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广西南宁市青秀区第四十七中学2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025七下·青秀期中）2023年第一届全国学生（青年）运动会会徽，是由“广西”二字组成的书法合体字，整体造型为一个青春飞扬的运动员形象．下列的四个图中，能由如图示的会徽经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·青秀期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．﹣2 B． C． D．3.14
3．（2025七下·青秀期中）下列图中，、是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·青秀期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·青秀期中）下列各数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C． D．2
6．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系内，将先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则称动后的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·青秀期中）下列方程中，是二元一次方程的是(　　)
A．3x﹣2y＝4z B．4x+y＝2 C． D．6xy+9＝0
8．（2025七下·青秀期中）如图，用方向和距离描述图书馆相对于小逸家的位置，下列选项正确的是（　　）
A．北偏东， B．东北方向，
C．北偏西， D．北偏东，
9．（2025七下·青秀期中）估算的值应在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
10．（2025七下·青秀期中）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·青秀期中）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到，DF交BC于点H，，，则阴影部分的面积为（　　）
A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
12．（2025七下·青秀期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025七下·青秀期中）-5的绝对值是　 　．
14．（2025七下·青秀期中）点在平面直角坐标系中位于第　 　象限．
15．（2025七下·青秀期中）如图，，AE平分∠BAC，且与CD相交于点E，若∠C＝50°，则∠AEC的度数为　 　．
16．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上向右向下向右向下向右向上向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第n次移动到点，则点的坐标是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2025七下·青秀期中）计算：
（1）；
（2）
18．（2025七下·青秀期中）（1）解方程组：．
（2）先化简、再求值：，其中．
19．（2025七下·青秀期中）如图，在平面直角坐标系中三角形的顶点坐标分别为．
（1）求出三角形的面积；
（2）将三角形进行平移，平移后点 C 的对应点 的坐标为，画出平移后的三角形
（3）x轴上有一点P，连接．若三角形的面积是三角形面积的2 倍，求点 P 的坐标．
20．（2025七下·青秀期中）如图，，，试判断与的大小关系，并证明你的结论
解：与相等，理由如下：
（已知）
∴___________=___________（___________）
（内错角相等，两直线平行）
∴___________=___________（___________）
又（已知）
___________（　　）
（ ）
（ ）．
21．（2025七下·青秀期中）小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
（1）请按照小智的解法解出这个方程组；
（2）用整体代入法解方程组．
22．（2025七下·青秀期中）综合与实践
【问题发现】
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______．
【知识迁移】
（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______．
【拓展延伸】
（3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对．
23．（2025七下·青秀期中）【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④．
【问题初探】
（1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行．
【问题二探】
（2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置．
①________（用含t的式子表示）；
②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小；
【问题三探】
（3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意；
B、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意；
C、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意；
D、图形的大小、形状和方向与原图一致，能通过平移得到，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平移的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
D.3.14是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；
B、、的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意；
C、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；
D、、是对顶角，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据对顶角的定义，逐项进行判断即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 21500000=2.15×107，
故答案为：A.
【分析】 一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵负数小于正数，负数小于零，
∴最小的数在和中，
∵，，，
∴
∴四个数中最小的数是，
故答案为：C．
【分析】根据负数小于正数，负数小于零，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解．
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点
∴先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的点的坐标是（5 2，2＋3），
即（3，5），
故答案为：B．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、，不是三元一次方程，故此选项错误；
B、，是二元一次方程，故此选项正确；
C、，不是整式方程，故此选项错误；
D、，最高是二次，故此选项错误；
故答案为：B．
【分析】利用一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0，其中a，b是常数且a≠0）逐个分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图得：
，
图书馆相对于小逸家的位置为北偏东，处，
故答案为：D．
【分析】首先根据互余关系计算，进而根据方位角的定义即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再求出即可.
10．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，
由题意得： .
故答案为：C.
【分析】 设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，由“ 3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶”列出方程组即可.
11．【答案】A
【知识点】平移的性质；多边形的面积
【解析】【解答】由平移的性质可知，，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质可知：线段保持原长度，角度关系满足，由此可推导出：线段的长度，阴影部分面积等于直角梯形BEFH的面积，即，最终结果可通过面积公式计算得出。
12．【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点A作，过点B作，根据平行公理，得到，由，得到，求得，进而得到，再由平行线的同旁内角互补，得到，由此得到，即可得到答案.
13．【答案】5
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|-5|=5，
故答案为：5．
【分析】根据绝对值的定义计算即可．
14．【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵的横坐标是为负数，纵坐标是2为正数，
∴点在第二象限，
故答案为：二．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
∵，
，
平分，
，
．
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质及角的运算可得，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出∠AEC的度数即可.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，，，，
由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0，，，0，0的顺序，每8个为一个循环，
，
点的纵坐标为1，
的横坐标为0，的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，的横坐标为4，
由此得：的横坐标为，
．
故答案为：．
【分析】先求出点A的坐标可得规律纵坐标规律为以1，1，0，0，，，0，0的顺序，每8个为一个循环，再结合，可得点的纵坐标为1，再求出的横坐标为，可得点．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数混合运算法则（含乘方）；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）先利用二次根式的性质和立方根的性质化简，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：（1），
由得，，
解得：，
将代入②得，，
∴原方程组的解为：；
（2）
，
当时，原式．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；利用整式的加减运算化简求值；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）先利用整式的加减法可得1+2x，再将x的值代入计算即可.
19．【答案】（1）解：
（2）解：∵，平移后对应点的坐标为，
∴三角形先向右平移了5个单位，又向下平移了2个单位，
∴
∴如下图所示：
（3）解：设点P的坐标为，则，则上的高为1．
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；坐标与图形性质；平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据割补法即可得出；
（2）根据，平移后对应点的坐标为，可得出三角形先向右平移了5个单位，又向下平移了2个单位，进而根据平移规律可得出，找出对应点，并顺次连接A1，B1，C1，即可得出 三角形；
（3）点P的坐标为，则，则上的高为1，根据题意可得出，解x即可求出点P的坐标．
20．【答案】解：与相等，理由如下：
（已知），
（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：；；同角的补角相等；；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意，先求出，得到，得出，根据，得到，即可得到，即可得出答案．
21．【答案】（1）解：解：整理得，
把①整体代入②得，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：整理得，
把②整体代入①得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先可整理原方程为，进而利用整体代入的方法，可消去未知数x，求出y=3，进而代入①，即可得出x=4，进而即可得出方程组的解为；
（2）先把原方程整理得到，进而利用整体代入的方法，可消去未知数y，求出x=1，进而代入①，即可得出y=5，进而即可得出方程组的解为．
（1）解：
整理得，
把①整体代入②得，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：
整理得，
把②整体代入①得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为．
22．【答案】解：（1）2；；；
（2）1；13；；
（3）小思说得对，小明说得不对，理由如下：
设截出的长方形纸片的长为，宽为，
则，
∴（负值舍去），
∴截出的长方形纸片的长为，
∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．
【知识点】实数的大小比较；求算术平方根；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；故答案为：2；；；
（2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为，
故答案为：1；13；.
【分析】（1）利用正方形的面积公式及图形分析求解即可；
（2）利用正方形的面积公式及图形分析求解即可；
（3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，利用“ 裁出一块面积为的长方形纸片 ”列出方程求解即可.
23．【答案】解：（1）垂直；；
（2）①；
②如图为大致图形：
当时，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行，理由如下：
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图，
，
，
，
，
∴，
解得：；
②当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴
∴，
解得：，
综上所述：当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵折叠，
∴直线折叠重合为两个角，平角为，
∴，即，
∴与直线的位置关系是：垂直，
如图：
∵如图④所示：，
，
由折叠可知：，
，
（内错角相等，两直线平行），
故答案为：垂直；；
（2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，
∴灯转动20秒后度数为，
又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置，
∴此时灯再次转动了，
，
故答案为：.
【分析】（1）利用折叠的性质及角的运算和平行线的判定方法分析求解即可；
（2）①结合图形直接求出灯P旋转后的角度即可；
②先画出图形，再利用平行线的性质及角的运算求出即可；
（3）分类讨论：①当时；②当时；③当时，先画出图形，再利用平行线的性质及角的运算列出方程求解即可.
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一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025七下·青秀期中）2023年第一届全国学生（青年）运动会会徽，是由“广西”二字组成的书法合体字，整体造型为一个青春飞扬的运动员形象．下列的四个图中，能由如图示的会徽经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意；
B、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意；
C、图形的方向与原图不一致，不能通过平移得到，不合题意；
D、图形的大小、形状和方向与原图一致，能通过平移得到，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平移的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．（2025七下·青秀期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．﹣2 B． C． D．3.14
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
D.3.14是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义逐项判断即可。
3．（2025七下·青秀期中）下列图中，、是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；
B、、的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意；
C、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；
D、、是对顶角，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据对顶角的定义，逐项进行判断即可得出答案。
4．（2025七下·青秀期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 21500000=2.15×107，
故答案为：A.
【分析】 一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
5．（2025七下·青秀期中）下列各数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C． D．2
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵负数小于正数，负数小于零，
∴最小的数在和中，
∵，，，
∴
∴四个数中最小的数是，
故答案为：C．
【分析】根据负数小于正数，负数小于零，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解．
6．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系内，将先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则称动后的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点
∴先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的点的坐标是（5 2，2＋3），
即（3，5），
故答案为：B．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
7．（2025七下·青秀期中）下列方程中，是二元一次方程的是(　　)
A．3x﹣2y＝4z B．4x+y＝2 C． D．6xy+9＝0
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、，不是三元一次方程，故此选项错误；
B、，是二元一次方程，故此选项正确；
C、，不是整式方程，故此选项错误；
D、，最高是二次，故此选项错误；
故答案为：B．
【分析】利用一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0，其中a，b是常数且a≠0）逐个分析判断即可.
8．（2025七下·青秀期中）如图，用方向和距离描述图书馆相对于小逸家的位置，下列选项正确的是（　　）
A．北偏东， B．东北方向，
C．北偏西， D．北偏东，
【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图得：
，
图书馆相对于小逸家的位置为北偏东，处，
故答案为：D．
【分析】首先根据互余关系计算，进而根据方位角的定义即可得出答案。
9．（2025七下·青秀期中）估算的值应在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再求出即可.
10．（2025七下·青秀期中）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，
由题意得： .
故答案为：C.
【分析】 设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，由“ 3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶”列出方程组即可.
11．（2025七下·青秀期中）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到，DF交BC于点H，，，则阴影部分的面积为（　　）
A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【答案】A
【知识点】平移的性质；多边形的面积
【解析】【解答】由平移的性质可知，，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质可知：线段保持原长度，角度关系满足，由此可推导出：线段的长度，阴影部分面积等于直角梯形BEFH的面积，即，最终结果可通过面积公式计算得出。
12．（2025七下·青秀期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点A作，过点B作，根据平行公理，得到，由，得到，求得，进而得到，再由平行线的同旁内角互补，得到，由此得到，即可得到答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025七下·青秀期中）-5的绝对值是　 　．
【答案】5
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|-5|=5，
故答案为：5．
【分析】根据绝对值的定义计算即可．
14．（2025七下·青秀期中）点在平面直角坐标系中位于第　 　象限．
【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵的横坐标是为负数，纵坐标是2为正数，
∴点在第二象限，
故答案为：二．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
15．（2025七下·青秀期中）如图，，AE平分∠BAC，且与CD相交于点E，若∠C＝50°，则∠AEC的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
∵，
，
平分，
，
．
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质及角的运算可得，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出∠AEC的度数即可.
16．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上向右向下向右向下向右向上向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第n次移动到点，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，，，，
由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0，，，0，0的顺序，每8个为一个循环，
，
点的纵坐标为1，
的横坐标为0，的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，的横坐标为4，
由此得：的横坐标为，
．
故答案为：．
【分析】先求出点A的坐标可得规律纵坐标规律为以1，1，0，0，，，0，0的顺序，每8个为一个循环，再结合，可得点的纵坐标为1，再求出的横坐标为，可得点．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2025七下·青秀期中）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数混合运算法则（含乘方）；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）先利用二次根式的性质和立方根的性质化简，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·青秀期中）（1）解方程组：．
（2）先化简、再求值：，其中．
【答案】解：（1），
由得，，
解得：，
将代入②得，，
∴原方程组的解为：；
（2）
，
当时，原式．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；利用整式的加减运算化简求值；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）先利用整式的加减法可得1+2x，再将x的值代入计算即可.
19．（2025七下·青秀期中）如图，在平面直角坐标系中三角形的顶点坐标分别为．
（1）求出三角形的面积；
（2）将三角形进行平移，平移后点 C 的对应点 的坐标为，画出平移后的三角形
（3）x轴上有一点P，连接．若三角形的面积是三角形面积的2 倍，求点 P 的坐标．
【答案】（1）解：
（2）解：∵，平移后对应点的坐标为，
∴三角形先向右平移了5个单位，又向下平移了2个单位，
∴
∴如下图所示：
（3）解：设点P的坐标为，则，则上的高为1．
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；坐标与图形性质；平移的性质；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据割补法即可得出；
（2）根据，平移后对应点的坐标为，可得出三角形先向右平移了5个单位，又向下平移了2个单位，进而根据平移规律可得出，找出对应点，并顺次连接A1，B1，C1，即可得出 三角形；
（3）点P的坐标为，则，则上的高为1，根据题意可得出，解x即可求出点P的坐标．
20．（2025七下·青秀期中）如图，，，试判断与的大小关系，并证明你的结论
解：与相等，理由如下：
（已知）
∴___________=___________（___________）
（内错角相等，两直线平行）
∴___________=___________（___________）
又（已知）
___________（　　）
（ ）
（ ）．
【答案】解：与相等，理由如下：
（已知），
（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：；；同角的补角相等；；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意，先求出，得到，得出，根据，得到，即可得到，即可得出答案．
21．（2025七下·青秀期中）小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
（1）请按照小智的解法解出这个方程组；
（2）用整体代入法解方程组．
【答案】（1）解：解：整理得，
把①整体代入②得，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：整理得，
把②整体代入①得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先可整理原方程为，进而利用整体代入的方法，可消去未知数x，求出y=3，进而代入①，即可得出x=4，进而即可得出方程组的解为；
（2）先把原方程整理得到，进而利用整体代入的方法，可消去未知数y，求出x=1，进而代入①，即可得出y=5，进而即可得出方程组的解为．
（1）解：
整理得，
把①整体代入②得，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：
整理得，
把②整体代入①得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为．
22．（2025七下·青秀期中）综合与实践
【问题发现】
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______．
【知识迁移】
（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______．
【拓展延伸】
（3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对．
【答案】解：（1）2；；；
（2）1；13；；
（3）小思说得对，小明说得不对，理由如下：
设截出的长方形纸片的长为，宽为，
则，
∴（负值舍去），
∴截出的长方形纸片的长为，
∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．
【知识点】实数的大小比较；求算术平方根；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；故答案为：2；；；
（2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为，
故答案为：1；13；.
【分析】（1）利用正方形的面积公式及图形分析求解即可；
（2）利用正方形的面积公式及图形分析求解即可；
（3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，利用“ 裁出一块面积为的长方形纸片 ”列出方程求解即可.
23．（2025七下·青秀期中）【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④．
【问题初探】
（1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行．
【问题二探】
（2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置．
①________（用含t的式子表示）；
②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小；
【问题三探】
（3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
【答案】解：（1）垂直；；
（2）①；
②如图为大致图形：
当时，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行，理由如下：
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图，
，
，
，
，
∴，
解得：；
②当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴
∴，
解得：，
综上所述：当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵折叠，
∴直线折叠重合为两个角，平角为，
∴，即，
∴与直线的位置关系是：垂直，
如图：
∵如图④所示：，
，
由折叠可知：，
，
（内错角相等，两直线平行），
故答案为：垂直；；
（2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，
∴灯转动20秒后度数为，
又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置，
∴此时灯再次转动了，
，
故答案为：.
【分析】（1）利用折叠的性质及角的运算和平行线的判定方法分析求解即可；
（2）①结合图形直接求出灯P旋转后的角度即可；
②先画出图形，再利用平行线的性质及角的运算求出即可；
（3）分类讨论：①当时；②当时；③当时，先画出图形，再利用平行线的性质及角的运算列出方程求解即可.
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