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广西柳州市第八中学2024-2025学年下学期八年级数学期中考试卷
一、选择题（共12小题）
1．（2025八下·柳州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·柳州期中）矩形的两边长分别是3和5，则它的对角线长是（　　）
A．4 B．6 C． D．7
3．（2025八下·柳州期中）一次函数y=kx+b中，y 随x的增大而增大，b > 0，则这个函数的图象不经过 （　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025八下·柳州期中）下列命题中是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．两条对角线相等的平行四边形是矩形
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．两边相等的平行四边形是菱形
5．（2025八下·柳州期中）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（　　）
A．2.2 B． C． D．
6．（2025八下·柳州期中）已知，一次函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·柳州期中）如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．10
8．（2025八下·柳州期中）如图，在边长为3的正方形中，点E在边上，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段于点F．若，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．
9．（2025八下·柳州期中）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025八下·柳州期中）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
11．（2025八下·柳州期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025八下·柳州期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题）
13．（2025八下·柳州期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围　 　．
14．（2025八下·柳州期中）平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠A=　 　.
15．（2025八下·柳州期中）某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是　　 　 分．
16．（2025八下·柳州期中）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接.下列结论：
①；②；③；④的最小值是，其中所有正确结论的序号是　 　.
三、解答题（共6小题）
17．（2025八下·柳州期中）计算：.
18．（2025八下·柳州期中）如图，在中，连接．
（1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
（2）猜想与证明：判断四边形的形状，并说明理由．
19．（2025八下·柳州期中）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是_________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_________分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为_________人．
20．（2025八下·柳州期中）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
21．（2025八下·柳州期中）在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售每千克A级茶，B级茶的利润分别为100元，150元．若该经销商决定购进A，B两种级别的茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶x千克，销售总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．
22．（2025八下·柳州期中）如图1直线交x轴于A，交y轴于B，若．
（1）求A点的坐标；
（2）如图2，若C为直线上一点，，以为腰作等腰，连接，求直线的解析式；
（3）如图3，直线交x轴于E，点是直线上一点，若P是线段上的动点，过E作于H，且点F在的延长线上，，连接，当P在上运动时，求的度数．
23．（2025八下·柳州期中）综合与实践
问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．
操作探究：
（1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______．
（2）若点M落在矩形内部．
①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由．
②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，原计算正确，故该选项符合题意；
B． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
C．，原计算错误，故该选项不符合题意；
D．，原计算错误，故该选项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则以及二次根式的加减法法则逐项计算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵矩形的两边长分别是3和5，
∴它的对角线长=．
故选：C．
【分析】根据矩形的两边长分别是3和5，利用勾股定理计算求解即可.
3．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而增大，
∴k0.
∵b0，
∴此函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
故选：D.
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再根据b＞0判断求解即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以A选项错误；
B两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项正确；
C有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以C选项错误；
D邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，可对A作出判断；利用矩形的判定定理可对B作出判断；利用全等三角形的判定定理可对C作出判断；利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可对D作出判断.
5．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，
∴点表示的数是；
故选：B．
【分析】结合题意，利用勾股定理求出即可作答.
6．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴一次函数的图象与轴的交点坐标是，
∴当时，，
故选：D．
【分析】根据题意先求出一次函数的图象与轴的交点坐标是，再结合一次函数的图象求解即可.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵过对角线的交点O，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∵的周长为18，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得，最后求出四边形的周长即可.
8．【答案】D
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
设，
则，．
在中，，
，
解得．
则，
故选：D.
【分析】利用勾股定理求出，再求出，最后计算求解即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
由题意知，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中点，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可.
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得，
∴，
设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得：
，解得，
∴，
A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意；
B、10s时，甲无人机离地面80m，
乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意；
C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意；
D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m．
故选：B．
【分析】根据图象信息，结合一次函数性质即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵的中点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，，，继而利用勾股定理得，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，，，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
12．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，
∴，，，（n为自然数），
∵，
点的坐标为，即．
故答案为：C．
【分析】先利用一次函数解析式求出点A的坐标可得规律，，，（n为自然数），再结合，最后求出点的坐标为，即。
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C.
∵∠C=∠B+∠D，∴∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°.
故答案为：120°.
【分析】根据平行四边形的性质可得∠B=∠D，∠A=∠C，∠C+∠D=180°，结合∠C=∠B+∠D即可求出结论.
15．【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵笔试按60%、面试按40%，
∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88分，
故答案为：88．
【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．
16．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是正方形，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即，结论①正确；
平分，，
，
，
，
，
，
，
，结论②正确；
，
，
故结论③错误；
如图，过点作于点，连接，
平分，，，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值，
由垂线段最短得：当时，取得最小值，
此时在中，，
即的最小值是，结论④正确；
综上，所有正确结论的序号是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】根据正方形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可判断①；根据角平分线性质可得，根据等边对等角可得，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可判断②③；过点作于点，连接，根据角平分线性质可得，根据边之间的关系可得，由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值，由垂线段最短得：当时，取得最小值，再解直角三角形即可求出答案.
17．【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
垂直平分，
，，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的作图方法及步骤作出线段BD的垂直平分线即可；
（2）先证出四边形为平行四边形，再结合BM=DM，即可证出四边形为菱形．
（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
垂直平分，
，，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形．
19．【答案】（1）第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人）
补全统计图如下：
（2）76；78；
（3）720．
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；
50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：（分），故中位数为78（分）；
故答案为：76；78；
（3）1500×=720（人），
故答案为：720．
【分析】（1）求出第二组人数，再补全图形即可求出答案.
（2）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以不低于80分的占比即可即可求出答案.
20．【答案】解：（1）△HBC是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=42+32=25，
BC2=25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-3）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=（x-3）2+42，
解这个方程，得x=，
答：原来的路线AC的长为千米．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-3）千米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）解：由题意可得，
，
即y与x的函数关系式为；
（2）解：∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，∴，
解得，，
∵，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值为，
，
即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据 A，B两种级别的茶叶利润求和得到y与x的函数关系式；
（2）根据题意得到x的取值范围，再根据一次函数的增减性求出总利润的最大值即可．
（1）由题意可得，
，
即y与x的函数关系式为；
（2）∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，
∴，
解得，，
∵，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值为，
，
即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元．
22．【答案】（1）解：∵直线交x轴于A，
∴令，即：，
解得：，
∴.
（2）解：∵，
∴，即：，
∴，
作轴于，作于，
∵，以为腰作等腰，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴设直线的解析式为：，
将和代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：.
（3）解：连接，作于，
∵点是直线上一点，
∴，
∴，
∵直线交x轴于E，
∴令，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将y=0代入解析式求出x的值，即可得到点A的坐标即可；
（2）作轴于，作于，先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，可得点D的坐标，再利用待定系数法法求出函数解析式即可；
（3）连接，作于，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用等量代换可得，最后可得．
（1）解：∵直线交x轴于A，
∴令，即：，解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴，即：，
∴，
作轴于，作于，
∵，以为腰作等腰，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴设直线的解析式为：，
将和代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）解：连接，作于，
∵点是直线上一点，
∴，
∴，
∵直线交x轴于E，
∴令，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）正方形
（2）证明：①四边形为菱形；理由如下：
根据折叠可知：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
②；理由如下：
∵E，F为边的三等分点，
∴，
根据折叠可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵矩形中，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）或5
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（3）解：∵四边形为矩形，，
∴，，，
根据折叠可知：，，，
当时，过点M作，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴此时点M在上，
根据解析（1）可知，此时四边形为正方形，
∴；
连接，如图所示：
根据勾股定理得：，
∵两点之间线段最短，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴与相等不存在；
综上分析可知：或5．
【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据折叠性质可得，，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）①根据折叠性质可得，，，，根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
②根据三等分点可得，再根据折叠性质可得，，则，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据平行四边形性质可得，，，根据折叠可知：，，，分情况讨论：当时，过点M作，则，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据勾股定理可得AF，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当时，根据边之间的关系可得AM+MD=10，由题意可得点M在上，根据解析（1）可知，此时四边形为正方形，则，连接，根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）证明：①四边形为菱形；理由如下：
根据折叠可知：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
②；理由如下：
∵E，F为边的三等分点，
∴，
根据折叠可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵矩形中，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形为矩形，，
∴，，，
根据折叠可知：，，，
当时，过点M作，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴此时点M在上，
根据解析（1）可知，此时四边形为正方形，
∴；
连接，如图所示：
根据勾股定理得：，
∵两点之间线段最短，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴与相等不存在；
综上分析可知：或5．
1 / 1广西柳州市第八中学2024-2025学年下学期八年级数学期中考试卷
一、选择题（共12小题）
1．（2025八下·柳州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，原计算正确，故该选项符合题意；
B． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
C．，原计算错误，故该选项不符合题意；
D．，原计算错误，故该选项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则以及二次根式的加减法法则逐项计算求解即可.
2．（2025八下·柳州期中）矩形的两边长分别是3和5，则它的对角线长是（　　）
A．4 B．6 C． D．7
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵矩形的两边长分别是3和5，
∴它的对角线长=．
故选：C．
【分析】根据矩形的两边长分别是3和5，利用勾股定理计算求解即可.
3．（2025八下·柳州期中）一次函数y=kx+b中，y 随x的增大而增大，b > 0，则这个函数的图象不经过 （　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而增大，
∴k0.
∵b0，
∴此函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
故选：D.
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再根据b＞0判断求解即可.
4．（2025八下·柳州期中）下列命题中是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．两条对角线相等的平行四边形是矩形
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．两边相等的平行四边形是菱形
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以A选项错误；
B两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项正确；
C有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以C选项错误；
D邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，可对A作出判断；利用矩形的判定定理可对B作出判断；利用全等三角形的判定定理可对C作出判断；利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可对D作出判断.
5．（2025八下·柳州期中）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（　　）
A．2.2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，
∴点表示的数是；
故选：B．
【分析】结合题意，利用勾股定理求出即可作答.
6．（2025八下·柳州期中）已知，一次函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴一次函数的图象与轴的交点坐标是，
∴当时，，
故选：D．
【分析】根据题意先求出一次函数的图象与轴的交点坐标是，再结合一次函数的图象求解即可.
7．（2025八下·柳州期中）如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵过对角线的交点O，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∵的周长为18，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得，最后求出四边形的周长即可.
8．（2025八下·柳州期中）如图，在边长为3的正方形中，点E在边上，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段于点F．若，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
设，
则，．
在中，，
，
解得．
则，
故选：D.
【分析】利用勾股定理求出，再求出，最后计算求解即可.
9．（2025八下·柳州期中）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
由题意知，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中点，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可.
10．（2025八下·柳州期中）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得，
∴，
设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得：
，解得，
∴，
A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意；
B、10s时，甲无人机离地面80m，
乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意；
C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意；
D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m．
故选：B．
【分析】根据图象信息，结合一次函数性质即可求出答案.
11．（2025八下·柳州期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∵的中点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得，，，，继而利用勾股定理得，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，，，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
12．（2025八下·柳州期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，
∴，，，（n为自然数），
∵，
点的坐标为，即．
故答案为：C．
【分析】先利用一次函数解析式求出点A的坐标可得规律，，，（n为自然数），再结合，最后求出点的坐标为，即。
二、填空题（共4小题）
13．（2025八下·柳州期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．（2025八下·柳州期中）平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠A=　 　.
【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C.
∵∠C=∠B+∠D，∴∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°.
故答案为：120°.
【分析】根据平行四边形的性质可得∠B=∠D，∠A=∠C，∠C+∠D=180°，结合∠C=∠B+∠D即可求出结论.
15．（2025八下·柳州期中）某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是　　 　 分．
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵笔试按60%、面试按40%，
∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88分，
故答案为：88．
【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．
16．（2025八下·柳州期中）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接.下列结论：
①；②；③；④的最小值是，其中所有正确结论的序号是　 　.
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是正方形，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即，结论①正确；
平分，，
，
，
，
，
，
，
，结论②正确；
，
，
故结论③错误；
如图，过点作于点，连接，
平分，，，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值，
由垂线段最短得：当时，取得最小值，
此时在中，，
即的最小值是，结论④正确；
综上，所有正确结论的序号是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】根据正方形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可判断①；根据角平分线性质可得，根据等边对等角可得，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可判断②③；过点作于点，连接，根据角平分线性质可得，根据边之间的关系可得，由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值，由垂线段最短得：当时，取得最小值，再解直角三角形即可求出答案.
三、解答题（共6小题）
17．（2025八下·柳州期中）计算：.
【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.
18．（2025八下·柳州期中）如图，在中，连接．
（1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
（2）猜想与证明：判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
垂直平分，
，，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的作图方法及步骤作出线段BD的垂直平分线即可；
（2）先证出四边形为平行四边形，再结合BM=DM，即可证出四边形为菱形．
（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
垂直平分，
，，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形．
19．（2025八下·柳州期中）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是_________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_________分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为_________人．
【答案】（1）第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人）
补全统计图如下：
（2）76；78；
（3）720．
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；
50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：（分），故中位数为78（分）；
故答案为：76；78；
（3）1500×=720（人），
故答案为：720．
【分析】（1）求出第二组人数，再补全图形即可求出答案.
（2）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以不低于80分的占比即可即可求出答案.
20．（2025八下·柳州期中）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
【答案】解：（1）△HBC是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=42+32=25，
BC2=25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-3）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=（x-3）2+42，
解这个方程，得x=，
答：原来的路线AC的长为千米．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-3）千米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
21．（2025八下·柳州期中）在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售每千克A级茶，B级茶的利润分别为100元，150元．若该经销商决定购进A，B两种级别的茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶x千克，销售总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．
【答案】（1）解：由题意可得，
，
即y与x的函数关系式为；
（2）解：∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，∴，
解得，，
∵，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值为，
，
即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据 A，B两种级别的茶叶利润求和得到y与x的函数关系式；
（2）根据题意得到x的取值范围，再根据一次函数的增减性求出总利润的最大值即可．
（1）由题意可得，
，
即y与x的函数关系式为；
（2）∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，
∴，
解得，，
∵，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值为，
，
即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元．
22．（2025八下·柳州期中）如图1直线交x轴于A，交y轴于B，若．
（1）求A点的坐标；
（2）如图2，若C为直线上一点，，以为腰作等腰，连接，求直线的解析式；
（3）如图3，直线交x轴于E，点是直线上一点，若P是线段上的动点，过E作于H，且点F在的延长线上，，连接，当P在上运动时，求的度数．
【答案】（1）解：∵直线交x轴于A，
∴令，即：，
解得：，
∴.
（2）解：∵，
∴，即：，
∴，
作轴于，作于，
∵，以为腰作等腰，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴设直线的解析式为：，
将和代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：.
（3）解：连接，作于，
∵点是直线上一点，
∴，
∴，
∵直线交x轴于E，
∴令，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将y=0代入解析式求出x的值，即可得到点A的坐标即可；
（2）作轴于，作于，先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，可得点D的坐标，再利用待定系数法法求出函数解析式即可；
（3）连接，作于，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用等量代换可得，最后可得．
（1）解：∵直线交x轴于A，
∴令，即：，解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴，即：，
∴，
作轴于，作于，
∵，以为腰作等腰，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴设直线的解析式为：，
将和代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）解：连接，作于，
∵点是直线上一点，
∴，
∴，
∵直线交x轴于E，
∴令，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．（2025八下·柳州期中）综合与实践
问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．
操作探究：
（1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______．
（2）若点M落在矩形内部．
①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由．
②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】（1）正方形
（2）证明：①四边形为菱形；理由如下：
根据折叠可知：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
②；理由如下：
∵E，F为边的三等分点，
∴，
根据折叠可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵矩形中，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）或5
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（3）解：∵四边形为矩形，，
∴，，，
根据折叠可知：，，，
当时，过点M作，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴此时点M在上，
根据解析（1）可知，此时四边形为正方形，
∴；
连接，如图所示：
根据勾股定理得：，
∵两点之间线段最短，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴与相等不存在；
综上分析可知：或5．
【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据折叠性质可得，，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）①根据折叠性质可得，，，，根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理可得，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
②根据三等分点可得，再根据折叠性质可得，，则，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据平行四边形性质可得，，，根据折叠可知：，，，分情况讨论：当时，过点M作，则，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据勾股定理可得AF，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当时，根据边之间的关系可得AM+MD=10，由题意可得点M在上，根据解析（1）可知，此时四边形为正方形，则，连接，根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）证明：①四边形为菱形；理由如下：
根据折叠可知：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
②；理由如下：
∵E，F为边的三等分点，
∴，
根据折叠可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵矩形中，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形为矩形，，
∴，，，
根据折叠可知：，，，
当时，过点M作，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴此时点M在上，
根据解析（1）可知，此时四边形为正方形，
∴；
连接，如图所示：
根据勾股定理得：，
∵两点之间线段最短，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴与相等不存在；
综上分析可知：或5．
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