时，原式=3×2×(-1)-(-1)2=﹣7.
（3）解：原式＝(－)÷
＝·
＝x＋1，
当x＝1时，原式＝1＋1＝2.
5.C【解析】(-)×=-=10-.∵＜＜，∴7＜＜8，∴-8＜-＜-7，∴2＜10-＜3，∴实数m的范围是2＜m＜3.
6.证明：解法一：将(a-b)2+4(a-2c)(b-2c)=0展开,
得a2+b2-2ab+4ab-8ac-8bc+16c2=0，
合并同类项，得a2+b2+2ab-8ac-8bc+16c2=0，
即(a+b)2-8c(a+b)+16c2=0，
因式分解，得(a+b-4c)2=0，
∴a+b-4c=0，即a+b=4c，
∴+==4.
解法二：令a-2c=x，b-2c=y，则a-b=x-y，
将a-2c=x，b-2c=y，a-b=x-y代入(a-b)2+4(a-2c)(b-2c)=0中，
得(x-y)2+4xy=0，
展开，得x2-2xy+y2+4xy=0，
因式分解，得(x+y)2=0，
∴a-2c+b-2c=0，即a+b-4c=0，
∴a+b=4c，
∴+==4.

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