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广东省广州市培文外国语学校2024—2025学年下学期七年级期中质量检测数学试题
一、选择题（共10小题，共30分）
1．（2025七下·广州期中）下列各数为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、0.618是有限小数，它是有理数，所以A不符合题意；
B、是分数，它是有理数，所以B不符合题意；
C、是开放开不尽的数，它是无理数，所以C符合题意；
D、，它是有理数，所以D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】分别判断各选项是有理数还是无理数，然后得出得出答案。
2．（2025七下·广州期中）若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、等式两边都×（-5），不等号方向改变，故A正确。
B、不等式两边都-5，不等式方向不变，故B正确。
C、不等号左边×a右边×b，不符合等式性质，故C错误，
D、等式两边都乘5方向不变，故D正确。
故答案为：C
【分析】由等式的性质解题即可。
3．（2025七下·广州期中）在下面调查中，最适合用全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．检测某城市的空气质量
C．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
D．了解一批节能灯管的使用寿命
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合用全面调查，符合题意；
B、检测某城市的空气质量，适合用抽样调查，不符合题意；
C、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，适合用抽样调查，不符合题意；
D、了解一批节能灯管的使用寿命，适合用抽样调查，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
4．（2025七下·广州期中）如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是：垂线段最短，
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短的性质及生活常识分析求解即可.
5．（2025七下·广州期中）点P在第二象限，P到x轴的距离为2，P到y轴距离为5，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解： 点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，
∴点P的纵坐标的绝对值等于2，横坐标的绝对值等于5，
又∵点P在第二象限，
点P的横坐标为 ，纵坐标为2，
点P的坐标是 .
故答案为：B.
【分析】由点P在第二象限可知横坐标为负，纵坐标为正，然后根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，据此确定点P坐标即可.
6．（2025七下·广州期中）下列说法中不正确的个数为（　　）
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直.
②有且只有一条直线垂直于已知直线.
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离.
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行；垂直是相交的特殊情况，故①错误，符合题意；
（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线， 故②错误，符合题意；
（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， ③正确，不符合题意；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离， 故④错误，符合题意；
（5）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 故⑤错误，符合题意，
综上说法不正确的有4个.
故答案为：C.
【分析】根据同一平面内两直线的位置关系，垂直的性质，平行公理及推论，点到直线的距离等进行判断即可.
7．（2025七下·广州期中）已知：≈0.71，≈2.24，≈7.1，≈22.4，请根据以上规律得到的结果（　　）
A．0.071 B．0.224 C．0.025 D．0.0224
【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵≈7.1，
∴，
故答案为：A．
【分析】观察题干给出的四个式子发现“被开方数每扩大（缩小）100倍，其算术平方根相应扩大（缩小）10倍”，而被开方数0.005相当于将50缩小10000倍，故算术平方根就相应的缩小100倍，从而即可得出答案.
8．（2025七下·广州期中）如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质得到，再根据线段的和差关系进行求解即可．
9．（2025七下·广州期中）小亮问老师有多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”求小亮和老师的岁数各是多少？若设小亮和老师的岁数分别为x岁和y岁，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设小亮和老师的岁数分别为x岁和y岁，
可得
故答案为：A.
【分析】设小亮和老师的岁数分别为x岁和y岁，利用“ 我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了 ”直接列出方程组即可.
10．（2025七下·广州期中）如果不等式组无解，那么m的取值范围是
A．m=2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得，x＜2，
∵不等式组无解，
∴m≥2，
故答案为：D．
【分析】先求出不等式组的解集，再结合“不等式组无解”可得m≥2，从而得解.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025七下·广州期中）比较大小： 　 　 填“ ”、“ ”或“ ” .
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】 ，
，
.
故答案为： .
【分析】根据被开方数大，算术平方根就大，据此解答即可.
12．（2025七下·广州期中）体育老师从七年级学生中抽取40名参加全校的健身操比赛．这些学生身高（单位：cm）的最大值为175，最小值为155．若取组距为3，则可以分成　 　组．
【答案】7.
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵极差为175-155=20，且组距为3，
则组数为20÷3≈7（组），
故答案为：7．
【分析】计算最大值与最小值的差，除以组距即可求得．
13．（2025七下·广州期中）如图，如果，则角，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过E作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】过E作，根据平行公理的推论可得出，进而根据平行线的性质可得出，，进一步通过计算，即可得出答案。
14．（2025七下·广州期中）已知、、在数轴上的位置如图，化简：　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且，
∴，
∴
．
故答案是：．
【分析】根据有理数、、在数轴上的位置，可得出，且，进而得出，，进一步利用绝对值及二次根式和立方根的性质去化简原式求出结果．
15．（2025七下·广州期中）已知，满足方程组，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
②－①，得：．
故答案为：．
【分析】利用加减消元法可得，从而得解.
16．（2025七下·广州期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
，
由此发现，当是奇数时，第次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是0，1，0，2，四个数一循环，
，
经过第2022次运动后，动点的坐标是．
故答案为：．
【分析】先求出前几个点的坐标可得规律当是奇数时，第次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是0，1，0，2，四个数一循环，再结合，可得经过第2022次运动后，动点的坐标是，从而得解.
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（2025七下·广州期中）计算：
【答案】解：原式=
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先进行平方、开平方和开立方的运算、同时去绝对值，然后合并同类根式和进行有理数的加减运算，即得结果.
18．（2025七下·广州期中）解不等式组：.
【答案】解：，
解①得
；
解②得
；
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
19．（2025七下·广州期中）已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，，
∴，
∵的立方根是，
∴的立方根是．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）首先根据平方根的定义求解a的值：若a的平方根为±3，则a = (±3)2= 9，接着利用算术平方根的定义求b的值：若b的算术平方根为2，则b = 22 = 4，再根据不等式4 < √20 < 5确定c的值，由于√20介于4和5之间，故c = 4；（2）将a、b、c的值代入代数式a + 2b - c，得到：9 + 2×4 - 4 = 13，最后计算13的立方根，即，结果约为2.351（保留三位小数）。
20．（2025七下·广州期中）如图，已知，于点F，于点B，点E，D，C在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定方法求出，再根据平行线的性质求出，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意求出，再根据平行线的性质计算求解即可.
21．（2025七下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．
（1）请在图中画出；
（2）写出平移后的三个顶点的坐标：（______，______），（______，______），（_____，____）；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求：
（2），；0，1；，0
（3）解：如图可得：
．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：，，；
故答案为：，；0，1；，0；
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，作出点A、B、C三点向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）根据点A1、B1、C1所在的位置，直接读出其坐标即可；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形面积减去周围三角形面积，列式计算即可.
22．（2025七下·广州期中）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为________；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
【答案】（1）500；108；
（2）500×40%=200（人），补全条形统计图如下：
（3）×100%×2000=200（人）
∴估计该校需要培训的学生人数为200人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的样本容量是150÷30%=500（人），
扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为360°×30%=108°，
故答案为：500；108；
【分析】（1）根据条形统计图中A项为150人，扇形统计图中A项为30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算360°的30%即360°×30%即可；
（2）根据扇形统计图中B选项占40%，求出条形统计图中B选项的人数，补全条形统计图即可；
（3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为×100%，由此估计2000名学生所占的百分比也为×100%，进而求出该校需要培训的学生人数．
23．（2025七下·广州期中）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金3750元，请写出所有购买方案供这个学校选择（两种规格的书柜都必须购买）．
【答案】（1）设甲种书柜每个x元，乙种书柜每个y元，
依题意得：，
解得：，
所以甲，乙两种书柜的价格分别为240元、180元；
（2）设购买甲种书柜m个，则乙种书柜个，
得：．
解得：
m正整数，
m的值可以是1，2，
共有两种方案：
方案一：购买甲种书柜1个．则乙种书柜19个，
方案二：购买甲种书柜2个，则乙种书柜18个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，再找出等量关系列方程组求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买个，再求出，最后计算求解即可.
（1）设甲种书柜每个x元，乙种书柜每个y元，
依题意得：，解得：，
所以甲，乙两种书柜的价格分别为240元、180元；
（2）设购买甲种书柜m个，则乙种书柜个，
得：．
解得：
m正整数，
m的值可以是1，2，
共有两种方案：
方案一：购买甲种书柜1个．则乙种书柜19个，
方案二：购买甲种书柜2个，则乙种书柜18个．
24．（2025七下·广州期中）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x＋3y＝7…②，求x﹣4y和7x＋5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ，x＋y＝ ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
【答案】（1）；5；
解：（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意，得：，
由①②可得，
．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：，
由①②可得：，
即．
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：（1）．
由①②可得：，
由①②可得：．
故答案为：；5．
【分析】（1）根据①②可得出的值，利用①②可得出的值.
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，解方程组即可求出答案.
25．（2025七下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时， _______；
（2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标；
（3）当点P在线段上的运动过程中，射线上一点E，射线上一点F（不与C重合），连接，，使得，求与的数量关系．
【答案】（1）2或8
（2）解：①当时，点P在上，此时，；②当时，点P在上，此时，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则；
③当时，点P在上，此时，，
∴；
（3）解：当点P在线段上时，分两种情况：①如图3中，结论：，理由如下：
连接，
∵，，
∴
；
②如图4中，结论：，理由如下：
设交于G，
∵，，
∴，
∴；
③如图5中，结论：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
④如图6中，结论：，理由如下：
∵轴，
∴，
∵为的外角，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或或或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵a，c满足关系式，
∴，，
∴，，
∴，，
当点P到的距离为2个单位长度时，运动路程或，
∴或，
故答案为：2或8；
【分析】（1）由偶次方与偶次根式的非负性，得到，，求得，，进而得到A和B的坐标，得出答案；
（2）根据题意，分三种情形：①当时，②当时，③当时，结合点P在上，点P在上，点P在上，列式计算，即可得到答案；
（3）当点P在线段上时，分四种情形，分别画出四个图形，根据平行线的性质，以及三角形外角的性质和三角形内角和定理，逐项进行求解，即可得到答案．，属干中考常考题型．
1 / 1广东省广州市培文外国语学校2024—2025学年下学期七年级期中质量检测数学试题
一、选择题（共10小题，共30分）
1．（2025七下·广州期中）下列各数为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·广州期中）若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·广州期中）在下面调查中，最适合用全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．检测某城市的空气质量
C．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
D．了解一批节能灯管的使用寿命
4．（2025七下·广州期中）如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
5．（2025七下·广州期中）点P在第二象限，P到x轴的距离为2，P到y轴距离为5，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·广州期中）下列说法中不正确的个数为（　　）
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直.
②有且只有一条直线垂直于已知直线.
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离.
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2025七下·广州期中）已知：≈0.71，≈2.24，≈7.1，≈22.4，请根据以上规律得到的结果（　　）
A．0.071 B．0.224 C．0.025 D．0.0224
8．（2025七下·广州期中）如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2025七下·广州期中）小亮问老师有多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”求小亮和老师的岁数各是多少？若设小亮和老师的岁数分别为x岁和y岁，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025七下·广州期中）如果不等式组无解，那么m的取值范围是
A．m=2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025七下·广州期中）比较大小： 　 　 填“ ”、“ ”或“ ” .
12．（2025七下·广州期中）体育老师从七年级学生中抽取40名参加全校的健身操比赛．这些学生身高（单位：cm）的最大值为175，最小值为155．若取组距为3，则可以分成　 　组．
13．（2025七下·广州期中）如图，如果，则角，，则　 　．
14．（2025七下·广州期中）已知、、在数轴上的位置如图，化简：　 　．
15．（2025七下·广州期中）已知，满足方程组，则的值是　 　．
16．（2025七下·广州期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点的坐标是　 　．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（2025七下·广州期中）计算：
18．（2025七下·广州期中）解不等式组：.
19．（2025七下·广州期中）已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的立方根．
20．（2025七下·广州期中）如图，已知，于点F，于点B，点E，D，C在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2025七下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．
（1）请在图中画出；
（2）写出平移后的三个顶点的坐标：（______，______），（______，______），（_____，____）；
（3）求的面积．
22．（2025七下·广州期中）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为________；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
23．（2025七下·广州期中）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金3750元，请写出所有购买方案供这个学校选择（两种规格的书柜都必须购买）．
24．（2025七下·广州期中）阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x＋3y＝7…②，求x﹣4y和7x＋5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ ，x＋y＝ ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
25．（2025七下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时， _______；
（2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标；
（3）当点P在线段上的运动过程中，射线上一点E，射线上一点F（不与C重合），连接，，使得，求与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、0.618是有限小数，它是有理数，所以A不符合题意；
B、是分数，它是有理数，所以B不符合题意；
C、是开放开不尽的数，它是无理数，所以C符合题意；
D、，它是有理数，所以D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】分别判断各选项是有理数还是无理数，然后得出得出答案。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、等式两边都×（-5），不等号方向改变，故A正确。
B、不等式两边都-5，不等式方向不变，故B正确。
C、不等号左边×a右边×b，不符合等式性质，故C错误，
D、等式两边都乘5方向不变，故D正确。
故答案为：C
【分析】由等式的性质解题即可。
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合用全面调查，符合题意；
B、检测某城市的空气质量，适合用抽样调查，不符合题意；
C、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，适合用抽样调查，不符合题意；
D、了解一批节能灯管的使用寿命，适合用抽样调查，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是：垂线段最短，
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短的性质及生活常识分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解： 点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，
∴点P的纵坐标的绝对值等于2，横坐标的绝对值等于5，
又∵点P在第二象限，
点P的横坐标为 ，纵坐标为2，
点P的坐标是 .
故答案为：B.
【分析】由点P在第二象限可知横坐标为负，纵坐标为正，然后根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，据此确定点P坐标即可.
6．【答案】C
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行；垂直是相交的特殊情况，故①错误，符合题意；
（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线， 故②错误，符合题意；
（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， ③正确，不符合题意；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离， 故④错误，符合题意；
（5）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 故⑤错误，符合题意，
综上说法不正确的有4个.
故答案为：C.
【分析】根据同一平面内两直线的位置关系，垂直的性质，平行公理及推论，点到直线的距离等进行判断即可.
7．【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵≈7.1，
∴，
故答案为：A．
【分析】观察题干给出的四个式子发现“被开方数每扩大（缩小）100倍，其算术平方根相应扩大（缩小）10倍”，而被开方数0.005相当于将50缩小10000倍，故算术平方根就相应的缩小100倍，从而即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质得到，再根据线段的和差关系进行求解即可．
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设小亮和老师的岁数分别为x岁和y岁，
可得
故答案为：A.
【分析】设小亮和老师的岁数分别为x岁和y岁，利用“ 我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了 ”直接列出方程组即可.
10．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解①得，x＜2，
∵不等式组无解，
∴m≥2，
故答案为：D．
【分析】先求出不等式组的解集，再结合“不等式组无解”可得m≥2，从而得解.
11．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】 ，
，
.
故答案为： .
【分析】根据被开方数大，算术平方根就大，据此解答即可.
12．【答案】7.
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵极差为175-155=20，且组距为3，
则组数为20÷3≈7（组），
故答案为：7．
【分析】计算最大值与最小值的差，除以组距即可求得．
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过E作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】过E作，根据平行公理的推论可得出，进而根据平行线的性质可得出，，进一步通过计算，即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且，
∴，
∴
．
故答案是：．
【分析】根据有理数、、在数轴上的位置，可得出，且，进而得出，，进一步利用绝对值及二次根式和立方根的性质去化简原式求出结果．
15．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
②－①，得：．
故答案为：．
【分析】利用加减消元法可得，从而得解.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
，
由此发现，当是奇数时，第次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是0，1，0，2，四个数一循环，
，
经过第2022次运动后，动点的坐标是．
故答案为：．
【分析】先求出前几个点的坐标可得规律当是奇数时，第次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是0，1，0，2，四个数一循环，再结合，可得经过第2022次运动后，动点的坐标是，从而得解.
17．【答案】解：原式=
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先进行平方、开平方和开立方的运算、同时去绝对值，然后合并同类根式和进行有理数的加减运算，即得结果.
18．【答案】解：，
解①得
；
解②得
；
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
19．【答案】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，，
∴，
∵的立方根是，
∴的立方根是．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）首先根据平方根的定义求解a的值：若a的平方根为±3，则a = (±3)2= 9，接着利用算术平方根的定义求b的值：若b的算术平方根为2，则b = 22 = 4，再根据不等式4 < √20 < 5确定c的值，由于√20介于4和5之间，故c = 4；（2）将a、b、c的值代入代数式a + 2b - c，得到：9 + 2×4 - 4 = 13，最后计算13的立方根，即，结果约为2.351（保留三位小数）。
20．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定方法求出，再根据平行线的性质求出，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意求出，再根据平行线的性质计算求解即可.
21．【答案】（1）解：如图所示：即为所求：
（2），；0，1；，0
（3）解：如图可得：
．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：，，；
故答案为：，；0，1；，0；
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，作出点A、B、C三点向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）根据点A1、B1、C1所在的位置，直接读出其坐标即可；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形面积减去周围三角形面积，列式计算即可.
22．【答案】（1）500；108；
（2）500×40%=200（人），补全条形统计图如下：
（3）×100%×2000=200（人）
∴估计该校需要培训的学生人数为200人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的样本容量是150÷30%=500（人），
扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为360°×30%=108°，
故答案为：500；108；
【分析】（1）根据条形统计图中A项为150人，扇形统计图中A项为30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算360°的30%即360°×30%即可；
（2）根据扇形统计图中B选项占40%，求出条形统计图中B选项的人数，补全条形统计图即可；
（3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为×100%，由此估计2000名学生所占的百分比也为×100%，进而求出该校需要培训的学生人数．
23．【答案】（1）设甲种书柜每个x元，乙种书柜每个y元，
依题意得：，
解得：，
所以甲，乙两种书柜的价格分别为240元、180元；
（2）设购买甲种书柜m个，则乙种书柜个，
得：．
解得：
m正整数，
m的值可以是1，2，
共有两种方案：
方案一：购买甲种书柜1个．则乙种书柜19个，
方案二：购买甲种书柜2个，则乙种书柜18个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，再找出等量关系列方程组求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买个，再求出，最后计算求解即可.
（1）设甲种书柜每个x元，乙种书柜每个y元，
依题意得：，解得：，
所以甲，乙两种书柜的价格分别为240元、180元；
（2）设购买甲种书柜m个，则乙种书柜个，
得：．
解得：
m正整数，
m的值可以是1，2，
共有两种方案：
方案一：购买甲种书柜1个．则乙种书柜19个，
方案二：购买甲种书柜2个，则乙种书柜18个．
24．【答案】（1）；5；
解：（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意，得：，
由①②可得，
．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：，
由①②可得：，
即．
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：（1）．
由①②可得：，
由①②可得：．
故答案为：；5．
【分析】（1）根据①②可得出的值，利用①②可得出的值.
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，解方程组即可求出答案.
25．【答案】（1）2或8
（2）解：①当时，点P在上，此时，；②当时，点P在上，此时，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则；
③当时，点P在上，此时，，
∴；
（3）解：当点P在线段上时，分两种情况：①如图3中，结论：，理由如下：
连接，
∵，，
∴
；
②如图4中，结论：，理由如下：
设交于G，
∵，，
∴，
∴；
③如图5中，结论：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
④如图6中，结论：，理由如下：
∵轴，
∴，
∵为的外角，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或或或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵a，c满足关系式，
∴，，
∴，，
∴，，
当点P到的距离为2个单位长度时，运动路程或，
∴或，
故答案为：2或8；
【分析】（1）由偶次方与偶次根式的非负性，得到，，求得，，进而得到A和B的坐标，得出答案；
（2）根据题意，分三种情形：①当时，②当时，③当时，结合点P在上，点P在上，点P在上，列式计算，即可得到答案；
（3）当点P在线段上时，分四种情形，分别画出四个图形，根据平行线的性质，以及三角形外角的性质和三角形内角和定理，逐项进行求解，即可得到答案．，属干中考常考题型．
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