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8.2《特殊平行四边形——菱形》小节练习题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．如图，在菱形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形的对角相等 D．有一个角是的菱形是正方形
5．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（ ）．
A． B．3 C． D．4
9．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（ ）
A． B． AOB C． D．
10．如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（ ）
A． B．6 C．12 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，要使是菱形，需添加的条件是 ．
12．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．

13．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可）
14．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一、如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则中间小正方形的面积为 ．（用含的代数式表示）
15．如图，在菱形中，，，点是边上一点，连接，延长交的延长线于点，点是的中点，连接、，则的面积为 ．
16．如图，在中，，连接，，延长至E，平分，点P是上一点，连接、，则的面积为 ．
17．如图， 在平行四边形 中，E，F分别为边的中点， 是对角线．下列说法正确的有 ．
①当时，四边形是菱形；②当 时，四边形是菱形；
③当时，四边形是矩形；④当平分时，四边形是矩形．
18．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，是菱形的对角线．
(1)在线段上确定一点F，使得（尺规作图，不写作法，保密作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
20．（8分）如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
21．（10分）如图，四边形是菱形，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若菱形的边长为，，求的长．
22．（10分）如图，是 ABC的角平分线，过点作，交于点，作，交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)已知，，求四边形的面积．
23．（10分）如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，交延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
24．（12分）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，是线段上的一个动点（与点、不重合），过点作直线轴，交直线于点，连接．设动点的横坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)求四边形的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
(4)在线段上存在点，使得四边形是菱形，直接写出此时点的坐标．
参考答案
一、选择题
1．D
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
2．C
解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意；
B、正方形的对角线互相垂直平分，原说法正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
3．C
解：∵四边形是菱形，
∴，，平分和，即，
又∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．A
解：A．菱形的定义是有一组邻边相等的平行四边形，因此仅有一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故A错误，符合题意；
B．矩形的对角线相等且互相平分，故B正确，不符合题意；
C．平行四边形的对角相等，故C正确，不符合题意；
D．有一个角是90°的菱形，由于菱形是平行四边形，且邻角互补，因此所有角都是90°，即为正方形，故D正确，不符合题意．
故选：A．
5．B
形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：．
解：由作图可知：，
四边形是菱形，
．
故选：B．
6．C
解：如图，过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，

根据题意得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
在中，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
即重叠部分图形的面积是．
故选：C．
7．D
解：A、∵，，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
B、过作于，于，如图所示：
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ AOB的面积的面积，
又∵ AOB的面积，的面积，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
C、∵平行四边形中，，
∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
D、∵平行四边形中，，
∴平行四边形是矩形，故选项符合题意；
故选：D．
8．A
解：如图，连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为，
由题意可知，，，
∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条等宽，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
在直角中，．
故选：A．
9．B
解：∵在菱形中，对角线，相交于点O，
∴，，，，
∴ AOB、、、全等，
∴由绕点O旋转得到的是 AOB．
故选：B．
10．A
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又为的中点，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
∵四边形是菱形，
∴，，
在中，由勾股定理得：
∴,
∴；
∴菱形的面积，
故选：A．
二、填空题
11．或
解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
那么可添加的条件是：或．
故答案为∶ 或
12．
解：∵菱形中，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
13．
解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当时，可使平行四边形是菱形
故答案为：（答案不唯一）．
14．
解：依题意，
∵弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，
∴，
∴，
依题意，这个大四边形的四边相等，则是菱形，
∵，
结合有一个角是度的菱形是正方形，即这个大四边形是正方形，
∴大正方形的面积为，四个直角三角形的面积是，
∴中间小正方形的面积为．
故答案为：．
15．
解：连接、、过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵是的中点
∴，，
∴，
故答案为：．
16．60
解：∵中，，
∴是菱形，，
∴平分，
延长至E，则，
∵平分，
∴，
∴，
连接交于点G，则，且平分，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴的高为，
∴，
故答案为60．
17．②③④
解：∵平行四边形，
∴，
∵E，F分别为边的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，不能得到，故不能判定四边形是菱形，即①错误；
当时，则：，
∴四边形是菱形，故②正确；
当时，则：，
∴，
∴四边形是矩形，故③正确；
当平分时，如图，延长，交于点，
，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，故④正确
故答案为：②③④
18．35
解：如图所示，设小矩形的宽为，
∵小矩形的长与宽之比为，
∴小矩形的长为，
由题意可知，三个矩形全等，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵图中阴影部分的周长为22，
∴，
解得，，
∴，，，，
在矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
故答案为：35．
三、解答题
19．
（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于F，点F即为所求；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
∴，
，
又∵，
∴，
∴.
20．
（1）证明：由题意得：，即；
∵，，
∴四边形是平行四边形；
∵；
∴四边形是矩形；
（2）解：由题意得：，
∵，，
∴，
∴四边形的面积；
21．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
∵，
∴，
∵菱形的边长为，即，
∴．
22．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
∵BD平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
（2）解：过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
．
23．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
由勾股定理得：．
24．
（1）解：对于直线，令，则，
，
设直线的解析式为，
把，代入得
，
把代入，得，
解得．
直线的解析式为．
（2）解：中，令，则，
解得，
∴，
∵点的横坐标为，且在直线上，
∴．
∵轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为．
把代入，得，
解得，
．
，
又∵点与点、不重合，，，
∴．
∴；
（3）解：∵，四边形是平行四边形，
∴．
由（）得，，
，
∵，
∴．
解得．
把代入，得，
．
（4）解：令交于点，
设，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点．
∴，
解得．
把代入的坐标，得．
∵垂直平分，
∴，
∴，
．

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