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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D B C A B C C
1．A
本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断每个选项即可．
解：A．是一元二次方程，故A符合题意；
B．中时，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C．不是整式方程，故C不符合题意；
D．的最高次数是3，故D不符合题意．
故选：A．
2．B
本题考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值．
解：根据题意得，且，
解得且，
∴，
故选：B．
3．A
本题考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，正确掌握相关知识是解题的关键．
利用方程根的性质，将原表达式化简，并利用已知条件求值即可．
解：∵a是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∴．
．
由方程两边除以a得，
∴．
故选A．
4．D
根据一元二次方程根的判别式，方程有实数根时
解：方程有实数根，
，
，即
的取值不大于，故不可以是
故选：D.
本题考查一元二次方程根的判别式，当时方程有实数根，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式.
5．B
先根据方程的一个根为得到，再得到，配方即可得到答案
解：∵方程的一个根为，
∴代入得，
即，
∴，
∴
即
∴
∵关于的一元二次方程配方成的形式，
∴
故选 B.
6．C
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得，，由变形得到，则，然后解一元一次方程．
解：根据题意得，解得，
，，
，
，
，
．
故选：C．
7．A
本题考查了一元二次方程的应用：增长率问题，理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每年的增长率为，根据题意，2022年至2024年两年间充电桩数量从万增长到万，建立一元二次方程求解增长率，再按此增长率计算2025年的数量．
解：由题意，2022年充电桩数量为2.5万个，2024年达到3.6万个，设每年的增长率为，
两年间按相同增长率增长，可得方程：，
即，
解得：（负值舍去）；
即年增长率为20%；
2025年充电桩数量为2024年的基础上再增长一年，即：（万个）；
因此，2025年底充电桩总数预计达到万个；
故选：A．
8．B
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
根据题意列出一元二次方程，解之取合适的值即可．
解：根据题意得：，
解得：，（舍去），
故的值为，
故选：B．
9．C
本题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，根据题意得：
，
故选：C．
10．C
本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
解：由题意得，，
∴，
在中，，，，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或，
故选：C．
11．
本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到，然后整体代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．或
本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，解之即可得出结论．
解：可把方程看作关于的一元二次方程，
∵关于x的方程的解是，
∴关于的方程的解是或，
∴或．
故答案为：或．
13．（答案不唯一）
本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“相关方程”是解题的关键．
根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，从而得解．
解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程，
故答案为：（答案不唯一）．
14．1
本题考查了已知式子的值求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
利用根与系数的关系得到两根之和，并将代入方程化简求值．
解：∵是方程的根，
∴，即．
∴．
由根与系数的关系，，
∴．
即．
故答案为：1．
15．
本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：根据题意得：，
整理得： ，
解得： (不符合题意，舍去)，
故答案为：．
16．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设的长为米，则米，再根据长方形面积计算公式列出方程即可．
解：设的长为米，则米，
由题意得，，
故答案为：．
17．(1)
(2)，
(3)，
(4)，
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用公式法解一元二次方程即可．
（1）解：
解得；
（2）解：
或
解得，；
（3）解：
或
解得，；
（4）解：
，，
解得，．
18．(1)
(2)
(3)2025
此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值；
（3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可．
（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：；
（2）解： 由题知，方程的倒方程为，
将代入此方程得，，
解得；
（3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是，
∵是此方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴．
19．(1)；
(2)．
（）设这个增长率为，根据养鸡场今年养鸡只，预估后年养鸡只，列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）解：设这个增长率为，
由题意得：，
解得：（不合题意舍去），，
答：这个增长率为；
（2）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，的长为：（米），不合题意；
当时，的长为：（米）米；
∴米，
答：重建后的养鸡场的宽为米．
20．(1)
(2)商品定价为35元时，商场获利4250元.
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
（1）由题意可得，三月份的销售量为：256件；设四、五月份销售量平均增长率为x，根据题意列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润求出即可．
（1）解：设四、五月份销售量平均增长率为x，则，
解得，（舍去），
所以四、五月份销售量平均增长率为；
（2）解：设商品降价m元，则，
解得，（舍去）
所以商品降价5元时，商场获利4250元，
即商品定价为35元时，商场获利4250元.
21．(1)见解析
(2)
(3)
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题；
（1）由，即可得出结论；
（2）解方程，得到友好点；
（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．
（1）证明：，
，
不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
解得：，，
方程的“友好点”为；
（3）解：由题意，直线，
过定点，
两个根为，，
，，
，
，即．
22．(1)否
(2)，或，
(3)
本题考查新定义下一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键，
（1）利用因式分解法解，再根据“三倍根方程”的定义即可判断；
（2）根据“三倍根方程”的定义得到方程的另一个根为3或，分两种情况：当，时；当，时，再根据根与系数的关系即可求出与的值；
（3）根据“三倍根方程”的定义，设的根为和，再利用根与系数的关系得到，，代入即可得到答案．
（1）解：，
因式分解得：，
解得：，，
根据“三倍根方程”的定义，
∴方程不是“三倍根方程”；
故答案为：否．
（2）解：∵方程是“三倍根方程”，其中有一个根是1，
∴另一根为：3或，
当，时，，，
∴，；
当，时，，，
∴，．
（3）解：设的根为和，
∴，，
∴，，
∴．
23．(1)
(2)
(3)不能，见解析
（1）直接根据图形计算即可；
（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；
（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，熟练掌握矩形的性质，根的判别式，一元二次方程的应用是解题的关键．
（1）解：设木栏的长为x米，根据题意，得竖直方向围墙需要栅栏长度为，
∵建成后木栏总长45米，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：设木栏的长为x米，则矩形的长米，依题意，得：，
即，
解得：，，
当时，，舍去，
当时，，符合题意，
答：花园面积是，此时边的长为21米．
（3）解：饲养场（矩形）的面积不能达到240平方米．理由如下：
设木栏的长为x米，则矩形的长米，
依题意，得：，
即，
∵，
∴没有实数根，
∴饲养场（矩形）的面积不能达到240平方米．
24．【理解应用】②；【类比迁移】；【拓展应用】；3；1或
本题考查整式乘法与几何图形，解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键．
[理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案．
[类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案．
[拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案．
解：[理解应用]
变形为，
如图所示，
图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：；
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
故选：②；
[类比迁移]第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为；
故答案为：；
[拓展应用]∵
∴，
∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴，
解得，，
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为1；
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为；
综上所述，方程的一个正根为或，
故答案为：或．(共6张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第2章 一元二次方程
单元测试·提升卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 一元二次方程的定义
2 0.85 由一元二次方程的定义求参数
3 0.75 由一元二次方程的解求参数；已知式子的值，求代数式的值
4 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数
5 0.65 由一元二次方程的解求参数；解一元二次方程——配方法
6 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数；通过对完全平方公式变形求值
7 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)
8 0.65 数字问题(一元二次方程的应用)
9 0.65 营销问题(一元二次方程的应用)
10 0.64 动态几何问题(一元二次方程的应用)；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 由一元二次方程的解求参数；已知式子的值，求代数式的值
12 0.75 判断是否是一元二次方程的解
13 0.65 一元二次方程的定义；根据判别式判断一元二次方程根的情况
14 0.65 由一元二次方程的解求参数；一元二次方程的根与系数的关系；已知式子的值，求代数式的值
15 0.65 行程问题(一元二次方程的应用)
16 0.64 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 解一元二次方程——配方法；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
18 0.75 一元二次方程的定义；由一元二次方程的解求参数；已知式子的值，求代数式的值
19 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
20 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
21 0.65 因式分解法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况；根据一次函数的定义求参数
22 0.65 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
23 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况；与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；列代数式
24 0.4 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；多项式乘多项式与图形面积2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　）
A．3 B． C． D．9
3．设a是方程的一个根，则（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定
4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值不可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（ ）
A．2 B． C．5 D．6
7．某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（ ）
A． B． C． D．
8．第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若是方程的根，则的值为 ．
12．关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是 ．
13．有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ．
14．若a，b是一元二次方程的两根，则 ．
15．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒．
16．如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点在线段的延长线上，设的长为米，若要求所围成的饲养场面积为84平方米，则可列方程 ．（不用化简）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
18．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的“倒方程”是 ；
(2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值；
(3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ．
19．在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．

(1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率；
(2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？
20．某商场年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月份该商品的销量持续走高，在售价不变的前提下，五月份销量达到400件，假设四、五两个月销量的月平均增长率不变．
(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率．
(2)从六月起，商场采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销量增加10件，当商品的定价为多少元时，商场当月可获利4250元？
21．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
(3)若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
22．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)方程________（填“是”或“否”）“三倍根方程”；
(2)若关于的方程是“三倍根方程”，其中有一个根是1，试求与的值；
(3)若是关于的“三倍根方程”，则代数式的值为________．
23．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，如图所示，两个场地各留一个1米宽的门（不用木栏），通道的宽也为1米（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设木栏的长为x米，解答下列问题：
(1)________米．（用含x的代数式表示）
(2)若饲养场（矩形）的面积为189平方米，求边的长；
(3)饲养场（矩形）的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由．
24．阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个根为 ；
【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．
已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ．

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