资源简介

(共22张PPT)
8.2.3 菱形的概念与性质
第8章 四边形
苏科版 八年级 数学 下册
　　生活中常常见到一种伸缩围栏，它由一些小的平行四边形构成，这些平行四边形有什么特点？
如图，有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形（rhombus）．
B
A
D
C
符号语言：
在 ABCD中，AB=BC，
∴ ABCD是菱形．
　　菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有哪些特殊性质？
B
A
D
C
从边的角度考虑呢？
B
A
D
C
猜想1 菱形的四条边相等．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=BC．
求证：AB＝BC＝CD＝DA．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝DC，AD＝BC．
∵ AB＝BC，
∴ AB＝BC＝CD＝DA．
　　菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有哪些特殊性质？
B
A
D
C
两条对角线把菱形分成____对全等的等腰三角形，____个全等的直角三角形.
2
4
B
A
D
C
猜想2 菱形的对角线互相垂直,每条对角线都平分一组对角．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=BC,对角线AC，BD相交于点O．
求证：BD⊥AC．∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB,
∠DAC=∠BAC,∠BCA=∠DCA.
O
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AO＝CO．
∵ AB＝BC，
∴ BD⊥AC， ∠ABD=∠CBD ．
同理∠ADB=∠CDB, ∠DAC=∠BAC,∠BCA=∠DCA.
菱形的性质定理：
菱形的四条边相等，对角线互相垂直，每条对角线都平分一组对角．
O
B
A
D
C
符号语言：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝DA． AC⊥BD．
∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB,
∠DAC=∠BAC,∠BCA=∠DCA.
1.菱形具有，一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 四边相等 D. 对角线互相平分
2.菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角互补
C
A
例3　如图，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成．已知菱形ABCD的边长为13cm，上、下两排挂钩间的距离AC为24cm．求点B，M之间的距离．
A
D
B
C
E
F
G
H
M
B
A
D
C
O
解：如图，连接AC，BD，相交于点O．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠AOB＝90°，AO＝AC＝×24＝12．
∴ 在Rt△AOB中，由勾股定理得：
．
∴ BD＝2BO＝10．
∴ BM＝3BD＝30．
答：点B，M之间的距离是30cm．
　　菱形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形．菱形是轴对称图形吗？如果是，由轴对称性你能得到哪些结论？
菱形是轴对称图形，有两条对称轴．
O
B
A
D
C
1. 证明：菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半．
O
B
A
D
C
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．
求证：S菱形ABCD＝AC·BD．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD
∴ S菱形ABCD＝S△ABD＋S△CBD
＝AO·BD＋CO·BD
＝(AO＋CO)·BD
＝AC·BD．
2. 如图，在菱形ABCD中，BD是对角线，BD=AB.求这个菱形的各内角的大小.
A
D
C
B
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥AB于点E．(1)求菱形ABCD的周长；
(2)求菱形ABCD的面积；(3)求DE的长．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝BD＝5，OA＝AC＝12，AC⊥BD，
AB＝BC＝CD＝DA．
∴在Rt△ABO中，AB＝＝＝13，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×13＝52．
E
O
A
C
B
D
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥AB于点E．(1)求菱形ABCD的周长；
(2)求菱形ABCD的面积；(3)求DE的长．
E
O
A
C
B
D
解：(2) S菱形ABCD＝AC·BD＝×24×10＝120．
(3) ∵ S菱形ABCD＝AB·DE＝120，AB＝13，
　 ∴ DE＝．
菱形的面积公式：
S菱形ABCD＝AC·BD
S菱形ABCD＝AB·DE
E
O
A
C
B
D
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，若BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________.
O
B
A
D
C
H
E
边
角
对角线
对称性
对边平行，四条边相等
对角相等
对角线互相平分且垂直，每条对角线都平分一组对角
既是中心对称图形又是轴对称图形
菱形的性质
O
B
A
D
C
l1
l2
AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝BC
∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
OA＝OC，OB＝OD ,AC⊥BD.
∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB,
∠DAC=∠BAC,∠BCA=∠DCA.
对称中心是对角线的交点O，对称轴是直线l1和l2
S菱形ABCD＝AC·BD
S菱形ABCD＝BC·AE
课堂小结
5.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB.
求证：四边形OBEC是菱形.
E
A
D
B
C
O
证明：∵BE//AC， CE//DB，
∴四边形OBEC是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，OB=BD，OC=AC.
∴OB=OC.
∴ OBEC是菱形.
6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.
(1)求证：△ODE≌△FCE(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程.
O
A
D
C
B
E
F
证明：∵E是CD的中点，
∴CE＝DE.
又∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE.
在△ODE和△FCE中，
∴△ODE≌△FCE(ASA)．
(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程.
O
A
D
C
B
E
F
(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：
∵△ODE≌△FCE，
∴OE＝FE.
又∵CE＝DE，
∴四边形ODFC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，
∴四边形ODFC为矩形．
谢谢观看！

展开更多......

收起↑