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广东省广州市越秀区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
1．（2026八上·越秀期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·越秀期末）三角形的三边长为2，5，a，则a的取值可能是（　　）．
A．2 B．3 C．6 D．7
3．（2026八上·越秀期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（　　）米．
A．25 B．22.5 C．12.5 D．20
4．（2026八上·越秀期末）如图，已知两个三角形全等，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026八上·越秀期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，则的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2026八上·越秀期末）下列运算正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
7．（2026八上·越秀期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2026八上·越秀期末）物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为，并联电路的总电阻为，三者之间的关系为，则用表示，结果正确的是（　　）．
A． B． C． D．
9．（2026八上·越秀期末）如图，点为的重心，，，，则的面积为（　　）．
A． B． C． D．
10．（2026八上·越秀期末）密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（　　）．
A．4184 B．4084 C．4284 D．4384
11．（2026八上·越秀期末）薄振膜能让耳机音质更清晰，耳机中的微型动圈振膜可薄至0.000015米，数字0.000015用科学记数法可表示为　 　．
12．（2026八上·越秀期末）若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
13．（2026八上·越秀期末）若点与点关于x轴对称，则　 　．
14．（2026八上·越秀期末）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为　 　．
15．（2026八上·越秀期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为　 　．
16．（2026八上·越秀期末）如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为　 　．（用含有m和n的式子表示）
17．（2026八上·越秀期末）计算：
18．（2026八上·越秀期末）如图，，，求证：．
19．（2026八上·越秀期末）设．
（1）当时，求A的值；
（2）当n为整数时，求证：A是8的倍数．
20．（2026八上·越秀期末）设．
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
21．（2026八上·越秀期末）如图，已知线段．
（1）求作等腰，使得底边，边上的高；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（）的条件下，若，求的度数．
22．（2026八上·越秀期末）如图，为等边三角形，点为边中点，点为线段上一动点（点与点不重合），且为等边三角形，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）当取最小值时，求的度数．
23．（2026八上·越秀期末）水果批发市场的水果批发价格每天随市场供需变化而波动．第一次商家甲用600元买某种水果，商家乙用900元买同一种水果，结果乙买到的重量比甲多30千克．
（1）求该水果第一次的批发价格；
（2）若第二次水果价格发生变化，每千克批发价比第一次降低了2元．商家甲仍购买与第一次相同重量的这种水果，商家乙仍花费与第一次相同的金额购买这种水果．分别求甲、乙两次购买这种水果的平均单价；
（3）在水果批发市场中，有人习惯每次进固定重量的货，有人习惯每次花固定金额进货．从长期来看，哪种进货方式更合算 请运用所学的数学知识说明理由．
24．（2026八上·越秀期末）如图，中，，，点分别为边上动点（点与点不重合），且，过点作边的垂线交的延长线于点．
（1）设，求证：；
（2）若为等腰三角形，求的度数；
（3）设的周长为，点在运动的过程中，的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的取值范围．
25．（2026八上·越秀期末）如图，，，，垂足分别为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积；
（3）如图，延长交于点，点为直线左侧一点，且，，连接．求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：如下图所示，沿虚线所在的直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
【分析】把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得5 2＜a＜5＋2，
即3＜a＜7，
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）求出第三边的取值范围，再求解即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
在和中，
∵，
∴，
∴米，
∴A，B间的距离为25米，
故答案为：A．
【分析】根据题目情境得，，，即可得，根据全等性质得米．
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图，
左侧图形中边所对应的角的度数为：.
∵左右两个三角形全等，
∴左侧图形中边所对应的角的度数＝.
∴.
故答案为：A.
【分析】根据三角形内角和定理得左侧图形中边所对应的角的度数，根据全等三角形的性质即可得的度数.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出BE=AE=5，然后根据线段构成，由BC=BE+CE可算出答案.
6．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；多项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：Ａ、因为=≠，所以 A错误.
Ｂ、因为==≠，所以 B错误.
Ｃ、因为==≠，所以 C错误.
Ｄ、因为==，所以D正确．
故答案为：D．
【分析】根据=≠，==≠，==≠，==即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，，结合三角形内角和定理得，再根据等腰三角形的性质，再利用三角形外角性质求出即可得答案.
8．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式的加法运算，对通分计算，根据倒数的定义即可得答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，
延长交于点，
∵点为的重心，
∴是的中线，，
∵，，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，可得是的中线，，又由已知可得，进一步得，进而由即得答案.
10．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
设因式码为，，，且（确保因式码为正），
给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4，
∵，为正整数且，
∴
又，
∵，
∴，，
∴
故三个因式码从小到大依次为，，
∵，
∴可能情况为，，
则，解得：
此时，
因式码排序为40、8、4，密码为4084，
其他情况（如或）均无正整数解，
∴密码为4084，
故答案为：B．
【分析】把分解为，根据因式码为这三个因式的值，给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4，进一步计算出的值，即可得答案.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000015＝1.5×10 5．
故答案为：1.5×10 5．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵分式 有意义，
∴x＋1≠0，
∴x≠－1．
故答案为x≠－1．
【分析】若改为分式 有意义则X+1＞0 故X＞ 1
13．【答案】5
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征求出和的值，即可求的值.
14．【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，
能组成三角形，
周长＝5＋5＋2＝12，
②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，
不能组成三角形，
故答案为：12．
【分析】分5是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
15．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
过点P作交于点M，过点P作交于点N，
∵，
∴，
①当点D在点时，
∵为的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
②当点D在点时，
∵
∴
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【分析】过点P作交于点M，过点P作交于点N，根据条件求出，当点D在点时，根据角平分线的性质得到与相等，根据条件证明证明出和全等，根据全等性质得得到，即可得的度数，同理得当点D在点时，求得的度数为，综合即可得的度数.
16．【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
∵图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图3的阴影面积，
故答案为：．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图1和图2的阴影面积，可推出，则可推出，根据图3的阴影面积，据此得图3的阴影面积为.
17．【答案】解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先计算乘除法得，最后算加减即可得答案.
18．【答案】证明：如图，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据，，，结合全等三角形的判定定理即可证明与
全等，根据全等性质即可得.
19．【答案】（1）解：当时，
∴当时，求A的值为8.
（2）解：∵
又∵ n 为整数，
∴是8的倍数，
∴ A 是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）把代入计算即可得答案.
（2）把化简得，再根据n 为整数，即可得是8的倍数，进一步得n为整数时，A是8的倍数．
（1）解：当时，；
（2）解：
∵ n 为整数，
∴是8的倍数，
因此 A 是8的倍数．
20．【答案】（1）解：
=
（2）解：∵
由（1）得
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算把化简即可.
（2）把计算得，代入即可得答案.
（1）解：
=
（2）解：∵
21．【答案】（1）解：根据条件作图如下：
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（）作射线AE，在射线上截取，根据线段中垂线的尺规作图方法作线段的垂直平分线，垂足为点，再截取，连接即可得底边，边上的高的
等腰.
（）再等腰中，有，根据得，再根据直角三角形两锐角互余即可得答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：如图，
∵是等边三角形，点为边中点，
∴.
∴的度数为.
（2）证明：如图，
∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图，
延长交于点，过点作于，交的延长线于点，
∵，
∴点在与成的射线上运动，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，点为边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点和点关于射线对称，
由轴对称的性质可知此时取最小值，
∴当取最小值时，．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（）根据等边三角形的性质，结合是等边三角形，点为边中点得，
即可得答案.
（）根据等边三角形的性质结合是等边三角形，是等边三角形，得证明和全等即可得.
（）延长交于点，过点作于，交的延长线于点，根据可知点在与成的射线上运动，延长交于点，过点作于，交的延长线于点，可证点和点关于射线对称，由轴对称性质可知此时取最小值.
（1）解：∵是等边三角形，点为边中点
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴点在与成的射线上运动，
如图，延长交于点，过点作于，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，点为边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点和点关于射线对称，
由轴对称的性质可知此时取最小值，
∴当取最小值时，．
23．【答案】（1）解：设该水果第一次的批发价格为a元/千克，商家甲买到的重量为b千克，
根据题意得：，
解得：，
答：该水果第一次的批发价格为10元/千克
（2）解：由（1）得该水果第一次的批发价格为10元/千克，商家甲第一次买到的重量为60千克，商家乙第一次买到的重量为90千克，
所以第二次水果价格为10-2=8（元/千克），
商家甲购买这种水果的平均单价为：（元/千克），
商家乙购买这种水果的平均单价为：（元/千克）
（3）解：由（2）可知，
所以从长期来看，每次花固定金额进货更合算．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；解二元二次方程组；有理数大小比较的实际应用
【解析】【分析】（1）依据题意，设该水果第一次的批发价格为a元/千克，商家甲买到的重量为b千克，根据题意列出式子进而计算可以得解；
（2）依据题意，由（1）得，第一次批发价为10元/千克，则第二次批发单价为：10 2＝8（元/千克），又甲第一次购买的重量：600÷10＝60（千克），甲第二次购买花费：60×8＝480（元），故甲两次总花费：600＋480＝1080（元），结合甲两次总重量：60＋60＝120（千克），可得甲的平均单价＝＝9（元/千克），同理计算可得乙的平均单价，进而得解；
（3）依据题意，设两次进货的单价分别为m元/千克、n元/千克（m＞0，n＞0，且m≠n），通过计算两种方式的平均单价进行比较进而得解．
24．【答案】（1）证明：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
当时，，
∴，
由（）得，，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴此种情况不存在，
当时，，
∴，
∴，
综上，当为等腰三角形时，的度数为或.
（3）解：如图，
的值不会发生变化，为定值，理由如下：如图，过点作的延长线于点，过点作于点，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴的值不会发生变化，为定值．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；正方形的判定与性质；直角三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（）根据直角三角形两锐角互余，结合已知条件得，再根据平角定义即可得.
（）根据等腰直角三角形的性质，结合已知条件得，进而得到，当时，，进一步得，同理得当时，，可得此种情况不存在，当时，，可得，综合即可得答案.
（）过点作的延长线于点，过点作于点，连接，可证四边形是正方形，得到都为4，再分别证明全等和全等，得到，，进而得到等于的和，进一步得等于的和，即可得等于的和，计算得的值不会发生变化，为定值．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
当时，，
∴，
由（）得，，
∴；
当时，，
∴，
∵，
∴此种情况不存在；
当时，，
∴，
∴；
综上，当为等腰三角形时，的度数为或；
（3）解：的值不会发生变化，为定值，理由如下：
如图，过点作的延长线于点，过点作于点，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴的值不会发生变化，为定值．
25．【答案】（1）证明：如图1，
∵，，
∴，，
∴.
（2）解：如图，
过点作的延长线于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为3.
（3）证明：如图，
过点和点作、的垂线，两垂线相交于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（）知，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；矩形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（）根据余角性质，结合，，得，，进一步得.
（）过点作的延长线于点，可证四边形是矩形，得到相等，进而得到等于，再根据已知条件证明与全等，根据全等性质得到为3，为5，即得到为2，再根据三角形的面积公式计算得的面积为3.
（）分别过点和点作、的垂线，两垂线相交于点，可证四边形是正方形，得到相等，根据已知条件可证明与全等，进而得到相等，再证明与全等，即可得到相等，相等，进而证明与全等，即可得到相等，即可得全等.
（1）证明：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：如图，过点作的延长线于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：如图，分别过点和点作、的垂线，两垂线相交于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（）知，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东省广州市越秀区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
1．（2026八上·越秀期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：如下图所示，沿虚线所在的直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
【分析】把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形.
2．（2026八上·越秀期末）三角形的三边长为2，5，a，则a的取值可能是（　　）．
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得5 2＜a＜5＋2，
即3＜a＜7，
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）求出第三边的取值范围，再求解即可.
3．（2026八上·越秀期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（　　）米．
A．25 B．22.5 C．12.5 D．20
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
在和中，
∵，
∴，
∴米，
∴A，B间的距离为25米，
故答案为：A．
【分析】根据题目情境得，，，即可得，根据全等性质得米．
4．（2026八上·越秀期末）如图，已知两个三角形全等，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图，
左侧图形中边所对应的角的度数为：.
∵左右两个三角形全等，
∴左侧图形中边所对应的角的度数＝.
∴.
故答案为：A.
【分析】根据三角形内角和定理得左侧图形中边所对应的角的度数，根据全等三角形的性质即可得的度数.
5．（2026八上·越秀期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，则的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出BE=AE=5，然后根据线段构成，由BC=BE+CE可算出答案.
6．（2026八上·越秀期末）下列运算正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；多项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：Ａ、因为=≠，所以 A错误.
Ｂ、因为==≠，所以 B错误.
Ｃ、因为==≠，所以 C错误.
Ｄ、因为==，所以D正确．
故答案为：D．
【分析】根据=≠，==≠，==≠，==即可得答案.
7．（2026八上·越秀期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，，结合三角形内角和定理得，再根据等腰三角形的性质，再利用三角形外角性质求出即可得答案.
8．（2026八上·越秀期末）物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为，并联电路的总电阻为，三者之间的关系为，则用表示，结果正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式的加法运算，对通分计算，根据倒数的定义即可得答案.
9．（2026八上·越秀期末）如图，点为的重心，，，，则的面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，
延长交于点，
∵点为的重心，
∴是的中线，，
∵，，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，可得是的中线，，又由已知可得，进一步得，进而由即得答案.
10．（2026八上·越秀期末）密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（　　）．
A．4184 B．4084 C．4284 D．4384
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
设因式码为，，，且（确保因式码为正），
给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4，
∵，为正整数且，
∴
又，
∵，
∴，，
∴
故三个因式码从小到大依次为，，
∵，
∴可能情况为，，
则，解得：
此时，
因式码排序为40、8、4，密码为4084，
其他情况（如或）均无正整数解，
∴密码为4084，
故答案为：B．
【分析】把分解为，根据因式码为这三个因式的值，给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4，进一步计算出的值，即可得答案.
11．（2026八上·越秀期末）薄振膜能让耳机音质更清晰，耳机中的微型动圈振膜可薄至0.000015米，数字0.000015用科学记数法可表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000015＝1.5×10 5．
故答案为：1.5×10 5．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
12．（2026八上·越秀期末）若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵分式 有意义，
∴x＋1≠0，
∴x≠－1．
故答案为x≠－1．
【分析】若改为分式 有意义则X+1＞0 故X＞ 1
13．（2026八上·越秀期末）若点与点关于x轴对称，则　 　．
【答案】5
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征求出和的值，即可求的值.
14．（2026八上·越秀期末）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，
能组成三角形，
周长＝5＋5＋2＝12，
②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，
不能组成三角形，
故答案为：12．
【分析】分5是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
15．（2026八上·越秀期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
过点P作交于点M，过点P作交于点N，
∵，
∴，
①当点D在点时，
∵为的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
②当点D在点时，
∵
∴
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【分析】过点P作交于点M，过点P作交于点N，根据条件求出，当点D在点时，根据角平分线的性质得到与相等，根据条件证明证明出和全等，根据全等性质得得到，即可得的度数，同理得当点D在点时，求得的度数为，综合即可得的度数.
16．（2026八上·越秀期末）如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为　 　．（用含有m和n的式子表示）
【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
∵图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图3的阴影面积，
故答案为：．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图1和图2的阴影面积，可推出，则可推出，根据图3的阴影面积，据此得图3的阴影面积为.
17．（2026八上·越秀期末）计算：
【答案】解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先计算乘除法得，最后算加减即可得答案.
18．（2026八上·越秀期末）如图，，，求证：．
【答案】证明：如图，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据，，，结合全等三角形的判定定理即可证明与
全等，根据全等性质即可得.
19．（2026八上·越秀期末）设．
（1）当时，求A的值；
（2）当n为整数时，求证：A是8的倍数．
【答案】（1）解：当时，
∴当时，求A的值为8.
（2）解：∵
又∵ n 为整数，
∴是8的倍数，
∴ A 是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）把代入计算即可得答案.
（2）把化简得，再根据n 为整数，即可得是8的倍数，进一步得n为整数时，A是8的倍数．
（1）解：当时，；
（2）解：
∵ n 为整数，
∴是8的倍数，
因此 A 是8的倍数．
20．（2026八上·越秀期末）设．
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）解：
=
（2）解：∵
由（1）得
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算把化简即可.
（2）把计算得，代入即可得答案.
（1）解：
=
（2）解：∵
21．（2026八上·越秀期末）如图，已知线段．
（1）求作等腰，使得底边，边上的高；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）解：根据条件作图如下：
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（）作射线AE，在射线上截取，根据线段中垂线的尺规作图方法作线段的垂直平分线，垂足为点，再截取，连接即可得底边，边上的高的
等腰.
（）再等腰中，有，根据得，再根据直角三角形两锐角互余即可得答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（2026八上·越秀期末）如图，为等边三角形，点为边中点，点为线段上一动点（点与点不重合），且为等边三角形，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）当取最小值时，求的度数．
【答案】（1）解：如图，
∵是等边三角形，点为边中点，
∴.
∴的度数为.
（2）证明：如图，
∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图，
延长交于点，过点作于，交的延长线于点，
∵，
∴点在与成的射线上运动，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，点为边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点和点关于射线对称，
由轴对称的性质可知此时取最小值，
∴当取最小值时，．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（）根据等边三角形的性质，结合是等边三角形，点为边中点得，
即可得答案.
（）根据等边三角形的性质结合是等边三角形，是等边三角形，得证明和全等即可得.
（）延长交于点，过点作于，交的延长线于点，根据可知点在与成的射线上运动，延长交于点，过点作于，交的延长线于点，可证点和点关于射线对称，由轴对称性质可知此时取最小值.
（1）解：∵是等边三角形，点为边中点
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴点在与成的射线上运动，
如图，延长交于点，过点作于，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，点为边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点和点关于射线对称，
由轴对称的性质可知此时取最小值，
∴当取最小值时，．
23．（2026八上·越秀期末）水果批发市场的水果批发价格每天随市场供需变化而波动．第一次商家甲用600元买某种水果，商家乙用900元买同一种水果，结果乙买到的重量比甲多30千克．
（1）求该水果第一次的批发价格；
（2）若第二次水果价格发生变化，每千克批发价比第一次降低了2元．商家甲仍购买与第一次相同重量的这种水果，商家乙仍花费与第一次相同的金额购买这种水果．分别求甲、乙两次购买这种水果的平均单价；
（3）在水果批发市场中，有人习惯每次进固定重量的货，有人习惯每次花固定金额进货．从长期来看，哪种进货方式更合算 请运用所学的数学知识说明理由．
【答案】（1）解：设该水果第一次的批发价格为a元/千克，商家甲买到的重量为b千克，
根据题意得：，
解得：，
答：该水果第一次的批发价格为10元/千克
（2）解：由（1）得该水果第一次的批发价格为10元/千克，商家甲第一次买到的重量为60千克，商家乙第一次买到的重量为90千克，
所以第二次水果价格为10-2=8（元/千克），
商家甲购买这种水果的平均单价为：（元/千克），
商家乙购买这种水果的平均单价为：（元/千克）
（3）解：由（2）可知，
所以从长期来看，每次花固定金额进货更合算．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；解二元二次方程组；有理数大小比较的实际应用
【解析】【分析】（1）依据题意，设该水果第一次的批发价格为a元/千克，商家甲买到的重量为b千克，根据题意列出式子进而计算可以得解；
（2）依据题意，由（1）得，第一次批发价为10元/千克，则第二次批发单价为：10 2＝8（元/千克），又甲第一次购买的重量：600÷10＝60（千克），甲第二次购买花费：60×8＝480（元），故甲两次总花费：600＋480＝1080（元），结合甲两次总重量：60＋60＝120（千克），可得甲的平均单价＝＝9（元/千克），同理计算可得乙的平均单价，进而得解；
（3）依据题意，设两次进货的单价分别为m元/千克、n元/千克（m＞0，n＞0，且m≠n），通过计算两种方式的平均单价进行比较进而得解．
24．（2026八上·越秀期末）如图，中，，，点分别为边上动点（点与点不重合），且，过点作边的垂线交的延长线于点．
（1）设，求证：；
（2）若为等腰三角形，求的度数；
（3）设的周长为，点在运动的过程中，的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的取值范围．
【答案】（1）证明：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
当时，，
∴，
由（）得，，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴此种情况不存在，
当时，，
∴，
∴，
综上，当为等腰三角形时，的度数为或.
（3）解：如图，
的值不会发生变化，为定值，理由如下：如图，过点作的延长线于点，过点作于点，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴的值不会发生变化，为定值．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；正方形的判定与性质；直角三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（）根据直角三角形两锐角互余，结合已知条件得，再根据平角定义即可得.
（）根据等腰直角三角形的性质，结合已知条件得，进而得到，当时，，进一步得，同理得当时，，可得此种情况不存在，当时，，可得，综合即可得答案.
（）过点作的延长线于点，过点作于点，连接，可证四边形是正方形，得到都为4，再分别证明全等和全等，得到，，进而得到等于的和，进一步得等于的和，即可得等于的和，计算得的值不会发生变化，为定值．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
当时，，
∴，
由（）得，，
∴；
当时，，
∴，
∵，
∴此种情况不存在；
当时，，
∴，
∴；
综上，当为等腰三角形时，的度数为或；
（3）解：的值不会发生变化，为定值，理由如下：
如图，过点作的延长线于点，过点作于点，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴的值不会发生变化，为定值．
25．（2026八上·越秀期末）如图，，，，垂足分别为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积；
（3）如图，延长交于点，点为直线左侧一点，且，，连接．求证：．
【答案】（1）证明：如图1，
∵，，
∴，，
∴.
（2）解：如图，
过点作的延长线于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为3.
（3）证明：如图，
过点和点作、的垂线，两垂线相交于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（）知，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；矩形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（）根据余角性质，结合，，得，，进一步得.
（）过点作的延长线于点，可证四边形是矩形，得到相等，进而得到等于，再根据已知条件证明与全等，根据全等性质得到为3，为5，即得到为2，再根据三角形的面积公式计算得的面积为3.
（）分别过点和点作、的垂线，两垂线相交于点，可证四边形是正方形，得到相等，根据已知条件可证明与全等，进而得到相等，再证明与全等，即可得到相等，相等，进而证明与全等，即可得到相等，即可得全等.
（1）证明：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：如图，过点作的延长线于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：如图，分别过点和点作、的垂线，两垂线相交于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（）知，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
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