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2025-2026学年九年级下学期数学三月综评试题
（满分：120分 考试时间：120分钟）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的。
1．温度零上3℃，记作+3℃，温度零下5℃，应记作（　　）
A．+2℃ B．+5℃ C．﹣5℃ D．﹣2℃
2．一直尺与一直角三角板按如图所示方式摆放，若∠1＝32°，则∠2的度数是（　　）
A．32° B．58° C．64° D．48°
3．如图是一个立方体的表面展开图，将它折成一个立方体后，数字2的对面是数（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．温州某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如表．
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
人数（万） 2 2.5 2.9 2.8 2.5 2 2
从表中看出旅游人数的众数是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.8 D．2.9
5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝3，BC＝4，EF＝8，则DF的长为（　　）
A．9 B．3 C．5 D．14
6．如图，一个几何体是由6个相同的小立方块组成的，从正面看这个几何体的形状图是（　　）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（　　）
A．a3÷a＝a2 B．a2 a3＝a6 C．a7﹣a3＝a4 D．（a4）3＝a7
8．下列优秀传统文化产物中，未利用轴对称进行设计的是（　　）
A． B．
C． D．
9．平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，BC∥y轴，则点C的坐标为（　　）
A．（﹣3，3） B．（﹣3，5） C．（2，3） D．（3，2）
10．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6＝0只有一个实数根，则m等于（　　）
A．1或﹣6 B．﹣6 C．1 D．2
11．秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和图2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（　　）
A． B．
C． D．
12．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+a（a＜0）的顶点为M，直线y＝kx+b（k＜0）与该抛物线交于点M和N（m，n），若a＜n＜0，则直线y＝kx+b与x轴交点的横坐标p的取值范围是（　　）
A．p＜2 B．2＜p C．2＜p＜2 D．2p＜2
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上。
13．如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天圆”，其底座实际为十二边形，呼应中国传统历法中的“十二月”与“十二时辰”．该底座所有内角之和为　 　 度．
14．正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，一粒大豆随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么大豆最终停留在黑色区域的概率是 　 　 ．
15．化简：　 　 ．
16．若﹣xn﹣1y3与2x2y3互为同类项，则n＝　 　 ．
17．如图，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E、点F分别在CD和BC上，∠EOF＝90°，连接EF交AC于点N，连接AF和BE交于点M，则下列结论中：①AF⊥BE；②；③连接AE，AE2+BF2＝AB2+EF2；④EF2＝ON AC；⑤2ON2＝EF2﹣2ON NC．其中正确的是 　 　 ．（只填序号）
三．解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。
18．（12分）（1）计算（﹣1）2024+20﹣|﹣3|；
（2）解不等式组，并将其解集表示在数轴上．
19．（8分）学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8，B：8≤t＜9，C：9≤t＜10，D：t≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明一共抽样调查了　 　 名同学；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
20．（8分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点O是对角线AC的中点．动点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动；同时动点Q从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长交CD于点E，连接QO并延长交AD于点F，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）AP的长为 　 　 cm，CQ的长为 　 　 cm；
（2）当△CEQ为等腰直角三角形时，求t的值；
（3）设四边形PQEF的面积为ycm2，求y与t之间的关系式．
21．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
（1）求证：四边形CDBF是菱形；
（2）请在图2的Rt△ABC中，作出正方形，使它的一个顶点与顶点C重合，另外三个顶点分别在三边AC，BC，AB上，请在图2上作出这个正方形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
22．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，点A与点B的坐标分别为（2，1）和（﹣1，n）．
（1）填空：m＝　 　 ，k＝　 　 ，n＝　 　 ．
（2）结合图象写出不等式组x+m的解集．
（3）连结OA、OB，求△AOB的面积．
23．（10分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点M是直径AB上的一个动点，过点M的弦CD⊥AB，交⊙O于点C、D，连接BC，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E，交⊙O于点G．
（1）如图1，连接CG，过点G的直线交DC的延长线于点P．当点M与圆心O重合时，若∠PGC＝∠MDE，求证：PG是⊙O的切线；
（2）在点M运动的过程中，DE＝kDF（k为常数），求k的值；
（3）如图2，连接BG、OF、MF，当△MOF是等腰三角形时，求∠BGD的正切值．
24．（12分）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为点B，点D在y轴上，且OB＝3OD．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，当0＜t＜3时，求四边形CDBP的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，点Q在直线BC上，若以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B A D A A B D A A A
二．填空题
13．1800．
14．．
15．．
16．3．
17．①③④⑤．
三．解答题
18．解：（1）原式＝1+1﹣3＝﹣1；
（2），
由①得x≥﹣2，
由②得x＜1，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
19．解：（1）小明一共抽样调查了的同学有22÷55%＝40（名），
故答案为：40；
（2）C组的人数为：40﹣4﹣22﹣2＝12（名），
补充完整条形统计图，如图即为所求；
（3）从2名男生和2名女生中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，作树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
∴恰好选中1男1女的概率为
20．解：（1）AP＝2tcm，CQ＝BC﹣BQ＝（6﹣t）cm，
故答案为：2t，（6﹣t）；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OAP＝∠OCE，
∵点O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵∠AOP＝∠COE，
∴△AOP≌△COE（ASA），
∴CE＝AP＝2t cm，
∵△CEQ为等腰直角三角形，∠QCE＝90°，
∴CE＝CQ，
∴2t＝6﹣t，
∴t＝2；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAF＝∠ACQ，
∵AO＝CO，∠AOF＝∠COQ，
∴△AOF≌△COQ（ASA），
∴OF＝OQ，
由（2）知，△AOP≌△COE，
∴OP＝OE，AP＝CE，
∴四边形PQEF是平行四边形，
∴PF＝EQ，
∴Rt△APF≌△Rt△CEQ（HL），
同理Rt△PBQ≌△Rt△EDF，
∴y＝矩形ABCD的面积﹣2△CQE的面积﹣2△PBQ的面积＝8×6﹣22t×（6﹣t）﹣2t×（8﹣2t）＝4t2﹣20t+48，
即y与t之间的关系式为y＝4t2﹣20t+48（0＜t＜4）．
21．（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠CDA＝∠DCF，
∵E是CD的中点，
∴ED＝CE，
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△AED≌△FEC（ASA），
∴CF＝AD，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∴CF＝BD，
∴四边形CDBF是平行四边形，
又∵CD＝DB，
∴平行四边形CDBF是菱形；
（2）解：如图2，四边形CEDF是所求正方形．
22．解：（1）∵一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y的图象交于A、B两点，点A与点B的坐标分别为（2，1）和（﹣1，n），
∴把A的坐标代入函数解析式得：1＝2+m，k＝2×1＝﹣1×n，
解得：m＝﹣1，k＝2，n＝﹣2，
故答案为：﹣1，2，﹣2；
（2）有图象可知，不等式组x+m的解集是x＜﹣1或0＜x＜2．
（3）∵一次函数的解析式为y＝x﹣1，
当y＝0时，0＝x﹣1，
解得：x＝1，
即点C的坐标为（1，0），
OC＝1，
所以△AOB的面积S＝S△AOC+S△BOC．
23．（1）证明：连接OG，如图，
则OD＝OG，
∴∠MDE＝∠OGE，
当点M与圆心O重合时，CD是⊙O的直径，
∴∠CGD＝90°，
即∠CGO+∠OGE＝90°，
∵∠PGC＝∠MDE，
∴∠PGC＝∠OGE，
∴∠CGO+∠PGC＝90°，
即OG⊥PG，
∵OG是⊙O的半径，
∴PG是⊙O的切线；
（2）解：过点F作 FH⊥CD，垂足为H，如图，
则 FH∥AB，
∵点F为BC的中点，
∴FH是△BCM的中位线，
∴，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，，
∵∠DME＝∠DHF＝90°，∠MDE＝∠HDF，
∴△DME∽△DHF，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当点M在圆心O的左侧时，OF＝OM，连接CO，如图，
∵点F为BC的中点，
∴OF⊥BC，
在Rt△OFC和Rt△OMC中，
，
∴Rt△OFC≌Rt△OMC（HL），
∴CF＝CM．
在Rt△CMB中，点F为BC的中点，
∴MF＝CF＝BF，
∴MF＝CF＝CM，
∴△CMF 是等边三角形，
∴∠DCB＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∴；
②当点M在圆心O的右侧时，OF＝OM，∠FOM＝∠OFM，如图，
∵点F为BC的中点，
∴OF⊥BC，
∴∠OFB＝90°，
∴∠OFM+∠MFB＝90°，∠FOM+∠MBF＝90°，
∴∠MFB＝∠MBF，
∴MF＝MB，
在Rt△CMB 中，点F为BC的中点，
∴MF＝BF＝CF，
∴MF＝MB＝BF，
∴△MBF 是等边三角形，
∴∠MBF＝60°，
∴∠MCF＝30°，
∴∠BGD＝∠BCD＝30°
∴．
综上所述，∠BGD的正切值为或．
24．解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，
解得，
∴所求抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接BC，在y＝﹣x2+2x+3中，
令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）．
∵C（0，3），
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3．
∵OB＝3OD，OB＝OC＝3，
∴OD＝1，CD＝2，
过点P作PE∥y轴，交BC于点E，如图1．
∵P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t+3）．
∴PE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t．
∴S四边形CDBP＝S△BCD+S△BPCCD OBPE OB．
即S2×3（﹣t2+3t）×3．
∵，且0＜t＜3，
∴当时，S有最大值，为．
（3）以CD为边，以点C，D，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
则PQ∥CD，且PQ＝CD＝2．
∵点P在抛物线上，点Q在直线BC上，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（t，﹣t+3）．
分两种情况讨论：
如图2，当点P在点Q上方时，
∴﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝2，
即t2﹣3t+2＝0，解得：t1＝1，t2＝2．
∴P1（1，4），P2（2，3）；
如图3，当点P在点Q下方时，
∴﹣t+3﹣（﹣t2+2t+3）＝2，
即t2﹣3t﹣2＝0，解得：t3，t4．
∴，．
综上所述，所有符合条件的点P的坐标为（1，4）或（2，3）或或．
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