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2025-2026学年八年级下册数学单元自测
第十五章 分式·能力提升
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列从左到右的分式变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知分式满足下列表格中的信息：
的取值
分式的取值 无意义
则分式有可能是（ ）．
A． B． C． D．
3．若代数式和的值相等，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
5．《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（ ）
①；
②若，则；
③若，则；
④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一道趣题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同．甲农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖得15个铜板．”乙农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个铜板．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设甲农妇带了个鸡蛋，列出方程，现有以下结论：①甲农妇所卖鸡蛋的单价是；②乙农妇所卖鸡蛋的单价是；③100个鸡蛋所卖得的钱数是；④所列方程依据的等量关系是甲乙农妇卖得的钱数相同．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，则的值 ．
12．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
13．已知（且），，则的值为 ．
14．已知，则 ．
15．若，则 ．
16．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ．
三、解答题（共7小题，共72分）
17．（8分）已知：，求代数式的值．
18．（10分）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值．
19．（10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元
(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用
20．（10分）已知关于的分式方程．
(1)若该方程有增根，求的值．
(2)若该方程的解为非负数，求的取值范围．
(3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值
21．（10分）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
22．（12分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．
23．（12分）阅读下面材料：
小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式．
他还发现像，等交换对称式都可以用，表示．
例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）；
(2)已知．
①___________（用含，的代数式表示）；
②若，，求交换对称式的值；
③若，求交换对称式的最小值．
2025-2026学年八年级下册数学单元自测
第十五章 分式·能力提升（参考答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C C A A D D B D B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．-1或3
12．16
13.
14.
15.
16.
三、解答题（共7小题，共72分）
17．（8分）已知：，求代数式的值．
【详解】解：
，（5分）
∵，
∴，（6分）
把代入，
原式．（8分）
18．（10分）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值．
【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下：
解方程得
，（2分）
解方程得
，（4分）
检验：是该分式方程得解．
∴方程与方程是“相似方程”（5分）
（2）解：∵和是“相伴方程”．
∴（6分）
∵x，y，m均为整数，
∴，（8分）
∴，
又∵m为正整数
∴或（10分）
19．（10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元
(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用
【详解】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；（2分）
（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，（5分）
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；（7分）
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．（10分）
20．（10分）已知关于的分式方程．
(1)若该方程有增根，求的值．
(2)若该方程的解为非负数，求的取值范围．
(3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值
【详解】（1）解：方程两边同乘以，得
，
即，（1分）
∵该方程有增根，
∴，
解得，
将代入，得，
解得，
答：a的值为3；（3分）
（2）解：∵该方程的解为非负数，，
∴，，
即，且，
∴，
解得，（4分）
∵原方程不能有增根，
∴，即，
∴，
解得，
∴且；（6分）
（3）解：∵该方程的解为整数，，
∴，，（7分）
解得或或或，
∵原方程不能有增根，
∴，即，
∴，
解得，
∴．（10分）
21．（10分）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【详解】（1）解：把，代入
得，（2分）
解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．（4分）
（2）解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，（6分）
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；（8分）
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．（10分）
22．（12分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，
∴分式是分式的“友好分式”；
故答案为：不是．（3分）
（2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
．（5分）
②∵，
∵整数x使得分式A的值是正整数，
∴，，2，
当时，，
当时，，
当时，，
综上分析可知：A的值为1或3或4．（7分）
（3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则：
，
∴
，（9分）
∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，
∴，
整理得：，
解得：，（10分）
∴
（11分）
，
∵，
∴，
∴，
∴
即的最小值为．（12分）

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