资源简介

广东省深圳实验学校光明部2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·深圳期中）完全展开后的项数是（　　）
A．5 B．10 C．13 D．36
2．（2025高二下·深圳期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（　　）
A．函数有四个极值点 B．为的极大值点
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
3．（2025高二下·深圳期中）下列数中，与不相等的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高二下·深圳期中）已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·深圳期中）深圳实验学校在40周年校庆之际计划建立集团文博馆，下设德、智、体、美、劳、科创这六个板块项目组．现有7位校领导和18位老师需分配到这6个项目组中，要求每个项目组至少有1名校领导和3位老师，请问一共有（　　）种分配方式
A．
B．
C．
D．
6．（2025高二下·深圳期中）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有.该结论可通过构造函数并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（　　）
①；②；③；④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025高二下·深圳期中）已知在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·深圳期中）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．（2025高二下·深圳期中）下列求导运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025高二下·深圳期中）已知二项展开式，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025高二下·深圳期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．曲线在点处的切线方程为
B．当时，是的极值点
C．存在实数，使得的图象关于点对称
D．若在区间内存在极值点，则的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·深圳期中）光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有　 　种午餐安排方式．（答案用数字表示）
13．（2025高二下·深圳期中）在的展开式中，含项的系数为　 　．（答案用数字表示）
14．（2025高二下·深圳期中）已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，则的最大值为　 　.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·深圳期中）某同学每天需完成语文、数学、英语、物理、化学、政治六门作业，现需制定晚自习作业完成顺序计划，请回答以下问题．（请写出计算过程，最终答案用数字表示）
（1）若语文和化学必须连续完成（两科作业完成顺序不限），共有多少种不同的作业完成顺序？
（2）若文科作业（语文、英语、政治）和理科作业（数学、物理、化学）必须交替完成，共有多少种不同的作业完成顺序？
（3）若语文作业必须在数学作业之前完成，且化学作业必须在物理作业之后完成，共有多少种不同的作业完成顺序？
（4）若数学和语文作业必须连续完成（两科作业完成顺序不限），且数学和物理作业不得连续完成，共有多少种不同的作业完成顺序？
16．（2025高二下·深圳期中）如图所示，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若为正三角形，且，求平面与平面夹角的正弦值．
17．（2025高二下·深圳期中）已知函数．
（1）当时，证明：
（2）若函数的图象始终在直线上方，求的取值范围．
18．（2025高二下·深圳期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……
（1）设“三角垛”各层球数构成一个数列，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列；1，3，6，10，15，…，请写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；
（2）记杨辉三角的第行所有数之和为，令，设为数列的前项和．
（i）求；
（ii）若成立，求的取值范围．
19．（2025高二下·深圳期中）牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在I7世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解.对于函数，已知.
（1）若给定，求的二阶近似值；
（2）设
①试探求函数的最小值与的关系；
②证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据分步乘法原理，展开后的项数有：项.
故答案为：D.
【分析】 根据多项式乘法规则，展开后的项数等于每个括号内项数的乘积 ，由分步乘法原理求解即可.
2．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由图可知，时，，函数在和上单调递增，
时，，函数在和上单调递减，
则函数的极大值点为，极小值点为.
故答案为：D.
【分析】根据导函数的图象判断函数的单调性区间，从而可得出极值点，判断即可.
3．【答案】C
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：
A、，当时，，成立，故A不符合；
B、，故，成立，故B不符合；
C、显然无论取何值和都不等，故C符合；
D、成立，故D不符合.
故答案为： C.
【分析】根据排列数、组合数公式求解判断即可.
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
则在时取到最大值，
，
因为在上单调递增，所以，则.
故答案为：B.
【分析】构造函数，求导，利用导数研究的单调性，利用对数运算化化为，再根据函数的单调性比较大小即可.
5．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将7位校领导按要求分配，有种，再将18位老师按要求分配，有种，
则一共有种分配方式.
故答案为：B.
【分析】7位校领导分配到六个项目组，则肯定有两人分为一组，先选出2人，组成一组，再将分好的六组分配到六个项目组，最后将18位老师平均分配，据此求解即可.
6．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：①、因为，所以恒成立，
当时，，即，即，
则在上恒成立，且时取“”，则①成立；
②、因为，所以，两边同乘以得，则②成立；
③、设，则，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以恒成立，即，则③成立；
④、因为，所以当时，，即，则④成立.
故答案为：D.
【分析】根据，将换成，结合对数运算化简求解即可判断①；将换成，两边同乘以求解即可判断②；当时，将换成求解即可判断④；构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的最小值，即可判断③.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
分离参数可得在上恒成立，
记，则
当在单调递减，当在单调递增，
在处取到最大值，则，即，
则的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再求导，问题转化为在上恒成立，分离参数可得在上恒成立，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值，即可得a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，可得，
令，则，
，
当时，解得，当时，解得，
则在单调递增，在单调递减，
因为，且，所以，故A错误；
因为，所以，由，可得，故D错误；
因为，所以，
因为，所以，所以，故C正确；
令 ，
，
当，恒成立，则，在单调递增，
当时，，即，
又因为，所以，
因为，所以，
因为在内单调递减，所以，即，故B错误.
故答案为：C.
【分析】变形可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析判断即可.
9．【答案】B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据基本初等函数的求导公式以及复合函数的求导公式逐项求解判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：
A、令，则，故A正确；
B、令，则，故，故B错误；
C、令，则，故，故C正确；
D、由可知，因此，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分别赋值令、和，利用赋值法求解即可判断ABC；易知，令，求，即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数，则，
A、，，则曲线在点处的切线方程为，
即，故A正确；
B、当时，，函数在上单调递增，无极值点，故B错误；
C、若函数的图象关于点对称，则，
因为，所以恒成立，则，
即存在，使得的图象关于点对称，故C正确；
D、若在区间内存在极值点，则有变号零点，
分离参数可得，设，
则时函数单调递增，时函数单调递减，
因为，所以要使得有变号零点，
则的取值范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求导，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可判断A；将代入，易知，函数单调性递增，无极值点即可判断B；若函数的图象关于点对称，则，据此确定使得的图象关于点对称时的值，即可判断C；问题转化为有变号零点，分离参数，设，求导，利用导数判断函数的单调性，求的范围即可判断D.
12．【答案】1860
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从7种菜品中选5种的排列数为种，
周一排汤粉的排列数有种，周五排鸡翅包饭的排列数有，
周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数有.
则他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，共有种午餐安排方式 .
故答案为：.
【分析】先计算从7种菜品中选5种的排列数，再计算周一排汤粉的排列数，周五排鸡翅包饭的排列数以及周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数，利用间接法求解即可.
13．【答案】219
【知识点】二项式系数的性质；组合数公式
【解析】【解答】解：的展开式中，含项的系数为，
则.
故答案为：219.
【分析】利用二项式定理，分别求每一个二项展开式中含项的系数，再利用组合数公式以及组合式的性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设是曲线上的任意一点，，
则在点处的切线方程为，
代入点得，
由于过点不可能作曲线的切线，则直线与函数的图象没有公共点，
令，，
易知在区间恒成立，即函数单调递增；
在区间上，，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值也即是最大值，则，
对于满足此条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，
等价于恒有两个不同的变号零点，
等价于方程有两个不同的解，
令，则，
即直线与函数的图象有两个不同的交点，
记，则，
记，则，
当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，
令，得，
当时，，时，，当时，，
所以在和上单调递减，上单调递增，
并且当时，，，，所以，所以，
因为，所以，所以，则实数的最大值为.
故答案为：.
【分析】设是曲线上的任意一点，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求曲线在点处的切线方程，将代入代入切线方程，问题转化为直线与函数的图象没有公共点，令，利用导数判断函数的单调性分析函数的图象，并求出的取值范围，再将函数的极值点问题，转化为恒有两个不同的变号零点，再利用换元，转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数分析函数的图象和性质，求最值，即可求的最大值.
15．【答案】（1）解：由捆绑法可得种，即共有种不同的作业完成顺序；
（2）解：先安排理科学科有种，再安排文科学科有种，
根据分步乘法计数原理可得种，即共有种不同的作业完成顺序；
（3）解：语文作业必须在数学作业之前完成有种，
其中满足化学作业必须在物理作业之后完成有种，即共有种不同的作业完成顺序；
（4）解：先捆绑法让数学和语文作业必须连续完成，再与除物理之外的排列，
除去与数学相邻的4个位置中任选一个排上物理即可，
所以共有种，
即共有种不同的作业完成顺序.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1） 语文和化学必须连续，将 语文和化学捆绑看成一门，再将其全排列即可；
（2）先安排理科学科，再安排文科学科，根据分步乘法计数原理计算即可；
（3）根据两个指定元素前后位置均等求解即可；
（4）先捆绑法排好语文、数学作业顺序，再与除物理外的学科作业全排列，插空排入物理作业即可.
（1）由捆绑法可得，种，
即共有种不同的作业完成顺序
（2）先安排理科学科有种，再安排文科学科有种，
根据分步乘法计数原理可得种，
即共有种不同的作业完成顺序.
（3）语文作业必须在数学作业之前完成有种，
其中满足化学作业必须在物理作业之后完成有种，
即共有种不同的作业完成顺序.
（4）先捆绑法让数学和语文作业必须连续完成，再与除物理之外的排列，
除去与数学相邻的4个位置中任选一个排上物理即可，
所以共有种，
即共有种不同的作业完成顺序.
16．【答案】（1）证明：过作于，过作于，连接，如图所示：
因为平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，且，所以平面，
同理平面，所以，
又因为为中点，所以，
因为，所以，即，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：当为正三角形时，为中点，则，，两两垂直，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，
则，，，所以，，
设平面的法向量为，则，
即，即，可得，
易得平面的一个法向量为：，
设平面与平面所成的二面角为，
则，即，
故平面与平面夹角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过作于，过作于，连接，构造线线平行，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）当为正三角形时，为中点，则，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的三角函数值即可.
（1）如图：
过作于，过作于，连接.
因为平面，平面，所以平面平面.
又平面平面，平面，且，所以平面.
同理平面.
所以.
又为中点，所以，
因为，所以，即.
所以四边形为平行四边形.所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）当为正三角形时，为中点，则，，两两垂直.
以为原点，建立如图空间直角坐标系.
不妨设.
则，，，所以，.
设平面的法向量为，则
.
取.
易得平面的一个法向量为：.
设平面与平面所成的二面角为，
则.
所以.
即平面与平面夹角的正弦值为.
17．【答案】（1）证明：当时，函数，
要证不等式，即证，
令，求导可得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，则，即，
故原不等式成立；
（2）解：要使得函数的图象始终在直线上方，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
可得，
当时，，此时函数单调递减，
又由，所以在上不恒成立，（舍去）；
当时，，即，解得，
当时，；当时，；
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
要使得在上恒成立，只需，
令，即在成立，即在成立，
令，可得，函数以在单调递增，
因为，所以，即，所以，故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，可得函数，问题转化为证明，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值，证得，即可得到原不等式成立；
（2）要使得函数的图象始终在直线上方，即在上恒成立，
即在上恒成立，令，求导可得，分，讨论，利用导数判断的单调性，并求最小值，令，转化为在成立，令，利用导数求得在单调递增，结合，得到，即，据此求实数的取值范围即可.
（1）解：当时，可得，
要证不等式，即证，
令函数，可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即，
所以原不等式成立；
（2）解：要使得函数的图象始终在直线上方，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
可得，
当时，，此时函数单调递减，
又由，所以在上不恒成立，（舍去）；
当时，，即，解得，
当时，；当时，；
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
要使得在上恒成立，只需，
令，即在成立，
即在成立，
令，可得，
所以在单调递增，
因为，所以，即，所以，
所以实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解：由题意可知，，
，
则数列的一个递推关系为，
当时，利用累加法可得，
将代入得，符合，
则数列的通项公式为；
（2）解：（i）利用二项式系数的性质得，
，
，
，
两式相减可得，即，
则，
（ii）成立，等价于成立，
等价于成立，令，
则，即，解得，即的最大值为，
则，即的取值范围是.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意，观察归纳找到数列的递推关系，再利用累加法求通项公式即可；
（2）（i）利用二项式系数的性质得，，再利用错位相减法求即可；
（ii）原不等式等价于等价于成立，构造数列，列不等式组求数列的最大值即可．
（1）由题意可知，，
，
所以数列的一个递推关系为，
所以当时，利用累加法可得
，
将代入得，符合，
所以数列的通项公式为.
（2）（i）利用二项式系数的性质得，
所以，
所以，
，
得，
所以，
所以，
（ii）成立，等价于成立，
等价于成立，令，
所以，即，解得，
所以的最大值为，
所以，即的取值范围是.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
由题意可得，当时，，
同理，而，所以；
（2）解：由（1）知，，则，
，求导得，
令，求导得，
在上单调递增，函数在上单调递增，，
由，得，且，则，
，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值，
②由①知，，令，求导得，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递减，
而，因此，所以，得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导函数，根据给定方法，求出即可；
（2）①、由（1）知，，求得函数，
，求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最小值，结合求出与的关系即可；
②、由①知，，令，构造函数求导，利用导数探讨函数在上的单调性即可推理得证.
（1）函数，求导得，
依题意，，当时，，
同理，而，所以．
（2）由（1）知，，则，
，求导得，
令，求导得，
在上单调递增，函数在上单调递增，，
由，得，且，则，
，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值．
②由①知，，令，求导得，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递减，
而，因此，所以．
1 / 1广东省深圳实验学校光明部2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·深圳期中）完全展开后的项数是（　　）
A．5 B．10 C．13 D．36
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据分步乘法原理，展开后的项数有：项.
故答案为：D.
【分析】 根据多项式乘法规则，展开后的项数等于每个括号内项数的乘积 ，由分步乘法原理求解即可.
2．（2025高二下·深圳期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（　　）
A．函数有四个极值点 B．为的极大值点
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由图可知，时，，函数在和上单调递增，
时，，函数在和上单调递减，
则函数的极大值点为，极小值点为.
故答案为：D.
【分析】根据导函数的图象判断函数的单调性区间，从而可得出极值点，判断即可.
3．（2025高二下·深圳期中）下列数中，与不相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：
A、，当时，，成立，故A不符合；
B、，故，成立，故B不符合；
C、显然无论取何值和都不等，故C符合；
D、成立，故D不符合.
故答案为： C.
【分析】根据排列数、组合数公式求解判断即可.
4．（2025高二下·深圳期中）已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
则在时取到最大值，
，
因为在上单调递增，所以，则.
故答案为：B.
【分析】构造函数，求导，利用导数研究的单调性，利用对数运算化化为，再根据函数的单调性比较大小即可.
5．（2025高二下·深圳期中）深圳实验学校在40周年校庆之际计划建立集团文博馆，下设德、智、体、美、劳、科创这六个板块项目组．现有7位校领导和18位老师需分配到这6个项目组中，要求每个项目组至少有1名校领导和3位老师，请问一共有（　　）种分配方式
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将7位校领导按要求分配，有种，再将18位老师按要求分配，有种，
则一共有种分配方式.
故答案为：B.
【分析】7位校领导分配到六个项目组，则肯定有两人分为一组，先选出2人，组成一组，再将分好的六组分配到六个项目组，最后将18位老师平均分配，据此求解即可.
6．（2025高二下·深圳期中）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有.该结论可通过构造函数并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（　　）
①；②；③；④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：①、因为，所以恒成立，
当时，，即，即，
则在上恒成立，且时取“”，则①成立；
②、因为，所以，两边同乘以得，则②成立；
③、设，则，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以恒成立，即，则③成立；
④、因为，所以当时，，即，则④成立.
故答案为：D.
【分析】根据，将换成，结合对数运算化简求解即可判断①；将换成，两边同乘以求解即可判断②；当时，将换成求解即可判断④；构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的最小值，即可判断③.
7．（2025高二下·深圳期中）已知在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
分离参数可得在上恒成立，
记，则
当在单调递减，当在单调递增，
在处取到最大值，则，即，
则的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再求导，问题转化为在上恒成立，分离参数可得在上恒成立，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值，即可得a的取值范围.
8．（2025高二下·深圳期中）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，可得，
令，则，
，
当时，解得，当时，解得，
则在单调递增，在单调递减，
因为，且，所以，故A错误；
因为，所以，由，可得，故D错误；
因为，所以，
因为，所以，所以，故C正确；
令 ，
，
当，恒成立，则，在单调递增，
当时，，即，
又因为，所以，
因为，所以，
因为在内单调递减，所以，即，故B错误.
故答案为：C.
【分析】变形可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析判断即可.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．（2025高二下·深圳期中）下列求导运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据基本初等函数的求导公式以及复合函数的求导公式逐项求解判断即可.
10．（2025高二下·深圳期中）已知二项展开式，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：
A、令，则，故A正确；
B、令，则，故，故B错误；
C、令，则，故，故C正确；
D、由可知，因此，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分别赋值令、和，利用赋值法求解即可判断ABC；易知，令，求，即可判断D.
11．（2025高二下·深圳期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．曲线在点处的切线方程为
B．当时，是的极值点
C．存在实数，使得的图象关于点对称
D．若在区间内存在极值点，则的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数，则，
A、，，则曲线在点处的切线方程为，
即，故A正确；
B、当时，，函数在上单调递增，无极值点，故B错误；
C、若函数的图象关于点对称，则，
因为，所以恒成立，则，
即存在，使得的图象关于点对称，故C正确；
D、若在区间内存在极值点，则有变号零点，
分离参数可得，设，
则时函数单调递增，时函数单调递减，
因为，所以要使得有变号零点，
则的取值范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求导，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可判断A；将代入，易知，函数单调性递增，无极值点即可判断B；若函数的图象关于点对称，则，据此确定使得的图象关于点对称时的值，即可判断C；问题转化为有变号零点，分离参数，设，求导，利用导数判断函数的单调性，求的范围即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·深圳期中）光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有　 　种午餐安排方式．（答案用数字表示）
【答案】1860
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从7种菜品中选5种的排列数为种，
周一排汤粉的排列数有种，周五排鸡翅包饭的排列数有，
周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数有.
则他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，共有种午餐安排方式 .
故答案为：.
【分析】先计算从7种菜品中选5种的排列数，再计算周一排汤粉的排列数，周五排鸡翅包饭的排列数以及周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数，利用间接法求解即可.
13．（2025高二下·深圳期中）在的展开式中，含项的系数为　 　．（答案用数字表示）
【答案】219
【知识点】二项式系数的性质；组合数公式
【解析】【解答】解：的展开式中，含项的系数为，
则.
故答案为：219.
【分析】利用二项式定理，分别求每一个二项展开式中含项的系数，再利用组合数公式以及组合式的性质求解即可.
14．（2025高二下·深圳期中）已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设是曲线上的任意一点，，
则在点处的切线方程为，
代入点得，
由于过点不可能作曲线的切线，则直线与函数的图象没有公共点，
令，，
易知在区间恒成立，即函数单调递增；
在区间上，，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值也即是最大值，则，
对于满足此条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，
等价于恒有两个不同的变号零点，
等价于方程有两个不同的解，
令，则，
即直线与函数的图象有两个不同的交点，
记，则，
记，则，
当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，
令，得，
当时，，时，，当时，，
所以在和上单调递减，上单调递增，
并且当时，，，，所以，所以，
因为，所以，所以，则实数的最大值为.
故答案为：.
【分析】设是曲线上的任意一点，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求曲线在点处的切线方程，将代入代入切线方程，问题转化为直线与函数的图象没有公共点，令，利用导数判断函数的单调性分析函数的图象，并求出的取值范围，再将函数的极值点问题，转化为恒有两个不同的变号零点，再利用换元，转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数分析函数的图象和性质，求最值，即可求的最大值.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·深圳期中）某同学每天需完成语文、数学、英语、物理、化学、政治六门作业，现需制定晚自习作业完成顺序计划，请回答以下问题．（请写出计算过程，最终答案用数字表示）
（1）若语文和化学必须连续完成（两科作业完成顺序不限），共有多少种不同的作业完成顺序？
（2）若文科作业（语文、英语、政治）和理科作业（数学、物理、化学）必须交替完成，共有多少种不同的作业完成顺序？
（3）若语文作业必须在数学作业之前完成，且化学作业必须在物理作业之后完成，共有多少种不同的作业完成顺序？
（4）若数学和语文作业必须连续完成（两科作业完成顺序不限），且数学和物理作业不得连续完成，共有多少种不同的作业完成顺序？
【答案】（1）解：由捆绑法可得种，即共有种不同的作业完成顺序；
（2）解：先安排理科学科有种，再安排文科学科有种，
根据分步乘法计数原理可得种，即共有种不同的作业完成顺序；
（3）解：语文作业必须在数学作业之前完成有种，
其中满足化学作业必须在物理作业之后完成有种，即共有种不同的作业完成顺序；
（4）解：先捆绑法让数学和语文作业必须连续完成，再与除物理之外的排列，
除去与数学相邻的4个位置中任选一个排上物理即可，
所以共有种，
即共有种不同的作业完成顺序.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1） 语文和化学必须连续，将 语文和化学捆绑看成一门，再将其全排列即可；
（2）先安排理科学科，再安排文科学科，根据分步乘法计数原理计算即可；
（3）根据两个指定元素前后位置均等求解即可；
（4）先捆绑法排好语文、数学作业顺序，再与除物理外的学科作业全排列，插空排入物理作业即可.
（1）由捆绑法可得，种，
即共有种不同的作业完成顺序
（2）先安排理科学科有种，再安排文科学科有种，
根据分步乘法计数原理可得种，
即共有种不同的作业完成顺序.
（3）语文作业必须在数学作业之前完成有种，
其中满足化学作业必须在物理作业之后完成有种，
即共有种不同的作业完成顺序.
（4）先捆绑法让数学和语文作业必须连续完成，再与除物理之外的排列，
除去与数学相邻的4个位置中任选一个排上物理即可，
所以共有种，
即共有种不同的作业完成顺序.
16．（2025高二下·深圳期中）如图所示，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若为正三角形，且，求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）证明：过作于，过作于，连接，如图所示：
因为平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，且，所以平面，
同理平面，所以，
又因为为中点，所以，
因为，所以，即，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：当为正三角形时，为中点，则，，两两垂直，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，
则，，，所以，，
设平面的法向量为，则，
即，即，可得，
易得平面的一个法向量为：，
设平面与平面所成的二面角为，
则，即，
故平面与平面夹角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过作于，过作于，连接，构造线线平行，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）当为正三角形时，为中点，则，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的三角函数值即可.
（1）如图：
过作于，过作于，连接.
因为平面，平面，所以平面平面.
又平面平面，平面，且，所以平面.
同理平面.
所以.
又为中点，所以，
因为，所以，即.
所以四边形为平行四边形.所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）当为正三角形时，为中点，则，，两两垂直.
以为原点，建立如图空间直角坐标系.
不妨设.
则，，，所以，.
设平面的法向量为，则
.
取.
易得平面的一个法向量为：.
设平面与平面所成的二面角为，
则.
所以.
即平面与平面夹角的正弦值为.
17．（2025高二下·深圳期中）已知函数．
（1）当时，证明：
（2）若函数的图象始终在直线上方，求的取值范围．
【答案】（1）证明：当时，函数，
要证不等式，即证，
令，求导可得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，则，即，
故原不等式成立；
（2）解：要使得函数的图象始终在直线上方，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
可得，
当时，，此时函数单调递减，
又由，所以在上不恒成立，（舍去）；
当时，，即，解得，
当时，；当时，；
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
要使得在上恒成立，只需，
令，即在成立，即在成立，
令，可得，函数以在单调递增，
因为，所以，即，所以，故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，可得函数，问题转化为证明，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值，证得，即可得到原不等式成立；
（2）要使得函数的图象始终在直线上方，即在上恒成立，
即在上恒成立，令，求导可得，分，讨论，利用导数判断的单调性，并求最小值，令，转化为在成立，令，利用导数求得在单调递增，结合，得到，即，据此求实数的取值范围即可.
（1）解：当时，可得，
要证不等式，即证，
令函数，可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即，
所以原不等式成立；
（2）解：要使得函数的图象始终在直线上方，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
可得，
当时，，此时函数单调递减，
又由，所以在上不恒成立，（舍去）；
当时，，即，解得，
当时，；当时，；
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
要使得在上恒成立，只需，
令，即在成立，
即在成立，
令，可得，
所以在单调递增，
因为，所以，即，所以，
所以实数的取值范围为.
18．（2025高二下·深圳期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……
（1）设“三角垛”各层球数构成一个数列，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列；1，3，6，10，15，…，请写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；
（2）记杨辉三角的第行所有数之和为，令，设为数列的前项和．
（i）求；
（ii）若成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知，，
，
则数列的一个递推关系为，
当时，利用累加法可得，
将代入得，符合，
则数列的通项公式为；
（2）解：（i）利用二项式系数的性质得，
，
，
，
两式相减可得，即，
则，
（ii）成立，等价于成立，
等价于成立，令，
则，即，解得，即的最大值为，
则，即的取值范围是.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意，观察归纳找到数列的递推关系，再利用累加法求通项公式即可；
（2）（i）利用二项式系数的性质得，，再利用错位相减法求即可；
（ii）原不等式等价于等价于成立，构造数列，列不等式组求数列的最大值即可．
（1）由题意可知，，
，
所以数列的一个递推关系为，
所以当时，利用累加法可得
，
将代入得，符合，
所以数列的通项公式为.
（2）（i）利用二项式系数的性质得，
所以，
所以，
，
得，
所以，
所以，
（ii）成立，等价于成立，
等价于成立，令，
所以，即，解得，
所以的最大值为，
所以，即的取值范围是.
19．（2025高二下·深圳期中）牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在I7世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解.对于函数，已知.
（1）若给定，求的二阶近似值；
（2）设
①试探求函数的最小值与的关系；
②证明：．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
由题意可得，当时，，
同理，而，所以；
（2）解：由（1）知，，则，
，求导得，
令，求导得，
在上单调递增，函数在上单调递增，，
由，得，且，则，
，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值，
②由①知，，令，求导得，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递减，
而，因此，所以，得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导函数，根据给定方法，求出即可；
（2）①、由（1）知，，求得函数，
，求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最小值，结合求出与的关系即可；
②、由①知，，令，构造函数求导，利用导数探讨函数在上的单调性即可推理得证.
（1）函数，求导得，
依题意，，当时，，
同理，而，所以．
（2）由（1）知，，则，
，求导得，
令，求导得，
在上单调递增，函数在上单调递增，，
由，得，且，则，
，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值．
②由①知，，令，求导得，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递减，
而，因此，所以．
1 / 1

展开更多......

收起↑