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2026年江苏省无锡市中考模拟数学练习卷
考试时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试范围：苏科版初中数学七年级上下册、八年级上下册、九年级上下册；
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）
1．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣15）+（+2）＝﹣13 B．（﹣14）+6＝8
C．（﹣13）+5＝8 D．（﹣3）+（﹣3）＝0
2．2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.25×106 B．2.5×105 C．2.5×104 D．25×103
3．下列运算正确的是（　　）
A．a3 a3＝a9 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a8÷a4＝a2 D．6a6+2a2＝8a8
4．如图是某校体育组60人的“跳绳”体育测试的成绩统计．下列说法错误的是（　　）
A．众数是20 B．众数是85
C．成绩80分的占 D．成绩85分的占
5．如图，AF、CG为△ABC的中线且交于点O，过点O作BC的平行线，交AB于D，交AC于E，若AC＝9，则CE长为（　　）
A．3 B．6 C．4 D．5
6．如图，正方形ABCD的边长为2，是以点B为圆心，AB长为半径的一段圆弧，则的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
7．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A． B．ax﹣ay+a＝a（x﹣y）
C．x2+4y2＝（x+2y）2 D．4x2﹣y2＝4（x+y）（x﹣y）
8．哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，已知 ABCD的顶点A在函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8，则k的值为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．14
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC是等腰直角三角形，其直角顶点B在x轴正半轴上，点A、点C在函数的图象上，延长CB交y轴于点D（0，﹣2）．若点B的横坐标为4，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．12
第二卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.）
11．|﹣2026|＝　 　 ．
12．函数中，自变量x的取值范围是　 　 ．
13．写出一个与﹣2a2b是同类项的整式：　 　 ．
14．命题“如果a＞b＞0，那么＞是　 　 命题（填“真”或“假”）
15．一个多边形的内角和为540°，则这个多边形有　 　 条边．
16．如图，正方形ABCD边长为4，O，G分别是AB，BC边上的点．以O为圆心，OA长为半径作圆，过点A作矩形DEFG．当EF＝5且⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为　 　 ．
17．如图，菱形ABCD边长为4，E是BC中点，F为CD上一点，BF交AE于点G，∠AGB＝∠C＝45°，DF的长度是　 　 ．
18．如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上．沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝　 　 （用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 　 　 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.）
19．按要求完成下列各题：
（1）解方程：x2﹣6x﹣2＝0；
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．先化简，再求值：．
21．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？证明你的结论；
（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求BC的长．
22．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4．
（1）随机抽取一张卡片，直接写出“抽取数字2的卡片”的概率；
（2）随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，用列表或画树状图法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率．
23．小慧想在周末观看一部电影，准备从四部电影中选取一部，分别是：A《镖人：风起大漠》，B《飞驰人生3》，C《熊猫计划之部落奇遇记》，D《惊蛰无声》，对此小慧围绕“你最喜欢的电影是什么？“在全年级同学中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果．绘制了如下两种不完整的统计图表：
项目 内容 百分比
A 《镖人：风起大漠》 25%
B 《飞驰人生3》 35%
C 《熊猫计划之部落奇遇记》 30%
D 《惊蛰无声》 a
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ；本次调查的学生总人数是　 　 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）请你根据调查的结果初步估计全校同学中最受欢迎的电影应该是哪一部．
24．如图，线段AB＝2cm．
（1）作图题：作线段AB的反向延长，并在反向延长线上取到点C，使AC＝2AB；（要求保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在所画图中，设D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．
25．如图，在⊙O中，点C是直径AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直径弦CD于点G，点E是弧AC上一点（不与A、C重合），过点E作EF⊥AB，EH⊥OC，垂足分别为F、H，连接FH．
（1）求证：∠OCD+∠FEH＝90°；
（2）若CD＝3，求FH的长．
26．如图1，路灯AB与路灯CD都与地面垂直，且相距18米，路灯AB的高度比路灯CD的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯AB走向路灯CD，行走时间为t秒．当行走2秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯AB的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN．
（1）求路灯CD的高度．
（2）当t＝4秒时，求影子FN的长？
（3）常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．
①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MN＝　 　 （用含t的代数式表示）；
②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯CD下的影子的顶端N在地面上移动的速度为　 　 米/秒．
27．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴负半轴于点A．交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，连接AC，tan∠CAO＝3．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上的一个动点，连接AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，线段CD的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为线段AP延长线上一点，点F为线段OB上一点，连接BE、EF，若∠BEF＝2∠OBC﹣∠BFE，3∠BAE+2∠AEF＝180°，OD：BF＝3：4，求点P的坐标．
28．问题探究
（1）如图1，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），在y轴正半轴上有一点P，当∠APB最大时，点P的坐标为　 　 ．
问题解决
（2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形ABCD为水鸟园的建设用地，其中AB＝24m，BC＝78m，CD＝100m，∠B＝90°，．根据修建要求，四边形ABCD内部为水鸟戏水区，A为游客观测点，在CD边上要修建一段长为48m的水岸MN（M在上，N在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C？如果存在，求出此时CN的长；如果不存在，请说明理由．2026年江苏省无锡市中考模拟数学练习卷答案
考试时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试范围：苏科版初中数学七年级上下册、八年级上下册、九年级上下册；
第一卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C． B A A A A B C C
1．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣15）+（+2）＝﹣13 B．（﹣14）+6＝8
C．（﹣13）+5＝8 D．（﹣3）+（﹣3）＝0
【解答】解：A、（﹣15）+（+2）＝﹣13，运算正确；
B、（﹣14）+6＝﹣8，运算错误；
C、（﹣13）+5＝﹣8，运算错误；
D、（﹣3）+（﹣3）＝﹣6，运算错误；
故选：A．
2．2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.25×106 B．2.5×105 C．2.5×104 D．25×103
【解答】解：25000＝2.5×104．
故选：C．
3．下列运算正确的是（　　）
A．a3 a3＝a9 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a8÷a4＝a2 D．6a6+2a2＝8a8
【解答】解：A、a3 a3＝a6≠a9，运算错误，不符合题意；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，运算正确，符合题意；
C、a8÷a4＝a4≠a2，运算错误，不符合题意；
D、6a6和2a2不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意．
故选：B．
4．如图是某校体育组60人的“跳绳”体育测试的成绩统计．下列说法错误的是（　　）
A．众数是20 B．众数是85
C．成绩80分的占 D．成绩85分的占
【解答】解：由统计图可知，把该校体育组60人的某科成绩中出现最多的是85分，故众数是85，故选项A说法错误．
故选：A．
5．如图，AF、CG为△ABC的中线且交于点O，过点O作BC的平行线，交AB于D，交AC于E，若AC＝9，则CE长为（　　）
A．3 B．6 C．4 D．5
【解答】解：如图，取BG中点H，连接HF，
∵CG为△ABC的中线，
∴AG＝BG，
∵点H为BG中点，
∴，
∴．
∵AF为△ABC的中线，
∴点F为BC中点，
又∵点H为BG中点，
∴HF为△GBC的中位线，
∴GC∥HF，
∴∠AOG＝∠AFH，∠AGO＝∠AHF，
∴△AGO∽△AHF，
∴，
同理，∵DE∥BC，
∴∠AEO＝∠ACF，∠AOE＝∠AFC，
∴△AOE∽△AFC，
∴，
∴，
∴若AC＝9，则CE长为＝AC﹣AE＝9﹣6＝3，
故选：A．
6．如图，正方形ABCD的边长为2，是以点B为圆心，AB长为半径的一段圆弧，则的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
【解答】解：由题意可知，所在圆的半径为2，圆心角为90°，
所以的长为＝π．
故选：A．
7．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A． B．ax﹣ay+a＝a（x﹣y）
C．x2+4y2＝（x+2y）2 D．4x2﹣y2＝4（x+y）（x﹣y）
【解答】解：A、＝，故此选项符合题意；
B、ax﹣ay+a＝a（x﹣y+1），故此选项不符合题意；
C、x2+4y2不能分解因式，故此选项不符合题意；
D、4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），故此选项不符合题意；
故选：A．
8．哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可得：，即．
故选：B．
9．如图，已知 ABCD的顶点A在函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8，则k的值为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．14
【解答】解：∵ ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴，
设S△ABE＝a，
∵若S△BOE＝3，S四边形AECD＝8，
∴，
解得a＝2，
∴，
∴k＝10，
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC是等腰直角三角形，其直角顶点B在x轴正半轴上，点A、点C在函数的图象上，延长CB交y轴于点D（0，﹣2）．若点B的横坐标为4，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．12
【解答】解：如图所示，作CE⊥x轴，AF⊥x轴，
由题意可知B（4，0）、D（0，﹣2），
则tan∠CBE＝tan∠OBD＝＝．
由△ABC是等腰直角三角形，其直角顶点B在x轴正半轴上可得AB＝BC，
易证△AFB≌△BEC，从而BE＝AF，CE＝BF，
设CE＝BF＝a，则BE＝AF＝2a，
则点C（4+2a，a），点A（4﹣a，2a），
∵点A、点C在函数的图象上，
∴k＝（4+2a）×a＝（4﹣a）×2a，解得a＝1，
故k＝6，
故选：C．
第二卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.）
11．|﹣2026|＝　2026　 ．
【解答】解：绝对值的规则是：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，这里的数是﹣2026，是负数，所以它的绝对值是它的相反数，
即：|﹣2026|＝﹣（﹣2026）＝2026．
故答案为：2026．
12．函数中，自变量x的取值范围是　　 ．
【解答】解：根据题意可得3x﹣2≠0，
解得．
故自变量x的取值范围是．
故答案为：．
13．写出一个与﹣2a2b是同类项的整式：a2b（答案不唯一）　 ．
【解答】解：∵同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，
∴﹣2a2b的同类项可以是a2b满足条件．
故答案为：a2b（答案不唯一）．
14．命题“如果a＞b＞0，那么＞是　真　 命题（填“真”或“假”）
【解答】解：命题“如果a＞b＞0，那么＞是真命题，
故答案为：真．
15．一个多边形的内角和为540°，则这个多边形有　5　 条边．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2） 180°＝540°，
解得n＝5，
故答案为：5．
16．如图，正方形ABCD边长为4，O，G分别是AB，BC边上的点．以O为圆心，OA长为半径作圆，过点A作矩形DEFG．当EF＝5且⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为　或2　 ．
【解答】解：如图1，设AB交FG于点I，
∵正方形ABCD边长为4，
∴AB＝DC＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵矩形DEFG的边EF经过点A，顶点G在BC上，EF＝5，
∴GD＝EF＝5，∠E＝∠EDG＝∠FGD＝∠F＝90°，
∴CG＝＝＝3，
∵∠E＝∠C＝90°，∠ADE＝∠GDC＝90°﹣∠ADG，
∴△ADE∽△GDC，
∴＝＝＝，
∴FG＝DE＝DC＝×4＝，EA＝CG＝×3＝，
∴AF＝EF﹣EA＝5﹣＝，
∵∠F＝∠E＝90°，∠AIF＝∠DAE＝90°﹣∠FAI，
∴△FAI∽△EDA，
∴＝＝，
∴FI＝＝＝，IA＝＝＝，
作OM⊥EF于点M，OP⊥DE于点P，交AD于点Q，
∵OA是⊙O的半径，且OM＜OA，
∴EF与⊙O相交；
∵OP＞OQ，且OQ＞OA，
∴OP＞OA，
∴DE与⊙O相离．
如图2，⊙O与FG相切，切点为点H，连接OH，则FG⊥OH，且OH＝AO，
∵∠IHO＝∠F＝90°，∠OIH＝∠AIF，
∴△OIH∽△AIF，
∴＝，
∴IA OH＝AF IO，
∴AO＝（﹣AO），
解得OA＝；
如图3，⊙O与GD相切，切点为点N，连接ON，延长NO交EF于点R，则NO＝AO，
∵GD⊥ON，
∴∠RNG＝∠FGH＝∠F＝90°，
∴四边形FGNR是矩形，
∴RN＝FG＝，
∴RO＝RN﹣NO＝﹣AO，
∵RO∥FI，
∴△AOR∽△AIF，
∴＝，
∴FI AO＝IA RO，
∴AO＝（﹣AO），
解得AO＝2，
综上所述，AO的长为或2，
故答案为：或2．
17．如图，菱形ABCD边长为4，E是BC中点，F为CD上一点，BF交AE于点G，∠AGB＝∠C＝45°，DF的长度是　　 ．
【解答】解：过点E作EH⊥BC，交CD于点H，延长DC，AE交于点I，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠I，∠ABE＝∠ICE，
∵点E是BC中点，
∴，
在△ABE与△ICE中，
，
∴△ABE≌△ICE（AAS），
∴CI＝AB＝4，
∵∠BCD＝45°，EH⊥BC，
∴△HEC为等腰直角三角形，
∴HE＝CE＝2，∠EHC＝45°，
由勾股定理可得，，
∴，
∵∠EGF＝∠AGB＝45°＝∠BCF，
且∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠BCF，∠I＝180°﹣∠BFC﹣∠EGF，
∴∠FBC＝∠I，
又∵∠EHC＝∠BCF＝45°，
∴△BCF∽△IHE，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18．如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上．沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝　90°﹣α　 （用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 　3　 ．
【解答】解：（1）∵MN⊥EF，∠BEF＝α，
∴∠EMN＝90°﹣α，
∵CD∥AB，
∴∠CNM＝∠EMN＝90°﹣α，
∴∠C′NM＝∠CNM＝90°﹣α．
故答案为：90°﹣α．
（2）如图，设PH与NC'交于点G'，
∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
∴∠A＝∠D＝∠GHE＝90°，GH＝EH，
∴∠AHE+∠GHD＝∠AHE+∠AEH＝90°
∴∠GHD＝∠AEH，
∴△EAH≌△HDG（AAS）
同理可证△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FBE，
∴DH＝CG＝AE＝4，DG＝EB＝8，
∴GH＝＝4，
∵MN⊥GH，且∠C′NM＝∠CNM，
∴MN垂直平分GG'，即PG＝PG'＝GG'，且NG＝NG'，
∵四边形CBMN沿MN折叠，
∴CN＝C'N，
∴CN﹣NG＝C'N﹣NG'，即C'G'＝CG＝4，
∵△GDH沿GH折叠得到△GD'H，
∴GD'＝GD＝8，
∵∠HC'G'＝∠HD'G＝90°，
∴C'G'∥D'G，
∴＝＝，
∴HG'＝GG'＝HG＝2，
又∵PG'＝GG'＝，
∴PH＝PG'+HG'＝3．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.）
19．按要求完成下列各题：
（1）解方程：x2﹣6x﹣2＝0；
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1）原方程移项可得：
x2﹣6x＝2，
x2﹣6x+9＝2+9，
（x﹣3）2＝11，
∴，
∴，；
（2），
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x＜3，
在数轴上表示如下：
20．先化简，再求值：．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
21．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？证明你的结论；
（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求BC的长．
【解答】解：（1）△BEC是等腰三角形，证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE，
∴△BEC是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴△ABE是直角三角形，
又∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，
由（1）的结论得：BC＝BE＝..
22．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4．
（1）随机抽取一张卡片，直接写出“抽取数字2的卡片”的概率；
（2）随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，用列表或画树状图法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率．
【解答】解：（1）从4张卡片中随机抽取一张卡片，“抽取数字2的卡片”的概率为；
（2）抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
由上表可知，随机抽取2张卡片可能出现的结果有16个，它们出现的可能性相等，
第二次取出的数字小于第一次取出的数字有6种，
∴第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率为．
23．小慧想在周末观看一部电影，准备从四部电影中选取一部，分别是：A《镖人：风起大漠》，B《飞驰人生3》，C《熊猫计划之部落奇遇记》，D《惊蛰无声》，对此小慧围绕“你最喜欢的电影是什么？“在全年级同学中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果．绘制了如下两种不完整的统计图表：
项目 内容 百分比
A 《镖人：风起大漠》 25%
B 《飞驰人生3》 35%
C 《熊猫计划之部落奇遇记》 30%
D 《惊蛰无声》 a
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）填空：a＝　10%　 ；本次调查的学生总人数是　100人　 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）请你根据调查的结果初步估计全校同学中最受欢迎的电影应该是哪一部．
【解答】解：（1）总单位1分别减去A，B，C三项的百分比可得：
1﹣25%﹣35%﹣30%＝10%，
所以a＝10%；
观察统计图可知选择A电影的人数为25人，
所以本次调查的学生总人数为25÷25%＝100（人）．
故答案为：10%，100人；
（2）选择D电影的人数为100×10%＝10，
补全统计图如下：
（3）因为35＞30＞25＞10，
所以全校同学中最受欢迎的电影是《飞驰人生3》．
24．如图，线段AB＝2cm．
（1）作图题：作线段AB的反向延长，并在反向延长线上取到点C，使AC＝2AB；（要求保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在所画图中，设D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．
【解答】解：（1）作图如图所示：
（2）∵AB＝2cm，AC＝2AB，
∴AC＝4cm，
∵D是AB的中点，E是AC的中点，
∴AE＝＝2cm，AD＝＝1cm，
∴DE＝AE+AD＝2+1＝3（cm）．
25．如图，在⊙O中，点C是直径AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直径弦CD于点G，点E是弧AC上一点（不与A、C重合），过点E作EF⊥AB，EH⊥OC，垂足分别为F、H，连接FH．
（1）求证：∠OCD+∠FEH＝90°；
（2）若CD＝3，求FH的长．
【解答】（1）证明：∵直径AB平分非直径弦CD，
∴CD⊥AB，即∠CGO＝90°，
∴∠OCD+∠COG＝90°，
∵EF⊥AB，EH⊥OC，
即∠EFO＝∠EHO＝90°，
∴∠AOC+∠FEH＝180°，
∵∠AOC+∠COG＝180°，
∴∠COG＝∠FEH，
∴∠OCD+∠FEH＝90°；
（2）解：如图，连接OE，
∵∠EFO＝∠EHO＝90°，
即∠EFO+∠EHO＝180°，
∴O、F、E、H四点是在以OE为直径的圆上，
∵∠CGO＝90°，
∴O、C、G三点是在以OC为直径的圆上，
∵OE＝OC，
∴以OE为直径的圆和以OC为直径的圆是等圆，
∵∠COG＝∠FEH，即，
∴．
26．如图1，路灯AB与路灯CD都与地面垂直，且相距18米，路灯AB的高度比路灯CD的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯AB走向路灯CD，行走时间为t秒．当行走2秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯AB的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN．
（1）求路灯CD的高度．
（2）当t＝4秒时，求影子FN的长？
（3）常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．
①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MN＝　　 （用含t的代数式表示）；
②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯CD下的影子的顶端N在地面上移动的速度为　1.8　 米/秒．
【解答】解：（1）由题意，可知，BP＝3 米，BD＝18 米，PQ＝1.6 米，
∵PQ⊥BD，CD⊥BD，
∴PQ∥CD，∠BPQ＝∠BDC＝90°，∠PBQ＝∠DBC，
∴△BPQ∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝9.6，
答：路灯CD的高度为9.6米；
（2）∵t＝4，
∴BF＝1.5×4＝6，BD＝18，CD＝9.6，AB＝9.6﹣1.6＝8，FD＝18﹣6＝12，
∵EF⊥BD，CD⊥BD
∴EF∥CD，∠NFE＝∠NDC＝90°，∠FNE＝∠DNC，
∴△NFE∽△NDC，
∴＝，
∴，
∴，
FN＝米，
答：FN的长是米；
（3）①由（1）（2）得，，
当运动t秒后，BF＝t，则FD＝18﹣，
设NF＝a，FM＝b，
则，，
解得：a＝，b＝，
MN＝a+b＝+＝，
故答案为：；
②由题意可知：影子的顶端N在地面上移动的距离是BN，
BN＝BF﹣FN＝t﹣（）＝1.8t﹣3.6，
∴影子的顶端N在地面上移动的速度是1.8米/秒．
故答案为：1.8．
27．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴负半轴于点A．交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，连接AC，tan∠CAO＝3．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上的一个动点，连接AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，线段CD的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为线段AP延长线上一点，点F为线段OB上一点，连接BE、EF，若∠BEF＝2∠OBC﹣∠BFE，3∠BAE+2∠AEF＝180°，OD：BF＝3：4，求点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，
当y＝0时，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
∵a≠0，
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵tan∠CAO＝3，且∠AOC＝90°，
∴，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
将点C的坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点P为第四象限抛物线上的一个动点，连接AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，则P（t，t2﹣2t﹣3），
如图2，作PM⊥x轴于点M，
∴∠PMA＝90°，
∴，
∴，
∴OD＝3﹣t，
∴CD＝OC﹣OD＝t．
∴d＝t；
（3）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，
当y＝0时，得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝3＝OC，且∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠BEF＝2∠OBC﹣∠BFE，
∴∠BEF＝2×45°﹣∠BFE，
∴∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠FBE＝90°，
∴BE⊥x轴，
设∠BAE＝2α，
∵3∠BAE+2∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝90°﹣3α，
∴∠AFE＝180°﹣∠BAE﹣∠AEF＝90°+α，
∴∠BFE＝90°﹣α，
如图3，在x轴上，AB的延长线上取一点N，使BN＝BF，连接EN，
∴EF＝EN，
∴∠ANE＝∠EFB＝90°﹣α，
∴∠AEN＝180°﹣∠BAE﹣∠ANE＝90°﹣α＝∠ANE，
∴AN＝AE，
∵∠AMP＝90°＝∠ABE，
∴，
∴，
∴BE＝12﹣4t，
∵OD：BF＝3：4，
设OD＝3m，BF＝4m＝BN，
由（2）知，CD＝t，
∴OD＝3﹣t，
∴3﹣t＝3m，
∴t＝3﹣3m，
∴BE＝12﹣4t＝12m，AE＝AN＝4+4m，AB＝4，
∴∠ABE＝90°，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
∴（12m）2+42＝（4+4m）2，
解得：m1＝0（不合题意，舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．问题探究
（1）如图1，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），在y轴正半轴上有一点P，当∠APB最大时，点P的坐标为　　 ．
问题解决
（2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形ABCD为水鸟园的建设用地，其中AB＝24m，BC＝78m，CD＝100m，∠B＝90°，．根据修建要求，四边形ABCD内部为水鸟戏水区，A为游客观测点，在CD边上要修建一段长为48m的水岸MN（M在上，N在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C？如果存在，求出此时CN的长；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点A、B作⊙M，且⊙M与y轴相切于点N，连接AN，BN，MN，MA，作MC⊥AB于点C，在y轴上任取一点Q，点Q与点N不重合，连接AQ，BQ，AQ交⊙M于点D，连接BD，
∵，
∴∠ANB＝∠ADB，
∵∠ADB为△BDQ的外角，
∴∠ADB＞∠AQB，
∴∠ANB＞∠AQB，
∴当点P在点N处时，∠APB最大，
∵A（2，0），B（4，0），
∴AB＝4﹣2＝2，OA＝2，
∵MC⊥AB，
∴，∠MCO＝90°，
∴OC＝OA+AC＝3，
∵⊙M与y轴相切于点N，
∴MN⊥y轴，
∴∠MNO＝90°，
∵∠MCO＝∠MNO＝∠CON＝90°，
∴四边形OCMN为矩形，
∴MN＝OC＝3，ON＝MC，
∴MA＝MN＝3，
在直角三角形ACM中，由勾股定理得：，
∴，
∴点N的坐标为，
即当∠APB最大时，点P的坐标为，
故答案为：；
（2）存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C；理由如下：
如图2，∠B＝90°，过点A作AE⊥AB，AE交CD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点A作AG⊥CD于点G，则∠AGE＝∠BAE＝∠BFE＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB＝24m，AE＝BF，∠AEF＝90°，
∵，
∴，
∴，
∴BF＝BC﹣CF＝78﹣18＝60（m），
∴AE＝BF＝60m，
∵∠AEG+∠CEF＝∠CEF+∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠C，
∴，
设AG＝4xm，则EG＝3xm，
在直角三角形AEG中，由勾股定理得： m，
∴5x＝60，
解得：x＝12，
∴AG＝4×12＝48（m）；
∴点A到CD的距离为48m，
如图3，作△AMN的外接圆，圆心为O，过点O作OE′⊥MN于点E′，连接OM，ON，OA，则OM＝ON，
∴，，
∵，
∴，
∴∠MOE′＝∠MAN，
∵∠MAN＝∠C，
∴∠MOE′＝∠C，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形OE′M中，由勾股定理得：，
∴OA+OE′＝30+18＝48（m），
∵点A到CD的距离为48m，
∴当∠MAN＝∠C时，点E′在点E处，且点O在AE上，
如图4，延长BA，CD，交于点P，
∵，
∴BP＝104m，
在直角三角形BCP中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：PE＝64（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∵OE⊥MN，
∴，
∴CN＝PC﹣PE﹣EN＝42m．

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