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柳州市2025-2026学年度九年级（上）期末质量监测试题数学
（考试时间：120分钟，全卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分，请把选择题的答案填入下面的表格中）
1. 科技飞速发展的时代，新能源汽车宛如一颗璀璨的新星，划破传统燃油车的“苍穹”，引领着出行方式迈向全新纪元．下图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 任意画一个三角形，其内角和是，这一事件是（ ）
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件
3. 小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列各点在反比例函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
7. 一元二次方程根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有两个正的实数根
8. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
9. 我国乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A. B.
C. D.
10. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 若点，在抛物线上，则
C
D 对任意实数m，均成立
12. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）
13. 若点与点关于原点对称，则a的值为 _____．
14. 如果关于x的一元二次方程的一根为，则另一根为________．
15. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：
投篮的次数
投中的次数
投中的频率
这名球员投篮一次，投中概率约是______（精确到）．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点的坐标为_____．
三、解答题（本题共7小题，满分72分．解答题写出必要的文字说明、演算步理或推理过程）
17. 解一元二次方程：
（1）；
（2）．
18. 在如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空：
作出关于原点成中心对称的，写出点的坐标________；
作出绕点逆时针旋转的，写出点的坐标________．
19. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶 标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．慕梓睿在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性．
（1）若慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是 ；
（2）若慕梓睿将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？
20. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
21. 某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米，如图1所示，现以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系．
（1）求上半部分抛物线的函数表达式；
（2）有一辆宽3米，高米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中，，为三根承重钢支架，、在抛物线上，，在地面上，已知钢支架每米70元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
22. 综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由．
【问题延伸】
（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值．
【拓展应用】
外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______．
23. 我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在平面直角坐标系网格内，坐标分别为，请你写出三个D点坐标，使得四边形是3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上（_____，____），（_____，____），（_____，____）；
（2）如图2，长方形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由；
（3）如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度．
柳州市2025-2026学年度九年级（上）期末质量监测试题数学
（考试时间：120分钟，全卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分，请把选择题的答案填入下面的表格中）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】B
【11题答案】
【答案】B
【12题答案】
【答案】D
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】
【答案】3
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
三、解答题（本题共7小题，满分72分．解答题写出必要的文字说明、演算步理或推理过程）
【17题答案】
【答案】（1），
（2），
【18题答案】
【答案】 ①. ②.
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径是4.5
【21题答案】
【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）消防车能正常进入
（3）仅钢支架一项，最多需要花费910元
【22题答案】
【答案】（1）；4；2；（2）不能，见解析；（3），8；（4）
【23题答案】
【答案】（1）2，4，4，4，4，2；
（2）四边形，是等邻边四边形，理由见解析；
（3）4或6或

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