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15第十章《二元一次方程组》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣y＝6 B． C．3x﹣y2＝0 D．4xy＝3
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面及是否整式方程辨别．
【解答】解：A、未知数的项的最高次数是1，是二元一次方程；
B、不是整式方程；
C、不符合二元一次方程未知数的项的最高次数是1的定义；
D、未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程．
故选：A．
2．（3分）若是方程3x+by＝1的解，则b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】把方程的解代入方程，解方程求出b的值即可．
【解答】解：把代入方程3x+by＝1，
得3﹣2b＝1，
所以﹣2b＝﹣2，
所以b＝1．
故选：B．
3．（3分）下列四组数值是二元一次方程x+y＝6的解的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将各项中x与y的值代入方程检验即可．
【解答】解：A、把代入方程得：左边＝5，右边＝6，左边≠右边，不符合题意；
B、把代入方程得：左边＝6，右边＝6，左边＝右边，符合题意；
C、把代入方程得：左边＝﹣6，右边＝6，左边≠右边，不符合题意；
D、把代入方程得：左边＝2，右边＝6，左边≠右边，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）解方程组时，由①﹣②，得（　　）
A．﹣2n＝1 B．﹣2n＝3 C．8n＝3 D．8n＝1
【分析】方程组利用加减消元法变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：解方程组时，由①﹣②，得8n＝3．
故选：C．
5．（3分）如果3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，那么（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二元一次方程的定义可得到关于m、n的方程，可求得答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
【解答】解：∵3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，
∴，
解得，
故选：C．
6．（3分）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．
【解答】解：法1：，
①+②×5得：16a＝32，即a＝2，
把a＝2代入①得：b＝2，
则a+b＝4，
法2：①+②得：4a+4b＝16，
则a+b＝4，
故选：B．
7．（3分）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据等量关系：购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，可得出方程，联立可得出方程组．
【解答】解：由题意得，．
故选：B．
8．（3分）以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】求出方程组的解，确定点的坐标，再判断点所在的位置．
【解答】解：解方程组得，，
所以点的坐标为（6，2），
因此（6，2）在第一象限，
故选：A．
9．（3分）如图，8块相同的小长方形地板砖拼成一个周长为200厘米的大长方形地板砖，则每块小长方形地板砖的面积为（　　）
A．100cm2 B．200cm2 C．300cm2 D．2000cm2
【分析】设每块小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，根据图中关系和拼成一个周长为200厘米的大长方形地板砖，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设每块小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意得：，
解得：，
∴xy＝30×10＝300，
即每块小长方形地板砖的面积为300cm2，
故选：C．
10．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝1+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据二元一次方程组解的定义，相反数的性质，二元一次方程解的定义，解二元一次方程组的方法，进行解答即可．
【解答】解：①，
②﹣①，得﹣4y＝4a﹣4，
解得：y＝1﹣a，
把y＝1﹣a代入②，得x﹣1+a＝3a，
解得：x＝2a+1，
∴方程组的解为，
∵这个方程组的解x，y的值互为相反数，
∴x+y＝0，
∴2a+1+1﹣a＝0，
解得：a＝﹣2，故①正确；
②由①得方程组的解为，
当a＝1时，x＝3，y＝0，
∴当a＝1时，原方程组的解满足x+y＝3+0＝3，方程x+y＝1+2a的解满足x+y＝1+2＝3，
∴方程组的解也是方程x+y＝1+2a的解，故②正确；
③原方程组的解为，
则x+2y＝2a+1+2（1﹣a）＝2a+1+2﹣2a＝3，
∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变，故③正确，
综上所述，其中正确的是①②③．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）二元一次方程组的解为 　　 ．
【分析】根据代入消元法计算即可．
【解答】解：，
把①代入②得：3x﹣2x＝﹣2，
解得x＝﹣2，
将x＝﹣2代入①得y＝﹣4，
所以方程组的解是，
故答案为：．
12．（3分）将方程3x+2y＝7变形成用含y的代数式表示x，得到x　 ．
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x
故答案为：x
13．（3分）若|﹣2a+b+3|+（3a+b﹣4）2＝0，则多项式a2+4ab+4b2的值等于 　1　 ．
【分析】先根据非负数得出关于a、b的方程组，由方程组求得a+2b＝1，再把a+2b＝1代入变形后的代数式进行计算即可．
【解答】解：∵|﹣2a+b+3|+（3a+b﹣4）2＝0，
∴，
①+②得a+2b＝1，
则a2+4ab+4b2＝（a+2b）2＝1．
故答案为：1．
14．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长和绳长各是多少尺？
答：木长 　6.5　 尺；绳子长 　11　 尺．
【分析】设木长x尺，绳长y尺，由题意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设木长x尺，绳长y尺，
由题意得：，
解得：，
即绳长11尺，
故答案为：6.5，11．
15．（3分）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b例如4◆3，因为4＞3，所以4◆35．若x，y满足方程组则x◆y＝　60．　 ．
【分析】先解二元一次方程组求x，y的值，下根据新定义代入计算可求解．
【解答】解：解方程组得，
∵x＜y，
∴x◆y＝xy＝5×12＝60，
故答案为60．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1），
将①代入②得：3x+3x﹣2＝8，
解得，
将代入①得：，
所以方程组的解为；
（2）方程组整理为，
由①+②得：5x＝20，
解得x＝4，
将x＝4代入①得：4﹣3y＝5，
解得，
所以方程组的解为．
17．（6分）方程组的解为．记被■遮盖的数为m，被◆遮盖的数为n，求遮盖的数m和n的值．
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把y＝2代入3x﹣y＝5求得x的值，再把x，y的值代入2x+y求值．
【解答】解：把y＝2代入3x﹣2y＝5，得3x﹣4＝5，
即x＝3；
把x＝3，y＝2代入2x+y＝8，
即被遮盖的数m的值是8，n的值是3．
18．（6分）代数式kx+b中，当x取值分别为﹣1，0，1，2时，对应代数式的值如表：
x … ﹣1 0 1 2 …
kx+b … ﹣1 1 3 5 …
则2k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
【分析】根据题意列得二元一次方程组，解得k，b的值后代入2k+b中计算即可．
【解答】解：由题意可得，
解得：，
则2k+b＝2×2+1＝5.
19．（8分）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“关联方程组”．
（1）请判断关于x，y的方程组是否为“关联方程组”，并说明理由；
（2）如果关于x，y的方程组是“关联方程组”，求a的值．
【分析】（1）关于x，y的方程组是“关联方程组”，利用②﹣①，可得出x+y＝0，进而可得出关于x，y的方程组是“关联方程组”；
（2）解二元一次方程组，用含a的代数式表示出x，y的值，结合x+y＝0，即可求出a的值．
【解答】解：（1）关于x，y的方程组是“关联方程组”，理由如下：
，
②﹣①得：x+y＝0，
∴关于x，y的方程组是“关联方程组”；
（2），
①﹣②×2得：5y＝4﹣3a，
∴y，
将y代入②得：x2a，
∴x，
∴原方程组的解为．
又∵原方程组是“关联方程组”，
∴x+y＝0，
∴0，
∴a＝﹣2，
∴a的值为﹣2．
20．（8分）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
【分析】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，根据“停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，
依题意，得：，
解得：．
答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．
21．（8分）请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．
（1）如果x＝﹣5，2 4＝﹣18，求y的值；
（2）若1 1＝8，4 2＝20，求x、y的值．
【分析】（1）已知等式根据题中的新定义化简，将x的值代入即可求出y的值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简组成方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．
【解答】解：（1）根据题意得：2 4＝2x+4y＝﹣18，
把x＝﹣5代入得：﹣10+4y＝﹣18，
解得：y＝﹣2；
（2）根据题意得：，即，
②﹣①得：x＝2，
把x＝2代入得：y＝6．
22．（10分）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
【分析】（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；
（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a元、b元，
，
解得，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；
（2）方案一的花费为：（15×100+8×60）×0.9＝1782（元），
方案二的花费为：15×100+8×（60﹣100÷5×2）＝1660（元），
1782﹣1660＝122（元），1782＞1660，
答：学校选用方案二更节约钱，节约122元．
23．（11分）根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 ．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？
【分析】任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了（2a﹣b）杯，根据小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出非负整数解即可．
【解答】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，
由题意得：10m+12n＝220，
整理得：m＝22n，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，
则B款加料的奶茶买了（3a﹣a﹣b）杯，即（2a﹣b）杯，
由题意得：10a+12b+（12+2）（2a﹣b）＝380，
整理得：b＝19a﹣190，
∵a、b、3a﹣a﹣b均为非负整数，
∴或，
∴2a﹣b＝2×11﹣19＝3或2a﹣b＝2×10﹣0＝20，
答：B款加料的奶茶买了3杯或20杯．
24．（12分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求x﹣y和x+y的值；
（2）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax﹣by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求a﹣b+c的值．
【分析】（1）将两方程相加可求x+y的值，将两方程相减可求x﹣y的值；
（2）由题意列出方程组，再由①×3﹣②×2即可求解．
【解答】解：（1），
由②﹣①得：x﹣y＝﹣4；
由②+①得：5x+5y＝30，
∴x+y＝6；
（2）解：∵3*5＝15，4*7＝28，
∴
，由①×3﹣②×2得：a﹣b+c＝﹣11．中小学教育资源及组卷应用平台
15第十章《二元一次方程组》单元检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣y＝6 B． C．3x﹣y2＝0 D．4xy＝3
2．（3分）若是方程3x+by＝1的解，则b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
3．（3分）下列四组数值是二元一次方程x+y＝6的解的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）解方程组时，由①﹣②，得（　　）
A．﹣2n＝1 B．﹣2n＝3 C．8n＝3 D．8n＝1
5．（3分）如果3xm+1+5yn﹣2＝0是关于x、y的二元一次方程，那么（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
7．（3分）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）如图，8块相同的小长方形地板砖拼成一个周长为200厘米的大长方形地板砖，则每块小长方形地板砖的面积为（　　）
A．100cm2 B．200cm2 C．300cm2 D．2000cm2
10．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝1+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）二元一次方程组的解为 　 　 ．
12．（3分）将方程3x+2y＝7变形成用含y的代数式表示x，得到　 　 ．
13．（3分）若|﹣2a+b+3|+（3a+b﹣4）2＝0，则多项式a2+4ab+4b2的值等于 　 　 ．
14．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长和绳长各是多少尺？
答：木长 　 　 尺；绳子长 　 　 尺．
15．（3分）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b例如4◆3，因为4＞3，所以4◆35．若x，y满足方程组则x◆y＝　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
17．（6分）方程组的解为．记被■遮盖的数为m，被◆遮盖的数为n，求遮盖的数m和n的值．
18．（6分）代数式kx+b中，当x取值分别为﹣1，0，1，2时，对应代数式的值如表：
x … ﹣1 0 1 2 …
kx+b … ﹣1 1 3 5 …
则2k+b的值．
19．（8分）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“关联方程组”．
（1）请判断关于x，y的方程组是否为“关联方程组”，并说明理由；
（2）如果关于x，y的方程组是“关联方程组”，求a的值．
20．（8分）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
21．（8分）请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．
（1）如果x＝﹣5，2 4＝﹣18，求y的值；
（2）若1 1＝8，4 2＝20，求x、y的值．
22．（10分）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
23．（11分）根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 ．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？
24．（12分）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求x﹣y和x+y的值；
（2）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax﹣by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求a﹣b+c的值．

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