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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　）
A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3，
2．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程的两个根满足且，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．6 D．9
4．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
5．某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了，3月份的利润比2月份的利润下降了，则该公司3月份比1月份利润增长了（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则m的值为（ ）
A．1或 B．0或 C．1 D．0
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
8．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为．则长度为（ ）．
A．15 B．10 C．15或10 D．不能确定
10．用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ．
12．已知实数满足方程，则的值是 ．
13．一元二次方程化为一般形式时的常数项是 ．
14．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ．
15．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是 ．
16．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小聪按此方法解关于x的方程 ，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于x的方程．
(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数．
(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若这个方程的两根为，，且满足，求k的值．
20．某养老院有一块面积为平方米的长方形空地，其长是宽的倍．
(1)求这块长方形空地的周长．
(2)如图，为了合理利用空地，也给养老院的老人一块休闲娱乐赏花的地方，在空地四周留出同样宽的通道后，将空地分割出一个正方形花坛和一个长方形花坛（正方形的边长与长方形的长相等），且长方形花坛的长宽之比为，两个花坛的总面积为平方米，两个花坛之间能否在留出一定宽的通道后，再设计两边（图中画虚线的部分）各放宽度为米的长椅便于老人休息？
21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________；
(2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
(3)已知实数x、y满足，求的最值．
22．华为为了响应国家绿色能源的号召进行计划生产，计划生产手机零件共计2400个，实际生产每小时多生产10个．
(1)若原计划每小时生产50个，求实际生产时间比原计划减少的时间的值；
(2)如果实际生产时间比原计划减少4小时，问实际生产速度是否符合要求（实际生产速度不超过每小时85个）？请说明理由．
23．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：，方程的两个根分别是，；
第2个方程：，方程的两个根分别是，；
第3个方程：；方程的两个根分别是，；
第4个方程：；方程的两个根分别是，；
……
(1)请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ．
(2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”．
(3)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少．
24．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C D C C C A C
1．D
此题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项即可．
解： 方程化为一般形式为
∴二次项系数、一次项系数和常数项是1，3，，
故选：D
2．B
本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断即可．
解：对于A：方程含未知数x和y，不符合题意；
对于B：只含x，最高次数为2，且为整式，满足所有条件，符合题意；
对于C：含分式，不是整式方程，不符合题意；
对于D：最高次数为1，不符合题意；
故选：B．
3．C
本题主要考查了解一元二次方程．通过直接解方程，并结合，可得，，再根据，即可求解．
解：原方程可化为，
两边开平方得：
解得两根为或．
∵，
∴，．
∵，
∴，
解得：．
故选：C
4．C
本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
∵，
∴，
∵关于的一元二次方程有一根为，
∴有一根为，
解得，
∴一元二次方程必有一根为，
故选：．
5．D
本题考查增长率的实际应用和代数式的运算，解题关键是设1月利润为基础量，通过表示出2月、3月利润，推导3月相对1月的增长关系 ．
设1月份利润为1，计算2月份增长后的利润，再计算3月份下降后的利润，最后求3月份相对于1月份的增长率．
解：设1月份利润为1（单位利润），根据题意得
2月份利润为，
3月份利润为
3月份相对于1月份的增长率为
故选：D．
6．C
本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系结合，列出关于的方程，进而求出的值即可．
解：由题意，得：，
∵，
∴，
解得或；
当时，原方程化为，此时，符合题意；
当时，原方程化为，此时，不符合题意；
故；
故选：C．
7．C
本题考查了一元二次方程的定义，判别式的意义；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零且判别式大于零，列不等式求解．
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
即
解得：且．
故选：C．
8．C
本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握判断一元二次方程根的情况是解题的关键，利用一元二次方程根的判别式对各选项逐一判断即可得到答案．
解：A、∵，
∴，
∴方程有两个不相等实数根，此项错误；
B、∵，
∴，
∴方程有两个不相等实数根，此项错误；
C、∵，
∴，
∴方程有两个相等实数根，此项正确；
D、，
∴，
∴方程没有实数根，此项错误；
故选：C．
9．A
本题考查一元二次方程的实际应用，设长度为，则，根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可．
解：设长度为，则，由题意，得：，
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
答：长度为；
故选A．
10．C
本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答．
解：，
，
，
所以．
故选C．
11．
本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此．
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴二次项系数，解得．
故答案为：．
12．3
本题考查了解一元二次方程，令，则原式为，解方程即可解答，注意方程无实数根的情况是解题的关键．
解：令，
则原式为，
解得，
当时，，方程有实数根，
当时，，方程没有实数根，
，
故答案为：3．
13．
将方程左边展开，移项整理成一元二次方程的一般形式，即可得到常数项．
解：方程左边展开：，
原方程化为：，
移项得：，
合并同类项：，
所以一般形式为 ，
常数项为 ．
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是先展开、再移项合并，将方程整理为的标准形式，从而确定常数项．
14．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值.
解：由根与系数的关系，得，，
则，
所以，即，
解得或.
又因为方程有两个实数根，所以判别式，即.
当时，不成立，舍去；
当时，成立.
故.
故答案为：．
15．丁
本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，不能遗漏解是解题的关键．
依次检查配方法解一元二次方程的移项，配方，化简，求解四个步骤，找出错误的步骤．
解：甲的步骤：此步骤为移项，正确；
乙的步骤：此步骤为配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，正确；
丙的步骤：此步骤为化简，正确；
丁的步骤
此步骤为求解 开平方，应得
当时，解得
当时，解得
所以方程的解应为，
丁同学只给出了一个解，遗漏了另一个解，因此步骤错误．
故答案为：丁．
16．
本题考查了利用图形求一元二次方程的解，先把方程化为形如的形式，设，则，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的长方形，得到大正方形的面积，即可求解．
解：由得，
设，则，
∵阴影部分的面积为60，
∴，
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的长方形，得到大正方形的面积为，
∴方程的正数解为．
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
（1）先移项得，再根据直接开平方法即可求出答案；
（2）先移项得，再根据配方法即可求出答案．
（1）解：，
，
，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
，
，
∴，．
18．(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为
(2)2
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义．
（1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题；
（2）根据一元一次方程的定义求解即可．
（1）解：
移项、合并同类项，得，
∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为；
（2）解：若方程是一元一次方程，则，，
解得．
19．(1)见解析
(2)，
本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据根与系数的关系，得到，整体代入法列出方程进行求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，．
20．(1)米
(2)能，理由见解析
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设长方形空地的宽为米，则长为米，根据长方形的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解方程再根据长方形的周长计算方法求解即可．
（2）设长方形花坛的宽为米，则长为米，正方形花坛的边长为米，两个花坛的总面积为 平方米，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求得长方形花坛的宽和正方形花坛的边长，进而可求得两个花坛之间的宽，与长椅的宽度比较大小即可得解．
（1）解：设长方形空地的宽为米，则长为米，
由题意得：，
整理得，
或（不合题意，舍去），
，
这块长方形空地的周长为（米）．
答：这块长方形空地的周长为米．
（2）解：能．理由如下：
设长方形花坛的宽为米，则长为米，正方形花坛的边长为米，
由题意得，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
，
长方形花坛的宽为米，正方形花坛的边长为米，
通道宽为（米），
两个花坛之间的宽为（米）．
两边放长椅宽为米米，
能设计在两边放米宽的长椅．
21．(1)
(2)，理由见解析
(3)最大值为
本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）把拆成两个整数的平方即可；
（2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（3）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可．
（1）由题意得：；
（2）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵，为整数，
∴，也是整数，
∴当时，S为“完美数”；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为．
22．(1)8
(2)符合要求，理由见解析
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是∶
（1）通过原计划与实际生产的速度计算时间差即可；
（2）通过时间差建立分式方程，求解实际生产速度，然后验证是否题中限制条件即可．
（1）解∶∵原计划每小时生产50个，实际生产每小时多生产10个，
∴实际生产每小时生产个，
∴实际生产时间比原计划减少的时间的值为；
（2）解：设实际生产每小时生产x个，
根据题意，得：，
解得或（舍去），
经检验：符合题意，
∵，
∴，
∴，
∴实际生产速度符合要求．
23．(1)
(2)是“邻根方程”
(3)3或5或或
本题考查一元二次方程的新定义题型，勾股定理，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，同时解题时注意分类讨论思想的应用．
（1）根据题意观察可知，一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比，即可写出对应的方程；
（2）根据一元二次方程的解法求出已知方程的两根，在计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（3）先利用因式分解法求出一元二次方程对应的两根，由于两根的大小未知，所以应注意分两种情况求解．
（1）解：由题意可知：方程的一次项系数为：，常数项为：，
∴，，
所以，对应的一元二次方程为：．
（2）解：∵
∴，
∵
∴是“邻根方程”．
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵关于x 的方程（m是常数）是“邻根方程”，
∴或，
∴解得：或，
①当时，方程的两个根为和，
∵方程两根为直角三角形的两条边，
若4和3为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：；
若3为直角边长，4为斜边长时，则此三角形的第三边长为：；
②当时，方程的两个根为和，
∵方程两根为直角三角形的两条边，
若4和5为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：；
若4为直角边长，5为斜边长时，则此三角形的第三边长为：；
综上所述：此三角形的第三边长为3或5或或．
24．(1)
(2)
(3)，
本题考查了一元二次方程的新定义运算．
（1）直接根据“超强代码”的定义作答即可；
（2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可；
（3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可．
（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：，
故答案为：；
（2）解：∵是“友好方程”，
∴且为完全平方数，
∵，
∴，
∴=36或49或64，
∴或或，
∵为整数，
∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超强代码”为；
（3）解：方程的“超强代码”为：
，
由得：
方程的“超强代码”为：
，
由得：
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，
∴，
即，
又∵的一个根是的一个根的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，．(共6张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第2章 一元二次方程
单元测试·过关卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 由一元二次方程的定义求参数；化成一元二次方程的一般式
2 0.84 一元二次方程的定义
3 0.75 解一元二次方程——直接开平方法
4 0.65 由一元二次方程的解求参数
5 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)
6 0.65 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据判别式判断一元二次方程根的情况
7 0.65 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数
8 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况
9 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
10 0.64 解一元二次方程——配方法；配方法的应用
三、知识点分布
二、填空题 11 0.94 由一元二次方程的定义求参数
12 0.85 因式分解法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况
13 0.65 化成一元二次方程的一般式
14 0.65 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
15 0.65 解一元二次方程——配方法
16 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元二次方程——直接开平方法；解一元二次方程——配方法
18 0.75 化成一元二次方程的一般式；判断是否是一元一次方程
19 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；根据判别式判断一元二次方程根的情况
20 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
21 0.65 配方法的应用
22 0.65 无理数的大小估算；公式法解一元二次方程；分式方程的工程问题
23 0.65 由一元二次方程的解求参数；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；用勾股定理解三角形
24 0.4 根据一元二次方程根的情况求参数；其他问题(一元二次方程的应用)

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