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广东省广州市增城广附教育集团联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．（2025八下·增城期中）在球的表面积公式中，下列说法正确的是（　　）
A．V，，R是变量，4为常量 B．V，是变量，R为常量
C．V，R是变量，4，为常量 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：在球的表面积公式中，V、R是变量，4、为常量．
故答案为：C．
【分析】利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可.
2．（2025八下·增城期中）如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在直线外选一点C，连接，并分别取线段的中点E，F，测得，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F分别为线段的中点，
∴是的中位线，且，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证出是的中位线，再利用三角形中位线的性质可得，从而得解.
3．（2025八下·增城期中）下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是矩形
B．平行四边形的对边平行且相等
C．菱形的对角线相等
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的四边形不是矩形，故A错误；
平行四边形的对边平行且相等，故B正确；
菱形的对角线一般不相等，故C错误；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是梯形，不一定是平行四边形，故D错误，
故答案为：B．
【分析】利用矩形和平行四边形的判定方法和平行四边形和菱形的性质逐项分析判断即可.
4．（2025八下·增城期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，故该选项错误，不合题意；
B．不能合并，故该选项错误，不符合题意；
C．，故该选项错误，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据二次根式的加法、减法、除法运算，平方差公式逐项判断即可．
5．（2025八下·增城期中）如图，直线，垂足为O，线段，以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求出OC的长即可.
6．（2025八下·增城期中）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，设
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP=AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a.
故答案为：B．
【分析】 木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，在此滑动过程中， △AOB始终是直角三角形，且斜边AB的长度保持不变，进而根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案．
7．（2025八下·增城期中）如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故答案为：D．
【分析】结合图形可得蓄水池的下部分比上部分的体积小，可得进水的速度，再结合函数图象分析求解即可.
8．（2025八下·增城期中）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（　　）
A．25 B．36 C．49 D．64
【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a，
∵大正方形的面积是169，
∴，
∵直角三角形的长直角边是12，
∴，
∴小正方形的边长，
∴小正方形的面积．
故选：C．
【分析】根据题意先求出大正方形的边长为13，再利用勾股定理计算求解即可.
9．（2025八下·增城期中）如图，将一把三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算求出，利用平行四边形的性质可得，利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出的度数即可.
10．（2025八下·增城期中）如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，．
设．
给出下面三个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，，，，
∴四边形是正方形，且边长为a，四边形是正方形且边长为b，四边形和四边形是矩形，长为b，宽为a，
在中，，，
由勾股定理得：，
根据三角形三边之间的关系得：，
∴，
故结论①正确；
②在中，，，
由勾股定理得：，
在中，根据三角形三边之间的关系得：，
，
，
故结论②正确；
③在中，，，
由勾股定理得：，
，
故结论③不正确；
④由③可知：，
故结论④不正确，
综上所述：正确结论的序号是 ①②．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出OD的长，再利用三角形三边的关系分析求出并判断出①是否正确；再利用勾股定理求出OB的长，再利用三角形三边的关系分析求出并判断出②是否正确；先利用勾股定理求出BD的长，再求出，判断出③和④是否正确，从而得解.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（2025八下·增城期中）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 　 ．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．（2025八下·增城期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为　 　．
【答案】
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得：，
当时，，解得，
则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为，
故答案为：．
【分析】利用“ 油箱内余油量油箱中原来的油量每小时耗油量行驶时间 ”列出函数解析式，再求出自变量的取值范围即可.
13．（2025八下·增城期中）“矩形的对角线相等”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【知识点】矩形的性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】根据互逆命题的关系，可知其逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，而对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知是假命题.
故答案为：假.
【分析】根据题意先求出逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，再作答求解即可.
14．（2025八下·增城期中）如图，在中，，点D，E，F分别是，，的中点，则四边形的周长为　 　．
【答案】14
【知识点】线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在中，，点D， F分别是，的中点，
∴．
又∵E是的中点，
∴．
∴．
∴四边形的周长．
故答案为：14．
【分析】先利用中点的性质可得，再利用中位线的性质可得，最后利用四边形的周长公式求解即可.
15．（2025八下·增城期中）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC AE=2×3=6．
故答案为：6．
【分析】先求出四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定方法求出四边形ABCD是菱形，最后利用菱形的面积公式计算求解即可.
16．（2025八下·增城期中）如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，当取得最小值时，的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，点关于的对称点是点，此时，
∵点是动点，
∴，
∴当三点共线时，即点运动到点处，的值最小，
在中，，
∴，
∴取得最小值是，
如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
设，
∴，即，
解得：，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【分析】连接、，先证出当三点共线时，即点运动到点处，的值最小，再过点作于点，作于点，则四边形是矩形，再证出矩形是正方形，设，利用三角形的面积公式及割补法可得，即，求出x的值，可得，最后求出的面积为即可.
三、解答题（本题有9个小题，共72分。解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤。）
17．（2025八下·增城期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
18．（2025八下·增城期中）如图，，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】先证出，再结合，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可.
19．（2025八下·增城期中）如图，在中，，求的长．
【答案】解：∵在中，，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
20．（2025八下·增城期中）已知．
（1）求的值；
（2）若y的小数部分为b，求b的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴
．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵的小数部分为，
∴．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先求出x+y和xy的值，再将其代入计算即可；
（2）先利用估算无理数大小的方法求出，可得的小数部分为．
（1）解：∵，
∴，，
∴
．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵的小数部分为，
∴．
21．（2025八下·增城期中）如图，在中，平分，交于点．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若，求四边形的周长．
【答案】（1）解：根据尺规作垂线得到线段的垂直平分线，如图所示，
∴即为所求线段；
（2）解：设交于点，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的作图方法和步骤作出线段CD的垂直平分线即可；
（2）设交于点，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再证出四边形是菱形，最后利用周长公式求解即可.
（1）解：根据尺规作垂线得到线段的垂直平分线，如图所示，
∴即为所求线段；
（2）解：设交于点，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为．
22．（2025八下·增城期中）如图，在一条东西走向的河，河一侧有村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点机H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）请问是否为从村庄到河边的最近路？请说明理由；
（2）求原来的路线的长．
【答案】（1）解：是村庄到河边的最近路，
理由如下：∵千米，千米，千米，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
由垂线段最短可知，是村庄到河边的最近路．
（2）解：设千米，则千米，
由（1）已得：，
在中，，即，
解得，
即千米，
答：原来的路线的长为千米．
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，再利用垂线段最短的性质可得是村庄到河边的最近路；
（2）设千米，则千米，利用勾股定理可得，即，求出x的值可得AC的长.
（1）解：是村庄到河边的最近路，理由如下：
∵千米，千米，千米，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
由垂线段最短可知，是村庄到河边的最近路．
（2）解：设千米，则千米，
由（1）已得：，
在中，，即，
解得，
即千米，
答：原来的路线的长为千米．
23．（2025八下·增城期中）在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，交于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
在平行四边形中，，，
在中，，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（）利用三角形中位线的性质求出，，再求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（）根据题意先求出，，再利用勾股定理求出AC的值，最后计算求解即可.
24．（2025八下·增城期中）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
回答下列问题：
（1）仿照上列等式，直接写出第n个等式；
（2）利用你观察到的规律，化简：；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：
．
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：由题意得：①，
②，
③，
则第个等式：，
故答案为：.
【分析】（1）利用题干中的等式可得规律；
（2）利用（1）的规律并利用分母有理化求解即可；
（3）先利用分母有理化将原式变形为，再计算即可.
（1）解：由题意得：①，
②，
③，
则第个等式：．
（2）解：
．
（3）解：
．
25．（2025八下·增城期中）如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且，连接交边于点，过点作，垂足为，交于点．
（1）求的度数；
（2）当，时，求的长；
（3）若点是的中点，求证：．
【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴.
（3）证明：∵是的中点，
∴，
设，，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（）连接，先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得，再证出，最后求出可即可；
（）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换求出CM的长即可；
（）先利用中点的定义设，，则，，，再求出，，，连接，再利用勾股定理可得，求出，最后求出即可．
（1）解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）证明：∵是的中点，
∴，
设，，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东省广州市增城广附教育集团联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．（2025八下·增城期中）在球的表面积公式中，下列说法正确的是（　　）
A．V，，R是变量，4为常量 B．V，是变量，R为常量
C．V，R是变量，4，为常量 D．以上都不对
2．（2025八下·增城期中）如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在直线外选一点C，连接，并分别取线段的中点E，F，测得，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·增城期中）下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是矩形
B．平行四边形的对边平行且相等
C．菱形的对角线相等
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
4．（2025八下·增城期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·增城期中）如图，直线，垂足为O，线段，以点A为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2025八下·增城期中）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断
7．（2025八下·增城期中）如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·增城期中）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（　　）
A．25 B．36 C．49 D．64
9．（2025八下·增城期中）如图，将一把三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·增城期中）如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，．
设．
给出下面三个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（2025八下·增城期中）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 　 ．
12．（2025八下·增城期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为　 　．
13．（2025八下·增城期中）“矩形的对角线相等”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
14．（2025八下·增城期中）如图，在中，，点D，E，F分别是，，的中点，则四边形的周长为　 　．
15．（2025八下·增城期中）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　 　．
16．（2025八下·增城期中）如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，当取得最小值时，的面积为　 　．
三、解答题（本题有9个小题，共72分。解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤。）
17．（2025八下·增城期中）计算：．
18．（2025八下·增城期中）如图，，．求证：四边形是平行四边形．
19．（2025八下·增城期中）如图，在中，，求的长．
20．（2025八下·增城期中）已知．
（1）求的值；
（2）若y的小数部分为b，求b的值．
21．（2025八下·增城期中）如图，在中，平分，交于点．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若，求四边形的周长．
22．（2025八下·增城期中）如图，在一条东西走向的河，河一侧有村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点机H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）请问是否为从村庄到河边的最近路？请说明理由；
（2）求原来的路线的长．
23．（2025八下·增城期中）在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，交于点，若，求的长．
24．（2025八下·增城期中）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
回答下列问题：
（1）仿照上列等式，直接写出第n个等式；
（2）利用你观察到的规律，化简：；
（3）计算：．
25．（2025八下·增城期中）如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且，连接交边于点，过点作，垂足为，交于点．
（1）求的度数；
（2）当，时，求的长；
（3）若点是的中点，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：在球的表面积公式中，V、R是变量，4、为常量．
故答案为：C．
【分析】利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F分别为线段的中点，
∴是的中位线，且，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证出是的中位线，再利用三角形中位线的性质可得，从而得解.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的四边形不是矩形，故A错误；
平行四边形的对边平行且相等，故B正确；
菱形的对角线一般不相等，故C错误；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是梯形，不一定是平行四边形，故D错误，
故答案为：B．
【分析】利用矩形和平行四边形的判定方法和平行四边形和菱形的性质逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，故该选项错误，不合题意；
B．不能合并，故该选项错误，不符合题意；
C．，故该选项错误，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据二次根式的加法、减法、除法运算，平方差公式逐项判断即可．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求出OC的长即可.
6．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，设
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP=AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a.
故答案为：B．
【分析】 木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，在此滑动过程中， △AOB始终是直角三角形，且斜边AB的长度保持不变，进而根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案．
7．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故答案为：D．
【分析】结合图形可得蓄水池的下部分比上部分的体积小，可得进水的速度，再结合函数图象分析求解即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a，
∵大正方形的面积是169，
∴，
∵直角三角形的长直角边是12，
∴，
∴小正方形的边长，
∴小正方形的面积．
故选：C．
【分析】根据题意先求出大正方形的边长为13，再利用勾股定理计算求解即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算求出，利用平行四边形的性质可得，利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出的度数即可.
10．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，，，，
∴四边形是正方形，且边长为a，四边形是正方形且边长为b，四边形和四边形是矩形，长为b，宽为a，
在中，，，
由勾股定理得：，
根据三角形三边之间的关系得：，
∴，
故结论①正确；
②在中，，，
由勾股定理得：，
在中，根据三角形三边之间的关系得：，
，
，
故结论②正确；
③在中，，，
由勾股定理得：，
，
故结论③不正确；
④由③可知：，
故结论④不正确，
综上所述：正确结论的序号是 ①②．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出OD的长，再利用三角形三边的关系分析求出并判断出①是否正确；再利用勾股定理求出OB的长，再利用三角形三边的关系分析求出并判断出②是否正确；先利用勾股定理求出BD的长，再求出，判断出③和④是否正确，从而得解.
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得：，
当时，，解得，
则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为，
故答案为：．
【分析】利用“ 油箱内余油量油箱中原来的油量每小时耗油量行驶时间 ”列出函数解析式，再求出自变量的取值范围即可.
13．【答案】假
【知识点】矩形的性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】根据互逆命题的关系，可知其逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，而对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知是假命题.
故答案为：假.
【分析】根据题意先求出逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，再作答求解即可.
14．【答案】14
【知识点】线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在中，，点D， F分别是，的中点，
∴．
又∵E是的中点，
∴．
∴．
∴四边形的周长．
故答案为：14．
【分析】先利用中点的性质可得，再利用中位线的性质可得，最后利用四边形的周长公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC AE=2×3=6．
故答案为：6．
【分析】先求出四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定方法求出四边形ABCD是菱形，最后利用菱形的面积公式计算求解即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，点关于的对称点是点，此时，
∵点是动点，
∴，
∴当三点共线时，即点运动到点处，的值最小，
在中，，
∴，
∴取得最小值是，
如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
设，
∴，即，
解得：，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【分析】连接、，先证出当三点共线时，即点运动到点处，的值最小，再过点作于点，作于点，则四边形是矩形，再证出矩形是正方形，设，利用三角形的面积公式及割补法可得，即，求出x的值，可得，最后求出的面积为即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
18．【答案】证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】先证出，再结合，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可.
19．【答案】解：∵在中，，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
20．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴
．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵的小数部分为，
∴．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先求出x+y和xy的值，再将其代入计算即可；
（2）先利用估算无理数大小的方法求出，可得的小数部分为．
（1）解：∵，
∴，，
∴
．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵的小数部分为，
∴．
21．【答案】（1）解：根据尺规作垂线得到线段的垂直平分线，如图所示，
∴即为所求线段；
（2）解：设交于点，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的作图方法和步骤作出线段CD的垂直平分线即可；
（2）设交于点，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再证出四边形是菱形，最后利用周长公式求解即可.
（1）解：根据尺规作垂线得到线段的垂直平分线，如图所示，
∴即为所求线段；
（2）解：设交于点，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为．
22．【答案】（1）解：是村庄到河边的最近路，
理由如下：∵千米，千米，千米，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
由垂线段最短可知，是村庄到河边的最近路．
（2）解：设千米，则千米，
由（1）已得：，
在中，，即，
解得，
即千米，
答：原来的路线的长为千米．
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，再利用垂线段最短的性质可得是村庄到河边的最近路；
（2）设千米，则千米，利用勾股定理可得，即，求出x的值可得AC的长.
（1）解：是村庄到河边的最近路，理由如下：
∵千米，千米，千米，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
由垂线段最短可知，是村庄到河边的最近路．
（2）解：设千米，则千米，
由（1）已得：，
在中，，即，
解得，
即千米，
答：原来的路线的长为千米．
23．【答案】（1）证明：∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
在平行四边形中，，，
在中，，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（）利用三角形中位线的性质求出，，再求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（）根据题意先求出，，再利用勾股定理求出AC的值，最后计算求解即可.
24．【答案】（1）
（2）解：
．
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：由题意得：①，
②，
③，
则第个等式：，
故答案为：.
【分析】（1）利用题干中的等式可得规律；
（2）利用（1）的规律并利用分母有理化求解即可；
（3）先利用分母有理化将原式变形为，再计算即可.
（1）解：由题意得：①，
②，
③，
则第个等式：．
（2）解：
．
（3）解：
．
25．【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴.
（3）证明：∵是的中点，
∴，
设，，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（）连接，先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得，再证出，最后求出可即可；
（）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换求出CM的长即可；
（）先利用中点的定义设，，则，，，再求出，，，连接，再利用勾股定理可得，求出，最后求出即可．
（1）解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）证明：∵是的中点，
∴，
设，，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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