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广东省广州市越秀区广州大学附属中学黄埔实验学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·越秀期中）下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·越秀期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·越秀期中）已知 是整数，正整数n的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．6 D．36
4．（2025八下·越秀期中）在中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．， ，
5．（2025八下·越秀期中）如图，，分别为边上的点．要使，需添加一个条件，下列添加条件不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·越秀期中）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作学习小组的位同学拟订的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角 D．测量一组对角是否都为直角
7．（2025八下·越秀期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
8．（2025八下·越秀期中）如图，将一根长为的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·越秀期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E在BC边上，连接DE，将△DEC沿DE翻折，得到△DEC'，C'E交AD于点F，连接AC'．若点F为AD的中点，则AC'的长度为（　　）
A． B．2 C．2 D．+1
10．（2025八下·越秀期中）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·越秀期中）使有意义的x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·越秀期中）如图，正方形A的面积为　 　．
13．（2025八下·越秀期中）已知，，用含，的代数式表示为　 　．
14．（2025八下·越秀期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 　 　．
15．（2025八下·越秀期中）如图，正方形和正方形中，点在上，已知，，点是的中点，则的长是　 　．
16．（2025八下·越秀期中）如图，矩形ABCD中，交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，，若，则CD的值为　 　．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（2025八下·越秀期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025八下·越秀期中）如图，中，点E、F在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形．
19．（2025八下·越秀期中）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．（2025八下·越秀期中）如图，已知是矩形的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接，若，求的度数．
21．（2025八下·越秀期中）如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知
（1）画出；
（2）判断的形状？
（3）求边上的高是 ．
22．（2025八下·越秀期中）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距．
（1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？
23．（2025八下·越秀期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
24．（2025八下·越秀期中）如图1所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
（1）请问和有何数量关系，并说明理由；
（2）如图所示，在（1）的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数．
25．（2025八下·越秀期中）如图，在中，，平分，，延长使得，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点．
①求证：；
②试探究：，，的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】解：∵，
∴只有有意义．
故答案为：B．
【解答】根据二次根式的定义逐项进行判断即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，故选项A正确，符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的加减法运算法则可得出A正确，B不正确；根据二次根式的乘法可得出C不正确；根据二次根式的除法可得出D不正确。
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ ，且 是整数，
∴ 是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故答案为：C．
【分析】由=2是整数，得到6n是完全平方数，得到n的最小正整数值.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：A、，，可判断△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B、，，不是直角三角形，故B符合题意；
C、，解得，可判断△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
D、，可判断△ABC是直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：若△ABC的三边满足，△ABC是直角三角形；由直角三角形的定义：含有一个直角的三角形是直角三角形，逐一判断即可解答．
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
添加，
∴，利用使，故A不符合题意；
添加，
∴，
∴，利用使，故B不符合题意；
添加，利用使，故C不符合题意；
添加，不能使，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定，逐项进行推理，判断，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，故本选项正确；
、根据一组对角是直角不能确定其余两角为直角，故本选项错误；
故答案为：．
【分析】根据矩形的判定方法逐项进行判断，即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解： D是的中点，，，
是的垂直平分线，
，
，，
，
D，E分别是，的中点，
是的中位线，
．
故答案为：A．
【分析】首先根据线段垂直平分线的定义及性质可得出，进而可得出7-3=4，再根据三角形中位线定理即可得出．
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴中，cm，cm，
∴cm，
∴cm，
∴cm，
∴拉伸后橡皮筋的长为cm．
故答案为：A
【分析】首先理解拉伸后橡皮筋的长为，根据勾股定理可得出cm，进而可得出cm，进一步即可得出cm，即拉伸后橡皮筋的长为cm．
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，过点C'作C'H⊥AD于点H，
∵点F为AD的中点，AD＝BC＝2
∴AF＝DF＝
∵将△DEC沿DE翻折
∴CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°
在Rt△DC'F中，C'F＝
∵S△C'DF＝
∴×C'H＝1×3
∴C'H＝
∴FH＝
∴AH＝AF+FH＝
在Rt△AC'H中，AC'＝
故答案为：A．
【分析】
过点C'作C'H⊥AD于点H，根据中点的定义得到 AF＝DF＝ ，由折叠的性质可得CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°， 在Rt△DC'F中由勾股定理可求C'F＝1，根据等面积法由三角形面积公式可求C'H的长，再由勾股定理计算可得FH，通过线段的和差计算可得AH的长度，最后由勾股定理计算可求AC'的长，解答即可．
10．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】解：如图，连接CF、CG、AE，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，
∴d1＋d2＋d3的最小值为，
故答案为：C．
【分析】连接CF、CG、AE，根据SAS可证得，可得，根据两点之间线段最短，可得出：当A、E、F、C四点共线时，即得最小值，即可得出最小值为AC的长，根据勾股定理即可得出。
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故答案是：．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数大于等于0，列式计算即可解答．
12．【答案】100
【知识点】勾股定理；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：如图：，
根据勾股定理可得：，
故答案为：100．
【分析】
根据勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，计算即可解答．
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：
【分析】
根据二次根式的乘法运算：，再结合，，代入计算即可解答．
14．【答案】
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；菱形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据菱形的性质可得出，进而可得出，再根据菱形的对角线平分一组对角，即可得出，进而根据垂线的定义，以及直角三角形的性质，可得出，进一步即可得出。
15．【答案】5
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，，
四边形和都是正方形，，，
，，，
，
在中，，
，
是的中点，
，
故答案为：5．
【分析】首先根据正方形的性质可得出，，，进而，再根据勾股定理即可得出，最后根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出。
16．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，
∵GF=AF，
∴∠FAG=∠FGA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=4，OB=OD，
∵CG=GF，
∴OG为△CAF的中位线，
∴AF=2OG，OG∥AD，
∴∠FDM=∠MOG，
∵AE⊥BD，
∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°，
.∴∠GMO=∠MDF，
∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，
∴OG=GM，FM=FD，
设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，
∴FD=FM=FG-MG=2x-x=x，
∴CF=4x，AD=3x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
DC2+AD2=AC2，
即15x2+9x2=48，
解得x=，
∴，
故答案为：．
【分析】 辅助线构造：连接AC与BD的交点O，连接OG；设BD与CF的交点为M；几何性质应用：由矩形性质得AC与BD互相平分，O为BD中点；根据中位线定理，OG是△CAF的中位线，故OG∥AF且OG=AF。通过平行线性质及对顶角相等，推导出∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD；变量设定与计算：设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x；用x表示边长：CD=3x，AD=4x； 勾股定理求解，在△ACD中，利用AD2+CD2=AC2，列方程，解得x的值，最终确定边长比例。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先根据零指数幂的性质，以及二次根式的乘法和除法法则进行化简，进而再进行二次根式的加法运算即可；
（2）首先根据平方差公式和完全平方公式，进行二次根式的乘法运算，进而再进行二次根式的加减运算即可。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】证明：连接交于，如下图，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】连接交于，根据平行四边形的性质：对角线互相平分得到，，再进行线段的和差运算得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由此即可证明．
19．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴
。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；配方法的应用；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）将表达式通过配方法转化为的形式，然后直接代入已知条件计算即可得到结果；
（2）将分式转化为的形式，利用题目给定的条件整体代入计算即可求得最终值。
（1）解：∵，
∴；
（2）∵，，
∴
．
20．【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：垂直平分线段，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法，完成作图即可；
（2）首先根据线段垂直平分线的性质可得出，进而根据等腰三角形的性质得出，再根据矩形的性质，可得出，，进而得出，再根据邻补角定义，即可得出∠DEF=(180°-58°）=61°，进而根据平行线的性质即可得出．
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）垂直平分线段，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
21．【答案】（1）解：如图，为所求作的三角形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
（3）2
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理的逆定理；等积变换；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（3）如图，过作于，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2.
【分析】（1）首先根据，确定C的位置，进而顺次连接A，B，C，即可得出；（2）通过计算，根据勾股定理的逆定理即可得出为直角三角形；
（3）过作于，再根据三角形的面积计算公式可得出，进而即可得出．
（1）解：如图，为所求作的三角形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
（3）如图，过作于，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下：
如图，过作于，
，
，
，
的面积，
，
，
，
农场会受到台风的影响；
（2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
台风中心的移动速度为，
台风影响该农场持续时间是（小时）．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）首先，过点作垂线于点。利用勾股定理计算得出，再通过比较，即可得出结论；
（2）台风的影响范围从点开始，到点结束。连接和，再次应用勾股定理可得：，进而求出，进而根据时间=路程÷速度，即可得出答案。
（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下：
如图，过作于，
，
，
，
的面积，
，
，
，
农场会受到台风的影响；
（2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
台风中心的移动速度为，
台风影响该农场持续时间是（小时）．
23．【答案】（1）证明：在中，，，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：四边形能够成为菱形．
理由如下：∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
若使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
即当时，四边形为菱形；
（3）解：分情况讨论：当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，此种情况不存在；
综上所述，当或时，为直角三角形．
【知识点】平行公理及推论；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1） 设点、运动的时间是秒 表示出DC=2t，，再根据30直角三角形的性质得到，进而得出，解答即可；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形得出四边形为平行四边形，表示出AD=10-2t，再利用菱形的性质得出，列方程计算求出的值，解答即可；
（3）分三种情况讨论：当时，利用30直角三角形的性质得到，建立方程计算即可解答；当时，利用30直角三角形的性质得到，建立方程计算即可解答；当时，分别分析得出即可解答．
（1）证明：在中，，，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：四边形能够成为菱形．理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
若使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
即当时，四边形为菱形；
（3）解：分情况讨论：
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，此种情况不存在；
综上所述，当或时，为直角三角形．
24．【答案】（1）解：．
理由：如下图所示，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，
，
，
在与中，，
，
．
（2）解：如图所示，连接，
由（1）可知，，
矩形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到，，利用等角的余角相等可得，再根据平行线的性质可得，等量代换代换得到，即可利用证，根据全等三角形对应边相等可得；
（2）连接，根据邻边相等的四边形是正方形可得矩形是正方形，根据矩形的性质和平行四边形的性质利用可证，根据全等三角形对应边相等可证，从而可证，再根据可证，即可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，再根据平行线的性质可得的度数，解答即可．
（1）解：．
理由：如下图所示，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，
，
，
在与中，，
，
．
（2）解：如图所示，连接，
由（1）可知，，
矩形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
25．【答案】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：①证明：连接，
，，
，
∵，
，
，
，
，
由，，，得，
，
②，
理由：过作，交延长线于，连接，
平分，平分，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
由，，，
得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的综合
【解析】【分析】
（1）由角平分线的定义可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，即可判定，再由一组对边相等且平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可解答；
（2）①连接，由，，得，再由直角三角形的斜边等于斜边的一半可得，从而推导出，即可由SAS证明得，通过全等三角形的性质得，解答即可；
②过作，交延长线于，连接，由平分，平分，由角平分线的定义可得，，计算得，从而判定是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，设，表示出，根据角平分线的性质利用角度换算得，即可根据AAS证 明，再根据全等三角形的性质可判定得为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质证 明 四边 形是 平行 四 边形 ，从而推导出，由此解答即可.
（1）解：四边形是矩形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：①证明：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
由，，，得，
，
②，
理由：过作，交延长线于，连接，
平分，平分，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
由，，，
得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
1 / 1广东省广州市越秀区广州大学附属中学黄埔实验学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·越秀期中）下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】解：∵，
∴只有有意义．
故答案为：B．
【解答】根据二次根式的定义逐项进行判断即可得出答案。
2．（2025八下·越秀期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，故选项A正确，符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的加减法运算法则可得出A正确，B不正确；根据二次根式的乘法可得出C不正确；根据二次根式的除法可得出D不正确。
3．（2025八下·越秀期中）已知 是整数，正整数n的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．6 D．36
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ ，且 是整数，
∴ 是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故答案为：C．
【分析】由=2是整数，得到6n是完全平方数，得到n的最小正整数值.
4．（2025八下·越秀期中）在中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．， ，
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：A、，，可判断△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B、，，不是直角三角形，故B符合题意；
C、，解得，可判断△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
D、，可判断△ABC是直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：若△ABC的三边满足，△ABC是直角三角形；由直角三角形的定义：含有一个直角的三角形是直角三角形，逐一判断即可解答．
5．（2025八下·越秀期中）如图，，分别为边上的点．要使，需添加一个条件，下列添加条件不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
添加，
∴，利用使，故A不符合题意；
添加，
∴，
∴，利用使，故B不符合题意；
添加，利用使，故C不符合题意；
添加，不能使，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定，逐项进行推理，判断，即可得出答案。
6．（2025八下·越秀期中）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作学习小组的位同学拟订的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角 D．测量一组对角是否都为直角
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，故本选项正确；
、根据一组对角是直角不能确定其余两角为直角，故本选项错误；
故答案为：．
【分析】根据矩形的判定方法逐项进行判断，即可得出答案。
7．（2025八下·越秀期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解： D是的中点，，，
是的垂直平分线，
，
，，
，
D，E分别是，的中点，
是的中位线，
．
故答案为：A．
【分析】首先根据线段垂直平分线的定义及性质可得出，进而可得出7-3=4，再根据三角形中位线定理即可得出．
8．（2025八下·越秀期中）如图，将一根长为的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴中，cm，cm，
∴cm，
∴cm，
∴cm，
∴拉伸后橡皮筋的长为cm．
故答案为：A
【分析】首先理解拉伸后橡皮筋的长为，根据勾股定理可得出cm，进而可得出cm，进一步即可得出cm，即拉伸后橡皮筋的长为cm．
9．（2025八下·越秀期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E在BC边上，连接DE，将△DEC沿DE翻折，得到△DEC'，C'E交AD于点F，连接AC'．若点F为AD的中点，则AC'的长度为（　　）
A． B．2 C．2 D．+1
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，过点C'作C'H⊥AD于点H，
∵点F为AD的中点，AD＝BC＝2
∴AF＝DF＝
∵将△DEC沿DE翻折
∴CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°
在Rt△DC'F中，C'F＝
∵S△C'DF＝
∴×C'H＝1×3
∴C'H＝
∴FH＝
∴AH＝AF+FH＝
在Rt△AC'H中，AC'＝
故答案为：A．
【分析】
过点C'作C'H⊥AD于点H，根据中点的定义得到 AF＝DF＝ ，由折叠的性质可得CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°， 在Rt△DC'F中由勾股定理可求C'F＝1，根据等面积法由三角形面积公式可求C'H的长，再由勾股定理计算可得FH，通过线段的和差计算可得AH的长度，最后由勾股定理计算可求AC'的长，解答即可．
10．（2025八下·越秀期中）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】解：如图，连接CF、CG、AE，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，
∴d1＋d2＋d3的最小值为，
故答案为：C．
【分析】连接CF、CG、AE，根据SAS可证得，可得，根据两点之间线段最短，可得出：当A、E、F、C四点共线时，即得最小值，即可得出最小值为AC的长，根据勾股定理即可得出。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·越秀期中）使有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故答案是：．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数大于等于0，列式计算即可解答．
12．（2025八下·越秀期中）如图，正方形A的面积为　 　．
【答案】100
【知识点】勾股定理；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：如图：，
根据勾股定理可得：，
故答案为：100．
【分析】
根据勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，计算即可解答．
13．（2025八下·越秀期中）已知，，用含，的代数式表示为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：
【分析】
根据二次根式的乘法运算：，再结合，，代入计算即可解答．
14．（2025八下·越秀期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 　 　．
【答案】
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；菱形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据菱形的性质可得出，进而可得出，再根据菱形的对角线平分一组对角，即可得出，进而根据垂线的定义，以及直角三角形的性质，可得出，进一步即可得出。
15．（2025八下·越秀期中）如图，正方形和正方形中，点在上，已知，，点是的中点，则的长是　 　．
【答案】5
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，，
四边形和都是正方形，，，
，，，
，
在中，，
，
是的中点，
，
故答案为：5．
【分析】首先根据正方形的性质可得出，，，进而，再根据勾股定理即可得出，最后根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出。
16．（2025八下·越秀期中）如图，矩形ABCD中，交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，，若，则CD的值为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，
∵GF=AF，
∴∠FAG=∠FGA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=4，OB=OD，
∵CG=GF，
∴OG为△CAF的中位线，
∴AF=2OG，OG∥AD，
∴∠FDM=∠MOG，
∵AE⊥BD，
∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°，
.∴∠GMO=∠MDF，
∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，
∴OG=GM，FM=FD，
设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，
∴FD=FM=FG-MG=2x-x=x，
∴CF=4x，AD=3x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
DC2+AD2=AC2，
即15x2+9x2=48，
解得x=，
∴，
故答案为：．
【分析】 辅助线构造：连接AC与BD的交点O，连接OG；设BD与CF的交点为M；几何性质应用：由矩形性质得AC与BD互相平分，O为BD中点；根据中位线定理，OG是△CAF的中位线，故OG∥AF且OG=AF。通过平行线性质及对顶角相等，推导出∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD；变量设定与计算：设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x；用x表示边长：CD=3x，AD=4x； 勾股定理求解，在△ACD中，利用AD2+CD2=AC2，列方程，解得x的值，最终确定边长比例。
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（2025八下·越秀期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先根据零指数幂的性质，以及二次根式的乘法和除法法则进行化简，进而再进行二次根式的加法运算即可；
（2）首先根据平方差公式和完全平方公式，进行二次根式的乘法运算，进而再进行二次根式的加减运算即可。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025八下·越秀期中）如图，中，点E、F在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接交于，如下图，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】连接交于，根据平行四边形的性质：对角线互相平分得到，，再进行线段的和差运算得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由此即可证明．
19．（2025八下·越秀期中）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴
。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；配方法的应用；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）将表达式通过配方法转化为的形式，然后直接代入已知条件计算即可得到结果；
（2）将分式转化为的形式，利用题目给定的条件整体代入计算即可求得最终值。
（1）解：∵，
∴；
（2）∵，，
∴
．
20．（2025八下·越秀期中）如图，已知是矩形的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：垂直平分线段，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法，完成作图即可；
（2）首先根据线段垂直平分线的性质可得出，进而根据等腰三角形的性质得出，再根据矩形的性质，可得出，，进而得出，再根据邻补角定义，即可得出∠DEF=(180°-58°）=61°，进而根据平行线的性质即可得出．
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）垂直平分线段，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
21．（2025八下·越秀期中）如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知
（1）画出；
（2）判断的形状？
（3）求边上的高是 ．
【答案】（1）解：如图，为所求作的三角形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
（3）2
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理的逆定理；等积变换；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（3）如图，过作于，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2.
【分析】（1）首先根据，确定C的位置，进而顺次连接A，B，C，即可得出；（2）通过计算，根据勾股定理的逆定理即可得出为直角三角形；
（3）过作于，再根据三角形的面积计算公式可得出，进而即可得出．
（1）解：如图，为所求作的三角形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
（3）如图，过作于，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22．（2025八下·越秀期中）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距．
（1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下：
如图，过作于，
，
，
，
的面积，
，
，
，
农场会受到台风的影响；
（2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
台风中心的移动速度为，
台风影响该农场持续时间是（小时）．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）首先，过点作垂线于点。利用勾股定理计算得出，再通过比较，即可得出结论；
（2）台风的影响范围从点开始，到点结束。连接和，再次应用勾股定理可得：，进而求出，进而根据时间=路程÷速度，即可得出答案。
（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下：
如图，过作于，
，
，
，
的面积，
，
，
，
农场会受到台风的影响；
（2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
台风中心的移动速度为，
台风影响该农场持续时间是（小时）．
23．（2025八下·越秀期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明：在中，，，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：四边形能够成为菱形．
理由如下：∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
若使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
即当时，四边形为菱形；
（3）解：分情况讨论：当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，此种情况不存在；
综上所述，当或时，为直角三角形．
【知识点】平行公理及推论；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1） 设点、运动的时间是秒 表示出DC=2t，，再根据30直角三角形的性质得到，进而得出，解答即可；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形得出四边形为平行四边形，表示出AD=10-2t，再利用菱形的性质得出，列方程计算求出的值，解答即可；
（3）分三种情况讨论：当时，利用30直角三角形的性质得到，建立方程计算即可解答；当时，利用30直角三角形的性质得到，建立方程计算即可解答；当时，分别分析得出即可解答．
（1）证明：在中，，，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：四边形能够成为菱形．理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
若使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
即当时，四边形为菱形；
（3）解：分情况讨论：
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，此种情况不存在；
综上所述，当或时，为直角三角形．
24．（2025八下·越秀期中）如图1所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
（1）请问和有何数量关系，并说明理由；
（2）如图所示，在（1）的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数．
【答案】（1）解：．
理由：如下图所示，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，
，
，
在与中，，
，
．
（2）解：如图所示，连接，
由（1）可知，，
矩形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到，，利用等角的余角相等可得，再根据平行线的性质可得，等量代换代换得到，即可利用证，根据全等三角形对应边相等可得；
（2）连接，根据邻边相等的四边形是正方形可得矩形是正方形，根据矩形的性质和平行四边形的性质利用可证，根据全等三角形对应边相等可证，从而可证，再根据可证，即可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，再根据平行线的性质可得的度数，解答即可．
（1）解：．
理由：如下图所示，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，
，
，
在与中，，
，
．
（2）解：如图所示，连接，
由（1）可知，，
矩形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
25．（2025八下·越秀期中）如图，在中，，平分，，延长使得，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点．
①求证：；
②试探究：，，的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：①证明：连接，
，，
，
∵，
，
，
，
，
由，，，得，
，
②，
理由：过作，交延长线于，连接，
平分，平分，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
由，，，
得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的综合
【解析】【分析】
（1）由角平分线的定义可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，即可判定，再由一组对边相等且平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可解答；
（2）①连接，由，，得，再由直角三角形的斜边等于斜边的一半可得，从而推导出，即可由SAS证明得，通过全等三角形的性质得，解答即可；
②过作，交延长线于，连接，由平分，平分，由角平分线的定义可得，，计算得，从而判定是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，设，表示出，根据角平分线的性质利用角度换算得，即可根据AAS证 明，再根据全等三角形的性质可判定得为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质证 明 四边 形是 平行 四 边形 ，从而推导出，由此解答即可.
（1）解：四边形是矩形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：①证明：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
由，，，得，
，
②，
理由：过作，交延长线于，连接，
平分，平分，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
由，，，
得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
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