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2025年广东省东莞市东莞外国语学校九年级数学下学期中考二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．
1．（2025九下·东莞期中）实数0，，1中，最小的数是（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴四个数中，最小的数是，
故答案为：B．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．（2025九下·东莞期中）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义并结合各选项即可判断求解．
3．（2025九下·东莞期中）一个多边形内角和是1440°，则这个多边形的边数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：
解得 ．
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和的公式求解即可。
4．（2025九下·东莞期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，根据积的乘方法则，，且负数的偶次幂为正：，但选项A结果为，错误，故A不符合题意；
B．，系数相乘，变量部分相乘：，与选项B一致，正确，故B符合题意；
C．，应用乘法分配律：，但选项C结果为，错误，故C不符合题意；
D．，根据完全平方公式：，但选项D结果为，缺少项，错误，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式和完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2025九下·东莞期中）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为a．已知，冬至时该市的正午日光入射角约为，则立柱高约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在中，，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用正切的定义及计算方法可得，再求出即可.
6．（2025九下·东莞期中）如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用邻补角的计算方法可得，再利用三角形外角的性质求出∠BFE的度数，最后利用对顶角的性质可得．
7．（2025九下·东莞期中）2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024 2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表：
时间/h
人数
则这些学生的综合体育活动时间的众数和中位数分别是（　　）
A．13，13 B．12，14 C．13，15 D．13，14
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格知，一周内体育活动时间为小时的有人，人数最多，
所以这些学生阅读时间的众数是；
因为共有人，
所以中位数是排序后第25，26名的平均数，即．
这些学生的综合体育活动时间的众数和中位数分别是，；
故答案为：A．
【分析】结合表格中的数据，再利用众数和中位数的定义及计算方法求解即可.
8．（2025九下·东莞期中）由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：∵溶液呈碱性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，
故答案为：B．
【分析】根据题意，溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，即可求出答案.
9．（2025九下·东莞期中）如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：过点作轴交轴于点，
∵菱形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
把代入，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据菱形的性质求出，再利用锐角三角函数求出BD和CD的值，最后计算求解即可.
10．（2025九下·东莞期中）如图，直线、表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案．下列说法正确的是（　　）
方案一： ①格点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点，即桥的位置． 方案二： ①连接交于点；②过点作，交于点，即桥的位置．
A．方案一、二均可行 B．方案一、二均不可行
C．唯方案一可行 D．唯方案二可行
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可．
在方案一中：垂直于河岸，，
连接，与另一条河岸相交于M，作直线，
由平移的性质，知，且，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
故方案一符合题意，方案二不是最短，
故答案为：C．
【分析】利用两点之间的距离公式及平行线的性质并结合图形分析求解即可.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2025九下·东莞期中）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
12．（2025九下·东莞期中）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：1．
【分析】先求出 ， ，再代入求解即可。
13．（2025九下·东莞期中）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为　 　．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】由题意可得：
．
【分析】设有x匹大马，y匹小马，则大马所拉的瓦的数量是3x片，大马所拉的瓦的数量是片，根据100匹马恰好拉了100片瓦，列出方程组。
14．（2025九下·东莞期中）学校通过开展丰富多彩的中医药文化活动，推动了中医药文化传承发展．如图是四味中药材图片，分别为紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，除正面内容外，其余完全相同，现从这四张图片中随机抽取两张进行研究，则抽到灵芝和天麻的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设A，B，C，D分别代表紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，
根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中灵芝和天麻的有2种，
∴恰好选中灵芝和天麻的概率是．
故答案为：．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
15．（2025九下·东莞期中）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由旋转知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据旋转性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据角之间的关系可得∠BCE，则，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025九下·东莞期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、算术平方根和绝对值的性质化简，再计算即可.
17．（2025九下·东莞期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
当时，原式．

【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内的，再将除法变为乘法，然后因式分解，并约分化到最简，最后代入求值即可．
18．（2025九下·东莞期中）如图所示，在三角形ABC中，D是AC上的一点．
（1）以AD为一边，在三角形ABC内求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AB于点E（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AB＝4，AD＝1，BC＝3，求DE的长．
【答案】（1）解：如图，∠ADE为所作；
（2）解： ∵∠DAE＝∠BAC，∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴DE＝．
【知识点】相似三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意在三角形ABC内作∠ADE＝∠B；
（2）根据（1）的结论可得∠ADE＝∠B，根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△ABC，列出比例式，代入数值进行计算求解即可．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025九下·东莞期中）王老师准备购买 A、B 两种型号的圆珠笔. 已知 A 型圆珠笔单价是 B 型圆珠笔单价的 1.5 倍. 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支.
（1） 求 A、B 两种型号的圆珠笔单价各是多少；
（2） 王老师想购买 A、B 两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元. 求 A 型圆珠笔最多可购买多少支？
【答案】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支
根据题意可得：
解得：
经检验：x=4是原方程的解.
（2）解：设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支
根据题意可得：
解得：
答：A 型圆珠笔最多可购买10 支.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支，根据 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支。可得出方程：，解方程，并进行检验，即可得出答案；
（2）设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支，然后根据 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元 ，即可得出：，解不等式可得出：，取最大整数解即可得出答案。
20．（2025九下·东莞期中）近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩．
【数据整理】
测试结束后，小李将两个人工智能产品的语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图：
小张将两个人工智能产品的三项能力测试成绩整理如下表：
人工智能产品 测试成绩/分
语言交互能力 分析能力 学习能力
A 9 8
B 7.5 8 9
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：___________．
（2）哪个人工智能产品的语言交互能力更强（从“平均数”“中位数”和“众数”中选择两个方面评价即可）？
（3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？
【答案】（1）7
（2）解：人工智能产品的语言交互能力更强，
理由如下：∵A的成绩从小到大排列：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
∴中位数是，众数是7；
∵B的成绩从小到大排列：6，6，6，6，7，8，8，9，9，10，
∴中位数是，众数是6．
从平均数来看，A，B的测试得分的平均数分别为7分，7.5分，B的测试得分的平均数大于的测试得分的平均数，人工智能产品的语言交互能力更强．
从中位数来看，的测试得分的中位数分别为7分，7.5分，的测试得分的中位数大于的测试得分的中位数，人工智能产品的语言交互能力更强．
（3）解：（分）．
（分）．
，
该公司应该选择使用人工智能产品．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：分．
故答案为：7.
【分析】（1）利用平均数的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用中位数和众数的定义及计算方法求解即可；
（3）利用加权平均数的定义及计算方法求解即可.
（1）解：分．
故答案为：7；
（2）解：人工智能产品的语言交互能力更强，理由如下：
∵A的成绩从小到大排列：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
∴中位数是，众数是7；
∵B的成绩从小到大排列：6，6，6，6，7，8，8，9，9，10，
∴中位数是，众数是6．
从平均数来看，A，B的测试得分的平均数分别为7分，7.5分，B的测试得分的平均数大于的测试得分的平均数，人工智能产品的语言交互能力更强．
从中位数来看，的测试得分的中位数分别为7分，7.5分，的测试得分的中位数大于的测试得分的中位数，人工智能产品的语言交互能力更强．
（3）解：）（分）．
（分）．
，
该公司应该选择使用人工智能产品．
21．（2025九下·东莞期中）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，．
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
（1）
解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【分析】
（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解；
（2）由平行于x轴和点N的坐标为可得点M的纵坐标为，把点M的纵坐标代入解析式可得关于x的一元二次方程，解方程求出点M的横坐标，根据MN的距离等于这两点的横坐标之差的绝对值即可求解；
（3）由发射点F不变，可得抛物线一定经过，由题意分两种情况：①抛物线经过，②抛物线经过，即可求解.
（1）解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
五、解答题（三）（本大题共2小题．第22题13分，第23题14分．共27分）
22．（2025九下·东莞期中）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，且．若反比例函数的图象分别交，于点，．
【构建联系】
（1）求证：．
（2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，求的值．
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，连接，．求的值．
【答案】解：（1）证明：设点，，
点，都在正方形上，
，且，
，即．
（2）如图1，过点作轴于点，交于点，
四边形是正方形，，
，，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
轴，
，
，
，
，．
，
，
解得，
点．
把点代入，解得；
（3）如图2，过点作于点，连接，
则四边形为矩形，
由（2），可知，，，，
，
．
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）设点，，再利用正方形的性质和反比例函数的性质求解即可；
（2）过点作轴于点，交于点，先证出，再利用相似三角形的性质列方程求出点A'的坐标，再求解即可；
（3）过点作于点，连接，先证出四边形为矩形，再求出A'C的长，最后利用正弦的定义求解即可.
23．（2025九下·东莞期中）【问题背景】已知平面内有直线．且和之间的距离为2，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板和，按如题-1图所示放置，其中三角形纸板的点在上，边在上．三角形纸板的边与所在的直线重合．且点位于直线下方．已知，，
【操作探究】
（1）如图1，当三角形纸板的点落在上时，________．
（2）若．
①如图2，三角形纸板的点与点重合，将其平移到的位置，使得点是的中点．求平移的距离．
②如图3，三角形纸板的点在直线上，设边和与直线分别交于点，．将三角形纸板绕着点旋转，设在旋转的过程中，，求的取值范围．
【拓展延伸】
（3）在三角形纸板沿直线移动的过程中，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的长度．
【答案】（1）；
（2）①根据题意得：，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴平移的距离为；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵边和与直线分别交于点，，
∴，
∴，
解得：；
（3）当点F在射线上时，如图所示：过点B作于点K，
∵，，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
∴；
当点F在线段上时，如图所示：作交于点P，过点P作于点Q，
∵，
∴，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
当点F在线段的延长线上时，不符合题意；
综上可得：的长度为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平移的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：15°.
【分析】（1）先利用角的运算求出，，利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出∠AEF的度数即可；
（2）①先求出，再利用线段中点的性质可得，利用线段的和差求出，从而得解；
②利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出，结合，求出即可；
（3）分类讨论：①当点F在射线上时，②当点F在线段上时，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可.
1 / 12025年广东省东莞市东莞外国语学校九年级数学下学期中考二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．
1．（2025九下·东莞期中）实数0，，1中，最小的数是（　　）
A．0 B． C．1 D．
2．（2025九下·东莞期中）2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·东莞期中）一个多边形内角和是1440°，则这个多边形的边数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2025九下·东莞期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·东莞期中）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为a．已知，冬至时该市的正午日光入射角约为，则立柱高约为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·东莞期中）如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·东莞期中）2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024 2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表：
时间/h
人数
则这些学生的综合体育活动时间的众数和中位数分别是（　　）
A．13，13 B．12，14 C．13，15 D．13，14
8．（2025九下·东莞期中）由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·东莞期中）如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（　　）
A． B． C． D．1
10．（2025九下·东莞期中）如图，直线、表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案．下列说法正确的是（　　）
方案一： ①格点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点，即桥的位置． 方案二： ①连接交于点；②过点作，交于点，即桥的位置．
A．方案一、二均可行 B．方案一、二均不可行
C．唯方案一可行 D．唯方案二可行
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2025九下·东莞期中）因式分解： 　 　.
12．（2025九下·东莞期中）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 　 　．
13．（2025九下·东莞期中）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为　 　．
14．（2025九下·东莞期中）学校通过开展丰富多彩的中医药文化活动，推动了中医药文化传承发展．如图是四味中药材图片，分别为紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，除正面内容外，其余完全相同，现从这四张图片中随机抽取两张进行研究，则抽到灵芝和天麻的概率是　 　．
15．（2025九下·东莞期中）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025九下·东莞期中）计算：．
17．（2025九下·东莞期中）先化简，再求值：，其中．
18．（2025九下·东莞期中）如图所示，在三角形ABC中，D是AC上的一点．
（1）以AD为一边，在三角形ABC内求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AB于点E（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AB＝4，AD＝1，BC＝3，求DE的长．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025九下·东莞期中）王老师准备购买 A、B 两种型号的圆珠笔. 已知 A 型圆珠笔单价是 B 型圆珠笔单价的 1.5 倍. 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支.
（1） 求 A、B 两种型号的圆珠笔单价各是多少；
（2） 王老师想购买 A、B 两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元. 求 A 型圆珠笔最多可购买多少支？
20．（2025九下·东莞期中）近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩．
【数据整理】
测试结束后，小李将两个人工智能产品的语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图：
小张将两个人工智能产品的三项能力测试成绩整理如下表：
人工智能产品 测试成绩/分
语言交互能力 分析能力 学习能力
A 9 8
B 7.5 8 9
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：___________．
（2）哪个人工智能产品的语言交互能力更强（从“平均数”“中位数”和“众数”中选择两个方面评价即可）？
（3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？
21．（2025九下·东莞期中）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，．
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围．
五、解答题（三）（本大题共2小题．第22题13分，第23题14分．共27分）
22．（2025九下·东莞期中）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，且．若反比例函数的图象分别交，于点，．
【构建联系】
（1）求证：．
（2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，求的值．
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，连接，．求的值．
23．（2025九下·东莞期中）【问题背景】已知平面内有直线．且和之间的距离为2，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板和，按如题-1图所示放置，其中三角形纸板的点在上，边在上．三角形纸板的边与所在的直线重合．且点位于直线下方．已知，，
【操作探究】
（1）如图1，当三角形纸板的点落在上时，________．
（2）若．
①如图2，三角形纸板的点与点重合，将其平移到的位置，使得点是的中点．求平移的距离．
②如图3，三角形纸板的点在直线上，设边和与直线分别交于点，．将三角形纸板绕着点旋转，设在旋转的过程中，，求的取值范围．
【拓展延伸】
（3）在三角形纸板沿直线移动的过程中，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴四个数中，最小的数是，
故答案为：B．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：
解得 ．
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和的公式求解即可。
4．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，根据积的乘方法则，，且负数的偶次幂为正：，但选项A结果为，错误，故A不符合题意；
B．，系数相乘，变量部分相乘：，与选项B一致，正确，故B符合题意；
C．，应用乘法分配律：，但选项C结果为，错误，故C不符合题意；
D．，根据完全平方公式：，但选项D结果为，缺少项，错误，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式和完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在中，，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用正切的定义及计算方法可得，再求出即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用邻补角的计算方法可得，再利用三角形外角的性质求出∠BFE的度数，最后利用对顶角的性质可得．
7．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格知，一周内体育活动时间为小时的有人，人数最多，
所以这些学生阅读时间的众数是；
因为共有人，
所以中位数是排序后第25，26名的平均数，即．
这些学生的综合体育活动时间的众数和中位数分别是，；
故答案为：A．
【分析】结合表格中的数据，再利用众数和中位数的定义及计算方法求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：∵溶液呈碱性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，
故答案为：B．
【分析】根据题意，溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：过点作轴交轴于点，
∵菱形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
把代入，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据菱形的性质求出，再利用锐角三角函数求出BD和CD的值，最后计算求解即可.
10．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可．
在方案一中：垂直于河岸，，
连接，与另一条河岸相交于M，作直线，
由平移的性质，知，且，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
故方案一符合题意，方案二不是最短，
故答案为：C．
【分析】利用两点之间的距离公式及平行线的性质并结合图形分析求解即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：1．
【分析】先求出 ， ，再代入求解即可。
13．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】由题意可得：
．
【分析】设有x匹大马，y匹小马，则大马所拉的瓦的数量是3x片，大马所拉的瓦的数量是片，根据100匹马恰好拉了100片瓦，列出方程组。
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设A，B，C，D分别代表紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，
根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中灵芝和天麻的有2种，
∴恰好选中灵芝和天麻的概率是．
故答案为：．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由旋转知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据旋转性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据角之间的关系可得∠BCE，则，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
16．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、算术平方根和绝对值的性质化简，再计算即可.
17．【答案】解：原式
．
当时，原式．

【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内的，再将除法变为乘法，然后因式分解，并约分化到最简，最后代入求值即可．
18．【答案】（1）解：如图，∠ADE为所作；
（2）解： ∵∠DAE＝∠BAC，∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴DE＝．
【知识点】相似三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据题意在三角形ABC内作∠ADE＝∠B；
（2）根据（1）的结论可得∠ADE＝∠B，根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△ABC，列出比例式，代入数值进行计算求解即可．
19．【答案】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支
根据题意可得：
解得：
经检验：x=4是原方程的解.
（2）解：设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支
根据题意可得：
解得：
答：A 型圆珠笔最多可购买10 支.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 B 型圆珠笔单价为 x 元/支，则 A 型圆珠笔单价为 1.5x 元/支，根据 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支。可得出方程：，解方程，并进行检验，即可得出答案；
（2）设 A 型圆珠笔购买 a 支，则 B 型圆珠笔可购买(15-a) 支，然后根据 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元 ，即可得出：，解不等式可得出：，取最大整数解即可得出答案。
20．【答案】（1）7
（2）解：人工智能产品的语言交互能力更强，
理由如下：∵A的成绩从小到大排列：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
∴中位数是，众数是7；
∵B的成绩从小到大排列：6，6，6，6，7，8，8，9，9，10，
∴中位数是，众数是6．
从平均数来看，A，B的测试得分的平均数分别为7分，7.5分，B的测试得分的平均数大于的测试得分的平均数，人工智能产品的语言交互能力更强．
从中位数来看，的测试得分的中位数分别为7分，7.5分，的测试得分的中位数大于的测试得分的中位数，人工智能产品的语言交互能力更强．
（3）解：（分）．
（分）．
，
该公司应该选择使用人工智能产品．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：分．
故答案为：7.
【分析】（1）利用平均数的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用中位数和众数的定义及计算方法求解即可；
（3）利用加权平均数的定义及计算方法求解即可.
（1）解：分．
故答案为：7；
（2）解：人工智能产品的语言交互能力更强，理由如下：
∵A的成绩从小到大排列：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
∴中位数是，众数是7；
∵B的成绩从小到大排列：6，6，6，6，7，8，8，9，9，10，
∴中位数是，众数是6．
从平均数来看，A，B的测试得分的平均数分别为7分，7.5分，B的测试得分的平均数大于的测试得分的平均数，人工智能产品的语言交互能力更强．
从中位数来看，的测试得分的中位数分别为7分，7.5分，的测试得分的中位数大于的测试得分的中位数，人工智能产品的语言交互能力更强．
（3）解：）（分）．
（分）．
，
该公司应该选择使用人工智能产品．
21．【答案】（1），
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
（1）
解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【分析】
（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解；
（2）由平行于x轴和点N的坐标为可得点M的纵坐标为，把点M的纵坐标代入解析式可得关于x的一元二次方程，解方程求出点M的横坐标，根据MN的距离等于这两点的横坐标之差的绝对值即可求解；
（3）由发射点F不变，可得抛物线一定经过，由题意分两种情况：①抛物线经过，②抛物线经过，即可求解.
（1）解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
22．【答案】解：（1）证明：设点，，
点，都在正方形上，
，且，
，即．
（2）如图1，过点作轴于点，交于点，
四边形是正方形，，
，，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
轴，
，
，
，
，．
，
，
解得，
点．
把点代入，解得；
（3）如图2，过点作于点，连接，
则四边形为矩形，
由（2），可知，，，，
，
．
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）设点，，再利用正方形的性质和反比例函数的性质求解即可；
（2）过点作轴于点，交于点，先证出，再利用相似三角形的性质列方程求出点A'的坐标，再求解即可；
（3）过点作于点，连接，先证出四边形为矩形，再求出A'C的长，最后利用正弦的定义求解即可.
23．【答案】（1）；
（2）①根据题意得：，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴平移的距离为；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵边和与直线分别交于点，，
∴，
∴，
解得：；
（3）当点F在射线上时，如图所示：过点B作于点K，
∵，，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
∴；
当点F在线段上时，如图所示：作交于点P，过点P作于点Q，
∵，
∴，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
当点F在线段的延长线上时，不符合题意；
综上可得：的长度为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平移的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：15°.
【分析】（1）先利用角的运算求出，，利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出∠AEF的度数即可；
（2）①先求出，再利用线段中点的性质可得，利用线段的和差求出，从而得解；
②利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出，结合，求出即可；
（3）分类讨论：①当点F在射线上时，②当点F在线段上时，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可.
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