资源简介

2025-2026学年八年级下册数学单元自测
第十五章 分式·基础通关
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在，，，，中，分式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
4．下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．分式中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
7．如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的倍
C．缩小为原来的倍 D．扩大为原来的倍
8．小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知．则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
10．已知，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ．
12．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是，这个数用科学记数法表示是 ．
13． ．
14．已知，则 ．
15．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
(1)
(2)
17．（8分）解分式方程：
(1)
(2)
18．（8分）先化简，再求值：．其中．
19．（10分）已知关于x的方程：．
(1)当m为何值时，方程无解．
(2)当m为何值时，方程的解为负数．
20．（8分）列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
21．（10分）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
【阅读材料】类比分数学习分式
我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效．
通过阅读上述材料，解决下列问题：
(1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；
(2)假分式化为带分式的形式为______；
(3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值．
22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
23．（13分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．
2025-2026学年八年级下册数学单元自测
第十五章 分式·基础通关（参考答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A A B A C A A C B
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．/
12．
13．/
14. 1
15. -1
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
(1)
(2)
【详解】（1）解：
（1分）
；（4分）
（2）解：
（5分）
．（8分）
17．（8分）解分式方程：
(1)
(2)
【详解】（1）解：，
去分母得：，（1分）
解整式方程得：，（2分）
检验：把代入得：，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．（4分）
（2）解：
去分母得：，（5分）
去括号得：，
解整式方程得：，（6分）
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．（8分）
18．（8分）先化简，再求值：．其中．
【详解】解：原式
（2分）
．（5分）
当时，原式．（8分）
19．（10分）已知关于x的方程：．
(1)当m为何值时，方程无解．
(2)当m为何值时，方程的解为负数．
【详解】（1）由原方程，得，
①整理，得，（1分）
当即时，原方程无解；（3分）
②当分母即时，原方程无解，
故，
解得，
综上所述，或4；（6分）
（2）由（1）得到，
当时．，（7分）
解得，
由（1）知：时，原方程无解；
所以综上所述，且．（10分）
20．（8分）列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，（1分）
依题意可得：，（5分）
解得：．（7分）
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹件．（8分）
21．（10分）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
【阅读材料】类比分数学习分式
我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效．
通过阅读上述材料，解决下列问题：
(1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；
(2)假分式化为带分式的形式为______；
(3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值．
【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，，
是真分式，
故答案为：真分式；（3分）
（2）解：原式，
故答案为：；（6分）
（3）解：原式，（7分）
原分式的值为正整数，且x为整数，
或2或，（8分）
或1或．（10分）
22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【详解】（1）解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，（3分）
解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；（5分）
（2）解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，（8分）
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．（10分）
23．（13分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，
∴分式是分式的“友好分式”；
故答案为：不是．（3分）
（2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”，
∴，（4分）
∴，
∴，
∴
∴
．（6分）
②∵，
∵整数x使得分式A的值是正整数，
∴，，2，（7分）
当时，，
当时，，
当时，，
综上分析可知：A的值为1或3或4．（9分）
（3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则：
，
∴
，
∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，
∴，
整理得：，
解得：，（10分）
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴
即的最小值为．（13分）

展开更多......

收起↑