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专题2　力与直线运动
考向一 运动学规律
考向二 动力学规律
考向一 运动学规律
【核心知识】
内容 重要规律、公式和二级结论
匀变速 直线 运动 1.3个基本公式:v=v0+at;x=v0t+at2;v2 =2ax。
2.3个推论:(1)中间时刻的瞬时速度==。
(2)中间位置的瞬时速度:=。
(3)任意两个连续相等的时间间隔T内,位移之差是一个常量,即Δx=aT2;若xm、xn分别为第m段、第n段位移,则xm xn=(m n)aT2。
内容 重要规律、公式和二级结论
匀变速 直线 运动 3.初速度为零的匀加速直线运动的4个比例:
(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
(2)前1T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n 1)。
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶( 1)∶()∶…∶()
内容 重要规律、公式和二级结论
竖直 上抛 运动 1.从抛出到达到最高点所用的时间为t=。
2.竖直上抛运动的最大高度为h=。
3.竖直上抛运动的处理方法
①分段法:上升过程是a= g,vt=0的匀变速直线运动,下落阶段是自由落体运动。②整体法:将全过程看作是初速度为v0,加速度是 g的匀变速直线运动
内容 重要规律、公式和二级结论
追及 相遇 问题 1.一个条件:速度相等。这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点,是解题的切入点。
2.两个关系:时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系,是解题的突破口
角度1　匀变速直线运动规律
【典题透视】
[例1][0→v→0模型]一题多解(2024·海南等级考改编)商场自动感应门如图所示,当人走近时,两扇门从静止开始同时向左右平移。若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动,且加速与减速时的加速度大小均为a,完全打开时速度恰好为0,敞开大门的宽度为d,则两扇门打开过程中的最大速度为(　　)
A. B.
C. D.
√
【题眼破译】
【解析】选B。由题意可知每扇门移动的距离为,且每扇门先加速后减速(点拨:根据对称性,感应门加速、减速的位移均为),设最大速度为vm,则有×=,可得vm=,选项B正确。
【一题多解】根据题意,画出一扇门运动的v t图像,如图所示。
[真题变式]在[例1]所给情境中,人步行速度大小范围为1 m/s≤v人≤2 m/s,为保证所有进门的人从虚线圆上某点径直走到A点正下方时,门都已经完全打开,则传感器的感应半径最小应该设置为(　　)
A. B.
C. D.
√
【解析】选C。因为加速和减速的加速度大小相等,所以匀加速和匀减速的时间t相等,则=at2,则感应半径最小应该设置为r=v人t,人以最快的速度v人=2 m/s匀速运动,则r=,选项C正确。
[例2][刹车模型](2025·江苏高考)新能源汽车在辅助驾驶系统测试时,感应到前方有障碍物立刻制动,做匀减速直线运动。2 s内速度由12 m/s减至0。该过程中加速度大小为(　　)
A.2 m/s2 B.4 m/s2
C.6 m/s2 D.8 m/s2
【解析】选C。根据运动学公式v=v0+at,代入数值解得a= 6 m/s2,故加速度大小为6 m/s2。
√
【类题建模】
项目 刹车模型 双向可逆模型 0→v→0模型
模 型 一汽车沿平直路面以30 m/s的速度运动,遇到紧急情况制动,2 s后速度减为10 m/s 足够长的斜面上,一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动,物体的加速度大小始终为5 m/s2,方向沿斜面向下
物体从静止开始匀加速,速度增大到vm后立即匀减速到速度为零,称为“0→v→0”模型
项目 刹车模型 双向可逆模型 0→v→0模型
结 论 (1)汽车加速度大小 a=m/s2=10 m/s2。 (2)汽车速度减为零的时间t0==3 s。 (3)汽车4 s末的速度等于3 s末的速度,为零。 (4)汽车5 s末的位移等于3 s末的位移,x=a=45 m (1)当物体的位移为向上7.5 m时,由x=v0t at2,x=7.5 m,解得t1=3 s,t2=1 s。 (2)当物体的位移为向下7.5 m时,x= 7.5 m,由x=v0t at2解得t=(2+)s (1)vm=a1t1=a2t2,
整理得=。
(2)=2a1x1
=2a2x2,
整理得=
项目 刹车模型 双向可逆模型 0→v→0模型
注 意 点 (1)先确定刹车时间T。 (2)将题中所给出的已知时间t与T比较, 若Tt,则在利用以上公式进行计算时,公式中的时间应为t (1)沿光滑斜面上滑的物体,到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑,全过程加速度大小、方向均不变。 (2)可分过程列式或全过程列式,但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。 (3)物体在双向可逆的运动过程中,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,因此形成多解 (1)每个阶段所用时间与总时间的关系:t1=t,t2=t。
(2)每个阶段的位移与总位移的关系:
x1=x,x2=x。
(3)每个阶段的平均速度及整个过程的平均速度均等于最大速度vm的一半,即=
角度2　运动图像
【典题透视】
[例3][常规图像]一题多解(2025·梅州模拟)甲、乙两辆汽车沿同一平直公路做直线运动,其运动的x t图像如图所示。其中甲的图像是一条倾斜直线,乙的图像是一段抛物线,且在t0时刻乙图像的切线与甲的图像平行。图中的坐标均为已知量,下列说法正确的是(　　)
A.乙的初速度为
B.乙的初速度为
C.乙的加速度为
D.4t0时刻,甲、乙间的距离为x0
√
【图形剖析】
【解析】选D。x t图像的斜率等于速度,甲做匀速运动的速度
v1==,乙先做匀减速运动,设加速度大小为a,在t0时刻甲、
乙共速,则对乙有v1=v0 at0,在2t0时刻乙的速度减为零,则0=v0 2at0,
解得v0=,a=,选项A、B、C错误;4t0时刻,
乙回到出发点,甲的位移x=v1·4t0=2x0,
甲、乙间的距离为s=x+x0=x0,选项D正确。
[一题多解]对乙,利用逆向思维法,2t0时刻,甲的速度为零,位移为x0,则x0=a,解得a=,又x0=×2t0,解得v0=,选项A、B、C错误。
[例4][非常规图像](多选)汽车工程学中将加速度随时间的变化率称
为急动度k,急动度k是评判乘客是否感到舒适的重要指标。如图所示
为一辆汽车启动过程中的急动度k随时间t变化的关系,已知t=0时刻
汽车速度和加速度均为零。关于汽车在该过程中的运动,下列说法
正确的是(　　)
A.0~3 s,汽车做匀速直线运动
B.3~6 s,汽车做匀速直线运动
C.3~6 s,汽车做匀加速直线运动
D.9末,汽车的加速度为零
√
√
【解析】选C、D。加速度随时间的变化率称为急动度k,即k=,则图像与坐标轴围成的面积代表加速度变化Δa,由此加速度的变化图像如图。
由加速度的变化图像可知,0~3 s内加速度在增加,汽车不做匀速直线运动,A错误;由加速度的变化图像可知,3~6 s内加速度不变,汽车做匀加速直线运动,B错误,C正确;由加速度的变化图像,9 s末汽车的加速度大小为0,D正确。
【类题建模】
1.常规图像
图像 示例 斜率 面积 交点
x t 图像 =v, 表示速度 — 表示相遇
v t 图像 =a, 表示加 速度 表示位 移x 表示此时速度相等,
往往是距离最大或最小的临界点
2.常规图像的解题思路
3.非常规图像
图像 示例 关系式 斜率 纵截距 面积
a t 图像 Δv=a·Δt — — Δv
t 图像 由x=v0t+at2 得=v0+at a v0 —
图像 示例 关系式 斜率 纵截距 面积
a x 图像 由v2 =2ax得 a=(v2 ) — — (v2
)
v2 x 图像 由v2 =2ax 得v2=+2ax 2a —
4.非常规图像的解题思路
角度3　多过程问题
【典题透视】
[例5](2025·汕尾模拟)甲、乙两车在一平直公路上同向行驶,从t=0时刻开始计时,它们的速度v随时间t变化的图像如图所示。t=1 s时甲、乙两车并排行驶。在整个运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.t=2 s时,两车再次相遇
B.2~3 s内,甲、乙两车的距离越来越大
C.t=0 s时,乙车在甲车前1.5 m处
D.0~4 s内,甲、乙两车相遇一次
√
【解析】选C。由图像可知,甲、乙车加速度大小分别为a甲=
= m/s2=2 m/s2,a乙== m/s2=1 m/s2,甲、乙车初速度大小分别为
6 m/s、4 m/s,根据x=v0t+at2可知0到1 s内,甲车位移x1=(6×1 ×2×12)m
=5 m,乙车位移x2=(4×1 ×1×12)m=3.5 m,因为t=1 s时甲、乙两车并排
行驶,t=0 s时,乙车在甲车前Δx=x1 x2=1.5 m,选项C
正确;t=2 s时,甲车位移x'1=×2 m=8 m,乙车的
位移x'2=×2 m=6 m,x'1 x'2=2 m>Δx=1.5 m,
故2 s时二者不可能相遇,选项A错误;题意知t=1 s时甲、乙两车并排行驶,图像可知从1 s到2 s甲的速度一直大于乙(点拨:此时甲在前,乙在后),1 s到2 s甲车速度大于乙车,甲、乙距离在增加,2 s到3 s甲车速度小于乙车速度,甲、乙距离在减小,选项B错误;1 s到4 s内,甲车位移x11=|| x1=( 5)m=4 m,乙车位移
x22=|| x2=( 3.5)m=4.5 m>x11,可知
1 s到4 s内,甲、乙两车还会相遇一次,
故0~4 s内,甲、乙两车相遇两次,选项D错误。
[母题变式]甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶,它们的v t图像如图所示,t=1 s时,甲、乙第一次并排行驶,则(　　)
A.t=0时,甲在乙的后面4.5 m处
B.t=2 s时,甲在乙的前面6 m处
C.两次并排行驶的时间间隔为2.5 s
D.两次并排行驶的位置间距为10 m
√
【解析】选A。根据两汽车的v t图像可得瞬时速度的表达式为
v甲=8 2t,v乙=2+t,t=1 s时,甲、乙第一次并排行驶,即两车此时相遇,在第
1 s内甲和乙的位移之差为Δx=(×1 ×1)m=4.5 m,因甲比乙的速
度大,则属于甲追乙,则甲在乙的后面4.5 m处,选项A正确;
从t=1 s到t=2 s,两车的距离为Δx1=(×1 ×1)m=1.5 m,甲在乙的
前面1.5 m处,选项B错误;t=2 s时两者的速度相等,根据图像的对称性
可知t=1 s和t=3 s为两车相遇的时刻,故两次并排行驶的时间间隔为2 s,
选项C错误;t=1 s和t=3 s两车相遇两次,两车的位移相同,大小为x=×
2 m=8 m,选项D错误。
【类题建模】
模型1　速度小者追速度大者
追及类型 图像描述 相关结论
匀加速 追匀速 设x0为开始时两物体间的距离,则应有下面结论:
①t=t0以前,后面物体与前面物体间距离增大;
②t=t0时,两物体相距最远,为x0+Δx;
③t=t0以后,后面物体与前面物体间距离减小;
④一定能追及且只能相遇一次
匀速追 匀减速 匀加速 追匀减速 模型2　速度大者追速度小者
追及类型 图像描述 相关结论
匀减 速追 匀速 设x0为开始时两物体间的距离,开始追及时,后面物体与前
面物体间距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻:
①若Δx=x0,则恰能追及,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件;
②若Δx③若Δx>x0,则相遇两次,设t1时刻两物体第一次相遇,则t2=2t0 t1时刻两物体第二次相遇
考向二 动力学规律
【核心知识】
内容 重要规律、公式和二级结论
牛顿 第二 定律 1.物体速度v与力F无必然联系,二者方向间夹角可以成任何角度。力F是产生加速度a的原因。物体的加速度a与力F方向一定相同,大小成正比。
2.物体的加速度a会随力F的突变而立即发生变化。(1)不发生明显形变产生的弹力,如轻绳、轻杆和接触面间弹力,可以在剪断或脱离后立即消失或改变;发生明显形变产生的弹力,如轻弹簧、橡皮筋、蹦床间弹力,由于物体的惯性,在剪断或脱离后弹力不能突变。(2)摩擦力可以突变。在传送带问题、板块模型中,当物体与传送带(板块)达到共速后,摩擦力就会发生方向、或有无、或动与静的突变。
内容 重要规律、公式和二级结论
牛顿 第二 定律 3.超重和失重:物体所受向上的拉力(或支持力)大于重力时,具有向上的加速度,物体处于超重状态;物体所受向上的拉力(或支持力)小于重力时,具有向下的加速度,物体处于失重状态;向下的加速度为g时处于完全失重状态
内容 重要规律、公式和二级结论
连接体 问题 连接体加速度相同,求物体间相互作用力时,可采用“先整体、后隔离”的方法
内容 重要规律、公式和二级结论
动力学 临界 问题 1.相对静止与相对滑动的临界条件:静摩擦力达到最大静摩擦力。
2.加速度最大与速度最大的临界条件:当物体在变化的外力作用下运动时,其加速度和速度都会不断变化,当所受合力最大时,具有最大加速度;当所受合力最小时,具有最小加速度。当出现加速度为零时,物体处于临界状态,对应的速度达到最大值或最小值。
3.弹簧中的分离问题:分离瞬间,彼此间弹力为零,加速度、速度相等。无外力作用下弹簧类连接体分离位置在弹簧原长处;有外力作用下弹簧类连接体分离位置在弹簧原长处之前
角度1　突变问题
【典题透视】
[例6](多选)教材习题改编(必修一复习与提高P114B组T1)质量为2m的小球A与质量为m的小球B分别用轻弹簧甲、乙连接,甲、乙两弹簧的原长相等,图1中用一段轻绳固定在天花板上,图2中用一段轻绳固定在倾角为α=30°的光滑斜面体上,系统静止时两弹簧的长度相等,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.弹簧甲、乙的劲度系数之比为2∶1
B.剪断图1中轻绳的瞬间,小球A的加速度大小为2g
C.剪断图1中轻绳的瞬间,小球B的加速度大小为g
D.剪断图2中轻绳的瞬间,小球A的加速度大小为g
√
√
【思路导引】
【解析】选A、D。甲、乙两弹簧的原长相等,系统静止时两弹簧的长度相等,则有mg=k1Δx,mgsinα=k2Δx,解得=,选项A正确;剪断图1中轻绳的瞬间,弹簧弹力不变,对小球A有k1Δx+2mg=2ma,解得加速度大小为a=g,小球B受力平衡,加速度为0,选项B、C错误;剪断图2中轻绳的瞬间,弹簧弹力不变,对小球A有k2Δx+2mgsinα=2ma',解得小球A的加速度大小为a'=g,选项D正确。
【类题建模】
球A质量为m1 球B质量为m2 球C质量为m3
剪断细绳 绳OA 绳OA 绳AB 绳AB 绳OA
球A的瞬时加速度 g g g g g
球B的瞬时加速度 g 0 g g g
球C的瞬时加速度 无球C 0 0
角度2　连接体问题
【典题透视】
[例7][加速度相同](多选)(2025·辽宁重点中学协作体联考)斜劈形物体B质量为3 kg,倾角为37°,物块A质量也为3 kg,放在斜劈B上,A与B之间的最大静摩擦因数为0.8。现将物体C通过轻绳与斜劈B相连,轻绳跨过轻质定滑轮,如图所示。除A、B之间的接触面之外,其他部位的摩擦及空气阻力都忽略不计。将此系统由静止释放,发现物块A与斜劈B保持相对静止,则物体C的质量可能是(sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10 m/s2)(　　)　　　　　　　　
A.0.05 kg B.0.15 kg
C.0.25 kg D.0.35 kg
√
√
【解析】选A、B。将A、B、C三个物体整体受力分析,物块A与斜劈
B保持相对静止时,它们具有共同的加速度,根据牛顿第二定律则有
mCg=(mA+mB+mC)a,单独对物块A受力分析则有fsin37°+FNcos37°=
mAg,fcos37° FNsin37°=mAa,又因为f=μFN,联立解得mC≈0.194 kg,
即物块A与斜劈B保持相对静止时,物块C的最大质量约为0.194 kg,
选项A、B正确。
[例8][加速度不同](2025·汕头模拟)如图所示,将质量分别为m和2m的A、B两滑块用足够长的轻绳相连,分别置于等高的光滑水平台面上,质量为4m的物块C挂在轻质动滑轮下端,手托C使轻绳处于伸直状态。t=0时刻将C由静止释放,经t1时间C下落h高度。运动过程中A、B始终不会与定滑轮碰撞,摩擦阻力和空气阻力均忽略不计,重力加速度大小为g,则下列说法正确的是(　　)
A.A、C运动的加速度大小之比为3∶4
B.A、C运动的加速度大小之比为4∶1
C.t1时刻,C下落的速度为
D.t1时刻,C下落的速度为
√
【模型建构】
【解析】选D。根据题意,对A、B分析,
根据牛顿第二定律有FT=maA,FT=2maB
解得aA∶aB=2∶1,根据s=at2,可得路程之比==2,设B运动的路程为s,则A运动的路程为2s,可知此时C运动的路程为1.5 s(破题关键),则有aA∶aB∶aC=4∶2∶3,故A、C运动的加速度大小之比为4∶3,选项A、B错误;根据v=at,可知vA∶vB∶vC=4∶2∶3,C下落过程,由A、B、C组成的系统机械能守恒,有4mgh=m+·2m+·4m
解得vC=,选项C错误,D正确。
【类题建模】
类型 模型图示 模型解读
接触 连接 两物体通过弹力或摩擦力作用,可能具有相同的速度和加速度
轻绳 连接 轻绳在伸直状态下,两端的连接体沿绳方向的速度、加速度大小相等,方向不一定相同
类型 模型图示 模型解读
轻杆 连接 连接体具有相同的速度和加速度
弹簧 连接 在弹簧发生形变的过程中,两端连接
体的速率不一定相等;在弹簧形变
最大时,两端连接体的速率相等
角度3　弹簧中的临界问题
【典题透视】
[例9](多选)如图所示,一轻质弹簧的下端固定在水平面上,上端叠放两个质量均为1 kg的物体A、B(B物体与弹簧拴接),弹簧的劲度系数为k=50 N/m,初始时系统处于静止状态.现用大小为15 N,方向竖直向上的拉力F作用在物体A上,使物体A开始向上运动,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力忽略不计,下列说法正确的是(　　)
A.外力施加的瞬间,A、B的加速度大小为7.5 m/s2
B.当弹簧压缩量减小0.05 m时,A、B间弹力大小为2.5 N
C.A、B分离时,A物体的位移大小为0.1 m
D.B物体速度达到最大时,弹簧被压缩了0.2 m
√
√
√
【解析】选A、C、D。可通过表格对各选项逐一分析。
选项 过程分析 结论
A 外力施加的瞬间,对A、B整体,根据牛顿第二定律可得 加速度大小为a== m/s2=7.5 m/s2 √
B 开始时弹簧的压缩量为x0==0.4 m,当弹簧压缩量减小 0.05 m时,此时的弹力F'=kΔx=50×(0.4 0.05)N=17.5 N, 此刻对A、B整体F+F' 2mg=2ma,解得a=6.25 m/s2,对A有 F+FN mg=ma,解得FN=1.25 N ×
选项 过程分析 结论
C A、B分离时,两物体间的弹力为零,加速度相等,则对A、B 整体:F+kΔx' 2mg=2ma',对A有F mg=ma',解得Δx'=0.3 m, 即此时弹簧的压缩量为0.3 m,A物体的位移大小为0.1 m √
D 当A、B分离时,因弹力为kΔx'=15 N>mg,可知物体B继续向 上加速,当加速度为零时速度最大,此时kΔx″=mg,解得Δx″= 0.2 m,即B物体速度达到最大时,弹簧被压缩了0.2 m √
[靶向预测](多选)如图所示,倾角为30°足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板,轻弹簧一端与挡板连接,另一端与物块A接触但不连接,A上方放置另一物块B,B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接,B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C,使细线处于伸直但不拉紧的状态,此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C,一段时间后A、B分离,此时C未触地。已知A、B分离时,B的速度大小为v,A、B、C的质量均为m,弹簧劲度系数为k,弹簧的形变始终在弹性限度内,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.刚释放C时,A、B间的弹力大小为mg
B.A、B分离时,B的加速度大小为g
C.A的速度最大时沿斜面上升的距离为
D.分离时刻弹簧处于被压缩状态
√
√
【解析】选B、D。未释放C时,设弹簧的弹力为F,以A、B为研究对象,则有F=2mgsin30°=mg,刚释放C时,设A、B间的弹力为F',细线的拉力为FT,此时的加速度为a,对于C而言,有mg FT=ma,对于B而言,则有FT+F' mgsin30°=ma,以A为研究对象,根据牛顿第二定律得F F' mgsin30°=ma,联立解得a=g,F'=mg,选项A错误;A、B分离时,其间的弹力为零,设此时B的加速度为a',细线的拉力为FT',以C为研究对象则有mg FT'=ma',以B为研究对象,根据牛顿
第二定律可知FT' mgsin30°=ma',解得a'=g,
选项B正确;
初始时弹簧的压缩量x==,当A的速度最大时,弹簧弹力与A重力沿斜面向下的分力平衡,则有x'==,故A的速度最大时沿斜面上升的距离Δx=x x'=,选项C错误;A、B分离瞬间,它们具有共同沿斜面向上的加速度,合外力沿斜面向上,故弹簧仍处于压缩状态,选项D正确。
【类题建模】
类型 模型图示 模型解读
无外力 作用 甲图:aA=aB=g;
乙图:aA=aB=gsinθ;
丙图:aA=aB=0
结论:分离位置在弹簧
原长处
类型 模型图示 模型解读
有外力 作用 A做匀加速直线运动
结论:分离位置在弹簧
原长处之前
角度4　多过程问题
【典题透视】
[例10][由受力分析运动图像](2025·揭阳模拟)用如图所示的装置做课题研究发现:球形物体所受空气阻力的大小跟它运动的速率成正比。当气球和重物由静止释放,在一起竖直下落的过程中,其速率v、加速度的大小a和运动的时间t之间的关系图像,下列可能正确的是(　　)
√
【解析】选A。以气球和重物为对象,根据牛顿第二定律可得mg f=ma,又f=kv,联立可得a=g ,可知气球和重物由静止释放,随着速度的增大,加速度逐渐减小,气球和重物做加速度逐渐减小的加速运动,则v t图像的切线斜率逐渐减小;a v图像为一条斜率为负的倾斜直线,选项A正确。
[一题多变]若小球由静止释放,运动L后进入一个高度也为L的阻力区,在阻力区内小球受到的阻力大小与速度大小成正比,f=kv(k为常量),不计空气阻力,重力加速度大小为g,则下列关于小球运动过程中加速度随位移x变化的图像一定错误的是(　　)
√
【解析】选C。小球进入阻力区后,受到的阻力可能等于重力,小球做匀速运动,加速度为0,选项A正确;如果在小球刚进入阻力区时,阻力大于重力,小球做减速运动且kv mg=ma,随着v减小,加速度减小,后来可能做匀速运动,加速度为0,选项B正确,C错误;如果在小球刚进入阻力区时,阻力小于重力,加速度突然减小且mg kv=ma,随着v增大,加速度继续减小,后来可能做匀速运动,加速度为0,选项D正确。
[例11][由运动图像分析受力](2025·佛山模拟)如图甲所示,小球在一竖直的轻弹簧正上方由静止开始自由下落,直到压缩弹簧到最低点,其运动的a x图像如图乙所示,小球在最低点时的加速度大小为a0,已知小球的质量为m,重力加速度大小为g,小球在运动过程中的空气阻力忽略不计。弹簧始终在弹性限度内,则(　　)
A.弹簧的劲度系数为
B.小球运动过程中的最大速度为
C.a0等于2g
D.x1=4x0
√
【图形剖析】
【解析】选B。由图乙可知,小球下落x0时接触弹簧,下落2x0时加速度为0,有k(2x0 x0)=mg,解得k=,选项A错误;由速度 位移公式2ax=v2可知,a x图线围成的面积表示,当位移为2x0时,小球速度达到最大值,有vm==,选项B正确;
由图乙可知,当小球下落x1时加速度大小为a0,速度减为零,a x图线x轴上方围成的面积与x轴下方围成的面积相等,即g(x0+2x0)=a0(x1 2x0),且=(点拨:斜率相等或两三角形相似),联立解得a0=g,x1=(+2)x0,选项C、D错误。
[一题多变]若小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点,然后又被弹起离开弹簧,上升到一定高度后再下落,如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器,测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图所示,重力加速度大小为g,图中时刻均已知,则(　　)
A.在t1时刻,小球的速度最大
B.在t1~t2时间内,小球先做匀加速后做匀减速运动
C.t2~t3这段时间内,小球的动能与重力势能之和在减少
D.忽略空气阻力,小球自由下落的高度为
√
【解析】选D。t1时刻小球刚接触弹簧,速度向下,弹力小于重力,根据牛顿第二定律可知,合力向下,随着形变量增大,加速度减小,且方向向下,故速度增大;当弹力等于重力,合力为零,加速度为零,速度最大,之后,弹力大于重力,根据牛顿第二定律可知,合力向上,随着形变量增大,加速度增大,且方向向上,故速度减小,由此分析可知,在t1时刻,小球的速度不是最大;t1~t2这段时间内,小球先向下做加速度减小的加速运动,再向下做加速度增大的减速运动,选项A、B错误;
t2~t3这段时间内,小球和弹簧系统机械能守恒,t3时刻小球与弹簧脱离,故小球增加的动能和重力势能之和等于弹簧减少的弹性势能,选项C错误;若不考虑空气阻力,在t3~t4这段时间小球在空中运动可视为竖直上抛运动,由此可知小球做自由落体运动时间为t=,则小球自由下落高度h=gt2=,选项D正确。
【类题建模】
模型图示 模型结论 模型解读
在粗糙的水平面上,质量为m的物块在水平向右的拉力F的作用下做直线运动,t0时刻撤去外力 (1)拉力F作用时F f=ma1。 (2)撤去拉力F后f=ma2 从所提供图像获取运动的方向、瞬时速度、某段时间内位移以及加速度,结合实际运动情况确定物体的受力情况
模型图示 模型结论 模型解读
粗糙水平地面上质量为m的物块受到水平拉力F1、F2的作用,F1、F2随时间的变化如图所示,已知物块在t0时刻前做匀速直线运动 (1)在0~t0内物块匀速运动,则摩擦力f=3 N,则μ=。 (2)t0时刻后物块做减速运动,加速度a== m/s2= m/s2 首先应明确该图像表示物块所受的是哪个力,或是合力,根据物块的受力情况确定加速度,从而研究它的运动情况

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