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2.1 代数式
沪科版（2024）七年级数学上册 第二章整式及其加减
第三课时 整式
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
学习目标
1.能叙述并理解单项式及单项式的系数、次数的意义，
能确定一个单项式的系数和次数.
2.理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念.
3.会用整式解决简单的实际问题.
情景导入
如图是由一个长方形和一个半圆组成. 已知长方形的长为 x，宽为 y，半圆的直径为 y.
(1) 长方形的面积为多少
(2) 半圆的面积为多少
(3) 由长方形和半圆组成的
图形的面积为多少
y
x
xy
这三个式子都是代数式，那么不同的代数式之间又有哪些区别和联系呢？
新知探究
新知探究
他们不是单项式，是几个单项式的和，像这样的代数式叫作多项式.
课本例题
单项式 -15a2b xy a2b2 -a
系 数 -15 1 -1
次 数 3 2 4 1 2
解：
例4 写出下列单项式的系数和次数：
课本例题
例5 下列多项式分别是几次几项式？
解： 是一次二项式；
是二次三项式；
是四次三项式.
课堂练习
1.判断正误:
（1）x是一次单项式. （ ）
（2）-1不是单项式. （ ）
（3）单项式xy没有系数. （ ）
（4）23x2是五次单项式. （ ）
（5）3x+y是二次二项式. （ ）
√
×
×
×
×
2.填表：
单项式
系数
次数
-7
1
5
1
1
0.3
2
2
2
-1
3
3.下列多项式是几次几项式？指出它们的最高次项和常数项.
（1）-2x+1；
（2）3x-4x2-1；
（3）x2-xy+y2；
（4）-mn-m+2.
一次二项式；最高次项为-2x，常数项为1
二次三项式；最高次项为-4x2，常数项为-1
二次三项式；最高次项为x2，-xy，y2，无常数项
二次三项式；最高次项为-mn，常数项为2
分层练习-基础
知识点1　单项式及相关概念
1. [2023·江西]单项式－5 ab 的系数为 .
2. 如果单项式3 amb2 c 是6次单项式，那么 m 的值是(　　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
【点拨】
因为单项式3 amb2 c 是6次单项式，
所以 m ＋2＋1＝6，
解得 m ＝3.
故选B.
－5　
B
3. 在－ a ， ， ， ， m3 n2， xy －1，0， 中，是单项式的有(　B　)
A. 6个 B. 5个
C. 4个 D. 3个
【点拨】
　　－ a ， ， m3 n2，0， 是单项式.
B
4. 下列说法中，正确的是(　B　)
A. a 的系数为0
C. ab2 c 的次数是2
D. －5是一次单项式
B
知识点2　多项式及相关概念
5. [新考法 定义识别法]在 x2－2，－1，－2 x －1，π， ， x2＋ ＋1，4 x 中，多项式有(　C　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【点拨】
　　多项式有 x2－2，－2 x －1， .对于 x2＋ ＋1，由于 不是单项式，所以 x2＋ ＋1不是多项式.
C
6. 多项式1＋2 xy －3 xy2的次数及最高次项的系数分别是(　A　)
A. 3，－3 B. 2，－3
C. 5，－3 D. 2，3
A
7. 若多项式 xy｜ m－ n｜＋( n －2) x2 y2＋1是关于 x ， y 的三次多项式，则 mn ＝
8或0　
所以 m －2＝2或 m －2＝－2，
所以 m ＝4或 m ＝0.
当 m ＝4时， mn ＝4×2＝8，
当 m ＝0时， mn ＝0×2＝0.
【点拨】
因为多项式 xy｜ m－ n｜＋( n －2) x2 y2＋1是关于 x ， y
的三次多项式，
所以 n －2＝0，1＋｜ m － n ｜＝3，
所以 n ＝2，｜ m － n ｜＝2，
知识点3　整式
8. 把下列各式分别填在相应的大括号里.
4， ， ＋ b ，π R2－π r2， x2，2 x －3，－ x2＋ yz ， a2＋ ＋2.
单项式： ；
多项式：{ ＋ b ，π R2－π r2，2 x －3，－ x2＋ yz ，…}；
整式：{4， ＋ b ，π R2－π r2， x2，2 x －3，－ x2＋ …}.
＋ b ，π R2－π r2，2 x －3，－ x2＋ yz ，
4， ＋ b ，π R2－π r2， x2，2 x －3，－ x2＋yz ，
9. 下列说法错误的是(　C　)
A. m 是单项式也是整式
C
10. 若一个多项式的每一项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式.例如2 x3－3 x2 y ＋ y3是三次齐次多项式.若 xmy －2 x3 y2＋5 x2 yn ＋3 xy4＋ y5是齐次多项式，则(2 m －3 n )99等于(　B　)
A. 1 B. －1
C. 99 D. －99
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
C. 整式一定是单项式
D. 整式不一定是多项式
因为 xmy －2 x3 y2＋5 x2 yn ＋3 xy4＋ y5是齐次多
项式，
所以 m ＋1＝5， n ＋2＝5，
所以 m ＝4， n ＝3，
所以(2 m －3 n )99＝(8－9)99＝－1.
故选B.
【点拨】
【答案】
B
易错点　确定多项式各项及各项系数时，易漏掉前面的符号
而致错
11. 对于多项式－3 x －2 xy2－1，下列说法中，正确的是
(　C　)
A. 一次项系数是3 B. 最高次项是2 xy2
C. 常数项是－1 D. 是四次三项式
【点拨】
　　多项式的每一项都是单项式，且每一项都包括它前
面的符号，特别注意项的符号为负号时，一定不要漏掉
该项的符号.
C
分层练习-巩固
12. (1)已知单项式6 x2 y4与－ a2 bm＋2的次数相同，求 m2－2 m 的值；
【解】根据题意，得 m ＋2＋2＝2＋4，
解得 m ＝2.所以 m2－2 m ＝22－2×2＝0.
(2)若 x2 yn＋1是关于 x ， y 的五次单项式且系数为1，试求 m ， n 的值.
【解】由题意得 n ＋1＋2＝5，且3 m ＋3＝1，
解得 m ＝－ ， n ＝2.
13. [2024·南宁第三中学模拟]已知关于 x 的整式( k2－9) x3＋( k －3) x2－ k .
(1)若该整式是二次式，求 k2＋2 k ＋1的值；
【解】由题意知 k2－9＝0且 k －3≠0，所以 k ＝－3.
则 k2＋2 k ＋1＝(－3)2＋2×(－3)＋1＝4.
(2)若该整式是二项式，求 k 的值.
【解】当 k2－9＝0时， k ＝±3.
当 k ＝3时，原式＝－3，不符合题意；
当 k ＝－3时，原式＝－6 x2＋3，符合题意.
当 k ＝0时，原式＝－9 x3－3 x2，符合题意.
综上， k ＝－3或 k ＝0.
14. 已知关于 x 的多项式3 x4－( m ＋5) x3＋( n －1) x2－5 x ＋3
不含 x3项和 x2项，求 m ＋2 n 的值.
【解】由题意知－( m ＋5)＝0， n －1＝0，
解得 m ＝－5， n ＝1.
所以 m ＋2 n ＝－5＋2×1＝－3.
分层练习-拓展
15. [新考法 数学建模法]如图是某种杆秤.在秤杆的点 A 处固定提纽，点 B 处挂秤盘，点 C 为0刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点 C ，秤杆处于平衡.秤盘放入 x 克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为 y 毫米时秤杆处于平衡，测得 x 与 y 的几组对应数据如下表：
x/克 0 2 4 6 10
y/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当 x ＝20克时， y ＝ 毫米.
50　
【点拨】
由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米.当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米，
所以 y 与 x 的关系为 y ＝2 x ＋10，
所以当 x ＝20时， y ＝2×20＋10＝50.
16. [新考法·归纳法 2023·安徽节选]【观察思考】如图是一组
有规律的图案.
【规律发现】
请用含 n 的式子填空：
(1)第 n 个图案中“◎”的个数为 ；
【点拨】
第1个图案中有3个“◎”，
第2个图案中有3＋3＝6(个)“◎”，
第3个图案中有3＋2×3＝9(个)“◎”，
第4个图案中有3＋3×3＝12(个)“◎”，
…
所以第 n 个图案中有3＋3( n －1)＝3 n (个)“◎”.
3 n 　
所以第 n 个图案中有3＋3( n －1)＝3 n (个)“◎”
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为 ，第2个图案
中“★”的个数可表示为 ，第3个图案中“★”的
个数可表示为 ，第4个图案中“★”的个数可表示
为 ，…，则第 n 个图案中“★”的个数可表示
为 .
　
课堂小结
单项式
概念
数与字母及其幂的 组成的代数式叫作单项式
相关概念
单项式中的_____是这个单项式的系数.
一个单项式中，所有字母的指数 ____叫作这个单项式的_____.
对于单独一个非零的数，规定它的次数为___.
乘积
数字
之和
次数
0
几个单项式的 叫作多项式
整式
单项式
多项式
多项式中每个单项式叫作___
相关概念
和
常数项
概念
项
多项式中，不含字母的项叫作
多项式中，次数 项的次数，叫作这个多项式的____
最高
次数

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