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广西壮族自治区桂林市国龙外国语学校2024－2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
一、单选题（共12题，每题3分，共36分）
1．（2025七下·桂林期中）下列各数中，属于无理数的是（　　）
A． B． C． D．3.14
2．（2025七下·桂林期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·桂林期中）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．图是哪吒头像，在下列四个图中能由图经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·桂林期中）如图，直线相交于点O，射线平分，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·桂林期中）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·桂林期中）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·桂林期中）若，，则的结果为（　　）
A．15 B．8 C．30 D．45
8．（2025七下·桂林期中）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（　　）
A．0 B． C．2 D．3
9．（2025七下·桂林期中）在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（　　）
A．1个或3个 B．0个或2个
C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
10．（2025七下·桂林期中）某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·桂林期中）定义，例如：，若，则非负整数的值有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
12．（2025七下·桂林期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共4题，每题3分，共12分）
13．（2025七下·桂林期中）比较实数大小：　 　4．（选填“”“”或“”）
14．（2025七下·桂林期中）计算：　 　．
15．（2025七下·桂林期中）如图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，则的度数为　 　．
16．（2025七下·桂林期中）已知关于的不等式组，任意一个的值都不在的范围内，则的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025七下·桂林期中）计算与化简：
（1）
（2）
18．（2025七下·桂林期中）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上；
（2）解不等式组：
19．（2025七下·桂林期中）（1）先化简，再求值：，其中，；
（2）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根．
20．（2025七下·桂林期中）完成推理填空．
已知：如图，，平分，与相交于点，交的延长线于点，，试说明：．
证明：因为（已知）
所以（________）
又因为平分（已知）
所以________（角平分线定义）
所以（等量代换）
因为．（________）
所以________（等量代换）
所以（________）
21．（2025七下·桂林期中）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】
（1）①若，，则的值为________．
②若，则________．
【迁移应用】
（2）两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
22．（2025七下·桂林期中）【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】（1）如图1，已知．
①若，则的度数为________．
②若，，求的度数：________．
【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系．
23．（2025七下·桂林期中）综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，，3.14都不是无限不循环小数，是无限不循环小数，
则是无理数，
故答案为：B.
【分析】先化简，再利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项法则可得出A不正确；B不正确；根据同底数幂的乘法可得出C正确；根据幂的乘方可得出D不正确。
3．【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由题意，平移能得到的图形为：
故答案为：A．
【分析】根据平移的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵射线平分，
∴，
故答案为：A.
【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用角平分的定义可得.
5．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，符合平方差公式，正确，符合题意；
B、不符合平方差公式，错误，不符合题意；
C、，不符合平方差公式，错误，不符合题意；
D、，不符合平方差公式，错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
6．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D.
【分析】 利用单项式乘单项式的计算方法（把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式）分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：A.
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，
，
．
故选C．
【分析】根据多项式乘多项式法得到与的乘积，再结合多项式的系数结合题意即可求解。
9．【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系；直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：由题意，如图：当三条直线平行时，三条直线没有交点，
三条直线两两相交时，如图：
可能有1个，2个或3个交点，
故答案为：D．
【分析】利用直线的位置关系和交点个数与数量的关系分析求解即可.
10．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设该水果每千克的售价为元，
根据题意所列不等式为 ： 。
故答案为：B．
【分析】设该水果每千克的售价为元，根据 销售利润不低于， 即可得出不等式 ： 。
11．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∴非负整数的值有，共4个；
故答案为：B．
【分析】根据题干中的定义可列出不等式，再求解即可.
12．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；探索数与式的规律；不等式的性质；数轴的动点变速问题；数轴的图形运动问题
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，则表示的数为，
∵，
∴，
表示的数为，
，则表示的数为，
∵，
∴，
同理可得，
……，
以此类推，可知，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查实数运算的规律探索以及数轴的应用。解题时需先计算得出、和的具体数值，通过分析这些计算结果找出其中隐含的规律。熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键所在。
13．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故答案为：.
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算求解即可.
15．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质可得，再结合，可得.
16．【答案】或
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；解特殊的不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
解集中任意一个的值都不在的范围内，
或，
或，
故答案为：或．
【分析】先求出不等式组的解集为，再结合“解集中任意一个的值都不在的范围内”可得或，最后求出m的取值范围即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
．
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用单项式乘多项式的计算方法展开，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：（1），
，
，
∴
数轴表示如下：
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得，
不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）利用移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解，然后在数轴表示即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，即可得出答案．
19．【答案】解：（1）原式；
当，时，
原式；
（2）由题意，得：，
∴，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）先利用整式的混合运算的计算方法化简可得，再将x、y的值代入计算即可；
（2）先利用算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再将其代入计算并求出平方根即可.
20．【答案】证明：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵平分（已知）
∴（角平分线定义）
∴（等量代换）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，同位角相等；；已知；；内错角相等，两直线平行．
【知识点】推理与论证；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质以及推理方法和步骤分析求解即可.
21．【答案】解：（1）①44；②180；
（2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，
由题意，得：，，即，
，
，
，
一块三角板的面积是15．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知，，
∵，，
，
故答案为：44；
②令，，
，，
，
故答案为：180；
【分析】（1）①利用完全平方公式的定义及计算方法可得，再将数据代入求出即可；
②令，，可得，，再利用完全平方公式的定义求出180即可；
（2）设三角板的两条直角边，，可得，，即，再求出即可.
22．【答案】解：（1）①；②；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：①；②.
【分析】（1）①利用平行线的性质及角的运算求出即可；
②利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出，最后利用平行线的性质可得；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得，再利用平行线的性质可得，再求出，即可得到．
23．【答案】解：任务1：设长方体的高度为，则：，
解得：，
答：长方体的高度为；
任务2：设张木板制作无盖的收纳盒，则张木板制作盖子，
根据图二，一张木板制作两个盖子，
∴制成的有盖收纳盒个数等于盖子的个数为，
故无盖收纳盒的个数为，
∵制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，
则：，
解得：，
的整数解有：76，77，78，79，
共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
任务3：设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元，
由题意得：
即：，
由任务2得共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
∵，
∴随的增大而减小，
当时，有最大值，为：，
答：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为1124元．
【知识点】二元一次方程的解；一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设长方体的高度为，利用“底面长与宽之比为”列出方程求解即可；
任务2：设张木板制作无盖的收纳盒，则张木板制作盖子，利用“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解即可；
任务3：设张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元，利用“利润=售价-成本”列出函数表达式，再利用函数的性质求解即可．
1 / 1广西壮族自治区桂林市国龙外国语学校2024－2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
一、单选题（共12题，每题3分，共36分）
1．（2025七下·桂林期中）下列各数中，属于无理数的是（　　）
A． B． C． D．3.14
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，，3.14都不是无限不循环小数，是无限不循环小数，
则是无理数，
故答案为：B.
【分析】先化简，再利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2025七下·桂林期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项法则可得出A不正确；B不正确；根据同底数幂的乘法可得出C正确；根据幂的乘方可得出D不正确。
3．（2025七下·桂林期中）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．图是哪吒头像，在下列四个图中能由图经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由题意，平移能得到的图形为：
故答案为：A．
【分析】根据平移的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
4．（2025七下·桂林期中）如图，直线相交于点O，射线平分，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵射线平分，
∴，
故答案为：A.
【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用角平分的定义可得.
5．（2025七下·桂林期中）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，符合平方差公式，正确，符合题意；
B、不符合平方差公式，错误，不符合题意；
C、，不符合平方差公式，错误，不符合题意；
D、，不符合平方差公式，错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
6．（2025七下·桂林期中）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D.
【分析】 利用单项式乘单项式的计算方法（把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式）分析求解即可.
7．（2025七下·桂林期中）若，，则的结果为（　　）
A．15 B．8 C．30 D．45
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：A.
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
8．（2025七下·桂林期中）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（　　）
A．0 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，
，
．
故选C．
【分析】根据多项式乘多项式法得到与的乘积，再结合多项式的系数结合题意即可求解。
9．（2025七下·桂林期中）在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（　　）
A．1个或3个 B．0个或2个
C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系；直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：由题意，如图：当三条直线平行时，三条直线没有交点，
三条直线两两相交时，如图：
可能有1个，2个或3个交点，
故答案为：D．
【分析】利用直线的位置关系和交点个数与数量的关系分析求解即可.
10．（2025七下·桂林期中）某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设该水果每千克的售价为元，
根据题意所列不等式为 ： 。
故答案为：B．
【分析】设该水果每千克的售价为元，根据 销售利润不低于， 即可得出不等式 ： 。
11．（2025七下·桂林期中）定义，例如：，若，则非负整数的值有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：由题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∴非负整数的值有，共4个；
故答案为：B．
【分析】根据题干中的定义可列出不等式，再求解即可.
12．（2025七下·桂林期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；探索数与式的规律；不等式的性质；数轴的动点变速问题；数轴的图形运动问题
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，则表示的数为，
∵，
∴，
表示的数为，
，则表示的数为，
∵，
∴，
同理可得，
……，
以此类推，可知，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查实数运算的规律探索以及数轴的应用。解题时需先计算得出、和的具体数值，通过分析这些计算结果找出其中隐含的规律。熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键所在。
二、填空题（共4题，每题3分，共12分）
13．（2025七下·桂林期中）比较实数大小：　 　4．（选填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故答案为：.
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
14．（2025七下·桂林期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算求解即可.
15．（2025七下·桂林期中）如图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质可得，再结合，可得.
16．（2025七下·桂林期中）已知关于的不等式组，任意一个的值都不在的范围内，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；解特殊的不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
解集中任意一个的值都不在的范围内，
或，
或，
故答案为：或．
【分析】先求出不等式组的解集为，再结合“解集中任意一个的值都不在的范围内”可得或，最后求出m的取值范围即可.
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025七下·桂林期中）计算与化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
．
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用单项式乘多项式的计算方法展开，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·桂林期中）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上；
（2）解不等式组：
【答案】解：（1），
，
，
∴
数轴表示如下：
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得，
不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）利用移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解，然后在数轴表示即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，即可得出答案．
19．（2025七下·桂林期中）（1）先化简，再求值：，其中，；
（2）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根．
【答案】解：（1）原式；
当，时，
原式；
（2）由题意，得：，
∴，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）先利用整式的混合运算的计算方法化简可得，再将x、y的值代入计算即可；
（2）先利用算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再将其代入计算并求出平方根即可.
20．（2025七下·桂林期中）完成推理填空．
已知：如图，，平分，与相交于点，交的延长线于点，，试说明：．
证明：因为（已知）
所以（________）
又因为平分（已知）
所以________（角平分线定义）
所以（等量代换）
因为．（________）
所以________（等量代换）
所以（________）
【答案】证明：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵平分（已知）
∴（角平分线定义）
∴（等量代换）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，同位角相等；；已知；；内错角相等，两直线平行．
【知识点】推理与论证；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质以及推理方法和步骤分析求解即可.
21．（2025七下·桂林期中）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】
（1）①若，，则的值为________．
②若，则________．
【迁移应用】
（2）两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
【答案】解：（1）①44；②180；
（2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，
由题意，得：，，即，
，
，
，
一块三角板的面积是15．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知，，
∵，，
，
故答案为：44；
②令，，
，，
，
故答案为：180；
【分析】（1）①利用完全平方公式的定义及计算方法可得，再将数据代入求出即可；
②令，，可得，，再利用完全平方公式的定义求出180即可；
（2）设三角板的两条直角边，，可得，，即，再求出即可.
22．（2025七下·桂林期中）【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】（1）如图1，已知．
①若，则的度数为________．
②若，，求的度数：________．
【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系．
【答案】解：（1）①；②；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：①；②.
【分析】（1）①利用平行线的性质及角的运算求出即可；
②利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出，最后利用平行线的性质可得；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得，再利用平行线的性质可得，再求出，即可得到．
23．（2025七下·桂林期中）综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示：
【答案】解：任务1：设长方体的高度为，则：，
解得：，
答：长方体的高度为；
任务2：设张木板制作无盖的收纳盒，则张木板制作盖子，
根据图二，一张木板制作两个盖子，
∴制成的有盖收纳盒个数等于盖子的个数为，
故无盖收纳盒的个数为，
∵制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，
则：，
解得：，
的整数解有：76，77，78，79，
共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
任务3：设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元，
由题意得：
即：，
由任务2得共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
∵，
∴随的增大而减小，
当时，有最大值，为：，
答：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为1124元．
【知识点】二元一次方程的解；一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设长方体的高度为，利用“底面长与宽之比为”列出方程求解即可；
任务2：设张木板制作无盖的收纳盒，则张木板制作盖子，利用“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解即可；
任务3：设张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元，利用“利润=售价-成本”列出函数表达式，再利用函数的性质求解即可．
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