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广东省中山部分学校2024-2025学年八年级下学期期中水平测试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（2025八下·中山期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．（2025八下·中山期中）下列长度的线段中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2， B．，， C．6，10，8 D．5，12，13
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故是直角三角形，故此选不项符合题意；
B、，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，故是直角三角形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）逐项分析判断即可.
3．（2025八下·中山期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，计算错误，故此选项不符合题意；
B.和不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C.，计算正确，故此选项符合题意；
D.，计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据二次根式的加减法和二次根式的乘除法法则对每个选项逐一计算求解即可.
4．（2025八下·中山期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
5．（2025八下·中山期中）如图，平行四边形中，E、F分别是、的中点，若，则对角线长是（　　）
A．15 B．6 C．12 D．3
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：E、F分别是、的中点，
是的中位线，且，
．
故答案为：C．
【分析】先证出EF是的中位线，再利用中位线的性质可得，最后求解即可.
6．（2025八下·中山期中）若实数、满足，且、恰好是的两条边长，则第三条边长为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，
，，
解得：，，
当是直角边时，斜边长，
当是斜边，则第三条边长，
综上所述，第三条边长为或．
故答案为：C．
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出m、n的值，再分类并利用勾股定理求出第三条边的长即可.
7．（2025八下·中山期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线不一定相等，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，则说法正确，故本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
8．（2025八下·中山期中）如图，数轴上点A所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如图：
，
∴，
∴，
∴，
∴点A表示的数为．
故答案为：D．
【分析】如图可得：，由勾股定理可得，则，进而求得即可解答．
9．（2025八下·中山期中）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质得出、的长，再根据勾股定理可得BC=5，再根据菱形面积即可求出答案.
10．（2025八下·中山期中）如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小，
此时，，
即，
解得，
∴线段长的最小值为．
故答案为：C．
【分析】连接CD，先证出由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小，再利用，求出，最后可得线段长的最小值为．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·中山期中）计算：=　 　.
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：==5.
故答案为：5.
【分析】根据二次根式的基本性质解答即可.
12．（2025八下·中山期中）最简二次根式能与进行合并，则　 　．
【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再求出m的值即可.
13．（2025八下·中山期中）在平行四边形中，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再结合，，最后求出即可.
14．（2025八下·中山期中）如图，的两直角边分别为1，2，以的斜边为一直角边，另一直角边为1画第2个；再以的斜边为一直角边，另一直角边为1画第3个；……依次类推，第个直角三角形的斜边长是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
…，
依次类推，第个直角三角形的斜边长是，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AC、AD和AE的长，再求出规律，即可得到第个直角三角形的斜边长是.
15．（2025八下·中山期中）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是　 　．
【答案】2025
【知识点】分母有理化；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：2025．
【分析】参照题干中的定义及计算方法列出算式求出，再将其代入计算即可.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．（2025八下·中山期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
17．（2025八下·中山期中）已知，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
；
（2）解：，，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先将代数式变形为，再将代入计算即可；
（2）先将代数式变形为，再将代入计算即可.
（1）解：，，
；
（2）解：，，
，
．
18．（2025八下·中山期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，，CD＝8，求∠ADC的度数．
【答案】解：∵AB=AD=4，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，BD=4，
∵BC=，CD=8．
∴BD2+CD2=42+82=16+64=80=（）2，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°，
即∠ADC的度数是150°．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据等边三角形判定定理可得△ABD是等边三角形，则∠ADB=60°，BD=4，根据勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·中山期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．
（1）开始时，小船距岸A的距离为_______；
（2）若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长．
【答案】（1）12
（2）解：∵琪琪收绳后，船到达处，
，
，
.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，
，
故答案为：12；
【分析】（1）结合题意，利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据题意先求出=8m，然后再利用勾股定理求出的长，最后计算求解即可.
（1）解：在中，，
，
故答案为：12；
（2）∵琪琪收绳后，船到达处，
，
，
．
20．（2025八下·中山期中）如图，在□中，对角线，相交于点，交的延长线于点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
交的延长线于点，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形
，
，
，
四边形是矩形．
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
矩形的面积是.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得AB//CD，再结合BE//AC，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再利用等边三角形的性质及勾股定理求出BC的长，再利用矩形的面积公式求解即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
交的延长线于点，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形
，
，
，
四边形是矩形．
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
矩形的面积是
21．（2025八下·中山期中）我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”．
（1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形；
（2）当时，求菱形的“神似度”．
【答案】（1）
（2）解：如图，连接和，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即菱形的“神似度”为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵对角线相等的菱形是正方形，
∴当时，即时，菱形是正方形，
∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形，
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形的判定定理解答；
（2）连接和，交于点，可以得到、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，求出，，然后根据“神似度”的定义计算解题．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025八下·中山期中）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是，连接，，，设点P、Q运动的时间为．
（1）当t为何值时，四边形是矩形？
（2）当t为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？
（3）当t为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？
【答案】（1）解：四边形是矩形，
，，
当时，四边形是矩形，即：，
解得．
答：当时，四边形是矩形.
（2）解：，，
，即
，
四边形为平行四边形，
在矩形中，
当，即时，四边形为菱形．
解得：．
答：当时，四边形是菱形；
当时，，面积为：.
（3）解：①当，即时，为等腰三角形，
解得：；
②当，即时，为等腰三角形，
整理得：，
解得，
综上所述，当或3时，是以为一腰的等腰三角形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可得，再求出t的值即可；
（2）先证出四边形为平行四边形，再利用菱形的判定可得，再列出方程求出t的值，最后求出菱形的面积即可；
（3）分类讨论：①当，②当，再分别列出方程求解即可.
（1）解：四边形是矩形，
，，
当时，四边形是矩形，即：，
解得．
答：当时，四边形是矩形；
（2）解：，，
，即
，
四边形为平行四边形，
在矩形中，
当，即时，四边形为菱形．
解得：．
答：当时，四边形是菱形；
当时，，面积为：；
（3）解：①当，即时，为等腰三角形，
解得：；
②法一：当，即时，为等腰三角形，
整理得：，
解得，
法二：过点作交于点，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
，
又，
，
解得，
综上所述，当或3时，是以为一腰的等腰三角形．
23．（2025八下·中山期中）在学习特殊的平行四边形后，兴趣小组开展了动点问题的探究活动．
【问题情境】：
在中，，E是边上一动点，连接．
【发现问题】：
（1）如图1，若交于点M，猜想线段与的数量关系，并证明；
【类比探究】：
（2）如图2，若且，以为边，在右侧作正方形，连接，当点E在上运动时（不与B、C重合），的大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请求出的度数．
【拓展迁移】：
（3）如图3，当为正方形时，延长线上有一点P，，在直线的右侧作，且，点R为线段的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并说明理由．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形，
，，
，
，
；
（2）解：的大小不会变化，
四边形是菱形，且，
四边形是正方形，
过点作，交的延长线于，如图，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图中，连接，作交于，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
点的运动轨迹是线段，
点从运动到时，
，
，
当点从点运动到点时，点运动的路径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先证出四边形是菱形，再利用菱形的性质可得，，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得AM=CM；
（2）过点作，交的延长线于，先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，可得，最后求出即可；
（3）连接，作交于，先利用“SAS”证出，再用全等三角形的性质可得，再证出点的运动轨迹是线段，最后求解即可.
1 / 1广东省中山部分学校2024-2025学年八年级下学期期中水平测试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（2025八下·中山期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·中山期中）下列长度的线段中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2， B．，， C．6，10，8 D．5，12，13
3．（2025八下·中山期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·中山期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·中山期中）如图，平行四边形中，E、F分别是、的中点，若，则对角线长是（　　）
A．15 B．6 C．12 D．3
6．（2025八下·中山期中）若实数、满足，且、恰好是的两条边长，则第三条边长为（　　）
A． B． C．或 D．
7．（2025八下·中山期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．平行四边形的对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
8．（2025八下·中山期中）如图，数轴上点A所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·中山期中）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·中山期中）如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为（　　）
A． B．5 C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·中山期中）计算：=　 　.
12．（2025八下·中山期中）最简二次根式能与进行合并，则　 　．
13．（2025八下·中山期中）在平行四边形中，，则　 　．
14．（2025八下·中山期中）如图，的两直角边分别为1，2，以的斜边为一直角边，另一直角边为1画第2个；再以的斜边为一直角边，另一直角边为1画第3个；……依次类推，第个直角三角形的斜边长是　 　．
15．（2025八下·中山期中）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．（2025八下·中山期中）计算：．
17．（2025八下·中山期中）已知，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
18．（2025八下·中山期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，，CD＝8，求∠ADC的度数．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·中山期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．
（1）开始时，小船距岸A的距离为_______；
（2）若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长．
20．（2025八下·中山期中）如图，在□中，对角线，相交于点，交的延长线于点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求平行四边形的面积．
21．（2025八下·中山期中）我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”．
（1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形；
（2）当时，求菱形的“神似度”．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025八下·中山期中）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是，连接，，，设点P、Q运动的时间为．
（1）当t为何值时，四边形是矩形？
（2）当t为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？
（3）当t为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？
23．（2025八下·中山期中）在学习特殊的平行四边形后，兴趣小组开展了动点问题的探究活动．
【问题情境】：
在中，，E是边上一动点，连接．
【发现问题】：
（1）如图1，若交于点M，猜想线段与的数量关系，并证明；
【类比探究】：
（2）如图2，若且，以为边，在右侧作正方形，连接，当点E在上运动时（不与B、C重合），的大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请求出的度数．
【拓展迁移】：
（3）如图3，当为正方形时，延长线上有一点P，，在直线的右侧作，且，点R为线段的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故是直角三角形，故此选不项符合题意；
B、，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，故是直角三角形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，计算错误，故此选项不符合题意；
B.和不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C.，计算正确，故此选项符合题意；
D.，计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据二次根式的加减法和二次根式的乘除法法则对每个选项逐一计算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：E、F分别是、的中点，
是的中位线，且，
．
故答案为：C．
【分析】先证出EF是的中位线，再利用中位线的性质可得，最后求解即可.
6．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，
，，
解得：，，
当是直角边时，斜边长，
当是斜边，则第三条边长，
综上所述，第三条边长为或．
故答案为：C．
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出m、n的值，再分类并利用勾股定理求出第三条边的长即可.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线不一定相等，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，则说法正确，故本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如图：
，
∴，
∴，
∴，
∴点A表示的数为．
故答案为：D．
【分析】如图可得：，由勾股定理可得，则，进而求得即可解答．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质得出、的长，再根据勾股定理可得BC=5，再根据菱形面积即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小，
此时，，
即，
解得，
∴线段长的最小值为．
故答案为：C．
【分析】连接CD，先证出由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小，再利用，求出，最后可得线段长的最小值为．
11．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：==5.
故答案为：5.
【分析】根据二次根式的基本性质解答即可.
12．【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再求出m的值即可.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再结合，，最后求出即可.
14．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
…，
依次类推，第个直角三角形的斜边长是，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AC、AD和AE的长，再求出规律，即可得到第个直角三角形的斜边长是.
15．【答案】2025
【知识点】分母有理化；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：2025．
【分析】参照题干中的定义及计算方法列出算式求出，再将其代入计算即可.
16．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
17．【答案】（1）解：，，
；
（2）解：，，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先将代数式变形为，再将代入计算即可；
（2）先将代数式变形为，再将代入计算即可.
（1）解：，，
；
（2）解：，，
，
．
18．【答案】解：∵AB=AD=4，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，BD=4，
∵BC=，CD=8．
∴BD2+CD2=42+82=16+64=80=（）2，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°，
即∠ADC的度数是150°．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据等边三角形判定定理可得△ABD是等边三角形，则∠ADB=60°，BD=4，根据勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）12
（2）解：∵琪琪收绳后，船到达处，
，
，
.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，
，
故答案为：12；
【分析】（1）结合题意，利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据题意先求出=8m，然后再利用勾股定理求出的长，最后计算求解即可.
（1）解：在中，，
，
故答案为：12；
（2）∵琪琪收绳后，船到达处，
，
，
．
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
交的延长线于点，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形
，
，
，
四边形是矩形．
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
矩形的面积是.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得AB//CD，再结合BE//AC，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再利用等边三角形的性质及勾股定理求出BC的长，再利用矩形的面积公式求解即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
交的延长线于点，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形
，
，
，
四边形是矩形．
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
矩形的面积是
21．【答案】（1）
（2）解：如图，连接和，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即菱形的“神似度”为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵对角线相等的菱形是正方形，
∴当时，即时，菱形是正方形，
∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形，
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形的判定定理解答；
（2）连接和，交于点，可以得到、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，求出，，然后根据“神似度”的定义计算解题．
22．【答案】（1）解：四边形是矩形，
，，
当时，四边形是矩形，即：，
解得．
答：当时，四边形是矩形.
（2）解：，，
，即
，
四边形为平行四边形，
在矩形中，
当，即时，四边形为菱形．
解得：．
答：当时，四边形是菱形；
当时，，面积为：.
（3）解：①当，即时，为等腰三角形，
解得：；
②当，即时，为等腰三角形，
整理得：，
解得，
综上所述，当或3时，是以为一腰的等腰三角形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可得，再求出t的值即可；
（2）先证出四边形为平行四边形，再利用菱形的判定可得，再列出方程求出t的值，最后求出菱形的面积即可；
（3）分类讨论：①当，②当，再分别列出方程求解即可.
（1）解：四边形是矩形，
，，
当时，四边形是矩形，即：，
解得．
答：当时，四边形是矩形；
（2）解：，，
，即
，
四边形为平行四边形，
在矩形中，
当，即时，四边形为菱形．
解得：．
答：当时，四边形是菱形；
当时，，面积为：；
（3）解：①当，即时，为等腰三角形，
解得：；
②法一：当，即时，为等腰三角形，
整理得：，
解得，
法二：过点作交于点，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
，
又，
，
解得，
综上所述，当或3时，是以为一腰的等腰三角形．
23．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形，
，，
，
，
；
（2）解：的大小不会变化，
四边形是菱形，且，
四边形是正方形，
过点作，交的延长线于，如图，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图中，连接，作交于，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
点的运动轨迹是线段，
点从运动到时，
，
，
当点从点运动到点时，点运动的路径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先证出四边形是菱形，再利用菱形的性质可得，，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得AM=CM；
（2）过点作，交的延长线于，先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，可得，最后求出即可；
（3）连接，作交于，先利用“SAS”证出，再用全等三角形的性质可得，再证出点的运动轨迹是线段，最后求解即可.
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