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广东省广州市第二中学教育集团2024-2025学年高二下学期期中三元联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·广州期中）从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（　　）
A． B． C．21 D．210
2．（2025高二下·广州期中）是等比数列，是方程的两根，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·广州期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（　　）
A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减
C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值
4．（2025高二下·广州期中）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·广州期中）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（　　）
A．
B．当时，取得最大值
C．
D．使得成立的最大自然数是15
6．（2025高二下·广州期中）设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（　　）
A． B． C． D．2
7．（2025高二下·广州期中）设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·广州期中）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（　　）
A．64 B．65 C．68 D．72
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·广州期中）已知数列满足，，，则（　　）
A．121是数列中的项 B．
C．是等比数列 D．存在，
10．（2025高二下·广州期中）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（　　）
A．共计有360种不同的排法
B．男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种
C．男生甲、乙相邻的排法总数为240种
D．男女生相间排法总数为36种
11．（2025高二下·广州期中）已知函数，则下列正确的是（　　）
A．的极小值为0
B．过点的切线方程为
C．有三个实根
D．，当时，恒成立，则a的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·广州期中）已知，则　 　．
13．（2025高二下·广州期中）等差数列中，，前n项和为，若，则　 　.
14．（2025高二下·广州期中）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是　 　
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·广州期中）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16．（2025高二下·广州期中）已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
17．（2025高二下·广州期中）已知曲线，曲线C在点处的切线交轴于点，过作与x轴垂直的直线与C交于点，曲线C在点处的切线交x轴于点，…，依次下去，得到点列：，，，…，，…，设的横坐标为.
（1）求证：；
（2）求数列的前n项和.
18．（2025高二下·广州期中）已知数列满足，且，数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列；
（3）若，求数列的前n项和.
19．（2025高二下·广州期中）已知函数（其中a为参数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意都有成立，求实数a的取值集合；
（3）证明：（其中，e为自然对数的底数）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据分步乘法计数原理，
则不同的选法有种.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件合分步乘法计数原理，从而得出不同的选法种数.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列公比为，
因为，是方程的两根，
所以，
则，
由等比数列的性质，可知
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和韦达定理，从而得出，再利用等比数列的性质，从而得出的值.
3．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于选项A，由图象可知，当时，；当时，，
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，故选项A错；
对于选项B，当时，，则函数在区间上单调递增，故选项B错；
对于选项C，当时，；当时，，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则为函数的一个极大值点，故选项C对；
对于选项D，因为函数在区间上单调递增，所以，不是函数的最大值，故选项D错.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和导函数图象，再利用导数的正负判断出函数的单调性，从而得出函数的极值点和最值，进而逐项判断找出说法正确的选项.
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为存在实数，使得成立，
所以，
则，
令，得或或，
列表如下：
极小值
当时，函数有极小值也是的最小值，
所以，则．
故答案为：B．
【分析】由题意得，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值，再利用比较法得出函数的最值，进而得出实数t的取值范围．
5．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：对于A，在等差数列中，，，
所以，，，故A正确；
对于B，由题意，可知数列为递减数列，且当时，，当时，，
可得当时，取得最大值，故B正确；
对于C，由选项A知，数列前8项都大于0，
则，故C正确；
对于D，易知，，
则成立的最大自然数，故D错误．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件和等差数列的性质，从而判断出公差的正负，则判断出选项A；利用数列的单调性得出等差数列的前项和的最大值，从而得出此时的n的值，则判断出选项B；利用等差数列的性质判断出选项C；由等差数列前项和公式和等差数列的性质以及已知条件，从而得出使得成立的最大自然数，则可判断选项D，从而找出结论不正确的选项.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】设底面边长为x，侧棱长为l，
则V＝ x2·sin 60°·l，
所以l＝ ，
所以S表＝2S底＋S侧＝x2·sin 60°＋3·x·l＝ x2＋ ，
令S表′＝ x－ ＝0，
即x3＝4V，
解得x＝ ，
当0＜x＜ 时，S表′＜0；
x＞ 时，S表′＞0，
所以当x＝ 时，表面积最小，
故答案为：C。
【分析】设底面边长为x，侧棱长为l，再利用底面为正三角形的直棱柱的结构特征结合柱体的体积公式，从而用已知条件求出侧棱长，再利用直棱柱的表面积公式求出直棱柱的表面积，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，进而求出直棱柱表面积的最小值，从而求出此时对应的底面边长。
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，则，
又因为，所以，函数在上只有一个零点，
因为函数只有一个零点，所以函数在上无零点，
则当时，，所以，
由，可得；由，可得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
只需，解得.
故答案为：C.
【分析】利用导数的正负判断出函数的单调性，结合题意知函数在上无零点，再根据导数的正负判断函数在上的单调性，从而得出关于实数的不等式，解不等式得出实数a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；归纳推理
【解析】【解答】解：由题意，令，解得，
则是第个奇数，
∵宝塔形数表第行有个数，
前行共有个数，
，
在宝塔形数表的第行中，
为第行从左往右数第个数，
则，
.
故答案为：C.
【分析】由题意结合等差数列的前n项和公式以及数列的规律，从而得出的值，进而得出的值.
9．【答案】A,B,C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，可得，，
因为，所以是首项为，公比为3的等比数列，故选项C正确；
由等比数列通项公式，可得，则，
当时，，所以121是数列中的第五项，故选项A正确；
由，可得，，故选项B正确；
易知，当时，，
所以，
当时，；
当时，，
对于任意的，，
所以，不存在，，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由数列的递推关系式变形结合等比数列的定义，则判断出数列是首项为，公比为3的等比数列，从而判断出选项C；利用选项C结合等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，进而得出，则判断出选项B；由数列的通项公式结合代入法，则判断出选项A；利用已知条件结合放缩法和等比数列前n项和公式，则得出不存在，使得，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，因为所有的排法共有种，故选项A错误；
对于B，因为甲可以排在头或者尾，有2种选择，剩下5个人全排列，
所以，共有种，故选项B正确；
对于C，将甲乙看作一个整体，与剩下4个人全排列，
则共有种，故选项C正确；
对于D，女生第一位，有种方法，男生第一位，有种方法，
则共有种方法，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据已知条件和全排列的方法，则判断出选项A；根据甲的位置结合分步乘法计数原理，从而得出男生甲在排头或在排尾的排法总数，则判断出选项B；根据相邻问题捆绑法，从而得出男生甲、乙相邻的排法总数，则判断出选项C；根据第一位是男生还是女生两种情况分类讨论，再利用排列数公式和分类加法计数原理，从而得出男女生相间排法总数，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意知：函数定义域为R，
则；
∴当时，；当时，，
∴的单调递减区间为，，单调递增区间为.
对于A，因为的极小值为，故选项A正确；
对于B，设过点的切线的切点为，则，
所以切线方程为，
将点代入切线方程，解得或，
当时，切点为，切线斜率为0，切线为；
当时，切点为，切线斜率为，切线为，
则在点处的切线方程为或，故B错误；
对于C，因为的极大值为，且当时，，
由此可得图象如下图所示，
由图象可知：与有三个不同的交点，
则有三个实根，故选项C正确；
对于D，当时，恒成立，
可得：，
令，则在上单调递增，
∴在上恒成立，
∴在上恒成立，
∵在上的最大值为，
∴，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先求导结合导数的正负判断函数的单调性，再结合函数极值定义，则判断出选项A；利用导数的几何意义得出切线斜率，再利用点斜式方程得出函数过点的切线方程，则判断出选项B；先作出函数图象，再根据函数与的交点个数和方程的根的个数的等价关系，则判断出选项C；将选项D中问题转化为在上单调递增，则由结合分离参数的方法，再根据函数的单调性得出函数的最值，由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】3
【知识点】排列数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，且，，，
则，解得或（舍去），
所以.
故答案为：3.
【分析】根据已知条件和排列数公式，从而解方程得出满足要求的x的取值范围.
13．【答案】2025
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
则，，
由，
可得数列为等差数列，首项为，公差为，
因为，所以，
则，
所以，
则.
故答案为：2025.
【分析】设数列的公差为，利用等差数列的定义和等差数列求和公式，从而判断出数列为等差数列，再根据题中条件得出公差的值，结合等差数列的通项公式得出，最后代入得出的值.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：原不等式等价于在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，求导可得，易知，，
则函数在区间上单调递增，即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，则，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，即，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】原不等式等价于在区间上恒成立，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求实数的取值范围即可.
15．【答案】（1）解：由题意，可得，
故，，
数列是公比为2的等比数列，且，
，
，．
（2）解：由题意和（1），可得，
则
．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用已知条件和（1）中数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前项和.
16．【答案】（1）解：由，知.
因为在处取得极值，
所以，.
则，
所以，
则，.
（2）解：由（1）知，，
得，.
则，
当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
又因为，，，
所以在上的最大值为，最小值为.
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由已知条件结合导数求极值点和极值的方法，从而得到，，进而得到方程组，解方程组得出实数的值.
（2）由（1）可知函数解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数在区间上的最值.
（1）由，知.
而在处取得极值，故，.
故有方程组，即.
所以，.
（2）由（1）知，，故，.
，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
而直接计算知，，，
故在上的最大值为，最小值为.
17．【答案】（1）证明：因为，所以
又因为的横坐标为，所以的坐标为，
由，可得曲线在处的切线的斜率为，
所以处的切线的方程为.
令，得，则点的坐标为，
所以.
（2）解：由（1）得处的切线的方程为，
令，得，则点的坐标为，
所以，则数列首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
记数列的前n项和为，
则，①
所以，②
①②得：
，
所以，数列的前n项和为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）依题意可得点的坐标为，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式方程得出函数在点处的切线方程，再利用赋值法求出点的坐标，从而证出.
（2）由（1）求出点处的切线的方程，利用赋值法得出点的坐标，则求出的值，再利用等比数列的定义判断出数列首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式，由错位相减法得出数列的前n项和.
（1）因为，所以
因为的横坐标为，所以的坐标为.
由，可得曲线在处的切线的斜率为，
所以处的切线的方程为.
令，得，即的坐标为，所以.
（2）由（1）得处的切线的方程为，
令，得，即的坐标为，故，
所以首项为，公比为的等比数列，所以，则，
记数列的前n项和为，
则，①
所以，②
①②得
，
所以数列的前n项和为.
18．【答案】（1）解：由，
可得，，且，
则当时，
，
又因为时也满足上式，
所以.
（2）证明：∵，
∴，
∴数列是公差为1，首项为1的等差数列.
（3）解：由（2）得，，
得，
则
当时，
所以，数列的前n项和为：
，
当时，
所以，数列的前n项和为：
，
则，.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和累加法，从而得出数列的通项公式，再利用检验首项法，进而得出数列的通项公式.
（2）由已知的数列的递推公式，再利用等差数列定义，从而证出数列为等差数列.
（3）由（2）结合等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用（1）中数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用裂项相消法，从而得出数列的前n项和.
（1）由，可得，，且，
则当时，
.
又时也满足上式，故.
（2）∵，∴，
∴是公差为1，首项为1的等差数列.
（3）由（2）得，即.
当时，
数列的前n项和
.
当时，
数列的前n项和
.
所以，.
19．【答案】（1）解：因为函数，定义域为，
所以，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
则当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）解：当时，在上单调递增，
因为，当时，，
所以不成立；
当时，由（1）得，，
因为对任意，都有成立，所以，
令，则，
令，得，
当时，；当时，，
则当时，取得最大值，
所以实数a的取值集合是.
（3）解：由（2）知：，
令，
则，
所以，则，
所以，
由（2）知：，
令，
则，
所以，
则，所以，
则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）先求导，分，两种情况讨论，再结合导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（2）由（1）结合函数的单调性，从而得出函数的最值，即，根据对任意都有成立，则由求解得出实数a的取值范围.
（3）设，再结合和单调函数的定义，则判断出数列是单调递增数列和数列是单调递减数列，再利用数列的单调性和（2）中，从而证出成立.
（1）解：因为函数，定义域为，
所以，
当时，，函数在上递增；
当时，令，得，
当时，，函数在上递减；
当时，，函数在上递增；
所以当时，函数的单调增区间是，无减区间；
当时，函数的单调增区间是，减区间是；
（2）当时，在上递增，又，当时，，所以不成立；
当时，由（1）得，
因为对任意都有成立，
所以，
令，
则，令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
所以实数a的取值集合是；
（3）由（2）知：，
令，则，
即，则，
所以，
由（2）知：，
令，则，
即，则，
所以，
故.
1 / 1广东省广州市第二中学教育集团2024-2025学年高二下学期期中三元联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·广州期中）从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（　　）
A． B． C．21 D．210
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据分步乘法计数原理，
则不同的选法有种.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件合分步乘法计数原理，从而得出不同的选法种数.
2．（2025高二下·广州期中）是等比数列，是方程的两根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列公比为，
因为，是方程的两根，
所以，
则，
由等比数列的性质，可知
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和韦达定理，从而得出，再利用等比数列的性质，从而得出的值.
3．（2025高二下·广州期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（　　）
A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减
C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于选项A，由图象可知，当时，；当时，，
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，故选项A错；
对于选项B，当时，，则函数在区间上单调递增，故选项B错；
对于选项C，当时，；当时，，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则为函数的一个极大值点，故选项C对；
对于选项D，因为函数在区间上单调递增，所以，不是函数的最大值，故选项D错.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和导函数图象，再利用导数的正负判断出函数的单调性，从而得出函数的极值点和最值，进而逐项判断找出说法正确的选项.
4．（2025高二下·广州期中）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为存在实数，使得成立，
所以，
则，
令，得或或，
列表如下：
极小值
当时，函数有极小值也是的最小值，
所以，则．
故答案为：B．
【分析】由题意得，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的极值，再利用比较法得出函数的最值，进而得出实数t的取值范围．
5．（2025高二下·广州期中）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（　　）
A．
B．当时，取得最大值
C．
D．使得成立的最大自然数是15
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：对于A，在等差数列中，，，
所以，，，故A正确；
对于B，由题意，可知数列为递减数列，且当时，，当时，，
可得当时，取得最大值，故B正确；
对于C，由选项A知，数列前8项都大于0，
则，故C正确；
对于D，易知，，
则成立的最大自然数，故D错误．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件和等差数列的性质，从而判断出公差的正负，则判断出选项A；利用数列的单调性得出等差数列的前项和的最大值，从而得出此时的n的值，则判断出选项B；利用等差数列的性质判断出选项C；由等差数列前项和公式和等差数列的性质以及已知条件，从而得出使得成立的最大自然数，则可判断选项D，从而找出结论不正确的选项.
6．（2025高二下·广州期中）设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】设底面边长为x，侧棱长为l，
则V＝ x2·sin 60°·l，
所以l＝ ，
所以S表＝2S底＋S侧＝x2·sin 60°＋3·x·l＝ x2＋ ，
令S表′＝ x－ ＝0，
即x3＝4V，
解得x＝ ，
当0＜x＜ 时，S表′＜0；
x＞ 时，S表′＞0，
所以当x＝ 时，表面积最小，
故答案为：C。
【分析】设底面边长为x，侧棱长为l，再利用底面为正三角形的直棱柱的结构特征结合柱体的体积公式，从而用已知条件求出侧棱长，再利用直棱柱的表面积公式求出直棱柱的表面积，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，进而求出直棱柱表面积的最小值，从而求出此时对应的底面边长。
7．（2025高二下·广州期中）设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，则，
又因为，所以，函数在上只有一个零点，
因为函数只有一个零点，所以函数在上无零点，
则当时，，所以，
由，可得；由，可得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
只需，解得.
故答案为：C.
【分析】利用导数的正负判断出函数的单调性，结合题意知函数在上无零点，再根据导数的正负判断函数在上的单调性，从而得出关于实数的不等式，解不等式得出实数a的取值范围.
8．（2025高二下·广州期中）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（　　）
A．64 B．65 C．68 D．72
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；归纳推理
【解析】【解答】解：由题意，令，解得，
则是第个奇数，
∵宝塔形数表第行有个数，
前行共有个数，
，
在宝塔形数表的第行中，
为第行从左往右数第个数，
则，
.
故答案为：C.
【分析】由题意结合等差数列的前n项和公式以及数列的规律，从而得出的值，进而得出的值.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·广州期中）已知数列满足，，，则（　　）
A．121是数列中的项 B．
C．是等比数列 D．存在，
【答案】A,B,C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，可得，，
因为，所以是首项为，公比为3的等比数列，故选项C正确；
由等比数列通项公式，可得，则，
当时，，所以121是数列中的第五项，故选项A正确；
由，可得，，故选项B正确；
易知，当时，，
所以，
当时，；
当时，，
对于任意的，，
所以，不存在，，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由数列的递推关系式变形结合等比数列的定义，则判断出数列是首项为，公比为3的等比数列，从而判断出选项C；利用选项C结合等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，进而得出，则判断出选项B；由数列的通项公式结合代入法，则判断出选项A；利用已知条件结合放缩法和等比数列前n项和公式，则得出不存在，使得，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2025高二下·广州期中）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（　　）
A．共计有360种不同的排法
B．男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种
C．男生甲、乙相邻的排法总数为240种
D．男女生相间排法总数为36种
【答案】B,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，因为所有的排法共有种，故选项A错误；
对于B，因为甲可以排在头或者尾，有2种选择，剩下5个人全排列，
所以，共有种，故选项B正确；
对于C，将甲乙看作一个整体，与剩下4个人全排列，
则共有种，故选项C正确；
对于D，女生第一位，有种方法，男生第一位，有种方法，
则共有种方法，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据已知条件和全排列的方法，则判断出选项A；根据甲的位置结合分步乘法计数原理，从而得出男生甲在排头或在排尾的排法总数，则判断出选项B；根据相邻问题捆绑法，从而得出男生甲、乙相邻的排法总数，则判断出选项C；根据第一位是男生还是女生两种情况分类讨论，再利用排列数公式和分类加法计数原理，从而得出男女生相间排法总数，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高二下·广州期中）已知函数，则下列正确的是（　　）
A．的极小值为0
B．过点的切线方程为
C．有三个实根
D．，当时，恒成立，则a的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意知：函数定义域为R，
则；
∴当时，；当时，，
∴的单调递减区间为，，单调递增区间为.
对于A，因为的极小值为，故选项A正确；
对于B，设过点的切线的切点为，则，
所以切线方程为，
将点代入切线方程，解得或，
当时，切点为，切线斜率为0，切线为；
当时，切点为，切线斜率为，切线为，
则在点处的切线方程为或，故B错误；
对于C，因为的极大值为，且当时，，
由此可得图象如下图所示，
由图象可知：与有三个不同的交点，
则有三个实根，故选项C正确；
对于D，当时，恒成立，
可得：，
令，则在上单调递增，
∴在上恒成立，
∴在上恒成立，
∵在上的最大值为，
∴，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先求导结合导数的正负判断函数的单调性，再结合函数极值定义，则判断出选项A；利用导数的几何意义得出切线斜率，再利用点斜式方程得出函数过点的切线方程，则判断出选项B；先作出函数图象，再根据函数与的交点个数和方程的根的个数的等价关系，则判断出选项C；将选项D中问题转化为在上单调递增，则由结合分离参数的方法，再根据函数的单调性得出函数的最值，由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·广州期中）已知，则　 　．
【答案】3
【知识点】排列数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，且，，，
则，解得或（舍去），
所以.
故答案为：3.
【分析】根据已知条件和排列数公式，从而解方程得出满足要求的x的取值范围.
13．（2025高二下·广州期中）等差数列中，，前n项和为，若，则　 　.
【答案】2025
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
则，，
由，
可得数列为等差数列，首项为，公差为，
因为，所以，
则，
所以，
则.
故答案为：2025.
【分析】设数列的公差为，利用等差数列的定义和等差数列求和公式，从而判断出数列为等差数列，再根据题中条件得出公差的值，结合等差数列的通项公式得出，最后代入得出的值.
14．（2025高二下·广州期中）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：原不等式等价于在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，求导可得，易知，，
则函数在区间上单调递增，即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，则，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，即，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】原不等式等价于在区间上恒成立，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求实数的取值范围即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·广州期中）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）解：由题意，可得，
故，，
数列是公比为2的等比数列，且，
，
，．
（2）解：由题意和（1），可得，
则
．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用已知条件和（1）中数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前项和.
16．（2025高二下·广州期中）已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：由，知.
因为在处取得极值，
所以，.
则，
所以，
则，.
（2）解：由（1）知，，
得，.
则，
当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
又因为，，，
所以在上的最大值为，最小值为.
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由已知条件结合导数求极值点和极值的方法，从而得到，，进而得到方程组，解方程组得出实数的值.
（2）由（1）可知函数解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数在区间上的最值.
（1）由，知.
而在处取得极值，故，.
故有方程组，即.
所以，.
（2）由（1）知，，故，.
，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
而直接计算知，，，
故在上的最大值为，最小值为.
17．（2025高二下·广州期中）已知曲线，曲线C在点处的切线交轴于点，过作与x轴垂直的直线与C交于点，曲线C在点处的切线交x轴于点，…，依次下去，得到点列：，，，…，，…，设的横坐标为.
（1）求证：；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）证明：因为，所以
又因为的横坐标为，所以的坐标为，
由，可得曲线在处的切线的斜率为，
所以处的切线的方程为.
令，得，则点的坐标为，
所以.
（2）解：由（1）得处的切线的方程为，
令，得，则点的坐标为，
所以，则数列首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
记数列的前n项和为，
则，①
所以，②
①②得：
，
所以，数列的前n项和为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）依题意可得点的坐标为，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式方程得出函数在点处的切线方程，再利用赋值法求出点的坐标，从而证出.
（2）由（1）求出点处的切线的方程，利用赋值法得出点的坐标，则求出的值，再利用等比数列的定义判断出数列首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式，由错位相减法得出数列的前n项和.
（1）因为，所以
因为的横坐标为，所以的坐标为.
由，可得曲线在处的切线的斜率为，
所以处的切线的方程为.
令，得，即的坐标为，所以.
（2）由（1）得处的切线的方程为，
令，得，即的坐标为，故，
所以首项为，公比为的等比数列，所以，则，
记数列的前n项和为，
则，①
所以，②
①②得
，
所以数列的前n项和为.
18．（2025高二下·广州期中）已知数列满足，且，数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列；
（3）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：由，
可得，，且，
则当时，
，
又因为时也满足上式，
所以.
（2）证明：∵，
∴，
∴数列是公差为1，首项为1的等差数列.
（3）解：由（2）得，，
得，
则
当时，
所以，数列的前n项和为：
，
当时，
所以，数列的前n项和为：
，
则，.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和累加法，从而得出数列的通项公式，再利用检验首项法，进而得出数列的通项公式.
（2）由已知的数列的递推公式，再利用等差数列定义，从而证出数列为等差数列.
（3）由（2）结合等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用（1）中数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用裂项相消法，从而得出数列的前n项和.
（1）由，可得，，且，
则当时，
.
又时也满足上式，故.
（2）∵，∴，
∴是公差为1，首项为1的等差数列.
（3）由（2）得，即.
当时，
数列的前n项和
.
当时，
数列的前n项和
.
所以，.
19．（2025高二下·广州期中）已知函数（其中a为参数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意都有成立，求实数a的取值集合；
（3）证明：（其中，e为自然对数的底数）．
【答案】（1）解：因为函数，定义域为，
所以，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
则当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）解：当时，在上单调递增，
因为，当时，，
所以不成立；
当时，由（1）得，，
因为对任意，都有成立，所以，
令，则，
令，得，
当时，；当时，，
则当时，取得最大值，
所以实数a的取值集合是.
（3）解：由（2）知：，
令，
则，
所以，则，
所以，
由（2）知：，
令，
则，
所以，
则，所以，
则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）先求导，分，两种情况讨论，再结合导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（2）由（1）结合函数的单调性，从而得出函数的最值，即，根据对任意都有成立，则由求解得出实数a的取值范围.
（3）设，再结合和单调函数的定义，则判断出数列是单调递增数列和数列是单调递减数列，再利用数列的单调性和（2）中，从而证出成立.
（1）解：因为函数，定义域为，
所以，
当时，，函数在上递增；
当时，令，得，
当时，，函数在上递减；
当时，，函数在上递增；
所以当时，函数的单调增区间是，无减区间；
当时，函数的单调增区间是，减区间是；
（2）当时，在上递增，又，当时，，所以不成立；
当时，由（1）得，
因为对任意都有成立，
所以，
令，
则，令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
所以实数a的取值集合是；
（3）由（2）知：，
令，则，
即，则，
所以，
由（2）知：，
令，则，
即，则，
所以，
故.
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