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2026学年七年级数学下学期第一次月考测试卷（1-2章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知，，m，n为正整数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．设，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　）
A．∵，∴（内错角相等，两直线平行）
B．∵，∴（两直线平行，内错角相等）
C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵，∴（两直线平行，同位角相等）
5．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．若，则的值是（ ）
A．0 B． C． D．
8．如图，将长方形纸片分别沿，折叠，使，在同一直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知代数式的展开式中不含的二次项，则______．
12．如图，直线与交于点O，平分，，，那么________°．
13．观察等式：；；；….已知按一定规律排列的一组数：，，，…，….若，用含的式子表示这组数的和是_______．
14．如图，光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是_______°．
15．已知实数满足，，且，则的值为______．
16．如图，在中，，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是_______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直接写出，，之间的数量关系．
18．（6分）直线，相交于点，平分，，垂足为，若．
(1)求的度数．
(2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由．
19．（8分）观察下列各式：
；
；
…
(1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______．
(2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性．
20．（8分）如图，在一副三角板中，，，．解答下列问题：
(1)当三角板按如图①的方式摆放时，若，求证：；
(2)当三角板按如图②的方式摆放时，若，求的度数．
21．（10分）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用．
例1．因式分解：．
解：原式．
例2．若，利用配方法求M的最小值．
解：．
∵，，
∴当时，M有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
(1)是一个完全平方式，求 ；
(2)分解因式：；
(3)若，求y的最大值；
(4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值．
22．（10分）2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．
[提出问题]（1）图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，求的度数？
[分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步．
[解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整．
解：如图2，过点作，过点作，
则．
_____
，
（理由是：____________________）
（理由是：____________________）
，_____，
_____
[迁移应用]（2）如图3是一款手推车的平面示意图，．若，求的度数．
23．（12分）【阅读材料】若满足，求的值．
解：设，．则，．
．
这里用到了完全平方公式的变形：
，或，
其实，完全平方公式它们之间还有如下关系：
，．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若，求的值．
【拓展应用】
（2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积．
24．（12分）已知，直线分别与直线相交于点G、H，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，射线与直线相交于点P，，点M为射线上的动点，连接，当时，求的度数；
(3)如图2，点O在直线之间，且在直线的右侧，平分，平分，过点H作，N，Q在直线的同侧，试用等式表示与之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．A
解：∵，
∴，
∵，
又∵，，
∴，
故选：A．
2．C
解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵OE平分，
∴．
一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴．
故选：C
3．A
解：∵，
，解得：，
∴．
故选：A．
4．D
解：A、∵，
∴（内错角相等，两直线平行），正确，该选项不符合题意；
B、∵，
∴（两直线平行，内错角相等），正确，该选项不符合题意；
C、∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），正确，该选项不符合题意；
D、∵，
∴（同位角相等，两直线平行），原结论错误，该选项符合题意．
故选：D．
5．B
解：
∴，
故选：B．
6．B
解：如图，过点作，

∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
故选：B．
7．D
解：∵，
∴
则．
故选：D．
8．C
解：如图，设长方形左下角顶点为，
，长方形纸片分别沿，折叠，
，
，
，
，
．
故选：．
9．D
∵，，，
∴
故选D
10．D
解：如图所示，过点作
∵，
∴，
∵平分，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
设
∴
当在和之间时，，即
∴，
当在的上方时，如图所示，
同理可得
当在的下方时，如图所示，
同理可得
故选：D．
二、填空题
11．
解：
，
∵代数式的展开式中不含的二次项，
∴，
解得．
12．52
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵直线与交于点O，
∴．
故答案为：52．
13．
∵，，
∴2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1 2
∵，
∴＋＋＋…＋＋
＝（1＋2＋22＋…＋229＋230）
＝（1＋231 2）
=（×2 1）
＝m（2m 1）
=．
故答案为：．
14．
解：，，
．
，，
，
；
，，
，
；
．
故答案为：．
15．
解：∵，，
∴，
∴，
∵，即，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16．或或
解：，
，
由折叠的性质得，
，
当与的一边平行，有以下两种情况：
①当时（如图），，
，
，
，
；
②当时，又有两种情况：
（i）点F在上方时（如图），
，
，
，
，
；
（ⅱ）当点F在下方时（如图）．
设，
，
，
，
．
，
，
解得，
．
综上所述，符合题意的的度数是或或．
三、解答题
17．（1）解：；
（2）；
（3）∵由（1）、（2）得，，
∴，
∴．
18．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：点在直线上，理由如下：
由（1）可得，
∵，
∴，
∴F、O、G三点共线，
∴点在直线上．
19．（1），
；
故答案是：；．
（2）用代数式表示规律：；
理由如下：，
，
．
20．（1）证明： ，，
，
又 ，
又 ，
；
（2）解： ，
又∵，，
∴，
∴．
21．（1）解：∵是一个完全平方式，
∴．
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴．
∴当时，y有最大值，最大值为132；
（4）解：
，
当，时代数式有最小值，
解得，，最小值为2016．
22．解：（1）补全过程如下：
如图2，过点作，过点作，
则．
，
，
，
（理由是：平行于同一直线的两直线平行）
（理由是：两直线平行，内错角相等）
，
，
；
（2）如图3，过点作，
，
，
，
，
．
23．解：（1）设，，
，
，
，
，
，
的值为6；
（2）正方形的边长为，，，
，，
设，，
，
长方形的面积是24，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积
．
24．（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，
分两种情况：当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∴．
所以的度数是或；
（3）解：如图所示，延长交直线于点J，作，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴ ，
即．

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