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2025-2026学年度下学期初三开学考质量检测试卷
数学
（全卷满分120分，学生闭卷作答，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 整数和分数统称为有理数 B. 一个有理数的绝对值一定大于它本身
C. x与y和除以x的商是 D. 相反数等于本身的数只有0和1
2. 小莹同学 10 个周综合素质评价成绩统计如下：
成绩(分) 94 95 97 98 99 100
周数(个) 1 2 2 3 1 1
这 10 个周的综合素质评价成绩的中位数和众数分别是( )
A. 97.5 97 B. 97 97 C. 97.5 98 D. 97 98
3. 下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（　　）
A. 圆柱 B. 球
C. 三棱柱 D. 圆锥
4. 将数据“145亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（ ）．
A. 超过标准线 B. 低于标准线 C. 不超过标准线 D. 不低于标准线
6. 如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是(　　)
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
7. 一次函数的图象与x轴交点的坐标为（　　）
A. B. C. D.
8. 如图，，直线分别交，于，两点，于点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，分别是抛物线与x轴交点的横坐标，则的值为（ ）．
A B. C. D.
10. 下列因式分解错误的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 一次函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C D.
12. 小米汽车已被列入国家发展计划，并获得了国家发改委批准．其中某款车型在市场上表现亮眼，引发广泛关注．其采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率（电池含电率）随充电时间（分钟）变化的函数图．下列说法中正确的个数有（ ）个．
①本次充电持续时间是120分钟 ②本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 ③若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 ④本次充电60分钟，汽车电池含电率达到
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13. 计算：________．
14. 写出一个x取任意实数时，一定有意义的分式：________．
15. 一不法药贩把外表完全相同的盒假药与盒真药混在一起出售，以达到以假乱真的效果，不知情的顾客从中随机拿一盒药，拿到真药的概率为______．
16. 如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则________°．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
18. 如图，已知火车站的坐标为，文化宫的坐标为．
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；
（2）写出市场、超市坐标；
（3）若小明家的坐标为，在平面直角坐标系中标出小明家的位置，设火车站为点A，超市为点B，小明家为点C，判断的形状，并说明理由．
19. 某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球等五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如表：
球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球
人数 a 12 36 18 b
解答下列问题：
（1）______，______；
（2）试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数；
（3）该学校将组织趣味运动会，某班决定从2名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的4名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由．
20. 图1是一个平分角的仪器，其中，．
（1）如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画射线交于，则是的平分线，说明理由；
（2）如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，，求的面积．
21. 图1是构成纸魔方的一个三棱柱，图2是图1的展开图，尺寸数据如下（单位：．阴影部分为内部粘贴角料，计算面积时忽略不计），图3是数学活动课上制作的纸魔方变化出的一种形状．
（1）做一个三棱柱（图2）需要纸片______，做一个图3纸魔方一共需要纸片______；（直接用含的式子表示）
（2）当，时，图3纸魔方一共用纸片多少？
（3）若图1纸魔方用纸片，且，求的值．
22. 综合与实践
【项目主题】探究小车轮的形状原理
【项目背景】在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作的方式开展项目式学习，探究小车轮制作成圆形的相关原理．
【合作探究】
（1）探究甲组：车轮做成圆形的优点是车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变，另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的，如图，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为 ．
（2）探究乙组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化，如图，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为 ．
（3）探究丙组：如图，有一个等边三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．
【探究发现】车辆平稳的关键是看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
【拓展延伸】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧，这样形成的曲线图形叫作“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．
（4）探究丁组：使“莱洛三角形”以图为初始位置沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，大致为 ．（填写对应的字母）
23. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
（1）如图1，若，则的面积为 ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
2025-2026学年度下学期初三开学考质量检测试卷
数学
（全卷满分120分，学生闭卷作答，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】C
【11题答案】
【答案】C
【12题答案】
【答案】B
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
【13题答案】
【答案】4
【14题答案】
【答案】（答案不唯一）
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】##度
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【17题答案】
【答案】（1）；（2），
【18题答案】
【答案】（1）见解析 （2）市场、超市
（3）是等腰直角三角形，理由见解析
【19题答案】
【答案】（1）30，24
（2）150人 （3），理由见解析
【20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【21题答案】
【答案】（1）；
（2）
（3）
【22题答案】
【答案】（）；（）；（）；（）．
【23题答案】
【答案】（1）5 （2）
（3）存在，点B的坐标为或

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