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2025-2026学年九年级下学期三月学情自检数学试题
考试时间：90分钟 满分：100分
第一部分 选择题
一．选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．在东西走向的马路上，若把向东走 1km记做+1km，则向西走 2km应记做（ ）
A．+2km B．﹣2km C．+1km D．﹣1km
2．百米大赛的成绩差异总在毫厘之间，裁判经常会依据视频回放帮助自己作出正确的判断，如图大致反
映了场上运动员的（ ）
A．主视图 B．左视图 C．右视图 D．俯视图
3．央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家园”，“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的
精神风貌，现将分别印有“龙”、“行”、“龘”、“龘”四张质地均匀，大小相同的卡片放入盒中，从中随
机抽取一张，则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长
的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从 3层直达 7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为 50米，AB与
AC的夹角为 24°，则高 BC是（ ）
A．50sin24°米 B．50cos24°米 C． 米 D． 米
1
5．下列各式计算错误的有（ ）
①ax+y＝ax+ay②x2+x2＝x4③1﹣（a﹣b）2＝1﹣a2+b2④（﹣a4）3＝（﹣a）12⑤（2a﹣b）2＝2a2﹣4ab
+b2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边 BC，DF在同一条直线上，现将三角板 DEF绕点
D顺时针旋转，当 EF第一次与 AB平行时，∠CDF的度数是（ ）
A．30° B．15° C．45° D．20°
7．李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做 4件．已知张师傅做 40件与李师傅
做 50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件？设张师傅每小时做手工艺品 x
件，则根据题意，可列出方程是（ ）
A．40x＝50（x﹣4） B．40+x＝50﹣4x
C． D．
8．如图，在正方形纸片 ABCD中，M，N分别是 AD，BC的中点，将纸片沿过点 C的直线折叠，使点 D
落在 MN上的点 E处，折痕 CF交 AD于点 F，连接 EB，若 EB＝4，则 FD的长为（ ）
A． B． C． D．
2
第二部分 非选择题
二．填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
9．已知关于 x的方程 2x﹣m＝0的解是 x＝﹣3，则 m的值为 ．
10．将点 A（﹣2，3）先向左平移 3个单位长度，在向上平移 2个单位长度得到点 B，则点 B的坐标
是 ．
11．化简 的结果是 ．
12．如图，经过原点 O的直线与反比例函数 的图象交于 A，B两点（点 A在第一象限），过
点 A作 AC∥x轴，与反比例函数 图象交于点 C，连结 BC与 x轴交于点 D．若△
OBD的面积为 3，则 a﹣b的值为 ．
13．如图，在矩形 ABCD中，AB＝1， ，边 BC上有一点 E，作射线 AE，将射线 AE绕点 A顺时
针 旋 转 90° ， 交 CD的 延 长 线 于 点 G， 以 线 段 AE， AG为 邻 边 作 矩 形 AEFG， 则
．
三．解答题（本题共 7小题，共 61分）
14．（6分）计算：
（1）5﹣（﹣2）+（﹣3）；
（2） ．
3
15．（7分）解下列不等式组，并写出它的所有整数解．
．
16．（8分）为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人 校园智创赛”．老师从八、九两个年
级中各抽取 20名学生的竞赛成绩进行整理，分 A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校
园智创之星”．
【信息整理】
信息 1：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 90≤x＜95 85≤x＜90 x＜85
信息 2：八年级 B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94；
九年级 C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86．
信息 3：
【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
九年级 88 88 b 35%
（1）完成填空：a＝ ，b＝ ，并补全条形统计图；
4
（2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？
请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八年级学生有 580人，九年级学生有 525人，请估计该校八、九年级成绩为 A等级的学生
共有多少人？
17．（8分）为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌
的平板电脑组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为 3000元和 2500元，
学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共 60台．
（1）若恰好支出 170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
（2）若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的 2倍，问甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时
花费最少？最少花费是多少元？
18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，过点 C作 AD的垂线，垂足为点 E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若 AD＝2CE，OA ，求阴影部分的面积．
5
19．（10分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 1）．
科学原理：如图 2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 H（单位：cm），如果在离水面竖直
距离为 h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平
距离）s（单位：cm）与 h的关系式为 s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为 20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终
盛满水，在离水面竖直距离 hcm处开一个小孔．
（1）写出 s2与 h的关系式；并求出当 h为何值时，射程 s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a，b，要使两孔射出水的射程相同，求
a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距
离．
20．（12分）在 ABCD中，点 E是线段 CB延长线上的一个动点，连接 AE，过点 A作 AF⊥AE交射线
DC于点 F．
（1）如图 1，若四边形 ABCD是正方形，写出 AF与 AE之间的数量关系： ；（直接写出
结论）
（2）如图 2，若四边形 ABCD是矩形，且 AD AB，试判断 AF与 AE之间的数量关系，写出结论并
证明；
（3）如图 3，若四边形 ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，过点 A作 AE⊥BC于点 E，过点 A作 AF⊥AB
，交过 D点与 AD垂直的直线于点 F，且 DF＝1，求 ．
6
7
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A A D B D D
二．填空题
9．﹣6．
10．（﹣5，5）．
11．x．
12．6．
13． ．
三．解答题
14．解：（1）原式＝5+2﹣3
＝7﹣3
＝4；
（2）原式
．
15．解：
解不等式①得：x＜10，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解为： ，
所以整数解为：7，8，9．
16．解：（1）由题意，八年级 A等级的人数为 20﹣5﹣4﹣8＝3，
八年级数据中第 10个和第 11个数据分别为：88，89，
8
∴ ；
九年级中 A等级的人数为 20×20%＝4，B等级的人数为 20×15%＝3，C等级的人数为 20×45%＝9，
D等级的人数为 20×20%＝4，数据中出现次数最多的是 88，
∴b＝88；
补全条形图如图：
故答案为：88.5，88；
（2）八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好，理由如下：
两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学生对当前
信息技术的了解情况更好；
（3）估计该校八、九年级成绩为 A等级的学生共有 （人）．
17．解：（1）设甲种品牌的电脑购买了 x台，乙种品牌的电脑购买了 y台．
则 ，
解得 ，
答：甲种品牌的电脑购买了 40台，乙种品牌的电脑购买了 20台；
（2）设甲种品牌的电脑购买了 m台，乙种品牌的电脑购买了（60﹣m）台，
由题，60﹣m≤2m，
解得 m≥20；
设费用为 w，则 w＝3000m+2500（60﹣m）＝500m+150000，
∵500＞0，
∴w随 m的增大而增大，
∴当 m＝20时，w最少，此时 w＝500m+150000＝160000，
9
∴甲种品牌的电脑购买 20台，乙种品牌的电脑购买 40台最省钱，最少费用为 160000元．
18．（1）证明：∵C是 的中点，
∴ ，
∴∠EAC＝∠BAC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ACE∽△ABC；
（2）证明：连接 OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
由（1）知：∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴OC⊥CE．
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：连接 OD，过点 O作 OF⊥AD于点 F，如图，
则 AF＝FD AD，
∵AD＝2CE，
∴AF＝CE．
∵OF⊥AD，CE⊥AE，OC⊥CE，
∴四边形 EFOC为矩形，
∴OF＝CE，
∴OF＝AF，
则△AFO为等腰直角三角形，
10
∴∠FAO＝45°，AF＝FO OA＝1．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠FAO＝45°，
∴∠AOD＝90°．
∴ OA OD 1，
，
∴阴影部分的面积＝S 扇形OAD﹣S△OAD 1．
19．解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），
∴当 H＝20cm时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当 h＝10cm时，s2有最大值 400cm2，
∴当 h＝10cm时，s有最大值 20cm．
∴当 h为 10cm时，射程 s有最大值，最大射程是 20cm；
（2）∵s2＝4h（20﹣h），
设存在 a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），
11
∴20a﹣a2＝20b﹣b2，
∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，
∴a﹣b＝0，或 a+b﹣20＝0，
∴a＝b或 a+b＝20；
（3）设垫高的高度为 m，则 s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4 （20+m）2，
∴当 h cm时，smax＝20+m＝20+16，
∴m＝16cm，此时 h 18cm．
当 h 20时，即 m＞20时，
h＝20时，S2max＝362，
362＝4×20×（20+m﹣20），
∴M＝16.2（舍弃）．
∴垫高的高度为 16cm，小孔离水面的竖直距离为 18cm．
20．解：（1）AE＝AF，理由如下：
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（ASA），
∴AF＝AE，
故答案为：AF＝AE；
（2）2AF＝3AE，
证明：∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
12
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴ ，
∵AD AB，
∴ ，
∴ ，
∴2AF＝3AE；
（3）∵四边形 ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠EAF＝∠DAF＝30°，
∵FD⊥AD，DF＝1，
∴AF＝2DF＝2，
∴AD＝AB DF ，
在 Rt△ABF中，根据勾股定理得：
BF ，
13
∴ ．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3 /17 10:55:12；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353
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